3.2 确定圆的条件 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A/B/C/D四组分层设计，以“概念巩固—能力提升—拓展探究—中考衔接”为路径，系统覆盖确定圆的条件及外接圆知识，强化数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|过点作圆条件、外心概念、直角/等边三角形外接圆半径|选择/填空/解答题结合，强化概念辨析与基本计算，如外心位置判断、直角三角形半径计算| |B组能力提升|坐标系中圆心确定、已知两点作定半径圆|融入坐标几何，培养几何直观，如利用垂直平分线求圆心坐标| |C组拓展探究|钝角三角形外接圆、复杂三点外接圆|通过方程思想解决半径问题，发展推理能力，如设未知数用勾股定理列方程| |D组中考链接|分类讨论、实际应用|对接中考考点，强化模型意识，如直角三角形边长分类求半径|

苏科版 九年级上册　第3章 圆　3.2 确定圆的条件 课时作业 第3章 圆　3.2 确定圆的条件 （苏科版·九年级上册）课时作业 · 含知识梳理、典型例题、分层作业与详细解析 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 一、学习目标 1．经历探索过一点、两点、三点作圆的过程，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”。 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念。 3．会用尺规作三角形的外接圆，能找到残缺圆形工件的圆心。 4．会计算直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径。 二、知识梳理 知识点1　过点作圆 （1）过一点作圆：可以作无数个圆，圆心可以是除该点以外的任意一点。 （2）过两点作圆：可以作无数个圆，这些圆的圆心都在这两点所连线段的垂直平分线上。 （3）过三点作圆： 　　① 不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个）； 　　② 在同一条直线上的三个点不能作圆。 （4）“确定”的含义是“有且只有”，即存在并且唯一。 知识点2　作过不在同一直线上三点的圆 已知：不在同一条直线上的三点 、、。求作：⊙O，使它经过点 、、。 作法：① 连接 、； 　　　② 分别作线段 、 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 ； 　　　③ 以 为圆心、 为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆。 依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 。 图1　作三角形的外接圆 知识点3　三角形的外接圆与外心 （1）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 （2）外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。 （3）外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 （4）一个三角形有且只有一个外接圆；一个圆有无数个内接三角形。 图2　（1）锐角三角形　　（2）直角三角形　　（3）钝角三角形 知识点4　常见三角形外接圆半径 R （1）直角三角形：（ 为斜边长）。 （2）等边三角形（边长为 ）：。 （3）等腰三角形：外心在底边的高所在直线上，设未知数，利用勾股定理列方程求解。 三、典型例题 例1　下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点 为圆心 B．以 2 cm 长为半径 C．以点 为圆心、5 cm 长为半径 D．经过已知的三个点 【解答】C。A只确定圆心，B只确定半径，都能作无数个圆；D中若三点共线则不能作圆。只有C圆心、半径都确定，故选C。 例2　在Rt△ABC 中，，，，求△ABC 外接圆的半径。 【解答】由勾股定理得 。直角三角形的外心是斜边的中点，所以外接圆半径 。 例3　求边长为 6 的等边三角形的外接圆半径。 【解答】设等边△ABC 的外心为 ，连接 ，作 于 ，则 。 由于等边三角形的外心在各角平分线上，所以 ，于是 。 设 ，则 ，在Rt△OBD 中，，解得 （负值舍去）， ∴ 外接圆半径 。 【点评】边长为 的等边三角形，外接圆半径 ，内切圆半径 ，。 例4　如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 、、，求△ABC 外接圆的圆心坐标和半径。 例4图 【分析】外心到三个顶点的距离相等。设外心 ，列方程组求解；也可以在网格中作两边的垂直平分线找交点。 【解答】设外心 ，由 得 ，化简得 ； 由 得 ，化简得 。 解方程组得 ，，即外心 。半径 。 例5　考古学家发现一块残缺的圆形瓷盘碎片，怎样确定原瓷盘的圆心和半径？ 【解答】在碎片的圆弧上任取三点 、、，连接 、，分别作 、 的垂直平分线，两线的交点 就是原瓷盘的圆心， 的长就是原瓷盘的半径。 【点评】这是“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的实际应用。 例6　已知 、 两点间的距离为 4 cm，经过 、 两点作半径为 3 cm 的圆，这样的圆能作几个？圆心到 的距离是多少？ 【解答】圆心在线段 的垂直平分线上，且到 的距离为 3 cm。设 的中点为 ，圆心为 ，则 cm， （cm）。在 两侧的垂直平分线上各有一个这样的点，所以这样的圆能作 2 个，圆心到 的距离都是 cm。 【点评】过两点作圆，若半径确定：当半径大于两点距离的一半时，可作两个圆；等于一半时，只能作一个圆；小于一半时，不能作圆。 阅读材料　反证法 为什么“经过同一条直线上的三个点不能作圆”？我们可以这样说明： 假设经过同一条直线 上的三点 、、 可以作一个圆，设这个圆的圆心为 ，那么点 既在线段 的垂直平分线 上，又在线段 的垂直平分线 上，即点 为 与 的交点。 而 ，，所以 ， 与 没有交点，这与假设矛盾。所以经过同一条直线上的三个点不能作圆。 这种先假设命题的结论不成立，然后由此推出矛盾，从而说明原命题正确的证明方法叫做反证法。 四、易错警示 1．“三点确定一个圆”是错误的，必须强调“不在同一条直线上”的三点。 2．外心是三边垂直平分线的交点，不要与“三条角平分线的交点”（内心）混淆。 3．已知两边求直角三角形外接圆半径时，要注意已知边是直角边还是斜边，可能需要分类讨论。 4．钝角三角形的外心在三角形外部，列方程时要注意线段的和差关系。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．圆有且只有一个内接三角形 D．三角形的外心到三边的距离相等 2．三角形的外心是（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，则它的外接圆半径为（　　） A．5 B．6 C． D．13 4．若一个三角形的外心在它的外部，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．如图，在平面直角坐标系中，点 、、 都在格点上，则△ABC 外接圆的圆心坐标是（　　） 第5题图 A． B． C． D． 6．平面内有 、、 三点，，，，则过 、、 三点（　　） A．能作一个圆 B．能作两个圆 C．不能作圆 D．能作无数个圆 二、填空题 7．经过一点可以作________个圆；经过两点可以作________个圆，这些圆的圆心都在________上。 8．边长为 2 的等边三角形的外接圆半径为________。 9．在Rt△ABC 中，，，，则它的外接圆面积为________（结果保留 π）。 10．点 是△ABC 的外心，若 ，则 ________°。 11．直角三角形斜边上的中线长为 3，则它的外接圆直径为________。 12．三角形三边长分别为 6、8、10，则它的外心到长为 6 的边的距离为________。 三、解答题 13．如图，、、 是三个村庄，现要修建一座供水站，使供水站到三个村庄的距离相等。请用尺规作图确定供水站的位置（保留作图痕迹，写出作法）。 第13题图 14．如图，在△ABC 中，，，求△ABC 外接圆的半径。 第14题图 15．如图，在平面直角坐标系中， 为原点，点 、，求经过 、、 三点的圆的圆心坐标和半径。 第15题图 B组　能力提升 16．直角三角形的外接圆半径为 5，一条直角边长为 6，则这个直角三角形的面积为（　　） A．24 B．48 C．30 D．12 17．在平面直角坐标系中，点 、，若经过 、 两点的圆的圆心在直线 上，则圆心坐标为________，半径为________。 18．等边三角形 内接于半径为 2 的⊙O，则它的边长为________。 19．如图，一个残缺圆形工件的弧上有三点 、、，测得 cm， cm，求原工件的半径。 第19题图 C组　拓展探究 20．在平面直角坐标系中，已知点 、、，求△ABC 外接圆的圆心坐标和半径。 21．如图，在△ABC 中，，，求△ABC 外接圆的半径，并指出外心的位置。 第21题图 D组　中考链接 22．（期末改编）如图1所示的作图方法，其依据是（　　） A．角平分线上的点到角两边距离相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 C．三角形三条中线交于一点 D．等腰三角形三线合一 23．在△ABC 中，，，，则它的外心与顶点 之间的距离为________。 24．已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，求它的外接圆半径。 【课堂小结】 1．不在同一条直线上的三点确定一个圆；同一直线上的三点不能作圆。 2．外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等；位置随三角形形状而变化。 3．求外接圆半径的常用方法：直角三角形用“斜边的一半”，等腰三角形设未知数用勾股定理列方程，坐标问题用两点间距离公式列方程组。 六、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．B　【解析】A缺少“不在同一条直线上”；一个圆有无数个内接三角形，C错；外心到三个顶点距离相等，D错。 2．D　【解析】外心是三角形三边垂直平分线的交点。 3．C　【解析】斜边为 ，外接圆半径为斜边的一半，即 。 4．C　【解析】钝角三角形的外心在三角形外部。 5．A　【解析】设外心 ，、、。由 、 可解得 ；也可检验：点 到三点的距离都是 。 6．C　【解析】，所以 、、 三点在同一条直线上，不能作圆。 7．无数；无数；这两点所连线段的垂直平分线 8．　【解析】。 9．25π　【解析】 是斜边，外接圆半径 ，面积 。 10．130　【解析】外心到各顶点距离相等，，∴ ，。 11．6　【解析】斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边为 6，外接圆直径等于斜边，为 6。 12．4　【解析】，是直角三角形，外心为斜边中点。斜边中点到长为 6 的直角边的距离等于另一条直角边的一半，即 。 13．作法：① 连接 、；② 分别作线段 、 的垂直平分线，两线交于点 ；点 即为供水站的位置。 理由：点 在 的垂直平分线上，所以 ；点 在 的垂直平分线上，所以 ，故 。（作图略） 14．解：作 于 ，∵ ，∴ ，外心 在 上。 在Rt△ABD 中，。设半径为 ，则 ，。 在Rt△OBD 中，，即 ，解得 。 答：△ABC 外接圆的半径为 。 15．解：∵ ，∴ △AOB 是直角三角形， 为外接圆的直径，圆心为 的中点。 圆心坐标为 ，即 ；，半径为 。 B组　能力提升 16．A　【解析】斜边为 ，另一条直角边为 ，面积为 。 17．；　【解析】圆心在 的垂直平分线 上，又在直线 上，所以圆心为 ，半径 。 18．　【解析】由 得 。 19．解：连接 ，取 中点 ，连接 。∵ ，∴ ，圆心 在直线 上。 ，。设半径为 ，则 ， 在Rt△AOD 中，，解得 。 答：原工件的半径为 cm。 C组　拓展探究 20．解：外心在 的垂直平分线 上，设外心为 。 由 得 ，即 ，解得 。 ∴ 圆心为 ，半径 。 21．解：作 于 。∵ ，，∴ ，，。 △ABC 是钝角三角形，外心 在直线 上且在 的下方（三角形外部）。设 ，则 ， 由 得 ，解得 ，∴ 。 此时 ，△OAB 是等边三角形。外心在△ABC 的外部，位于 边的另一侧，到 的距离为 1。 D组　中考链接 22．B　【解析】作外接圆时，作两边的垂直平分线，依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。 23．　【解析】，外心为 的中点，它到 的距离等于斜边上的中线长 。 24．解：分两种情况：① 若 8 为斜边，则外接圆半径 ；② 若 6 和 8 都是直角边，则斜边为 ，。 ∴ 外接圆半径为 4 或 5。【易错】忽略“8 可能是斜边”这种情况而漏解。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $