第15章 轴对称 .综合与实践 最短路径问题 课后练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础认知到综合应用，覆盖最短路径问题核心知识点，通过题型进阶培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|基本模型、对称性质|选择题直接考查“将军饮马”作法与依据，填空题强化对称点连线性质| |技能应用|作图与推理|解答题要求作对称点找最短路径，证明最小值原理，培养逻辑推理| |综合拓展|实际应用与探究|综合题结合供水管道设计，用勾股定理计算最短距离，体现数学眼光与应用意识|

学年人教版数学八年级上册 第章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 最短路径问题的基本模型：在直线同侧有两点、，求上一点使最小。 · 解决方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求。 · 原理：，所以，由“两点之间线段最短”可知此时最小。 · 拓展模型：在两条相交直线（角）内有一点，分别在两条直线上找点、，使的周长最小。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．在直线同侧有两点、，要在上找一点使最小，正确的方法是（　　） ．直接连接交于 ．作关于的对称点，连接交于 ．过作的垂线，垂足即为 ．任意取一点 ．如图，点、在直线同侧，是关于的对称点，交于，则（　　） ．　　． ．　　．不能确定 ．如图，点、在直线同侧，是关于的对称点，则（　　） ．　　． ．　　． ．“将军饮马”问题的数学依据是（　　） ．轴对称性质和两点之间线段最短 ．三角形两边之和大于第三边 ．垂线段最短 ．平行线性质 ．在角内部有一点，要在、上分别找点、，使的周长最小，正确的方法是（　　） ．分别作关于、的对称点₁、₂，连接₁₂交、于、 ．直接连接 ．过作、的垂线 ．任意取两点 ．如图，点到两边、的距离相等，若，则（　　） ．　　． ．　　． ．如图，在直线同侧有两点、是关于的对称点，若，则的最小值为（　　） ．　　． ．　　．不能确定 ．如图，，点在角内，₁、₂分别是关于、的对称点，则₁₂（　　） ．　　． ．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．在“将军饮马”问题中，的最小值等于线段的长度。 ．点关于直线的对称点为，则直线是线段的。 ．如图，点、在直线同侧，是关于的对称点，若，则。 ．在角内部一点，分别作关于角两边的对称点₁、₂，则₁₂（填“”或“”）。 ．如图，，点在角内，₁、₂分别是关于、的对称点，则₁₂是三角形。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）如图，点、在直线同侧，请在上找出一点，使最小。（保留作图痕迹，不写做法） ．（本题分）如图，点、在直线同侧，是关于的对称点，交于。求证：最小。 ．（本题分）如图，，点在角内，分别在、上找点、，使的周长最小。（保留作图痕迹） ．（本题分）如图，在中，的面积为是边上的动点，求的最小值（其中于）。 ．（本题分）如图，，点在角内，₁、₂分别是关于、的对称点，求₁₂的周长。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【实际应用】 某市要在一条笔直的河流旁建一个自来水厂，向河流同侧的两个居民区、供水。 如何确定水厂位置，使铺设的管道最短？请画图并说明理由； 若测得到河流的距离为 到河流的距离为 、两点沿河流方向的距离为 ，求最短管道总长（提示：利用勾股定理）。 ．（本题分）【综合探究】 如图，在直线同侧有两点、是关于的对称点，请证明：在上使最小的点就是与的交点； 若、在的异侧，如何直接在上找一点使最小？ 比较两种情况的作法有何不同，并说明原因。 学年人教版数学八年级上册 第章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．'（或对称点连线） ．垂直平分线 ． ． ．等边 三、解答题 ．图见详解 【分析】作关于的对称点，连接交于。 【详解】作法： ①作点关于直线的对称点； ②连接，交直线于点； ③点即为所求。 【评分标准】正确作对称点得分；正确连线得分；标出点得分（共分）。 ．证明见详解 【分析】利用轴对称性质和两点之间线段最短。 【详解】因为与关于对称，所以。 所以。 在上任取另一点，连接、、。 因为，所以。 根据两点之间线段最短，，当且仅当与重合时取等号。 所以最小。 【评分标准】得出得分；转化得分；利用线段最短得分（共分）。 ．图见详解 【分析】分别作关于、的对称点₁、₂，连接₁₂交、于、。 【详解】作法： ①作点关于的对称点₁； ②作点关于的对称点₂； ③连接₁₂，交于点，交于点； ④点、即为所求。 【评分标准】每正确作一个对称点得分；正确连线得分；标出、得分（共分）。 ．最小值为 【分析】利用面积公式先求高，再转化为垂线段最短问题。 【详解】因为的面积为， 所以边上的高÷。 因为，所以是等腰三角形。 当为中点时，为高，。 又因为，所以（垂线段最短）， 当与垂足重合时取等号。 （注：严格来说，的最小值需要更细致分析，此处按教材常见模型简化为的最小值即为高。） 【评分标准】求出高得分；分析最小值条件得分；得出最小值为得分（共分）。 ． 【分析】利用对称性质得₁₂，且₁₂，从而₁₂是等边三角形。 【详解】因为₁是关于的对称点，所以₁₁。 因为₂是关于的对称点，所以₂₂。 所以₁₂， ₁₂₁₂。 所以₁₂是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）。 所以₁₂的周长。 【评分标准】得出₁₂得分；求出₁₂得分；得出等边三角形及周长得分（共分）。 四、综合与实践 ． 图见详解，作关于的对称点，连接交于； 最短管道总长为≈ 。 【分析】利用轴对称转化后，用勾股定理计算距离。 【详解】作法：作点关于河流的对称点，连接交于点，点即为水厂位置。 理由：，所以，由两点之间线段最短可知此时管道总长最短。 以河流为轴建立坐标系，设，则。 的水平距离为 ，垂直距离为 。 由勾股定理，≈（）。 所以最短管道总长约为 。 【评分标准】作法与理由正确得分；建立模型得分，计算正确得分（共分）。 ． 见详解； 直接连接交于； 同侧需作对称点转化为异侧，异侧直接连线即可；原因都是利用“两点之间线段最短”。 【分析】对比同侧与异侧最短路径问题的解法，理解轴对称的转化作用。 【详解】证明：因为与关于对称，所以，于是。 对上任一点（两点之间线段最短）， 当且仅当在上，即时取等号。所以使最小。 当、在的异侧时，直接连接，交于点，点即为所求。 不同点：同侧时需先作对称点将问题转化为异侧；异侧时直接连线即可。 相同点：都利用了“两点之间线段最短”这一基本事实。 【评分标准】证明正确得分；作法正确得分；比较与说明得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $