2.1　必要条件与充分条件 第二课时　充要条件 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“充要条件”，通过基础辨析、综合应用、开放探究三层设计，构建从概念理解到逻辑推理的巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充要条件概念辨析|选择/填空题（1-9题），如第1-3题直接判断条件关系，强化概念理解| |提升层|跨知识应用推理|解答/多选题（10-14题），如第10题证明函数性质，第12题结合方程根分析，培养逻辑推理| |拓展层|综合开放探究|情境探究题（15-16题），如第16题选择条件设计参数范围，发展创新意识与模型观念|

第二课时　充要条件 1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（　　） A.ab＝0　 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0　 D.a2＋b2＞0 3.“x＜2”是“＜0”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知p：{x｜x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}.若p是q的充要条件，则实数m的值为（　　） A.4　 B.5 C.6　 D.7 5.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（　　） A.x≥0　 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5}　 D.x≤0或x＞2 6.（多选）下列选项中正确的是（　　） A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件 B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C.A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件 D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 7.△ABC与△A1B1C1对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8.若“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为　　　　. 9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空： （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　　　　； （2）“x＜9”是“x＜6”的　　　　. 10.求证：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b＝0. 11.已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.（多选）已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，下列结论正确的是（　　） A.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m｜m＜1或m＞9} B.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1} C.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1} D.方程x2＋（m－3）x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m｜m＞1} 13.已知“p：x＞m＋3或x＜m”是“q：－4＜x＜1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　. 14.设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，q：实数x满足2＜x＜3. （1）若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 15.设集合U＝{（x，y）｜x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）｜2x－y＋m＞0}，B＝{（x，y）｜x＋y－n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁UB）的充要条件是（　　） A.m＞－1，n＜5　 B.m＜－1，n＜5 C.m＞－1，n＞5　 D.m＜－1，n＞5 16.给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个补充到下面的横线上并解答. 已知集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的　　　　　条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 第二课时　充要条件 1.A　当x＝1时，x3＝x成立.若x3＝x，即x（x2－1）＝0，得x＝－1，0，1. 2.D　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0. 3.A　由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件. 4.C　由已知得p：{x｜－2≤x≤10}.由p是q的充要条件得{x｜－2≤x≤10}＝{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C. 5.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件. 6.AD　对于A，由点P到圆心O的距离大于圆的半径，则点P在☉O外，由圆外一点到该圆心的距离都大于半径可知，A正确；对于B，两三角形全等可推出两三角形面积相等，但两个三角形的面积相等推不出这两个三角形全等，故B不正确；对于C，由A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝A是B⊆A的充要条件，故C不正确；对于D，由x或y是有理数，不妨设x＝1，y＝，xy＝不是有理数，反之，若xy为有理数，不妨设x＝1－，y＝1＋，即xy＝（1－）（1＋）＝－1为有理数，不能推出x或y为有理数，故D正确. 7.必要不充分　解析：由△ABC与△A1B1C1对应角相等⇒/△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 8.－1　解析：“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x≤－1，或x≥1”，但由“x≤－1，或x≥1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 9.（1）充要条件　（2）必要不充分条件 解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. （2）设A＝{x｜x＜9}，B＝{x｜x＜6}，因为B⫋A，所以“x＜9”是“x＜6”的必要不充分条件. 10.证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b＝0. 11.B　由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件. 12.CD　在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ＝（m－3）2－4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m｜m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正根一负根，等价于解得m＜0，方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜m＜0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于解得0＜m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ＝（m－3）2－4m＜0得1＜m＜9，而{m｜1＜m＜9}⊆{m｜m＞1}，故m∈{m｜m＞1}是方程无实数根的必要条件，故D正确.故选C、D. 13.（－∞，－7]∪[1，＋∞）　解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 14.解：（1）当a＝1时，若命题p为真，则1＜x＜3，若命题q为真，则2＜x＜3，∵p，q均为真，∴2＜x＜3，即实数x的取值范围是{x｜2＜x＜3}. （2）若q是p的充分不必要条件，则⇒1≤a≤2， ∴实数a的取值范围是{a｜1≤a≤2}. 15.A　要寻求P∈A∩（∁UB）的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手.∁UB＝{（x，y）｜x＋y－n＞0}，A∩（∁UB）＝{（x，y）｜x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}，①由P∈A∩（∁UB）可得，所以m＞－1，n＜5.所以m＞－1，n＜5是P（2，3）∈A∩（∁UB）的必要条件.②当m＞－1，n＜5时，由解得即P（2，3）∈A∩（∁UB），所以m＞－1，n＜5是P（2，3）∈A∩（∁UB）的充分条件，故选A. 16.解：若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P⫋S且S≠∅， 所以或解得m≥3， 因此，实数m的取值范围是[3，＋∞）. 若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S⫋P，当S≠∅时， 则或解得m＝0， 当S＝∅时，1－m＞1＋m，解得m＜0. 综上，实数m的取值范围是（－∞，0]. 若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，即无解， 故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $