3.2 同步作业2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本初中数学同步练以双卷结构实现防抄袭设计，兼顾分层作业与题型练习，通过基础巩固与适度提升的梯度设计，培养学生抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（概念理解、基础运算）|基础题型对应核心考点，强化数学眼光中的抽象能力| |提升层|综合应用（跨知识点整合、情境问题）|差异题设计（换数据、调选项），培养运算能力与模型意识|

九年级上 3.2 确定圆的条件　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 10 题、第 19 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．B．10 2．A．三角形 3．A．点D 4．B．点E 5．B．△AEB的外心 6．C．m＝14，n＝﹣2 7．（1，4）或（6，5） 8． 9． cm 【异】10． 【甲】 【乙】 7.5 11．或6 12．B．只与AB的长有关 13．C．点F 14．C．点F 15．B． 16．D．△BCE 17．25π 18．B．32或8 【异】19． 【甲】 或 【乙】 2.5或2 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层　【来源：2026•南京一模】 【解答】 A．5 B．10 C．4 D．3 　　∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°， 　　∴， 　　∴这个三角形的外接圆的直径是10， 　　答：B．10 第 2 题　基础层　【来源：2025•南京】 【解答】 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 　　根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补， 　　∴只有矩形、等腰梯形有外接圆， 　　∵三角形都有外接圆． 　　答：A．三角形 第 3 题　基础层　【来源：2025•江都区月考】 【解答】 A．点D B．点E C．点F D．点G 　　如图所示： 　　∴△ABC的外心是点D， 　　答：A．点D 第 4 题　基础层　【来源：2025•迁安市期中】 【解答】 A．点D B．点E C．点F D．点G 　　如图，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，连接AE、BE、CE， 　　由勾股定理得：，，， 　　∴AE＝BE＝CE， 　　∴△ABC的外心是点E， 　　答：B．点E 第 5 题　基础层　【来源：2025•栾城区校级期中】 【解答】 A．△AED的外心 B．△AEB的外心 C．△ACD的外心 D．△BCD的外心 　　连接OB、OD、OA， 　　∵O为锐角三角形ABC的外心， 　　∴OA＝OC＝OA， 　　∵四边形OCDE为正方形， 　　∴OA＝OC＜OD， 　　∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， 　　A、OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，故本选项不符合题意； 　　B、OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，故本选项符合题意； 　　C、OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意； 　　D、OB＝OC≠OD，即O不是△BCD的外心，故本选项不符合题意； 　　答：B．△AEB的外心 第 6 题　基础层　【来源：2025•长安区校级期中】 【解答】 A．m＝12，n＝﹣6 B．m＝10，n＝﹣4 C．m＝14，n＝﹣2 D．m＝12，n＝﹣8 　　∵在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（4，6），（m，6），（4，n），且△ABC外接圆的圆心坐标为（9，2）， 　　∴，， 　　∴m＝14，n＝﹣2， 　　答：C．m＝14，n＝﹣2 第 7 题　基础层　【来源：2025•经济技术开发区期末】 【解答】 　　如图，点P是钝角△ABC的外心，则PA＝PB＝PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆， 　　∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数， 　　∴点C为圆P与格点的交点， 　　∵△ABC为钝角三角形， 　　∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5）， 第 8 题　基础层　【来源：2025•房山区期末】 【解答】 　　如图，作AB的垂直平分线、BC的垂直平分线交于点D，连接AD、BD、CD， 　　∵AD＝BD＝CD， 　　∴点D是△ABC的外接圆的圆心，AD是该圆的半径， 　　设AB的垂直平分线交AB于点E，则∠AED＝90°， 　　∵A（1，4），D（2，1），E（2，4）， 　　∴AE＝2﹣1＝1，DE＝4﹣1＝3， 　　∴AD， 　　∴△ABC的外接圆的半径为， 第 9 题　基础层　【来源：2025•新余二模】 【解答】 　　∵△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm， 　　∴＝+， 　　∴该三角形为直角三角形， 　　∴它的外接圆的半径＝斜边上的中线 cm， 　　答： cm 第 10 题　基础层　【来源：2025•盱眙县期中】 【解答】 【甲卷】 题干：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是 ___ ． 在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵直角三角形的外心为斜边中点， ∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半13， 答： 【乙卷】 题干：已知中，，，，则的外接圆半径是　 　 ． 在中，，，， ， 因为直角三角形的外心为斜边中点， 的外接圆的半径为斜边长的一半， 故答案为：． 第 11 题　基础层　【来源：2025•安吉县期中】 【解答】 　　分为两种情况：①当斜边是12cm时，直角三角形的外接圆的半径是12＝6； 　　②当两直角边是5cm和12cm时，由勾股定理得：斜边为13， 　　直角三角形的外接圆的半径是13； 　　故答案为或6． 第 12 题　提升层　【来源：2025•太和县期中】 【解答】 A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关 C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关 　　如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，作点B作BG⊥CE于点G， 　　∴AC＝AE，∠CAE＝90°， 　　∴∠ACE＝∠AEC＝45°，CE是直径， 　　∴四边形ACBE的面积为+， 　　∵AF⊥CE， 　　∴点F，O重合， 　　∴， 　　∴E{2}$， 　　∵CE是直径，是定值， 　　∴的值是定值， 　　∵CE是直径，且BG⊥CE， 　　∴∠CBE＝90°， 　　∴， 　　∴的面积与BC•BE的乘积有关，或与BG的长有关， 　　∴当点B的位置变换，即线段AB的长改变，则BG的长改变，随之改变， 　　∴四边形ACBE的面积改变， 　　∴四边形ACBE的面积只与AB的长有关， 　　答：B．只与AB的长有关 第 13 题　提升层　【来源：2025•河北模拟】 【解答】 A．点D B．点E C．点F D．点G 　　由图可知，， 　　∴FA＝FB＝FC， 　　∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， 　　∴点F是△ABC外心， 　　答：C．点F 第 14 题　提升层　【来源：2024•保定期中】 【解答】 A．点D B．点E C．点F D．点G 　　点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，如图，作线段AC和线段BC的垂直平分线， 　　由图可知点F是线段AC和线段BC的垂直平分线交点， 　　∴点F是△ABC的外心． 　　答：C．点F 第 15 题　提升层　【来源：2025•宿迁校级月考】 【解答】 A． B． C． D． 　　如图，连接AC，BD，交于点O′， 　　∵四边形ABCD是矩形，BC＝8，AB＝6， 　　∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，O′A＝O′C＝O′B＝O′D，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， 　　∴点O′在△PAD的AD边的垂直平分线上， 　　当点P与点B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心为点O′， 　　当点P为BC的中点，即PB＝PC时， 　　连接PO′，并延长交AD于点E，设此时△PAD的外接圆的圆心为点O，则OP＝OD， 　　在△ABP和△DCP中， 　　， 　　∴△ABP≌△DCP（SAS）， 　　∴PA＝PD， 　　∴此时点P在△PAD的AD边的垂直平分线上， 　　∴PE垂直平分AD， 　　∵△PAD的外接圆的圆心一定在AD边的垂直平分线上， 　　∴点O一定在PE上， 　　∴点P从点B运动到点C，△PAD的外接圆的圆心运动的路径是从点O′运动到点O，再从点O运动到点O′，其路径长是2OO′， 　　在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8， 　　∴， 　　∴O′D＝5， 　　又∵PE垂直平分AD， 　　∴， 　　∴， 　　∵PE垂直平分AD，∠BAD＝∠ABC＝90°， 　　∴四边形ABPE是矩形， 　　∴PE＝AB＝6， 　　设OE＝x，则OD＝OP＝PE﹣OE＝6﹣x， 　　在Rt△DOE中，E{2}D＝D{2}x{2}4{2}）{2}$， 　　解得， 　　∴， 　　即点P从点B运动到点C，△PAD的外接圆的圆心运动的路径长为， 　　答：B． 第 16 题　提升层　【来源：2024•龙口市一模】 【解答】 A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 　　由勾股定理得：PC＝PE＝PB， 　　∴P到B、C、E的距离相等， 　　∴P是△BCE的外心． 　　答：D．△BCE 第 17 题　提升层　【来源：2025•同步】 【解答】 　　连接OB，OC， 　　因为AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， 　　所以AD是BC的垂直平分线， 　　所以OB＝OC， 　　因为EF是AC的垂直平分线， 　　所以OA＝OC， 　　所以OA＝OB＝OC， 　　所以△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA， 　　所以△ABC外接圆的面积＝π×＝25π， 第 18 题　提升层　【来源：2024•上城区校级月考】 【解答】 A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 　　连接OB交AC于D，连接OC， 　　∵圆O是等腰三角形的外接圆，O是外心， 　　∴BD⊥AC，AD＝DC＝4，有两种情况： 　　（1）如图（1）：OC＝5，由勾股定理得：OD3， 　　即：BD＝3+5＝8， 　　∴AC•BD8×8＝32； 　　（2）如图（2）：同法可求OD＝3， 　　BD＝5﹣3＝2， 　　∴AC•BD8×2＝8； 　　答：B．32或8 第 19 题　提升层　【来源：2025•姜堰区校级月考】 【解答】 【甲卷】 题干：方程﹣9x+20＝0的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ___ ． ∵﹣9x+20＝0， 解得＝4，＝5． ∵方程﹣9x+20＝0的两个根分别是直角三角形两边边长， 当4，5是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当5是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 答：或 【乙卷】 题干：方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为　 　 ． 解方程，得，． 因为方程的两个根分别是直角三角形的两边边长， 当，是两直角边长时，斜边，外接圆半径； 当是斜边边长时，另一条直角边长，外接圆半径； 故答案为：或． 答：2.5或2 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.2 确定圆的条件　同步作业 九年级上 3.2 确定圆的条件　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　直角三角形的外接圆·直径求法 1 题型二　多边形的外接圆·存在性判断 2 题型三　三角形外心·网格定位 3–4 题型四　外心与正方形·性质探究 5 题型五　坐标平面内外接圆圆心 6 题型六　坐标内外心·格点求解 7 题型七　坐标内外接圆半径 8 题型八　直角三角形外接圆半径 9–10 题型九　直角三角形外接圆半径·分类讨论 11 提升练习 · 分层题型目录 题型一　圆内接三角形·旋转与面积 12 题型二　三角形外心·网格定位 13–14 题型三　动点外接圆·圆心轨迹 15 题型四　三角形外心·格点判定 16 题型五　垂直平分线性质·确定外心 17 题型六　圆内接等腰三角形·面积分类 18 题型七　一元二次方程与外接圆·半径求解 19 基础练习 题型一　直角三角形的外接圆·直径求法 1．【A】【来源：2026•南京一模】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是（ ___ ） A．5 B．10 C．4 D．3 题型二　多边形的外接圆·存在性判断 2．【A】【来源：2025•南京】下列图形中，一定有外接圆的是（ ___ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型三　三角形外心·网格定位 3．【A】【来源：2025•江都区月考】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上．则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．【A】【来源：2025•迁安市期中】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型四　外心与正方形·性质探究 5．【A】【来源：2025•栾城区校级期中】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（ ___ ） A．△AED的外心 B．△AEB的外心 C．△ACD的外心 D．△BCD的外心 题型五　坐标平面内外接圆圆心 6．【A】【来源：2025•长安区校级期中】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（4，6），（m，6），（4，n），若△ABC外接圆的圆心坐标为（9，2），则m和n的值为（ ___ ） A．m＝12，n＝﹣6 B．m＝10，n＝﹣4 C．m＝14，n＝﹣2 D．m＝12，n＝﹣8 题型六　坐标内外心·格点求解 7．【A】【来源：2025•经济技术开发区期末】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角△ABC的外心，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ___ ． 题型七　坐标内外接圆半径 8．【A】【来源：2025•房山区期末】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，4），C（5，2），则△ABC的外接圆的半径为 ___ ． 题型八　直角三角形外接圆半径 9．【A】【来源：2025•新余二模】已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ ___ ． 10．【A】【来源：2025•盱眙县期中】已知中，，，，则的外接圆半径是　 　 ． 题型九　直角三角形外接圆半径·分类讨论 11．【A】【来源：2025•安吉县期中】直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是 ___ ． 提升练习 题型一　圆内接三角形·旋转与面积 12．【B】【来源：2025•太和县期中】如图，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接BE，则四边形ACBE的面积（ ___ ） A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关 C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关 题型二　三角形外心·网格定位 13．【B】【来源：2025•河北模拟】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 14．【B】【来源：2024•保定期中】如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型三　动点外接圆·圆心轨迹 15．【B】【来源：2025•宿迁校级月考】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为矩形的边BC上的一动点，点P从点B运动到点C，△PAD的外接圆的圆心运动的路径长为（ ___ ） A． B． C． D． 题型四　三角形外心·格点判定 16．【B】【来源：2024•龙口市一模】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ___ ） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 题型五　垂直平分线性质·确定外心 17．【B】【来源：2025•同步】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝5，则△ABC外接圆的面积为 ___ ． 题型六　圆内接等腰三角形·面积分类 18．【B】【来源：2024•上城区校级月考】已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是（ ___ ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 题型七　一元二次方程与外接圆·半径求解 19．【B】【来源：2025•姜堰区校级月考】方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.2 确定圆的条件　同步作业 九年级上 3.2 确定圆的条件　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　直角三角形的外接圆·直径求法 1 题型二　多边形的外接圆·存在性判断 2 题型三　三角形外心·网格定位 3–4 题型四　外心与正方形·性质探究 5 题型五　坐标平面内外接圆圆心 6 题型六　坐标内外心·格点求解 7 题型七　坐标内外接圆半径 8 题型八　直角三角形外接圆半径 9–10 题型九　直角三角形外接圆半径·分类讨论 11 提升练习 · 分层题型目录 题型一　圆内接三角形·旋转与面积 12 题型二　三角形外心·网格定位 13–14 题型三　动点外接圆·圆心轨迹 15 题型四　三角形外心·格点判定 16 题型五　垂直平分线性质·确定外心 17 题型六　圆内接等腰三角形·面积分类 18 题型七　一元二次方程与外接圆·半径求解 19 基础练习 题型一　直角三角形的外接圆·直径求法 1．【A】【来源：2026•南京一模】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是（ ___ ） A．5 B．10 C．4 D．3 题型二　多边形的外接圆·存在性判断 2．【A】【来源：2025•南京】下列图形中，一定有外接圆的是（ ___ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型三　三角形外心·网格定位 3．【A】【来源：2025•江都区月考】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上．则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．【A】【来源：2025•迁安市期中】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型四　外心与正方形·性质探究 5．【A】【来源：2025•栾城区校级期中】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心（ ___ ） A．△AED的外心 B．△AEB的外心 C．△ACD的外心 D．△BCD的外心 题型五　坐标平面内外接圆圆心 6．【A】【来源：2025•长安区校级期中】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（4，6），（m，6），（4，n），若△ABC外接圆的圆心坐标为（9，2），则m和n的值为（ ___ ） A．m＝12，n＝﹣6 B．m＝10，n＝﹣4 C．m＝14，n＝﹣2 D．m＝12，n＝﹣8 题型六　坐标内外心·格点求解 7．【A】【来源：2025•经济技术开发区期末】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角△ABC的外心，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ___ ． 题型七　坐标内外接圆半径 8．【A】【来源：2025•房山区期末】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，4），C（5，2），则△ABC的外接圆的半径为 ___ ． 题型八　直角三角形外接圆半径 9．【A】【来源：2025•新余二模】已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ ___ ． 10．【A】【来源：2025•盱眙县期中】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是 ___ ． 题型九　直角三角形外接圆半径·分类讨论 11．【A】【来源：2025•安吉县期中】直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是 ___ ． 提升练习 题型一　圆内接三角形·旋转与面积 12．【B】【来源：2025•太和县期中】如图，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C的对应点E在⊙O上，连接BE，则四边形ACBE的面积（ ___ ） A．只与AC的长有关 B．只与AB的长有关 C．只与BC的长有关 D．只与BE的长有关 题型二　三角形外心·网格定位 13．【B】【来源：2025•河北模拟】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 14．【B】【来源：2024•保定期中】如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则△ABC的外心是（ ___ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型三　动点外接圆·圆心轨迹 15．【B】【来源：2025•宿迁校级月考】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为矩形的边BC上的一动点，点P从点B运动到点C，△PAD的外接圆的圆心运动的路径长为（ ___ ） A． B． C． D． 题型四　三角形外心·格点判定 16．【B】【来源：2024•龙口市一模】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ___ ） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 题型五　垂直平分线性质·确定外心 17．【B】【来源：2025•同步】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝5，则△ABC外接圆的面积为 ___ ． 题型六　圆内接等腰三角形·面积分类 18．【B】【来源：2024•上城区校级月考】已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是（ ___ ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 题型七　一元二次方程与外接圆·半径求解 19．【B】【来源：2025•姜堰区校级月考】方程﹣9x+20＝0的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ___ ． 学科网（北京）股份有限公司 $