3.1 圆的相关概念 学案 2026-2027学年苏科版数学 九年级上册

该初中数学导学案聚焦苏科版九年级上册“圆的相关概念”，涵盖圆的两种定义、弦、直径、弧等核心知识点。通过实际情境抽象圆的过程导入，结合知识梳理表格、示意图及典型例题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 资料设计分层作业（基础巩固、能力提升等）、易错警示及详细解析，注重“连半径得等腰”等学科方法指导。能培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，助力自主学习，便于教师评估，提升课堂效率与学生数学素养。

苏科版 九年级上册　第3章 圆　3.1 圆的相关概念 课时作业 第3章 圆　3.1 圆的相关概念 （苏科版·九年级上册）课时作业 · 含知识梳理、典型例题、分层作业与详细解析 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 一、学习目标 1．经历从实际情境中抽象出圆的过程，理解圆的两种定义（描述性定义和集合定义）。 2．理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、同心圆等概念，能正确识别和表示。 3．会利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，解决简单的角度计算与说理问题。 4．会用“到定点距离等于定长”判断若干点在同一个圆上。 二、知识梳理 知识点1　圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆。固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径。以点 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 （2）集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点就是圆心，定长就是半径。 （3）确定一个圆需要两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 （4）圆的周长 ，圆的面积 （ 为半径）。 图1　圆的相关概念示意图 知识点2　弦与直径 （1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图1中，、 都是弦。 （2）经过圆心的弦叫做直径。如图1中， 是直径。 （3）直径是圆中最长的弦；直径等于半径的2倍，即 。 （4）注意：直径一定是弦，但弦不一定是直径；半径是线段 这样一端在圆心的线段，它不是弦。 知识点3　弧、半圆、优弧、劣弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以 、 为端点的弧记作“弧AB”（书写时在 上方加弧线符号⌒），读作“弧AB”。 （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如“弧ACB”；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如“弧AC”。 （4）半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是优弧，也不是劣弧。 知识点4　等圆、等弧、同心圆 （1）能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。 （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 （3）圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。 （4）特别提醒：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须在“同圆或等圆”中才能谈论。 三、典型例题 例1　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧；（4）弧是半圆；（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）半径相等的两个圆是等圆。 【解答】（1）正确，直径是经过圆心的弦；（2）错误，不经过圆心的弦不是直径；（3）正确，半圆是弧的一种；（4）错误，弧还有优弧、劣弧；（5）错误，等弧必须在同圆或等圆中能够互相重合，不同圆中长度相等的弧弯曲程度不同，不能重合；（6）正确，半径相等的两个圆能够完全重合。 【点评】判断概念题要紧扣定义中的关键词，如“经过圆心”“能够重合”“同圆或等圆”等。 例2　如图，、 是⊙O 的直径，连接 。 例2图 （1）写出图中所有的弦；（2）写出图中以点 为端点的劣弧；（3）写出图中所有的半径。 【解答】（1）弦有：、、，共3条； （2）以 为端点的劣弧有：弧AC、弧AD（弧AB 是半圆，不是劣弧）； （3）半径有：、、、。 例3　在⊙O 中，弦 与半径 的夹角 ，求 的度数。 【分析】、 都是半径，所以 ，△OAB 是等腰三角形。 【解答】∵ ，∴ ，∴ 。 【点评】“连半径，得等腰”是圆中求角的基本方法。 例4　如图， 是⊙O 的直径，点 在 的延长线上， 交⊙O 于点 、，且 ，，求 的度数。 例4图 【分析】，得等腰△DEO；再由 得等腰△EOC，利用三角形外角性质逐步推导。 【解答】连接 、。∵ ，，∴ ，∴ ， ∴ （三角形外角性质）。 ∵ ，∴ ， ∴ （△DOC 的外角）。 【点评】本题的结论是 ，这是一个常见的基本图形，要记住推导过程。 例5　如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，，。求证：点 、、、 在以 为圆心的同一个圆上，并求出这个圆的半径。 例5图 【证明】∵ 四边形 是矩形，∴ ，，， ∴ ，即点 、、、 到定点 的距离相等， ∴ 点 、、、 在以 为圆心、 为半径的圆上。 在Rt△ABC 中，，∴ 半径 。 【点评】证明多点共圆，就是找一个点，证明它到这些点的距离都相等（圆的集合定义）。 四、易错警示 1．误认为“长度相等的弧是等弧”。等弧的前提是“在同圆或等圆中”。 2．误认为“过圆心的线段是直径”。直径必须是弦，两个端点都要在圆上。 3．比较优弧、劣弧大小时忽略“同圆或等圆”，不同圆中的优弧不一定比劣弧长。 4．书写不规范：优弧必须用三个字母表示，如“弧ACB”，否则会产生歧义。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 2．已知⊙O 中最长的弦长为 8 cm，则⊙O 的半径是（　　） A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm 3．下列说法中，错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个圆是等圆 C．面积相等的两个圆是等圆 D．优弧一定大于劣弧 4．如图，点 、、、 都在⊙O 上， 过圆心 ，则图中弦的条数为（　　） 第4题图 A．1 B．2 C．3 D．4 5．平面内到定点 的距离等于 3 cm 的所有点组成的图形是（　　） A．以 为圆心、3 cm 为半径的圆 B．以 为圆心、6 cm 为半径的圆 C．以 为圆心、3 cm 为直径的圆 D．一条长 3 cm 的线段 6．半径为 2 的圆的周长与面积之比是（　　） A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶4 二、填空题 7．以点 为圆心可以画________个圆；以已知线段 为直径可以画________个圆。 8．⊙O 的半径为 3 cm，则⊙O 中最长的弦长为________cm。 9．如图， 是⊙O 的直径，点 在⊙O 上，，则 ________°。 第9题图 10．在⊙O 中，弦 的长恰好等于半径，则△OAB 是________三角形，________°。 11．一个圆的周长为 cm，则它的半径为________cm，面积为________cm²。 12．⊙O 上有 、、 三个点，以其中两点为端点的弧共有________条。 三、解答题 13．如图，、 是⊙O 的两条直径，连接 、。求证：。 第13题图 14．如图，、 是⊙O 的两条半径，点 、 分别在 、 上，且 。求证：。 第14题图 B组　能力提升 15．如图， 是⊙O 的直径，点 在 的延长线上， 交⊙O 于点 、，且 。若 ，则 的度数为（　　） 第15题图 A．20° B．25° C．30° D．35° 16．已知⊙O 中有一条长为 6 的弦 ，则⊙O 的半径 的取值范围是________。 17．如图，点 、、 在⊙O 上，，，则 ________°。 第17题图 18．如图，点 、、 在⊙O 上，四边形 是菱形，求 的度数。 第18题图 19．如图，在锐角△ABC 中，、 分别是 、 边上的高，点 是 的中点。求证：、、、 四点在同一个圆上。 第19题图 C组　拓展探究 20．在平面直角坐标系中，以原点 为圆心、5 为半径画⊙O，则⊙O 上横坐标和纵坐标都是整数的点共有多少个？请写出这些点的坐标。 21．如图，两个同心圆的圆心为 ，大圆的半径 、 分别交小圆于点 、。求证：。 第21题图 D组　中考链接 22．（期末改编）已知 、 是⊙O 上的两点，，则 的度数为（　　） A．35° B．70° C．110° D．145° 23．（生活应用）一个圆形花坛的直径为 20 m，现在花坛外围修一条宽 1 m 的环形小路，求小路的面积（结果保留 π）。 24．在Rt△ABC 中，，，，点 是斜边 的中点。以点 为圆心、 为半径画圆，判断点 是否在这个圆上，并说明理由。 【课堂小结】 1．圆的两种定义：描述性定义（旋转）与集合定义（到定点距离等于定长）。 2．圆中的基本元素：圆心、半径、弦、直径、弧（半圆、优弧、劣弧）。 3．三组易混概念：弦与直径、弧与半圆、等弧与长度相等的弧。 4．基本方法：“见半径，想等腰”；证明多点共圆，就是证明这些点到某一定点的距离相等。 六、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．B　【解析】弦不一定是直径，A错；半圆是弧，B正确；过圆心的线段两端不一定都在圆上，不一定是直径，C错；等弧必须在同圆或等圆中，D错。 2．B　【解析】圆中最长的弦是直径，直径为 8 cm，所以半径为 4 cm。 3．D　【解析】只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧；不同的圆中，小圆的优弧可能比大圆的劣弧短。面积相等则半径相等，所以C正确。 4．C　【解析】图中的弦有 、、，共3条； 是半径，不是弦。 5．A　【解析】由圆的集合定义可知，到定点距离等于定长的所有点组成以定点为圆心、定长为半径的圆。 6．A　【解析】周长 ，面积 ，所以周长与面积（数值）之比为 1∶1。 7．无数；1　【解析】只确定圆心而半径不确定，可画无数个圆；以 为直径，圆心为 中点，半径为 ，圆心和半径都确定，只能画1个圆。 8．6　【解析】最长的弦是直径， cm。 9．25　【解析】∵ ，∴ 。又 ，∴ 。 10．等边；60　【解析】，所以△OAB 是等边三角形，。 11．5；25π　【解析】由 得 ，面积 （cm²）。 12．6　【解析】每两个点把圆分成两条弧（一条优弧、一条劣弧），三个点共有 、、 三组，所以共有 条弧。 13．证明：∵ 、 是⊙O 的直径，∴ 。 在△AOC 和△BOD 中，，（对顶角相等），， ∴ △AOC≌△BOD（SAS），∴ 。 14．证明：∵ ，，∴ ，即 。 在△AOD 和△BOC 中，，（公共角），， ∴ △AOD≌△BOC（SAS），∴ 。 B组　能力提升 15．B　【解析】连接 。由 得 ，∴ ；由 得 ；，∴ 。 16．　【解析】弦长不超过直径，即 ，所以 。当 恰好是直径时，。 17．50　【解析】连接 。∵ ，∴ ；∵ ，∴ 。∴ 。 18．解：连接 。∵ 四边形 是菱形，∴ 。 又 （同圆半径），∴ ，△OAB 是等边三角形，∴ 。 同理，△OBC 是等边三角形，。∴ 。 19．证明：连接 、。∵ ，∴ △BDC 是直角三角形， 是斜边 的中点， ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。同理 。 又 ，∴ ， ∴ 、、、 四点在以 为圆心、 为半径的圆上。 C组　拓展探究 20．12个。【解析】设点 在⊙O 上，则 ，且 、 为整数。 由 可得满足条件的点为：、、、、、、、、、、、，共12个。 21．证明：∵ （大圆半径），∴ ； ∵ （小圆半径），∴ 。 ∴ ，∴ （同位角相等，两直线平行）。 D组　中考链接 22．C　【解析】∵ ，∴ ，∴ 。 23．解：花坛半径为 10 m，小路外圆半径为 （m）， 小路面积 （m²）。答：小路的面积为 m²。 24．解：点 在这个圆上。理由如下： 在Rt△ABC 中，，∴ 。 ∵ 是Rt△ABC 斜边上的中线，∴ ，即 ， ∴ 点 到圆心 的距离等于半径，点 在⊙D 上。 【方法总结】圆中出现两条半径时，常利用“半径相等”得到等腰三角形，再结合全等或平行线的判定解决问题。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $