第二十五章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级上册人教版数学一元二次方程单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖方程定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，融合绿色低碳、几何情境等真实素材，适配单元学情检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|方程定义（第1题）、根的判别式（第3题）|新定义运算（第10题）考查建模能力| |填空题|5题15分|因式分解法（第11题）、勾股定理结合（第14题）|规律探究（第15题）培养抽象思维| |解答题（一）|3题24分|配方法（第16题）、化简求值（第18题）|基础运算强化推理意识| |解答题（二）|3题27分|根的性质证明（第19题）、最值问题（第20题）|矩形面积问题（第21题）体现模型意识| |解答题（三）|2题24分|增长率应用（第22题）、换元法（第23题）|跨知识整合（材料阅读题）提升创新思维|

一元二次方程 单元测试卷2026学年九年级上册人教版数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．﹣3 2．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2+4x＝10 B．3x2+8x﹣3＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝12 4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 5．若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 6．若关于x的一元二次方程x2+x+k2﹣4＝0的一个根是x＝0，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 7．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　） A．3 B．﹣10 C．0 D．10 8．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 9．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A．6个 B．8个 C．9个 D．12个 10．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 二、填空题（每题3分，共15分） 11．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根为　 　． 12．已知关于x的方程x2+mx﹣m+1＝0的一个根为2，则另一个根是　 　． 13．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m0有实数根，则实数m的取值范围是　 　． 14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为　 　． 15．如图，每个正方形由边长为1的正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝　 　时，P2＝5P1． 三、解答题（一）（每题8分，共24分） 16．解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 17．解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14． 18．先化简，再求值：（1），其中x2+2x﹣15＝0． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19．关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣5＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 20．阅读以下材料： 将代数式x2+2x+3进行如下变形： x2+2x+3＝x2+2x+12﹣12+3＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， ∴当（x+1）2＝0时，x2+2x+3存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： （1）； （2）求代数式﹣x2﹣10x+2的最值． 21．如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝am，AD＝bm，面积为Sm2．现将边AB增加1m． （1）如图（1），若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，求b的值； （2）如图（2），若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2Sm2，求S的值． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 23．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足2m2﹣m﹣3＝0，2n2﹣n﹣3＝0，且m≠n，显然m，n是方程2x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，∴． 根据上述材料，解决以下问题： （1）【直接应用】解方程：x4﹣5x2+6＝0； （2）【间接应用】已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值； （3）【拓展应用】已知实数x，y满足：，n2﹣n＝7且n＞0，求的值． 一元二次方程 单元测试卷2026学年九年级上册人教版数学 参考答案与试题解析 一、选择题 1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．﹣3 【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5， （m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0， 由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 2．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴k2﹣2＝2且2+k≠0， ∴k2＝4且k≠﹣2， ∴k＝±2且k≠﹣2， ∴k＝2． 故选：A． 3．下列方程没有实数根的是（　　） A．x2+4x＝10 B．3x2+8x﹣3＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝12 【解答】解：A、方程变形为：x2+4x﹣10＝0，Δ＝42﹣4×1×（﹣10）＝56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； B、Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意； C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意； D、方程变形为：x2﹣5x﹣6＝0，Δ＝52﹣4×1×（﹣6）＝49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x， 则x2+2x+1，即（x+1）2， ∴a＝1，b， ∴a+b． 故选：B． 5．若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 【解答】解：∵a2+3a﹣4＝0， ∴a2+3a＝4， ∴2a2+6a﹣3 ＝2（a2+3a）﹣3 ＝2×4﹣3 ＝5， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程x2+x+k2﹣4＝0的一个根是x＝0，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【解答】解：由条件得：k2﹣4＝0， 解得，k＝±2， 故选：C． 7．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　） A．3 B．﹣10 C．0 D．10 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根， ∴mn＝﹣5， ∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根， ∴m2+2m﹣5＝0， ∴m2+2m＝5， ∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0． 故选：C． 8．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0， 分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 可得x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得：x＝4或x＝6， ∴菱形两对角线长为4和6， 则这个菱形的面积为4×6＝12； 法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根， ∴ab＝24， 则这个菱形的面积为ab＝12． 故选：C． 9．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A．6个 B．8个 C．9个 D．12个 【解答】解：设有x个队参赛， 根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36， 解得：x＝9或x＝﹣8（舍去）， 故选：C． 10．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k， 即x2﹣x﹣k＝0， ∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0， 解得：， 故选：A． 二、填空题 11．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根为x1＝3，x2＝2　 ． 【解答】解：由题知， （x﹣2）2＝x﹣2， （x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝3，x2＝2． 故答案为：x1＝3，x2＝2． 12．已知关于x的方程x2+mx﹣m+1＝0的一个根为2，则另一个根是x＝3　 ． 【解答】解：设另一根为x1，则4+2m﹣m+1＝0， 解得m＝﹣5， ∴x2﹣5x+6＝0， ∵x1+2＝5， ∴x1＝3． 故答案为：x＝3． 13．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m0有实数根，则实数m的取值范围是m　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（m）＝16﹣8m+12≥0， 解得：m， 故答案为：m． 14．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为　　 ． 【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长 设斜边为c， ∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0 即（c2﹣3）（c2+4）＝0， ∵c2+4≠0， ∴c2﹣3＝0， 解得c或c（舍去）． 则直角三角形的斜边长为． 故答案为： 15．如图，每个正方形由边长为1的正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝　12　 时，P2＝5P1． 【解答】解：观察图形可知： 1，5，9，13，…，则（奇数）2n﹣1； 4，8，12，16，…，则（偶数）2n． 由上可知n为偶数时P1＝2n，白色与黑色的总数为n2， ∴P2＝n2﹣2n， 根据题意假设存在，则n2﹣2n＝5×2n， n2﹣12n＝0， 解得n＝12，n＝0（不合题意舍去）． 故存在偶数n＝12，使得P2＝5P1． 故答案为：12． 三、解答题（一） 16．解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 17．解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14． 【解答】解：据题意得： 3x2+9x+2x+6＝x+14 3x2+10x﹣8＝0 ∴（3x﹣2）（x+4）＝0 ∴x1，x2＝﹣4 18．先化简，再求值：（1），其中x2+2x﹣15＝0． 【解答】解：原式• ， ∵x2+2x﹣15＝0， ∴x2+2x＝15， ∴原式． 四、解答题（二） 19．关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣5＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：由条件可得：22+2k+k﹣5＝0， 解得：． （2）证明：∵Δ＝k2﹣4（k﹣5）＝（k﹣2）2+16， ∴（k﹣2）2+16＞0，即Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣5＝0总有两个不相等的实数根． 20．阅读以下材料： 将代数式x2+2x+3进行如下变形： x2+2x+3＝x2+2x+12﹣12+3＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， ∴当（x+1）2＝0时，x2+2x+3存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： （1）； （2）求代数式﹣x2﹣10x+2的最值． 【解答】解：（1）原方程变形可得：x2+6x+9＝（x+3）2， 故答案为：9；3； （2）∵﹣x2﹣10x+2＝﹣（x2+10x+25）+25+2＝﹣（x+5）2+27， 又∵﹣（x+5）2≤0， ∴﹣（x+5）2+27≤27， ∴当x＝﹣5时，﹣x2﹣10x+2有最大值，最大值为27． 21．如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝am，AD＝bm，面积为Sm2．现将边AB增加1m． （1）如图（1），若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，求b的值． （2）如图（2），若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2Sm2，求S的值． 【解答】解：（1）原长方形的面积为S＝ab（m2），变化后矩形的面积为（a+1）（b﹣1）（m2）， ∵a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变， ∴（5+1）（b﹣1）＝5b， 解得：b＝6． 答：b的值为6． （2）原长方形的面积为S＝ab（m2），变化后矩形的面积为（a+1）（b+2）（m2）， ∴2S＝（a+1）（b+2），， ∴， ∴， ∴2a2+（2﹣S）a+S＝0， 由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝（2﹣S）2﹣8S＝0， ∴S2﹣12S+4＝0， 解得，（舍去）， ∴S的值为． 五、解答题（三） 22．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨， 依题意得：x+2x﹣100＝800， 解得：x＝300， ∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500． 答：4月份再生纸的产量为500吨． （2）依题意得：1000（1%）×500（1+m%）＝660000， 整理得：m2+300m﹣6400＝0， 解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）． 答：m的值为20． （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨， 依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a， ∴1200（1+y）2＝1500． 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 23．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足2m2﹣m﹣3＝0，2n2﹣n﹣3＝0，且m≠n，显然m，n是方程2x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，∴． 根据上述材料，解决以下问题： （1）【直接应用】解方程：x4﹣5x2+6＝0； （2）【间接应用】已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0，且a≠b，求a4+b4的值； （3）【拓展应用】已知实数x，y满足：，n2﹣n＝7且n＞0，求的值． 【解答】解：（1）类比材料中方法可令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或x2＝3， ∴，，，． （2）由条件可知a2≠b2或a2＝b2（a＝﹣b）． ①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n， ∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时． ②当a2＝b2（a＝﹣b）时，， 此时， 综上：或． （3）令，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0， ∵n＞0， ∴，即a≠b， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $