专题 3.18 图形的相似：三角形内接四边形模型【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“三角形内接四边形模型”核心知识点，以A字型相似为基础，系统梳理模型原理、标准结构及面积法等解题方法，通过基础计算、函数综合、规律探究题型，构建从知识储备到应用拓展的学习支架。 该资料亮点在于分层设计与核心素养结合，基础题型通过内接正方形计算培养抽象能力，综合题型结合函数最值问题发展推理能力，探究题型的多层嵌套规律提升模型意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 3.18 图形的相似：三角形内按四边形模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 1. 模型核心原理 1 2. 标准模型结构（必考） 1 3. 常用解题配套方法 2 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】三角形内接矩形、正方形基础计算 2 三.题型精析【综合】 8 【题型 2】内接四边形结合函数、重叠面积综合题型 8 四.题型精析【探究】 15 【题型 3】多层嵌套、规律探究与新定义拓展 15 一.知识储备与解读 1. 模型核心原理 三角形内接四边形模型是A字型相似的经典应用型模型，全程依托“平行出相似”。三角形内部作矩形、正方形，其上下水平边平行于三角形底边，上方会截出一个与原三角形相似的小三角形。本模型最核心考点：相似三角形对应高的比等于相似比。 2. 标准模型结构（必考） 在任意三角形内部作内接矩形或正方形：矩形两个顶点落在三角形底边上，另外两个顶点落在三角形两腰上，矩形上下边平行于底边。 设：原三角形底边长为，总高为；矩形水平长为，竖直高为。小三角形高 = 原三角形高 − 矩形高，依据相似性质得核心公式：，所有内接矩形、正方形计算，均由该公式变形求解。 3. 常用解题配套方法 （1）面积法：题干未直接给出三角形高时，利用三角形面积公式反求高，是解题第一步； （2）设参法：设矩形边长、正方形边长为未知数，代入核心比例式列方程求解； （3）分段讨论法：图形重叠、动态平移题型，根据临界点分段表示面积关系式。 二.题型精析【基础】 【题型 1】三角形内接矩形、正方形基础计算 解题思路：题干给出三角形底、高，图形为标准内接矩形、内接正方形，考查基础模型套用。先通过面积法求出三角形的高，根据矩形对边平行识别A字型相似；利用相似三角形对应高之比等于相似比，列出核心比例方程；设图形边长为未知数，通过一元一次方程求解正方形边长、矩形长宽，完成基础线段计算。 【例题1】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 解：（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 【变式1】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； （1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1， 在中，，作，垂足为点D． （1）求证：； （2）如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． （1）通过两角相等证明，根据相似三角形的性质得证； （2）①证明，由相似三角形对应线段成比例的性质和矩形的性质得证； ②设，则，由（1）可得，．证明四边形 是矩形，则，进一步得到，根据①中的比例式计算出x的值即可． 解：（1）略 （2）解：① 略 ②设，则， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 解得，， ∴． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． （1）点C到AB的距离为_______． （2）如图①，若，求矩形DEFG的周长． （3）如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）先求出，再用面积法可得答案； （2）过点C作于点M，交DG于点N，证明，可得，设，则，即可求得的值，从而求出矩形的周长； （3）过点C作于点M，交DG于点N，设，则，同（2）可得，解得的值，即可得到答案． （1）解：． 【提示】如图①，过点C作于点M， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得：． 解：如图①，过点C作于点M，交DG于点N． 由（1）得． 四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ， ． 设，则， 解得， 矩形的周长为． （2）． 【提示】过点C作于点M，交DG于点N，如图②． 矩形的周长是DE长的8倍， 设，则， 由（2）知， ，解得，即， 矩形的周长是． 【点拨】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 三.题型精析【综合】 【题型 2】内接四边形结合函数、重叠面积综合题型 解题思路：融合几何相似与二次函数、图形动态平移、重叠面积计算，综合性强。依托内接四边形核心相似公式，建立边长与高的函数关系；将矩形面积转化为二次函数解析式，通过配方或顶点坐标求解面积最大值；针对图形平移、部分重叠题型，找准临界位置，分段讨论不同区间的面积表达式；结合勾股定理、三角形面积公式联立求解，完成复杂线段与面积计算。 【例题2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，，． （1）如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为，当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）时，最大面积为 【分析】本题考查了二次函数模型的构建以及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是构建二次函数模型，利用配方法求函数的最值． （1）由矩形的性质可知：，所以，相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到和的关系， （2）利用（1）中的关系式进而可表示出矩形面积，再利用配方法，求出最大值即可． （1）解：四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）矩形的面积： ， 时，矩形面积最大，最大面积为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 【答案】（1）证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； （2） 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 解：（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． （1）求出的边上的高． （2）如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． （3）如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算可求出； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示，再根据公共部分的面积公式计算即可． （1）解：∵，， 是边上的高， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，是中边上的高， ∴，即， 解得：， ∴当正方形的边恰好落在边上时，的值为； （3）如图，设交于点，交于点， 由（2）知：恰好落在边上时，， 又∵四边形是正方形，，，两动点，分别在，上滑动， ∴当落在外部时，， ，， 由（2）知：，是中边上的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴当落在外部时，求出与的函数关系式为． 四.题型精析【探究】 【题型 3】多层嵌套、规律探究与新定义拓展 解题思路：以多层正方形嵌套、纸条裁剪、新定义模型探究为主，考查模型迁移与归纳推理。每一层内接图形均重复运用A字型相似与高比性质，逐次计算边长数据；通过特殊值推导通用规律，归纳数列通项与变化规律；结合题干新定义，转化为熟悉的三角形内接四边形模型；部分拓展题型结合位似性质，探究图形缩放规律，完成证明、规律总结与参数求解。 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，，把边长分别为的个正方形依次放在中。第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依此规律放入． （1）求第1个正方形的边长． （2）求第2个正方形的边长． （3）第2025个正方形的边长为___________． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质与判定条件． （1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长， （2）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长， （3）同（1）（2）求出其它正方形的边长，观察规律即可求得第n个正方形的边长，即可求解． （1）解：四边形是正方形， ， ， ，即 即． 故答案为：． （2） ． 与（1）同理可证， ，即 ，即． 故答案为：． （3）与（1）（2）同理，可求得 可以推出第个正方形的边长为， 第2025个正方形的边长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． （1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； （2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． （3）圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 【答案】（1）；（2）从下往上剪第张纸片是正方形纸片；（3）或或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）设第一张矩形纸片长为，得出等腰三角形彩纸的腰长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可； （2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可； （3）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可． （1）解：设第一张矩形纸片长为， 等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为， 等腰三角形彩纸的腰长为， 由三角形相似可得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， 从下往上剪第张纸片是正方形纸片； （3）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， ， 或或， 故答案为：或或． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． （1）设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； （2）如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】（1），，；（2）2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． （1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 【变式3】（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； （2）， （3）解：如图， 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 解：（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.18 图形的相似：三角形内按四边形模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 1. 模型核心原理 1 2. 标准模型结构（必考） 1 3. 常用解题配套方法 2 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】三角形内接矩形、正方形基础计算 2 三.题型精析【综合】 3 【题型 2】内接四边形结合函数、重叠面积综合题型 3 四.题型精析【探究】 5 【题型 3】多层嵌套、规律探究与新定义拓展 5 一.知识储备与解读 1. 模型核心原理 三角形内接四边形模型是A字型相似的经典应用型模型，全程依托“平行出相似”。三角形内部作矩形、正方形，其上下水平边平行于三角形底边，上方会截出一个与原三角形相似的小三角形。本模型最核心考点：相似三角形对应高的比等于相似比。 2. 标准模型结构（必考） 在任意三角形内部作内接矩形或正方形：矩形两个顶点落在三角形底边上，另外两个顶点落在三角形两腰上，矩形上下边平行于底边。 设：原三角形底边长为，总高为；矩形水平长为，竖直高为。小三角形高 = 原三角形高 − 矩形高，依据相似性质得核心公式：，所有内接矩形、正方形计算，均由该公式变形求解。 3. 常用解题配套方法 （1）面积法：题干未直接给出三角形高时，利用三角形面积公式反求高，是解题第一步； （2）设参法：设矩形边长、正方形边长为未知数，代入核心比例式列方程求解； （3）分段讨论法：图形重叠、动态平移题型，根据临界点分段表示面积关系式。 二.题型精析【基础】 【题型 1】三角形内接矩形、正方形基础计算 解题思路：题干给出三角形底、高，图形为标准内接矩形、内接正方形，考查基础模型套用。先通过面积法求出三角形的高，根据矩形对边平行识别A字型相似；利用相似三角形对应高之比等于相似比，列出核心比例方程；设图形边长为未知数，通过一元一次方程求解正方形边长、矩形长宽，完成基础线段计算。 【例题1】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 【变式1】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1， 在中，，作，垂足为点D． （1）求证：； （2）如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． （1）点C到AB的距离为_______． （2）如图①，若，求矩形DEFG的周长． （3）如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 三.题型精析【综合】 【题型 2】内接四边形结合函数、重叠面积综合题型 解题思路：融合几何相似与二次函数、图形动态平移、重叠面积计算，综合性强。依托内接四边形核心相似公式，建立边长与高的函数关系；将矩形面积转化为二次函数解析式，通过配方或顶点坐标求解面积最大值；针对图形平移、部分重叠题型，找准临界位置，分段讨论不同区间的面积表达式；结合勾股定理、三角形面积公式联立求解，完成复杂线段与面积计算。 【例题2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，，． （1）如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为，当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． （1）求出的边上的高． （2）如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． （3）如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 四.题型精析【探究】 【题型 3】多层嵌套、规律探究与新定义拓展 解题思路：以多层正方形嵌套、纸条裁剪、新定义模型探究为主，考查模型迁移与归纳推理。每一层内接图形均重复运用A字型相似与高比性质，逐次计算边长数据；通过特殊值推导通用规律，归纳数列通项与变化规律；结合题干新定义，转化为熟悉的三角形内接四边形模型；部分拓展题型结合位似性质，探究图形缩放规律，完成证明、规律总结与参数求解。 【例题3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，，把边长分别为的个正方形依次放在中。第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依此规律放入． （1）求第1个正方形的边长． （2）求第2个正方形的边长． （3）第2025个正方形的边长为___________． 【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． （1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； （2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． （3）圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． （1）设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； （2）如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【变式3】（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $