3.3相似三角形判定定理的证明第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦北师大版九年级上册相似三角形判定定理的证明，通过复习平行线分线段成比例及其推论，衔接上节合情猜想，引导学生将经验结论提升为逻辑证明，构建相似三角形判定体系的学习支架。 资料以“截取—作平行—证全等/相似”的化归思想贯穿三个定理证明，强化推理意识，通过即时练习辨析“夹角”条件培养几何直观，随堂练习结合网格、实际问题提升应用意识。分层任务与小组合作设计兼顾学生差异，助力教师高效教学，帮助学生深化逻辑推理与问题解决能力。

3.3相似三角形判定定理的证明第2课时 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.会证明相似三角形判定定理； 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题。 教学重点 相似三角形三个判定定理的证明。 教学难点 证明过程中辅助线的构造和化归思想的运用；实际应用中对相似三角形对应元素及判定条件的准确识别。 教材分析 本节内容北师大版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》第三节《相似三角形判定定理的证明》（第2课时）。核心知识包括：相似三角形三个判定定理的严格证明（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例），以及运用这些判定定理解决相关几何问题。 学生在前面通过画图、测量、归纳，已得到三个相似三角形判定命题，但尚停留在合情猜想层面。本节需要将这些经验猜想提升为逻辑证明，完善相似三角形的判定体系。三个定理的证明思路有很强的共性：先在较大三角形的一边上截取与较小三角形对应边相等的线段，再作平行线构造过渡三角形，利用平行线分线段成比例、全等三角形的性质完成转化，最终证明过渡三角形与目标三角形全等或相似。这一过程充分体现了“截取—作平行—证全等/相似”的辅助线构造策略和化归思想，对发展学生的逻辑推理能力、几何直观和证明书写规范具有重要价值。同时，定理的运用为后续解决相似三角形的实际问题和综合计算奠定了基础。教学重点应放在定理证明思路的形成与证明过程的书写上。 学情分析 学生已学习平行线分线段成比例及其推论、相似三角形的定义、全等三角形的判定与性质，也具备了比例变形的基本能力。同时，通过上一节的探索活动，学生已经直观感知到三个相似三角形判定命题的正确性，这为本节课的严格证明提供了认知起点。但从合情归纳上升为演绎证明，是学生在思维上的一次跨越：三个定理的证明过程较长，涉及构造辅助线、比例式变形、三角形全等与相似的综合推理，学生容易对“为什么要这样构造辅助线”“过渡三角形与原三角形、目标三角形的联系如何建立”产生困惑。在应用层面，学生常犯的错误是找错对应边、对应角，或忽略“夹角相等”这一条件而误用判定定理。因此，教学中应放慢证明节奏，借助图形直观帮助学生理解构造思路，并通过变式练习和典型例题强化判定条件的使用，突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾与情境引入】 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 符号语言：如图，，则有 追问：你还有什么发现？ 【情境引入】 在上一节中，我们通过探索得到了相似三角形的三个判定命题： ① 两角分别相等的两个三角形相似； ② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似。 但是，这些都是通过动手画图、测量、探索得出的，在理论上是不是一定正确，还需要进行证明。这节课我们就来对它们进行证明。 唤醒学生对平行线分线段成比例及其推论的记忆，为证明相似三角形判定定理提供“作平行线构造相似三角形”的化归基础；同时通过“操作获得的结论必须严格证明”引发认知冲突，明确本课学习方向。 探究点1：证明“两角分别相等的两个三角形相似” 【几何语言】 在 和 中，若 ，，则 。 已知：如图，在 和 中，，。 求证：。 证明思路：先在 的边 （或它的延长线）上截取 ，作 ；然后根据相似三角形的定义证明 ，最后证明 。 证明：在 的边 （或它的延长线）上截取 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，则 过点 作 的平行线，交 于点 ，则 ∴ ∵ ，， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ 。 ∴即 ∵ ，，， ∴ 。 ∵ ，，， ∴ ， ∴ 。 【知识归纳】 证明文字命题的步骤： 第一步：根据文字命题画图； 第二步：根据图形和文字命题写出已知、求证； 第三步：根据已知对求证进行证明。 【即时练习】 如图，在 中，，则下列等式成立的是（ C ） A. B. C. D. 通过构造全等三角形与相似三角形的“桥梁”，让学生体会“截长补短、化未知为已知”的证明策略；练习巩固“两角分别相等”判定的应用，突破重点。 探究点2：证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 【几何语言】 在 和 中，若 ，，则 。 已知：如图，在 和 中，，。 求证：。 证明：在 的边 （或它的延长线）上截取 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 。 而 ， ∴ ， ∴ 。 【即时练习】 已知 与 ，下列各组条件中，可以判定 的是（ B ） A. ， B. ， C. ， D. ， 证明过程再次构造 ，利用相似三角形的传递性完成证明，强化“两边成比例且夹角相等”中“夹角”的严谨性；练习通过辨析“夹角”与“非夹角”突破易错点。 探究点3：证明“三边成比例的两个三角形相似” 【几何语言】 在 和 中，若 ，则 。 已知：如图，在 和 中，。 求证：。 证明：在 的边 ，（或它们的延长线）上分别截取 ，，连接 。 ∵ ∴ 而 ， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 。 ∴ ， ∴ 。 【即时练习】 如下图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是______。 答案：①③ 【知识归纳】 事实上，我们证明了相似三角形的三个判定定理： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 回顾：几何证明是逻辑严谨、方法可总结、能深化图形认知的推理过程。 通过“构造相似三角形→证明全等→传递相似”的完整逻辑链条，帮助学生理解三边判定定理的生成过程；网格题让学生通过计算三边比例判断相似，培养数形结合与计算能力。 课堂小结 板书设计 3.3相似三角形判定定理的证明第2课时 一、三个判定定理 定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 二、证明核心思路 o在边上截取对应线段，作平行线构造相似三角形； o利用平行线分线段成比例及其推论得出比例关系； o证明构造的三角形与已知三角形全等，进而得到相似。 三、证明文字命题步骤 画图 → 写出已知、求证 → 进行证明 四、重点例题 例1：垂直平分线条件下的相似证明 例2：已知两边及一角判定相似并求线段长 五、定理运用要点 o找准对应角、对应边； o注意“夹角”条件； o结合平行线、等腰三角形、平行四边形等图形性质。 随堂练习 1.如图，在 中，如果 与 不平行，那么下列条件中，不能判断 与 相似的是（ C ） A. B. C. D. 2.如图，在 中，， 分别与 ， 相交于点 ，。若 ，，则 的值为（ A ） A. B. C. D. 3.如图，在平行四边形 中， 是 延长线上一点，连接 ，， 交 于点 ，交 于点 ，则下列结论中错误的是（ D ） A. B. C. D. 4.如图，在平行四边形 中，点 在 边上，连接 并延长，与 的延长线交于点 。若 ，，则 的长为（ B ） A. B. C. D. 5.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法。如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 。设 ，，小孔 到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为_____。 答案：20 6.如图，点 在线段 上， 于点 ， 于点 ，，，，点 是射线 上的一个动点，则当 _____时，。 答案： 或 7.已知：如图，，，，求 。 解：∵ ，， ∴ ， ∴ ∴ ∴ 。 8.如图，在 中，，， 于 。求证：。 证明：在 中，，， ∴ （等腰三角形三线合一）。 ∵ ， ∴ 。 又 ， ∴ 。 9.如图， 是直角 斜边上的高，，且 和 分别交 、 于 、。求证：。 证明：∵ 是直角三角形， ∴ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 ∴ ， ∴ 教学反思 本节课教学目标基本达成。通过三个判定定理的证明，学生不仅记住了结论，也理解了相似判定背后的逻辑依据。例题辨析与针对性练习帮助学生区分定理的使用条件，尤其对“两边成比例且夹角相等”中的“夹角”强调到位。 学生学习难点主要集中在构造辅助线进行定理证明，部分学生对“截取—作平行—证全等”的综合思路感到吃力，需在后续复习中继续强化。同时，灵活选择判定定理解决综合问题仍需加强，尤其涉及比例线段转化时，部分学生对应边找不准。 改进方向：可增加小组合作探究环节，让学生自己尝试添加辅助线，并多设计对比性练习，提升模型识别和定理运用能力；对于证明过程较复杂的部分，可分层设置任务，照顾不同层次学生。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $