3.2确定圆的条件同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 《3.2确定圆的条件》同步练习通过三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-8、填空9-12）|三角形外接圆定义、外心性质、直角三角形外接圆半径|以概念辨析题为主，如判断外心位置及性质，强化抽象能力与几何直观| |中档层（填空13-16）|网格/坐标系中确定外心、动态点与外心关系|结合图形与坐标，如网格中找外心、计算外接圆半径，发展推理意识与空间观念| |提升层（解答17-20）|尺规作图、综合计算（旋转与面积）|通过作图验证（如新月形半径比较）和跨知识综合题，培养创新意识与应用意识|

3.2确定圆的条件 同步练习 一、单选题 1．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 3．的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 4．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 5．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 7．在中，点是的外心，则点（    ） A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点 8．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 10．已知点O是的外心，且，则________． 11．在中，，，，则其外接圆的直径为________． 12．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 13．如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有_____个． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 15．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是______． 16．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 三、解答题 17．如图，在围成新月形的两条弧（和）中，哪一条弧的半径较大？分别作出它们所在的圆，验证你的猜想． 18．尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 19．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)的外接圆的半径为 　 　． (2)将△ABC绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出△A1BC1． (3)连结，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．C 【分析】本题考查三角形的外接圆和圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆和三角形的外心是三边垂直平分线的交点求解即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故一个三角形有且只有一个外接圆，正确； D、一个圆有无数个内接三角形，故错误． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 4．B 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 5．C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 7．B 【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是的外心， ∴点是的三条边的垂直平分线的交点， 即：点到的三个顶点距离相等， 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 9．外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 10．3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【详解】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 11．5 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，勾股定理的运用．根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵直角三角形的外心为斜边中点， ∴的外接圆的直径为5． 故答案为：5． 12．（2，0） 【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）． 【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M， 由中垂线性质有AM=BM=CM， ∵AM=BM=CM， ∴点M为圆心， 由平面直角坐标系可知， 圆心M的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标． 13．4 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质，作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 15． 【分析】连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，先求出OA的长，从而求出EF的长，再推出当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，据此求解即可． 【详解】解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E， 由图可知， ∴， ∴， ∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大， ∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，正确确定出圆心位置是解题的位置． 16． 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 17．的半径较大，作图和验证见解析 【详解】解：的半径较大． 如图，作的垂直平分线交于点C，交于点D，再作的垂直平分线交直线于点，作的垂直平分线交直线于O点，则点为所在圆的圆心，点O为所在圆的圆心， 连接， 因为， 所以的半径较大． 18．详见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】解：如图所示，即为所求； 19．(1) 如图所示，点即为所求． (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据网格的特点，勾股定理求得的长，进而即可求解． （2）利用旋转变换的性质作出的对应点即可； （3）把四边形的面积看成矩形的面积减去两个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，， ∴， ∴的外接圆的半径为； （2）如图，为所作； （3） 四边形的面积． 【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆半径，勾股定理与网格，画旋转图形，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $