3.1相似多边形 第1课时 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“图形的相似”第1课时，核心涵盖线段的比、成比例线段、相似多边形的概念及性质。通过展示生活中形状相同但大小不同的图片，引导学生观察特征，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 此资料以生活实例导入培养数学眼光，通过“找一找”“议一议”等探究活动引导自主归纳，发展推理意识（数学思维），结合矩形边框相似判断、绸布裁剪等例题，强化应用意识（数学语言）。助力学生提升观察与解决问题能力，帮助教师高效开展教学。

第三章 图形的相似 1 相似多边形 第1课时   一、教学目标 1.了解线段的比、成比例的线段的概念. 2.认识图形的相似，了解相似多边形、相似比的概念及表示方法，掌握相似多边形的性质及相关计算. 3.发展学生观察、操作、归纳、类比等能力，提高学生的数学思维水平. 4.体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造.   二、教学重难点 重点：理解线段比的概念及其求解，掌握比例的基本性质及简单应用，会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形. 难点：利用比例的基本性质解决有关问题，掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：教师展示两组图片，引导学生分别观察他们的特征，教师引导学生观察并回答下面问题. 问题1：观察这两张图中的亭子，它们有什么特征？ 预设答案：形状相同，大小也相同. 问题2：观察这两个图形形状相同吗？大小相等吗？ 预设答案：形状相同，大小不同. 设计意图：通过此活动，希望学生能从中获取尽可能多的相似图形的信息，体会相似图形在生活中的实际意义，培养学生善于观察生活的习惯、乐于探索研究的数学精神. · 探究新知 活动一：两条线段的比 找一找：在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形. 你能在图中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 预设答案： 思考1：图中形状相同的图形有什么不同？ 预设答案：形状相同，大小不同. 思考2：形状相同、大小不同的图形，其中的一个如何由另一个得到？ 预设答案：图形之间的“放大、缩小”. 思考3：形状相同、大小不同的图形，对应线段如何变化？ 预设答案：图形上相应的线段也被“放大、缩小”. 思考4：形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描述它们的大小关系？ 预设答案：对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 设计意图：让学生经历从生活中的图片(具体)过渡到几何图形(抽象)，从找到图形中形状相同的到描述形状相同图形的不同的探究过程. 总结：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成=.其中，线段AB、CD分别叫作这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，那么=k，或AB=kCD.两条线段的比实际上就是两个数的比. 设计意图：抽象出两条线段的比的定义.引入比值k，为后续解决比例问题的一种重要方法. 做一做：如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm，AB∶A′B′=________. 预设答案：53. 就是线段AB与线段A′B′的比. 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系. 思考：在求两条线段的比时应注意哪些问题？ 两条线段的比的结果有单位吗？ 两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 预设答案：①两条线段的比就是长度的比，它没有单位； ②两条线段的比是有顺序的； ③两条线段的比与所选的长度单位无关； ④求两条线段的比时，如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 设计意图：通过想一想小练习，及时巩固两条线段的比的概念及其意义，帮助学生深入理解两个线段的比的定义. 活动二：成比例的线段 做一做：如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上. (1)AB，BC，A′B′，B′C′的长度分别是多少？ 预设答案：AB=2，BC=2，A′B′=1，B′C′=. (2)分别计算，，，的值，你发现了什么？ 预设答案：=2，=2，=，=.发现=2，=. 设计意图：教师引导学生发现这四组对应线段的比相等，进而引出比例线段的概念. 总结：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比， 即，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例的线段，简称比例线段. 在下图中，AB，A′B′，BC，B′C′是成比例的线段，AB，BC，A′B′， B′C′也是成比例的线段. 设计意图：引导学生注意，四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关.归纳判断四条线段成比例的方法. 思考：如何判断四条线段是否是成比例线段呢？ 预设答案：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后： 方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等； 方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等.若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段. 练一练：判断下列四条线段是否成比例？ (1)a=2，b=，c=，d=2； (2)a=，b=3，c=2，d=. 预设答案：(1)a，b，c，d不成比例，但a，d，b，c成比例. (2)不成比例. 技巧点拨：一排(排顺序)； 二算(算比值或乘积)； 三判(判断是否是成比例线段). 设计意图：通过练习及时巩固所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.从用小写字母a、b、c、d表示线段到用a、b、c、d表示数，完成“形”到“数”的转换，进而为后面从数的角度讨论比例性质奠定基础. 议一议：如果a、b、c、d 四个数成比例，即，那么ad＝bc 吗？反过来，如果ad＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比例吗？ 预设答案：①由bd×=×bd可得ad=bc. ②若bd不等于0，在ad=bc两边同时除以bd，得=. 此时a，b，c，d四个数成比例. 总结：如果，那么ad=bc. 如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么. ad=bc叫作等积式， 叫作比例式. 活动三：相似多边形 想一想：观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗？ (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角？你是怎么知道的？ (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 预设答案：图中的五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形. (1)A与A′，B与∠B′，∠C与∠C′，∠D与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角. (2)AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等，称为对应边. 设计意图：通过活动，初步体会形状相同的两个多边形，对应的角相等，对应边成比例，从而归纳引出相似多边形的概念及相似比的概念. 总结：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 例如，在图中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′， “∽”读作“相似于”.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 相似多边形对应边的比叫作相似比. 例如，六边形ABCDEF六边形A′B′C′D′E′F′， 对应边的比 . 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比=， 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比=. 设计意图：明确相似多边形的概念及相似比的概念. 思考1：两个全等三角形相似吗？为什么？ 预设答案：相似.两个全等三角形相似比为1. 思考2：你是如何判断两个多边形相似的？ 预设答案：判定相似多边形的条件： (1)边数相同；(2)角分别相等；(3)边成比例. 以上三个条件必须同时具备，缺一不可. 小结：相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 思考3：任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形相似吗？任意两个正n边形呢？ 预设答案：已知等边三角形的每个角都为60，三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等. 和等边三角形一样，任意两个正方形和正n边形都相似. 小结：任意两个边数相等的正多边形都相似. 设计意图：此处留给学生充分的时间与空间去想象和思考.并培养学生对某个问题作出正确判断、合理解决问题的能力.使学生完整地经历 “思考——讨论——印证——作出正确的结论” 和“特殊向一般推广”的活动过程，深刻体会思考、论证对决策问题的直观重要性. 做一做：一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如下图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 预设答案：外围的木质边框的长为：3+2×0.075=3.15(m)， 宽为：1.5+2×0.075=1.65(m)， ∵1.5︰3≠1.65︰3.15， ∴边框的内外边缘所成的矩形不相似. 此时教师提示学生，直观看到的有时是不可靠的. 设计意图：经历探索相似多边形的概念后，学生在实际情景中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【经典例题】 例1 如图，一块矩形绸布的长AB=a m，AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 分析：依题意知，AB=a m，AE=a m，AD=1m.又有，根据比例的基本性质即可求出a的值. 解：根据题意可知，AB=a m，AE=a m，AD=1m. 由，得 即. . 开平方，得. 例2 已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，ADBC，A′D′B′C′，A＝A′，AD＝2，A′D′＝4，AB＝3，B′C′＝6. 求A′B′和BC的长. 分析：由相似比的概念可知对应边的比等于相似比．所以相似比为：AD : A′D′=1:2，再根据对应边中的一条边的长度，即可求出另一条边的长度． 解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴相似比， ∵AB＝3，B′C′＝6，∴A′B′＝6，BC＝3. 设计意图：通过解决例题强化对成比例的线段、相似比及相似多边形的性质的理解，并应用其解决一些简单的计算问题，培养学生的应用意识. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些利用线段比的事例？ 解：地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，如1∶10 000，意为图上距离是1cm，实际距离为10 000cm. 例如，工件图纸比例表示工件缩小或放大， 如1∶2，意为工件缩小到原来的画在图纸上. 2. a，b，c，d是成比例的线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长. 解：因为a，b，c，d是成比例线段， 所以a∶b=c∶d，即3∶2=6∶d. 所以3d=12，即d=4cm. 3.图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由. 解：(1)相似.理由：两个矩形各角分别相等，各边成比例. (2)不相似.理由：两个矩形的各边不成比例. 【自选练习】 4. 已知线段AB=2.5米，CD=400厘米，则线段AB和CD的比是 . 解: 2.5米=250厘米， AB∶CD=250∶400=5∶8. 注意：求两条线段的比值，首先要统一长度单位. 5.如图，矩形ABCD矩形EFGH，它们的相似比是2 : 3，已知AB=3 cm，BC=5 cm，求EF，FG的长. 解：∵矩形ABCD矩形EFGH，且相似比为2 : 3， AB : EF＝2 : 3，BC : FG＝2 : 3， AB=3 cm，BC=5 cm， ∴EF=cm，FG=cm. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.什么是两条线段的比？ 2.什么是成比例的线段？ 3.相似多边形的概念、性质是什么？ 4.相似比的概念是什么？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $