09探索三角形相似的条件讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的判定这一核心知识点，系统梳理两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三种判定方法，结合黄金分割概念，构建从基础定义到模型应用再到综合证明的递进式学习支架。 资料通过分层设计与模型化教学突出特色，以网格三角形、剪拼问题等实例培养抽象能力与几何直观，借助A字、三垂直等模型强化推理意识。课中辅助教师高效授课，课后实战演练助力学生查漏补缺，提升应用意识与问题解决能力。

2026秋季初三数学同步讲义09-相似三角形的判定 【基础巩固】 1.相似三角形的判定 判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似 判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。 2.黄金分削 一股地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC如图，如果G=C, 那么称线 段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC和BC的比叫作黄金比，其 V5-1 数值为 ≈0.618 A C B 图1 【精准突破】 一、相似三角形的判定 例1，（网格三角形）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是() 例2.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开， 剪下的三角形与原三角形不相似的是() 65 659 652 A B B.B 65 D. 2 例3.(1)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP一△ACB,添加一个条件， 不正确的是() B A.∠ABP=∠C B.∠AP8=∠ABcC品8 D.AB=AP·AC (2)如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC一△ADE的是() B AB_AD B.∠B=∠D C.∠C=∠AED D. AB_BC A. AC AE AD DE (3)若△ABC和△乙满足下列条件，其中能使△ABC一△乙的是() A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=2,FE=,DF=6 B.AB-3.RC-8,AC-9,DE-16,FE-2,DF-6 C.AB=1,BC=V2,AC=1.5,DE=2,FE=22,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=33,FE=2,DF=6 例4.如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：① ∠APB=∠EPC:②AB·PC=EC·BP;③P为BC的中点；④PB:BC=2:3.其中 能得到△ABP与△ECP相似的是() B A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③ 【实战演练】 1.(1)如图，正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC,②△BCD,③△BDE,④ △BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中，与三角形①相似的三角形共有() D E 1② ③ 6 H A ① ⑤ ④ G A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四 个三角形中是相似三角形的是() ① ② ③ ④ A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 2.(1)如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪下的涂色部 分的三角形与△ABC相似的是() A 6 8 A X X3 B CB. X2 C Co 3V (2)如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8,AC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() B C A 5 4.5 5 3.5 4 75 A.B CB. B Cc. CD. B 3 3.(1)如图，∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件，使得△ADE一△ABC.则下 列选项不成立的是() D B E A.∠D=∠B B.∠E=∠C D_AE AD _DE A C D. AB BC 5 (2)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定 △ADC和△BAC相似的是() D A A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD 。恕光 4.(1)在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,DE‖BC,则与 △ABC相似的是() B A.△DBE B.△BCD C.△ABD D △DEC (2)如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是() A.OA·OC=OD·OB B.∠B=∠C C.∠A=∠D ABOA D. CD OD (3)已知在△ABC和△就中，AB=2,BC=3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12, 则△ABC与△乙的关系是（填“相似”或“不相似”）· 6 5.(1)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则下列条件中： ①∠B=∠AED:②DE I BC:③AD=AE AC=AB:④AD·BC=DE·AC,能使得以A, D,E为顶点的三角形与△ABC相似的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2)下列条件：①∠A=45°，AB=12,AC=15,∠A'=45°，AB'=16,A'C'=20:②∠A=47, AB=1.5,AC=2,∠B'=47°，A'B'=2.8,B'C'=2.1;③∠A=47°，AB=2,AC=3,∠B'=47°， A'B'=4,B'C'=6,其中能判定△ABC与△A'B'C相似的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、常考的相似模型 例1.(A字、8字)已知：如图，梯形ABCD,DC‖AB,在下底AB上取AE=EF,连 接DE、CF并延长交于点G,AC与DG交于点M,求证：DG·ME=EG·DM. D 例2.（三等角模型）如图，在△ABC中，AB=AC,点P为BC边上一动点（不与点 B,C重合)，连接AP,过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B.求证： △ABP→△PCM, B 例3.（三垂直模型）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且 CF=3FD,∠BEF=90° A E D (1)求证：△ABE一△乙： (2)若AB=6,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. 例4.（手拉手模型）如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在BD上，且 ∠BAF=∠DBC, ABBC AF FD (1)求证：△ABC一△AFD: 【实战演练】 1.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°. 600 E B D (1)求证：△ABD-△DCE; 2)如果B=3,BC号求DC的长 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=∠B B D (1)求证：△ABD一△DCE: (2)若AC=8,BC=6,CE=1,求BD的长. 9 3.如图，正方形ABCD中，B,F分别是边AD,CD上的点，AE=ED,DF=子DC, 连接EF并延长交BC的延长线于点G. D F B (1)求证：△ABE一△兽乙： (2)若正方形的边长为4，求BG的长. 4.如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥ED于点F, ∠EAF=∠GAC. E (1)求证：△ADE一△ABC. 2若AD=5,AB=7,求 C的值. 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,E是BD上的点，且BE=2DE,连接AE并 延长，交DC于点F,BM⊥AF,分别交AD,AF于点M,N. AM 10 (1)求DF的长： (2)求AM的长. 三、相似证明大题一基础 例1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内一点，且 ∠APB=∠APC=135°.求证：△CPA一△APB. B 例2.如图，在四边形ABCE中，AC、BE交于点F,点D在BE上， ∠BAD=∠EBC,- AB BC AD DE (1)求证：△ABD一△ACE; 例3.如图，点O是△ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别是OA,OB, OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC一△U 11 【实战演练】 1.如图，在口ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE:点F为线段AE上一点，且 ∠DFE=∠C.求证：△ADF一△EAB. D B 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，分别取AD,AB的中点E, F,连接CE,CF,EF.求证：∠CFE=∠B. 四、相似证明大题一综合 例1.如图，在△ABC中，BC=6,D为AC延长线上一点，AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DE/AB交BC的延长线于点E. 12 (1)求证：△ECD一△EDB: (2)求DE的长度. 例2.（第二问需要重新证相似）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上， AG⊥BC于点G,AF⊥ED于点F,∠EAF=∠GAC. D (1)求证：△ADE一△ABC. 2)若AD=5,AB=7,求 C的值. 例3.（偏难：第一问需要证明两次相似）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于点E,DB平分∠ADC,且AB=BE·BD. B D (1)求证：△ABE一△DCE: (2)求证：AE·CD=BC·ED」 13 例4.（偏难）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为线段CB延长线上一点，连结DE 交对角线AC于点F,∠ADE=∠BAC. D B E (1)求证：CF·CA=CB·CE: (2)如果AC=DE,∠BAC=35°，则∠DFC=度. 【实战演练】 1.如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形 PBD,AD与BC,PC分别相交于点E,F,BC与PD交于点H. 14 D H B P (1)求证：△APD一△CPB: 2)求∠FEH的度数， 2.已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC 交AD于点F (1)求证：△ABC一△FCD: (2)求C的值。 EF B 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD=4.5,BD=3.5,AC=6.△ABC的角平 分线AE交CD于点F. 15 D B E (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若AF=4,求AE的长度. 4.如图，∠ABC=45°，点P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC,已知 ∠BPA=∠BPC=135°. P B (1)求证：△CPB~△BPA: (2)若AC⊥BC,试求 PC的值 5.如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE交DB于点F,BD平分∠ABC, ∠ADB=90°， 16 求证：(1)△BFC一△DFE; (2)AB=8,BC=3,求 C的值· E D 6.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且 CF=3FD,∠BEF=90°. A E D (1)求证：△ABE一△乙： (2)若AB=6,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. 7.如图，已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE, EG在同一条直线上，且AB=3,BC=3,BF分别交AC,DC,DE于点M,N,H. 解答下列问题： 17 包哈亮的的为 (2)求证：△FEG一△BFG: (3)求：BM:MN:NF的值. 8.偏难：已知：如图，梯形ABCD,DC‖AB,在下底AB上取AE=EF,连接DE、 CF并延长交于点G,AC与DG交于点M,求证：DG·ME=EG·DM. D A E G 9.如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm,点P为BC边上一动点（不与点 B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B, M B C (1)求证：△ABP一△PCM (2)当点BP=2cm时，求CM的值； 18 3)当MP⊥BC时，求BP的值. 10.如图，己已知在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别为边AB、AC、BC上一点， 连接DF和EF,且∠B=∠DFE. B (1)求证：△BDF一△CFE: (2)连接DE,如果点F是BC中点，CE=3,EF=4,求DE的长. 五、黄金分割 例1.(1)求中边：勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金， 生活中到处可见黄金分割的美.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割点 (AC>BC),已知AB=10cm,则AC长为() A.(5-5]cm B.{5+51cmC.5+55cm D.55-5cm (2)求短边：如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点AP>PB,如果AB 的长度为10cm,那么BP的长度为()cm 19 A.5V5-5 B.5+55 c.15-55 D.15+55 例2.（需分类讨论）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为 20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走米才最理想. 【实战演练】 1.黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳 重、舒展美观.已知点C为AB的黄金分割点，且AC>BC,若AB=2cm,则AC的长为 cm 2.一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中， 如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看，某位参加空姐选拔的选手身高160厘米， 上半身长65厘米，那么她应穿厘米的鞋子才能好看.（精确到1厘米） 3.节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20m, 则主持人站在离A点处最自然得体.（结果精确到0.1m) 4.如图，C,D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5-1,则线段CD的长为 20 ◆B D 5.如图，线段AB=1,点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1<BP1),点P2是线段AP1的 黄金分割点（AP,<PP)，点P是线段AP,的黄金分割点AP,<P,P,,依此类推， 则线段AP的 长度是() A2A日 B ssc” 3-5w 2 2026秋季初三数学同步讲义09-相似三角形的判定 【基础巩固】 1.相似三角形的判定 判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似 判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。 21 3.黄金分制 AC BC 二殷地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC如图)，如果ABAC, 那么称线 段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC和BC的比叫作黄金比，其 V5-1 数值为 2 ≈0.618。 A C B 图1 【精准突破】 一、相似三角形的判定 例1.（网格三角形）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是() 22 【答案】B 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2,22,10： A.三角形三边为2，V10,3V2与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误： B.三角形三边2,4,2V5与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确： C.三角形三边2,3,13与给出的三角形的各边不成比例，故c选项错误： D.三角形三边V5,V13,4与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误. 故选：B. 例2.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开， 剪下的三角形与原三角形不相似的是() 65 659 65 652 B B. B A 65 【答案】c 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选 23 项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意： C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意： D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意。 故选：C 例3.(1)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP一△ACB,添加一个条件， 不正确的是() A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABC c.AB-AC D.AB=AP·AC BP CB 【答案】C 【详解】解：A、当∠ABP=∠C且∠A=∠A,故△ABP一△ACB,此选项正确，但 不符合题意； B、当∠APB=∠ABC且∠A=∠A,故△ABP一△ACB,此选项正确，但不符合题 意； C、当AB-=AC时，无法得到△ABP一△ACB,此选项错误，但符合题意： BP CB D、当AB=AP·AC,即A沿=AC,且∠A=∠A,故△ABP一△ACB,此选项正确， AP AB' 但不符合题意。 故选：C (2)如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC一△ADE的是() 24 A. AB AD D. ABBC AC AE B.∠B=∠D C.∠C=∠AED AD DE 【答案】D 【详解】解：∠1=∠2， .∠1+∠BAE=∠2+∠BAE, 即∠BAC=∠DAE, A所名沿 ,则AB-AC AD AE 符合相似三角形的判定定理，能推出 △ABC一△ADE,故本选项不符合题意： B项：，∠BAC=∠DAE,若∠B=∠D,符合相似三角形的判定定理，能推出 △ABC一△ADE,故本选项不符合题意； C项：：∠BAC=∠DAE,若∠C=∠AED,符合相似三角形的判定定理，能推出 △ABC一△ADE,故本选项不符合题意： D项：“∠BAC=∠DAE,若A5=BC AD DE 不符合相似三角形的判定定理，不能推出 △ABC一△ADE,故本选项符合题意： 故选：D. (3)若△ABC和△竺乙满足下列条件，其中能使△ABC一△竺乙的是() A.AB=3,G=B,AC=9,DE=2,FE-,DF=6 8.AB-3,BC-8,AC=9,DE=16,FE=2,DF=6 3 C.AB=1,BC=2,AC=1.5,DE=2,FE=22,DF=4 D.AB=1,BC=3,AC=2,DE=33,FE=2,DF=6 【答案】A AB_3,BC-8-3AC-9-3 【详解】解：A、DE2'EF162’DF62, 3 .AB=BC-AC DE EF DE ∴△ABC一△乙.故此选项符合题意： 25 AB-3,BC=8=3,AC=9 B、EF-2’DE162'DF6, 3 08骺S ∴.△ABC一△FED :△ABC与△就对应顶点不匹配，不满足△ABC一△乙， 故此选项不符合题意： BC_2_1AC-1.5_3 C、DE=2.,EE2R22DF48 .AB=BC.AC DE EF DE 故此选项不符合题意： 0器 BC-93-1AC-2-1 DE33'DF63' :AB≠BC=AC EF DE DE' 故此选项不符合题意。 故选：A. 例4.如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：① ∠APB=∠EPC;②AB·PC=EC·BP;③P为BC的中点；④PB:BC=2:3.其中 能得到△ABP与△ECP相似的是() A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③ 【答案】C 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD,∠B=∠C=90°， E是CD的中点， cD. 26 ①若∠APB=∠EPC, ,∠B=∠C=90°， .△ABP~△ECP: ②若AB·PC=EC·BP,则AB=BP ECPC' .∠B=∠C=90°， ∴.△ABP△ECP, ③若P为BC的中点， 则BP=CP, .BP=CP=CE, ∴.此时不相似： ④若PB:BC=2:3, 则AB:CE=BP:CP=2:1, ∠B=∠C=90°， ∴.△ABP~△ECP 故选：C 【实战演练】 1.(1)如图，正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC,②△BCD,③△BDE,④ △BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中，与三角形①相似的三角形共有() C D E ② ③ ⑥ H 1 5 (④ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、V2、5.则 ②△BCD的各边长分别为1、5、2V2: ③△BDE的各边长分别为2、2V2、25(为△ABC各边长的2倍)： ④△BFG的各边长分别为5、5、V10(为△ABC各边长的V5倍)： 27 ⑤△FGH的各边长分别为2、V2、V10(为△ABC各边长的√2倍)； ⑥△EFK的各边长分别为3、2、5. 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤： (2)如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四 个三角形中是相似三角形的是() ① ② ③ ④ A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 【答案】B 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a,则长为2a, ∴.图①中的三角形三边长分别为2a2a+(2a=22a,(2a2+(4a}=25a 图②中的三角形三边长分别为2a'2aP+(3a=/13a,3a}+4a了=5a 图@中的三角形三边长分别为2a2aP+(4a=25a,(4a+(4a了=42a 图@中的三角形三边长分别为p2aP+(a=5a,a}+(3a了=10a 3a2+(4a2=5a' ,①和②图中三角形不相似； 293a50 2a25a42a ∴.②和③图中三角形不相似： 28 ,20≠22a≠25a 2a 275a 472a ∴.①和③图中三角形不相似： 2a_2V2a_25a_2V5 V5a V10a 5a5 ∴①和④图中三角形相似. 故选：B 2.(1)如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪下的涂色部 分的三角形与△ABC相似的是() A 6 8 B B. X2 火3 B B 3 【答案】B 441 【详解】解：A: Bc82对应边A5=631 BC8421 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意： AC_41 1B:。=亏，对应边 BC82' 即： 2_AC ACBC,∠C=∠C, 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故该选项符合题意： 「AC手对应边AS=423 c:3=3 AB6341 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意： 29 0:3=31 AB-6-2 对应边AB=6_31 BC842 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意. 故选：B (2)如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8,AC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() 75 B A A A 759 75 4.5 3.5 759 75 A. CB CD B 【答案】D 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选 项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合 题意： C、:45=且∠A=∠A,两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本 68 选项不符合题意： ,阴影三角形已知两边所夹的角是∠B,原三角形纪知两边所夹的角是∠A, ∠A≠∠B,故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D. 3.(1)如图，∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件，使得△ADE一△ABC.则下 列选项不成立的是() 30 D B AD AE A.∠D=∠B B.∠E=∠C C. D. AB AC AD_DE AB BC 【答案】D 【详解】解：，∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE, .∠DAE=∠BAC ∴.当添加条件∠D=∠B时，则△ADE一△ABC,故选项A不符合题意： 当添加条件∠E=∠C时，则△ADE一△ABC,故选项B不符合题意： 当添加条 ABAC时，则△ADE一△ABC,故选项C不符合思意： AD_AE AD DE 当添加条件ABBC时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意： 故选：D. (2)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC,那么补充下列条件后不能判定 △ADC和△BAC相似的是() D A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD 0. AD_DC AB AC 【答案】C 【详解】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC, 31 如果△ADC一△BAC,需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线； ②ADDc AB AC' .不能判定△ADC和△BAC相似的是C, 故选：C. 4.(1)在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,DE‖BC,则与 △ABC相似的是() A.△DBE B.△BCD C.△ABD D △DEC 【答案】B 【详解】解：AB=AC,∠A=36°， :∠ABC=∠ACB=号×180-361=72， 2 .DE BC, .∠ABC+∠BED=180°， .∠BED=108°， ,△BED是钝角三角形， ,△ABC是锐角三角形， ∴.△ABC和△DBE不相似， 故A不符合题意； ,BD平分∠ABC, ·∠DBC=1 ∠ABC=36°=∠A, 又∠C=∠C, 32 ∴，△BDC一△ABC,故B符合题意； :BD平分∠ABC, ·∠ABD=1 ∠ABC=36°， .∠ADB=180°-∠A-∠ABD=108, ∴△ABD是钝角三角形， ,△ABC是锐角三角形， ∴.△ABC和△ABD不相似， 故C不符合题意； DE‖BC, .∠CDE+∠BCD=180°， .∠CDE=108°， ∴△CDE是钝角三角形， :.△ABC和△CDE不相似， 故D不符合题意. 故选：B. (2)如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是() B D A.OA·OC=OD·OB B.∠B=∠C C.∠A=∠D ABOA D.CD OD 【答案】D 【详解】解：A、由OA·OC=ODOB知0A=OB OD-OC 且∠AOB=∠DOC, ∴.可判断△AOB和△DOC相似，故选项A不符合题意； B、,:∠B=∠C,且∠AOB=∠DOC, ∴.可判断△AOB和△DOC相似，故选项B不符合题意； 33 C、·∠A=∠D,且∠AOB=∠DOC, .可判断△AOB和△DOC相似，故选项c不符合题意： AB OA D、由 CD OD ∠AOB=∠DOC,无法判断△AOB和△DOC相似，故选项D符合 题意； 故选：D (3)已知在△ABC和△乙中，AB=2,BC=3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12, 则△ABC与△乙的关系是 (填“相似”或“不相似”). 【答案】相似 【详解】解：：AB=2,DE=6,BC=3,EF=9,AC=4,DF=12, :AB=2=1,BC-31.AC=4-1 ·DE63'EF93'DF123 .AB=BC-AC 'DE EF DF ∴.AABC~△DEF 5.(1)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则下列条件中： ①∠B=∠AED,②DE I BC:③AD=Ag AAB:④AD·BC=DE·AC,能使得以A D,E为顶点的三角形与△ABC相似的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：，∠A=∠A, ∴.当添加∠B=∠AED时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定 △ADE一△ACB,故①符合题意； 34 当添加DE‖BC可判定△ADE一△ABC,故②符合题意； 当添 AD AE AC=AB时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相 似”判定△ADE一△ACB;故③符合题意： 当添加AD·BC=DE·AC, 即AD=DE AC CB' 不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C (2)下a列条件：①∠A=45°，AB=12,AC=15,∠A'=45°，AB'=16,A'C'=20;②∠A=47°， AB=1.5,AC=2,∠B'=47°，A'B=2.8,B'C'=2.1;③∠A=47°，AB=2,AC=3,∠B'=47°， A'B'=4,B'C'=6,其中能判定△ABC与△A'B'C相似的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D AB AC 3 【详解】①A"BA'C4 ∠A=∠A'=45°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相 等的两个三角形相似，即可得△ABC-△ABC;②AB=AC=5. B'C,A'B=7,∠A=∠B=47,根据 两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC一△B'C'A';③ AB -=AC1 AB B'C2' ∠A=∠B'=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三 角形相似，即可得△ABC一△B'A'C'. 故选D. 二、常考的相似模型 例1.(A字、8字)已知：如图，梯形ABCD,DC‖AB,在下底AB上取AE=EF,连 接DE、CF并延长交于点G,AC与DG交于点M,求证：DG·ME=EG·DM. 35 D B G 【答案】见解析 【详解】证明：：DC‖AB, .∠CDM=∠AEM,∠DCM=∠EAM, ∴.AAME~△CMD, 勰怨 同理，DC‖AB, ∴.∠GDC=∠GEF,∠GCD=∠GFE, .△EFG~△DCG, 既恶 AE=EF, EF=AE DC DC ME EG DMDG .DG·ME=EG·DM. 例2.（三等角模型）如图，在△ABC中，AB=AC,点P为BC边上一动点（不与点 B,C重合)，连接AP,过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B.求证： △ABP-△PCM. 36 【答案】 证明：，AB=AC, .∠B=∠C 在△ABP中，∠APC=∠B+∠BAP, 又∠APM=∠B,∠APC=∠APM+∠CPM, ∴.∠BAP=∠CPM」 .△ABP~△PCM」 例3.（三垂直模型）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且 CF=3FD,∠BEF=90. D B G (1)求证：△ABE一△乙： (2)若AB=6,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. 【详解】(1)解：.四边形ABCD为正方形， ∴.∠A=∠D=90°， .∠BEF=90, .∴.∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠g=90°， ∴.∠ABE=∠就， .△ABE一△g乙； (2)解：四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD=CD=6,AD‖BG, 'CF=3FD, 37 .DF=1.5, 设DE=X, ,△ABE一△就， 是丽 DF DE 即15= 6-x6 解得：X=3, ∴.DE=3, .AD‖BG, ∴∠g=∠G, ,'∠DFE=∠CFG ∴.△CGF一△i, DE DF ·CG CF CF=3FD, . 3-1 CG 3 ∴.CG=9, .∴.BG=BC+CG=15. 例4.（手拉手模型）如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在BD上，且 ∠BAF=∠DBC, AB_BC AF FD (1)求证：△ABC一△AFD: 【详解】(1)解：∠BAF=∠DBC, .∴∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF, 38 即∠AFD=∠ABC, 又：ABBC AF FD .△ABC~△AFD 【实战演练】 1.己知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°. 人60 E B D (1)求证：△ABD一△DCE: C2)如果AB=3,EC=,求DC的1 【答案】(1)见解析；(2)DC=1或DC=2. 【详解】(1)证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=60°，AB=AC, '∠B+LBAD=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=60°， ∴.∠BAD=∠CDE ∴△ABD-△DCE: (2)解：由(1)证得△ABD-△DCE, BD=CE AB DC 设CD=x,则BD=3-x, :3x-3 3 X ∴x=1或x=2, .∴.DC=1或DC=2, 39 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADE=∠B. B D (1)求证：△ABD一△DCE: (2)若AC=8,BC=6,CE=1,求BD的长. 【详解】(1)证明：，AB=AC, ∴.∠B=∠C, ,·∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠B, .∠BAD=∠CDE, .△ABD~△DCE; (2)解：'AB=AC,AC=8, .AB=8, 由(1)知，△ABD△DCE, .AB=BD CD CE' 即8 BD 6-BD 1 ∴.BD=2或4， 答：BD=2或4. 3.如图，正方形ABCD中，B,F分别是边AD,CD上的点，AE=ED,DF=DC 连接EF并延长交BC的延长线于点G. D G 40 (1)求证：△ABE一△乙： (2)若正方形的边长为4，求BG的长。 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°，AB=AD, AE-ED.DE-DC. DE=DE-1 AE AB 2 △ABE一△C: (2)解：四边形ABCD是正方形， .AD‖BC,∠D=∠FCG=90, “∠=∠G, ∴△些一△GCF, .DE=DE CF CG ©正方形的边长为4，DF=DC,AE=ED) .DF=1,CF=4-1=3,AE=ED=2, 品 .CG=6, ∴.BG=BC+CG=4+6=10 4.如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥ED于点F, ∠EAF=∠GAC. E G (1)求证：△ADE一△ABC. 41 2)若AD=5,AB=7,求 GC的值. 【详解】(1)证明：：AG⊥BC,AF⊥DE, .∠AFE=∠AGC=90°， ,∠EAF=∠GAC, .90°-∠EAF=90°-∠GAC,即∠AED=∠ACB, 又：∠EAD=∠CAB. ∴.△ADE一△ABC (2)解：由(1)可知△ADE一△ABC, .AE=AD 'AC AB AD=5,AB=7, 4E5 AC 7 由(1)可知∠AFE=∠AGC=90, 又，∠EAF=∠GAC, .△EAF一△CAG, EF AE 5 GC-AC7 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,E是BD上的点，且BE=2DE,连接AE并 延长，交DC于点F,BM⊥AF,分别交AD,AF于点M,N. AM (1)求DF的长： (2)求AM的长. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=9, ..AB CD, ∴，△ABE一△FDE, 42 架能 BE=2DE, -2 ..DF=3, (2)解：，BM⊥AF, .∠ANB=90 又，∠BAD=90° .∠ABN+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°， ,∠ABN=∠DAF, 又：∠BAD=∠ADF=90°， ∴.△ABM△DAF, .DE=AD AM AB 由(1)知DF=3, 品滑 .AM=2. 三、相似证明大题一基础 例1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内一点，且 ∠APB=∠APC=135°.求证：△CPA~△APB. 【答案】 43 证明：.∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠CAB=45° 即∠CAP+∠PAB=45°」 .:∠APC=135, .∠CAP+∠ACP=45 ∴.∠ACP=∠PAB .∠APB=∠APC=135°， ∴.△CPA一△APB. 例2.如图，在四边形ABCE中，AC、BE交于点F,点D在BE上， ∠BAD=∠EBC,AB=BC AD DE D (1)求证：△ABD一△ACE: 【答案】(1) 解：：∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC=∠EBC+∠ABD,∠BAD=∠EBC ∴.∠ABC=∠ADE. 又：AB=BC AD DE ∴.△ABC一ADE, AB AC .∠BAC=∠DAE, AD AE' ∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, AB AD AC AE ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD一△ACE 44 例3.如图，点O是△ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别是OA,OB, OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC一△乙 E 【答案】 证明：，点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .DE-ZAB.EF-BC.DF-ZAC. 即Ae-BC-AC=2, DE EF DE ∴△ABC一△gC. 【实战演练】 1.如图，在口ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE:点F为线段AE上一点，且 ∠DFE=∠C.求证：△ADF一△EAB D B 【答案】 证明：在口ABCD中，AD‖BC, .∠DAE=∠AEB, AB‖CD, ,∠B+∠C=180°， :∠DFE=∠C,∠AFD+∠DFE=180°， .∠B=∠AFD, .△ADF一△EAB. 45 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，分别取AD,AB的中点E, F,连接CE,CF,EF.求证：∠CFE=∠B. 【答案】 证明：，∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， .CE-AD,CE-TAB,EE-T DB. CE=CE-EF_1 AD AB DB2 .∴.△CEF~△ADB, .∠CFE=∠B. 四、相似证明大题一综合 例1.如图，在△ABC中，BC=6,D为AC延长线上一点，AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DE/IAB交BC的延长线于点E. (1)求证：△ECD一△EDB: (2)求DE的长度. 【答案】 （1)证明：，DE/AB, .∠A=∠EDC, ∠CBD=∠A, ∴.∠EDC=∠CBD,又∠E=∠E, ∴.△ECD△EDB 46 (2)解：·DE/IAB, 光罡 .AC=3CD,BC=6, 喝告 ∴.CE=2, ∴.BE=BC+CE=8 由(1)知△ECD-△EDB, DE CE BE DE ∴.DE2=16, ∴.DE=4. 答：DE的长度为4. 例2.（第二问需要重新证相似）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上， AG⊥BC于点G,AF⊥ED于点F,∠EAF=∠GAC. D (1)求证：△ADE一△ABC. EF 2若AD=5,AB=7,求GC的值. 【答案】(1) 证明：：AG⊥BC,AF⊥DE, .∠AFE=∠AGC=90°， .∠EAF=∠GAC, ∴.90°-∠EAF=90°-∠GAC,即∠AED=∠ACB, 又，∠EAD=∠CAB, 47 ,△ADE-△ABC: (2)解：由(1)可知△ADE一△ABC, .AE=AD ·ACAB AD=5,AB=7, 北 由(1)可知∠AFE=∠AGC=90°， 又，∠EAF=∠GAC, .△EAF一△CAG, EFAE5 GC-AC 7 例3.（偏难：第一问需要证明两次相似)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于点E,DB平分∠ADC,且AB=BE·BD B D (1)求证：△ABE一△DCE； (2)求证：AE·CD=BC·ED 【答案】(1) 证明：，AB=BE·BD AB=BD BE AB 且∠ABE=∠ABD ∴·△ABE△DBA '.∠BAE=∠ADB ,DB平分∠ADC ∴.∠CDE=∠ADB .∠BAE=∠CDE,且∠AEB=∠CED 48 .△ABE一△DCE (2) 证明：，△ABE一△DCE AEB DE CE ,且∠AED=∠BEC ∴△AEDBEC ∴.∠EAD=∠CBD,且∠CDB=∠ADB △DAE一DBC, 瓷品 ∴.AE·CD=BC·ED 例4，（偏难）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为线段CB延长线上一点，连结DE 交对角线AC于点F,∠ADE=∠BAC. D B (1)求证：CF·CA=CB·CE； (2)如果AC=DE,∠BAC=35°，则∠DFC=度. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, ∴.∠ADE=∠E, .·∠ADE=∠BAC, ∴.∠BAC=∠E, .'∠ACB=∠ECF, .△ACB-△ECF, 49 .AC:EC=CB:CF, ∴CF·CA=CB·CE; (2)解：由(1)知∠ADE=∠E, ,∠DFA=∠EFC, .△ADF一△CEF, DF-AF ·EFCF EF CF ·DEAC AC=DE. .'EF=CF. .∠E=∠ACB .·∠BAC=∠E=35°， ∴.∠DFC=∠E+∠ACE=70°， 故答案为：70. 【实战演练】 1.如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形 PBD,AD与BC,PC分别相交于点E,F,BC与PD交于点H. D E H (1)求证：△APD~△CPB: (2)求∠FEH的度数. 【答案】(1) 证明：，等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形PBD, .AC=AP,DP=DB. .∠APC=∠ACP=45°，∠DPB=∠DBP=45°， 50 勾股定理得：CP=V2AP,BP=V2DP, ..AP=Dp_ CP BP 2' ∠APD=∠CPB=45°+∠CPD, ∴.△APD-△CPB: (2)解：由(1)知：△APD一△CPB, ,∠PAD=∠PCB. .∠CFE=∠PA, .∠CEF=∠APC=45°， .∠FEH=180°-∠CEF=135°. 2.己知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC 交AD于点F （1)求证：△ABC一△FCD: 2水条尚微 B D 【详解】（1)证明：，AD=AC, ∴.∠ADC=∠ACB, D是边BC的中点，DE⊥BC ∴.DE是BC的中垂线 ∴BE=CE ∴.∠B=∠ECB, .∴.△ABC△FCD: （2)解：，△ABC一△FCD, 畏光 D是BC边的中点， 51 ∴.BC=2CD, ∴.AD=AC=2FD, .∠ACD=∠ADC,∠B=∠FCD, .∴.∠EAD=∠ACE, ∴.△EAF-△ECA, EAEFAF1 EC EA AC 2 ∴.EC=2EA=4EF, c EF 3. 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD=4.5,BD=3.5,AC=6.△ABC的角平 分线AE交CD于点F. B E (1)求证：△ACD一△ABC: (2)若AF=4,求AE的长度. 【答案】(1) 证明：AD=4.5,BD=3.5,AC=6 .∴.AB=AD+BD=4.5+3.5=8, ∴.AB·AD=4.5×8=36=AC2, 即AB=AC AC AD 又·∠BAC=∠CAD, .△ACD~△ABC. (2)解：由1)可知，△ACD~△ABC, .∴.∠ADC=∠ACB 又，∠BAC的角平分线AE交CD于点F, .∠DAF=∠CAE, 52 ,△DAF一△CAE, :A5=AD-45-3 AE AC 6 4 又，AF=4, AE=16 3· 4.如图，∠ABC=45°，点P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC,已知 ∠BPA=∠BPC=135°. B (1)求证：△CPB一△BPA: 2)若AC⊥BC,试求 PC的值. 【答案】(1) 证明：，∠BPA=135°， .∠ABP+∠BAP=180°-∠BPA=180°-135°=45°. ,∠ABP+∠CBP=∠ABC=45°， ∴.∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠CBP ∴.∠BAP=∠CBP ∠BPA=∠BPC=135°， ∴.△CPB一△BPA」 (2)解：AC⊥BC,∠ABC=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形。 .AB=2BC 由(1)知△CPB一△BPA」 .PC-BP BC BC 1 ·BP=AP=AB=2BC=2 53 :.BP=2 PC, ...AP=2BP=2x2PC=2PC. ∠BPA=∠BPC=135 ,∠APC=360°-135°-135°=90°， ∴.△APC是直角三角形. AC=AP2+PC2-(2PC)+PC2=85PC AC-5PC=5】 PC PC 5.如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE交DB于点F,BD平分∠ABC, ∠ADB=90° 求证：(1)△BFC一△DFE: (2)AB=8,BC=3,求 C的值· E 【详解】解：(1)，E为AB的中点，∠ADB=90°， :DE=BE=号AB. ∴.∠EDF=LEBF, .BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, ∴.∠EDF=LCBF, 又，∠EFD=∠CFB, ∴.△BFC-△DFE; (2),△BFC-△DFE, .BC=CF DE EF ∴AB=8, 54 :DE=B那= AB=4, 浮器 .CF-3EF, 4 :.CE-CF+EF-7EF, 4 4 EC_7 D 6.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且 CF=3FD,∠BEF=90°. G (1)求证：△ABE一△乙： (2)若AB=6,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. 【答案】(1) 解：.四边形ABCD为正方形， ∴.∠A=∠D=90°， .∠BEF=90°， ∴.∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠g=90°， ∴.∠ABE=∠乙 .△ABE一△g乙： (2)解：四边形ABCD为正方形， .AB=AD=CD=6,AD‖BG, CF=3FD 55 .DF=1.5, 设DE=X, △ABE一△g乙， :是丽 DF DE 即15=X 6-x6 解得：X=3, ∴.DE=3, .AD‖BG, ∴∠g=∠G, ,'∠DFE=∠CFG ∴.△CGF一△i, DE DF ·CG CF CF=3FD. . 3-1 CG 3 ∴.CG=9, .∴.BG=BC+CG=15. 7.如图，已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE, EG在同一条直线上，且AB=3,BC=V3,BF分别交AC,DC,DE于点M,N,H. 解答下列问题： C的值为 BG (2)求证：△FEG一△BFG: 56 (3)求：BM:MN:NF的值. 【详解】(1)解：：△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，AB=3, BC=3. .AB=AC=DC=DE=FE=FG=3,BC=CE=EG=V3 ..BG=3BC=33, FG3 3 BG 33 3' 3 故答案为：3 (2).'△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形， .'EG=CE=BC=3,GF=EF=DE=DC=AC=AB=3, ..FG=EG_V3 BG FG 3 又'∠FGE=∠BGF, ∴.△FGE△BGF. (3)解：，'△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形， ∴.∠ABC=∠DCE=∠FEG,∠ACB=∠DEC=∠FGE, .AB‖CD‖EF,AC‖DE‖FG BN-BC,BM:MH:HF=BC:CE:EG. NF CE BC=CE=EG=3 BN=3=1,BM:MH:H=3:3:V3=11:1, NF 3 ∴.BN=NF,BM=MH=HF, BN-BM-NF-HF,WMN-NH-IMH, ∴.BM=2MN,NF=3MN, ∴.BM:MN:NF=2:1:3. 8.偏难：已知：如图，梯形ABCD,DC‖AB,在下底AB上取AE=EF,连接DE、 CF并延长交于点G,AC与DG交于点M,求证：DG·ME=EG·DM. 57 D G 【详解】证明：，DC‖AB, ∴.∠CDM=∠AEM,∠DCM=∠EAM, ∴.△AME~△CMD, 设 同理，DC‖AB, ∴.∠GDC=∠GEF,∠GCD=∠GFE, .△EFG~△DCG, EF_EG ∴DGDG .AE=EF, .DC"DC EFAE MEEG DMDG .DG·ME=EG·DM」 10.如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm,点P为BC边上一动点（不与点 B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B. M (1)求证：△ABP一△PCM (2)当点BP=2cm时，求CM的值； 58 (3)当MP⊥BC时，求BP的值. 【详解】(1)解：，AB=AC, ∠B=∠C, ,∠APC=∠APM+∠CPM,∠APC=∠B+∠BAP,∠APM=∠B, .∠CPM=∠BAP, .△ABP-△PCM: (2)解：，BC=8cm,BP=2cm, ∴.CP=BC-BP=6cm, .△ABP-△PCM, ..CM=PC BPAB'即 CM6 25 ..CM=12 m: (3)解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D, ,在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm, :BD=CD=号BC=4cm, :.由勾股定理得：AD=AB-BD2=3cm MP⊥BC, ,∠MPC=90°， ,△ABP~△PCM, ∴.∠BAP=∠CPM=90°， ∠B=∠B,∠BAP=∠BDA, ∴，△BAP-△BDA, D 即AP5」 341 AP=15 cm, 4 一由勾股定理得：DP=√AP-AD2=9 cm, ·BP=BD+DP=25 m; 59 M B D 10.如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别为边AB、AC、BC上一点， 连接DF和EF,且∠B=∠DFE. F (1)求证：△BDF一△CFE: 2)连接DE,如果点F是BC中点，CE=3,EF=4,求DE的长. 【答案】(1) 证明：，AB=AC, ∴.∠B=∠C, ,∠B=∠DFE,且 ∠B+∠DFB+∠BDF=180°，∠BFD+∠DFE+∠CFE=180°， ∴.∠BDF=∠CFE ∴.△BDF一△CFE: （2)解：如图， D B F 由(1)可知：△BDF一△CFE, EF CE CE “FDBF BD 设BF=CF=X,且CE=3,EF=4, 60 DF三3x BD= 3 EF_3 CE_3 CF x EF_CE ,即 FFD FDC EC CE ,∠C=∠DFE, ∴△DFE△FCE, 既瓷 4=3 即D范4 DE=16 五、黄金分割 例1.(1)求中边：勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金， 生活中到处可见黄金分割的美.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割点 (AC>BC),已知AB=10cm,则AC长为() A.(5-/5)cm B.(5+5)cm C.(5+55]cm D.55-5cm 【答案】D 【详解】解：，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),AB=10cm, AC=5-1AB=S5-1×10=5R5-1=155-51am, 2 2 61 “·Ac的长为5V5-5cm 故选：D. (2)求短边：如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点AP>PB,如果AB 的长度为10cm,那么BP的长度为()cm A.55-5 B.5+5V5 c.15-55 D.15+5V5 【答案】C 【详解】解：由黄金分割可得： AP BP :10-BP BP AB AP 10 10-BP 整理得：10-BP?=10BP 解得：BP=15-55或15+55（舍去） 故答案为：C. 例2.（需分类讨论）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为 20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走 米才最理想. 【答案】30-105/-105+30 【详解】解：设一个主持人现在站在A处，则它应至少再走X米才最理想，则， ①若AC是BC与AB的比例中项， ℃ B 则AC=BC AB AC. 即x:20=20-x:x, 62 解得x=10V5-10: ②若BC是AC与AB的比例中项， C B 则ACBC BC-AB 即x:20-x=20-x:20, 解得：x=30-105: .30-10V5<10V5-10. 二他应至少再走30-105米才最理想， 故答案为：30-105引 【实战演练】 1.黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳 重、舒展美观.已知点C为AB的黄金分割点，且AC>BC,若AB=2cm,则AC的长为 cm 【答案】5-1 【详解】解：，点C为AB的黄金分割点，且AC>BC, .:AC=5-1 AB 2 .∵AB=2cm, :AC=51×2=6-1cm 2 63 2.一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中， 如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看.某位参加空姐选拔的选手身高160厘米， 上半身长65厘米，那么她应穿厘米的鞋子才能好看.（精确到1厘米） 【答案】10 【详解】解：设她应穿x厘米高的鞋子，原下半身长为160-65=95厘米，穿鞋子后下半 身长为95+x厘米，总身高为160+x厘米， ,黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比0.618， 95+x=0.618, 160+x .95+x=0.618160+x, 去括号，整理得0.382x=3.88, 解得X≈10， 经检验X≈10是原方程的根，结果符合题意， 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看. 3.节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20m, 则主持人站在离A点 处最自然得体.（结果精确到0.1m) 【答案】12.4m或7.6m 【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解： 当①黄金分割点离A近，如图所示： A 8 .∵AB=20m .由黄金分割比可知 AC_BC BC AB 设AC=Xm,则BC=20-xm,代入得到x、=20nx,解得x=30±105， 20-x20 ∴.AC=30-105≈7.6m,AC=30+10/5>20(舍奔)： ②黄金分割点离B近，如图所示： .:AB=20m 64 ∴.由黄金分割比可知 BC_AC AC AB 设AC=ym.则BC=20-y少m.代入符到20y兰六：解x=-10±105 .AC=-10+105≈12.4m,AC=-10-105<0(舍弃)： 综上所述，主持人站在离A点12.4m或7.6m处最自然得体， 故答案为：12.4m或7.6m 4.如图，C,D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=V5-1,则线段CD的长为 A →B C D 【答案】2V5-4 【详解】解：设线段AB=x, :点C、D是AB黄金分割点， .AD-35-1AB.AC-3-5 AB. 2 2 :AD=V5-1, .AB=2, ..AC=3-5, ∴.CD=AD-AC=2/5-4. 故答案为：2V5-4. 5.如图，线段AB=1,点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1<BP1),点P2是线段AP1的 黄金分割点（AP,<P,P,)，点P,是线段AP,的黄金分割点AP,<P,P,,依此类推， 则线段AP的长度是（） 2点 B 65 A./ 51 B. 5-1 2021 C. 3-520w D. 2 2 2 3-52021 2 【答案】C 【详解】解：根据黄金比的比值，BP,=5-L, 2 则AP,=1-5-1=3-6 221 3-5 AP,=2 3-53… ,AP=2 依此类推， 则线段AP2020 3-/52020 2 故选C. 66