2026-2027学年沪科版数学八年级上册 第11～12章 平面直角坐标系与一次函数 第一次月考压轴题专项训练

沪科版数学八年级上册 第11～12章 平面直角坐标系与一次函数 第一次月考压轴题专项训练 （原卷版）　范围：平面直角坐标系、函数与一次函数 （本卷围绕第11章平面直角坐标系与第12章一次函数，按“解题通法—九大题型—压轴挑战”编排，题目由易到难分层设计，含坐标规律、动点行程、面积存在性与新定义等合肥月考压轴热点；请先独立完成，再对照解析版订正。） 一、解题通法（方法归纳） 1．点与坐标是一一对应的：由点向两坐标轴作垂线，垂足对应的数依次为横坐标、纵坐标；反之，按横、纵坐标在两轴上的位置作垂线，交点即为所求点。 2．由坐标符号定象限：（＋，＋）在第一象限，（−，＋）在第二象限，（−，−）在第三象限，（＋，−）在第四象限；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。 3．点到坐标轴的距离要取绝对值：点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|；已知距离反求坐标时，务必按点所在象限（或半轴）分类讨论符号。 4．对称点的坐标规律：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号；关于原点对称，横、纵坐标都变号。 5．平移规律可概括为“右加左减、上加下减”：点（x，y）向右（左）平移a个单位得（x±a，y），向上（下）平移b个单位得（x，y±b）；图形平移时，所有点按同一规则变化。 6．平行于坐标轴的直线上的点坐标特征明显：平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同，解题时据此列方程。 7．求坐标系中图形的面积，优先用“割补法”：把水平边、竖直边作底，用点到直线的竖直（水平）距离作高；不规则图形可用外包矩形减去若干直角三角形，求线段长只用水平、竖直距离，不使用两点间距离公式。 8．坐标规律探究题，先算出前若干个点的坐标，按周期或序号寻找通项，再用通项计算较大序号的点；动点类问题要先弄清每一步（或每一循环）坐标的变化量。 9．确定一次函数解析式用待定系数法：设y＝kx＋b，把图象上两个已知点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组求解；正比例函数只需一个非原点条件。 10．读一次函数（行程）图象，要抓住“起点、折点、交点、水平段、终点”五类关键点：折点对应速度或状态改变，交点对应两车（两人）相遇或路程相等，水平段对应停留。 11．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解；比较两个函数值的大小（解kx＋b＞mx＋n一类不等式），只需在图象上看哪条直线在上方，结合交点横坐标确定范围。 12．面对“新定义”题，先把新规则翻译成熟悉的运算或图象，举一两个特例验证理解，再按规则逐步计算；分段（含绝对值）的新函数，要按分界点分段写出解析式后再讨论。 二、九大题型归纳 题型一　平面直角坐标系与几何图形综合 【典例1】如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，其坐标分别为A（2，4）、B（1，2）、C（5，2）。（1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；（2）若以点B为坐标原点，以BA所在网格方向重新建立与原坐标轴平行的坐标系，求此时点B1的坐标；（3）求△ABC在平移过程中，边BC所扫过的图形的面积。 【变式1-1】如图，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（−2，1）、B（1，3）、C（3，1）、D（1，−1）。（1）将四边形ABCD向左平移2个单位长度，写出平移后各顶点的坐标；（2）若将四边形ABCD整体向上平移3个单位长度，写出平移后各顶点的坐标。 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（−6，0），与y轴交于点B（0，m），点C（−2，2）在线段AB上，过点C作CN⊥x轴于点N、作CQ⊥y轴于点Q。（1）若△AOC的面积为6，且S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，求m的值及点B的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线AB上一点P的纵坐标为，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，直线AB上是否存在点H，使△AOH的面积为3？若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 题型二　平移、对称与含参点的综合 【典例2】已知点M的坐标为（3k，−k−2）。（1）当k＝1时，求点M的坐标，并判断点M在第几象限；（2）在平面直角坐标系中，将点M先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，若点N（3k＋2，−k−5）在第二象限，求k的取值范围。 【变式2-1】如图，方格纸中△ABC的三个顶点都在格点上，其中A（3，4）、B（2，1）、C（5，2），将△ABC平移后得到△A1B1C1，已知点A的对应点为A1（0，2）。（1）写出点C的对应点C1的坐标；（2）若△ABC内任意一点M的坐标为（x，y），写出平移后对应点M1的坐标。 【变式2-2】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（−2，−1）、B（4，−2）、C（2，3）。（1）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，写出各顶点的坐标；（2）画出△ABC关于y轴成轴对称的△A2B2C2，并写出各顶点的坐标；（3）求△ABC的面积。 题型三　坐标规律探究与新定义变换 【典例3】在平面直角坐标系中，定义一种变换T：T（x，y）＝（2x＋y，x−2y）。例如T（2，3）＝（2×2＋3，2−2×3）＝（7，−4）。（1）求T（1，2）；（2）若T（x，y）＝（5，−5），求x−y的值。 【变式3-1】如图，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，得到点A1、A2、A3、…，其中A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）……（1）直接写出A7、A8的坐标；（2）求点A2024的坐标；（3）动点移动第2000步时，移动的方向是什么？ 【变式3-2】一个质点从坐标原点O（0，0）出发，只能向上或向右运动，且每秒移动1个单位长度。（1）当质点运动了11秒时，它可能到达的整点（横、纵坐标均为整数的点）共有＿＿＿＿个；（2）当质点到达点（23，8）时，它一共运动了＿＿＿＿秒。 题型四　到坐标轴（角平分线）距离相等的含参讨论 【典例4】已知点P的坐标为（2a−3，a＋2）。（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；（2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标。 【变式4-1】已知A（−2，a＋2）、B（a−3，4）、C（b−4，b）三个点。（1）若线段AB平行于x轴，求a的值及A、B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，若点C到y轴的距离为2，求点C的坐标。 【变式4-2】已知点M（2m−3，m＋2）。（1）若点M在y轴上，则点M的坐标为＿＿＿＿；（2）若点M到x轴、y轴的距离相等，则点M的坐标为＿＿＿＿。 【变式4-3】已知点P（2a−4，2−3a）、Q（2，7）。（1）若线段PQ平行于y轴，求点P的坐标；（2）若点P到x轴的距离为3，求a的值。 题型五　一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【典例5】一次函数y＝−2x＋4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式5-1】若一次函数y＝2x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则该一次函数的解析式为＿＿＿＿。 【变式5-2】如图，一次函数y＝2x与y＝−3x＋k的图象相交于点P，且点P的横坐标为1。（1）求k的值及点P的坐标；（2）求直线y＝−3x＋k与x轴的交点Q的坐标；（3）求直线y＝2x、直线y＝−3x＋k与x轴所围成的三角形的面积。 【变式5-3】某一次函数y＝kx＋b，当x＝−1时y＝1，当x＝1时y＝3。（1）求该一次函数的解析式；（2）求该函数图象与两坐标轴交点的坐标；（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。 题型六　两条直线的交点、面积与一次不等式 【典例6】如图，一次函数y＝mx＋4的图象l1与一次函数y＝2x−4的图象l2相交于点C，且点C的纵坐标为2。（1）求点C的坐标及m的值；（2）直接写出关于x的不等式mx＋4＜2x−4的解集。 【变式6-1】如图，一次函数y1＝x＋1与y2＝mx＋n的图象相交于点A（4，a），y2的图象与y轴交于点D（0，9）。（1）求a的值及y2的解析式；（2）直接写出当0≤y1＜y2时自变量x的取值范围。 【变式6-2】直线l1经过A（−4，0）、B（0，2）两点，直线l2：y＝x−1与y轴交于点C，l1与l2相交于点P。（1）求直线l1的解析式；（2）求点P的坐标；（3）直接写出不等式x＋2＜x−1的解集。 【变式6-3】如图，一次函数y1＝kx＋b与y2＝mx＋2的图象相交于点A（−1，3），两条直线分别与x轴交于点B、C，且△ABC的面积为9。（1）若y2＝−x＋2，求点C的坐标及m的值；（2）若点B的坐标为（−4，0），求y1的解析式；（3）直接写出当0＜y1＜y2时x的取值范围。 题型七　一次函数与几何图形面积的存在性问题 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知√(b−6)＋（c＋3）²＋|a−3|＝0，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（c，a）。（1）求a、b、c的值及A、B、C三点的坐标；（2）若点P（2，n）在第四象限，试用含n的式子表示四边形OPBC的面积S；（3）在（2）中，当n＝−2时，在y轴上是否存在点M，使△BOM的面积等于此时四边形OPBC的面积？若存在，求出点M的坐标。 【变式7-1】如图，一次函数y1＝kx＋3的图象与正比例函数y2＝−x的图象交于点A，且点A的横坐标为−2，y1的图象与y轴交于点B。（1）求k的值；（2）直接写出当0＜y1＜y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP的面积为6？若存在求出点P的坐标；（4）若点M（m，y1）在线段AB上移动、点N（1−m，y2）在射线AO上移动，求y1−y2的最小值。 【变式7-3】如图，一次函数y＝kx＋2k＋4（k为常数，且k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，且点A的横坐标为1，该一次函数图象分别与x轴、y轴交于点B、C。（1）求k的值及该一次函数的解析式；（2）直接写出kx＋2k＋4＞2x的解集；（3）求△BOC的面积；（4）在x轴上是否存在点P，使△PAB的面积为3？若存在求出点P的坐标。 题型八　动点与行程问题中的分段函数图象 【典例8】甲、乙两地相距480千米，一辆慢车从乙地、一辆快车从甲地同时出发，沿同一条公路相向而行。已知慢车速度为80千米/时，快车速度为120千米/时，快车到达乙地后立即原速返回甲地，慢车到达甲地即停止。图中折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间x（时）之间的函数关系。（1）求两车出发后几小时相遇（即图中点C的横坐标）；（2）求点D的坐标，并说明点D表示的实际意义；（3）求两车出发后何时相距300千米。 【变式8-1】周末小华骑自行车去植物园，出发后匀速骑行半小时到达距家10千米处，自行车出现故障修车用了半小时，修好后按原速继续骑行，2小时时到达植物园。小华的爸爸在小华出发小时后骑摩托车沿同一路线以60千米/时的速度前往，结果比小华早10分钟到达。如图（折线表示小华离家的路程y与时间x的关系），下列说法错误的是（　　） A．小华骑车的速度为20千米/时 B．爸爸出发后离家路程y与时间x的关系式为y＝60x−80 C．爸爸出发25分钟后追上小华 D．植物园距小华家28千米 【变式8-2】某公园智慧健身步道全长3000米，起点和终点分别设有打卡点。小兴从起点出发，以60米/分的速度匀速步行，50分钟到达终点C。桐桐从起点出发，先以60米/分的速度步行20分钟到达途中的休息点A（对应图中横坐标m），在A处打卡休息10分钟，然后扫码租用电动车，以160米/分的速度匀速骑行到达终点C，比小兴早到。图中折线表示桐桐的路程s（米）与时间t（分）的关系。（1）求m的值和桐桐到达终点的时刻n（用分数表示），并求出桐桐比小兴早到几分钟；（2）求桐桐骑行路段s关于t的函数解析式及t的取值范围；（3）桐桐再次出发后，什么时刻两人相距200米？ 题型九　一次函数中的新定义问题 【典例9】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。若关联数为[3，m−2]的函数是正比例函数，则点（1，2m＋1）在第＿＿＿＿象限。 【典例10】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。若关联数为[1，m＋2]的函数是正比例函数，则关于x的方程x−＝2的解为＿＿＿＿。 【变式9-1】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。（1）若关联数为[2，3−k]的函数是正比例函数，求k的值；（2）已知某一次函数的图象经过A（1，3）、B（5，1）两点，求该函数的关联数。 【变式9-3】定义：把一次函数y＝kx＋b在x≤m的部分保持不变、在x＞m的部分改为y＝−kx−b，所得到的函数称为y＝kx＋b的“m变函数”。（1）求y＝x＋1的“2变函数”在x＝4时的函数值；（2）求y＝x＋2的“1变函数”与y＝x−2的“−1变函数”图象的交点坐标；（3）求y＝2x＋2的“1变函数”在−3≤x≤3时函数值的取值范围。 三、压轴挑战 （一）选择题 1．在平面直角坐标系中，把满足|x|＋|y|＝1的点（x，y）称为“励志点”，这些点组成一个以（1，0）、（0，1）、（−1，0）、（0，−1）为顶点的菱形。若一次函数y＝kx＋b的图象经过点E（2，−2），并且图象上存在“励志点”，则k的取值范围是（　　） A．−2≤k≤− B．−≤k≤− C．−2≤k≤− D．−≤k≤− 2．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点及内部一点M的位置如图所示，其中A（−2，2）、B（−1，0）、C（2，1）、M（0，1）。将△ABC（连同点M）作一次平移，使点M移到点M1（−3，2），则平移后点A的对应点A1的坐标是（　　） A．（−5，3） B．（−5，1） C．（1，3） D．（1，1） 3．若一次函数y＝kx＋b，当−1≤x≤3时，相应的函数值满足−2≤y≤6，则下列结论正确的是（　　） A．该函数一定是y＝2x B．该函数一定是y＝−2x＋4 C．该函数为y＝2x或y＝−2x＋4 D．满足条件的函数有无数个 4．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的纵坐标恰好等于横坐标的2倍，即y＝2x，则称点P为“两倍点”。下列关于“两倍点”的说法错误的是（　　） A．正比例函数y＝kx（k≠2）的图象上有且只有一个“两倍点”（原点） B．一次函数y＝x＋1的图象上的“两倍点”为（1，2） C．一次函数y＝2x图象上的每一个点都是“两倍点” D．任意一个一次函数的图象上都存在“两倍点” 5．如图①，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点M从点B出发，沿B→C→D的方向以每秒1个单位长度的速度运动。设运动时间为t秒，△ADM的面积为y，图②中能大致表示y与t之间函数关系的图象上，当y＝3时，t的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．4或6 6．如图，函数y＝|2x−4|的图象与直线y＝b（b为常数，b＞0）交于A、B两点，若线段AB的长为8，则b的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．8 （二）填空题 7．定义一种新运算：（a，b）⊗（c，d）＝（ac＋bd，ad−bc）。例如（1，2）⊗（3，4）＝（1×3＋2×4，1×4−2×3）＝（11，−2）。若（m，n）⊗（0，1）＝（1，2），则以（m，n）为坐标的点A在第＿＿＿＿象限。 8．已知直线l1经过点（−3，0）、（0，1），直线l2：y＝ax−2（a为常数，且a＞0）。若l1与l2平行，则a＝＿＿＿＿；若对于一切x＞1，都有l1上的函数值y1小于l2上的函数值y2，则a的取值范围是＿＿＿＿。 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x−1与x轴交于点A1，以OA1为一边向上作第一个正方形；再以相同方式依次作第二个、第三个……正方形，顶点B1、B2、B3、…都在直线l的同侧。按此规律，点Bn的坐标为＿＿＿＿，由此可得点B2025的坐标为＿＿＿＿。 10．如图，一次函数y＝−x＋b的图象与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，且△AOB的面积为8，则b＝＿＿＿＿；若第二象限内有一点F（m，n），连接FA交y轴于点D，则△ABF的面积为＿＿＿＿（用含m、n的式子表示）。 （三）解答题 11．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）（a、b均为非零常数），定义它的“倾斜系数”k＝max，，即取与中较大的值。（1）求点P（6，2）的倾斜系数；（2）若点P（a，b）的倾斜系数为2，写出a与b之间的等量关系；（3）在（2）的条件下，若a＋b＝3，求点P的坐标。 12．如图，△A1B1C1是由△ABC向右平移4个单位长度得到的，已知A1（1，1）、B1（4，2）、C1（3，5）。（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）求△ABC在平移过程中所扫过的图形的面积。 13．如图，一次函数y＝kx−1的图象l1与一次函数y＝x＋1的图象l2相交于点A，且点A的纵坐标为2，l1、l2分别与y轴交于点B、D。（1）求点A的坐标及k的值，并写出点B、D的坐标；（2）过x轴上的点N作x轴的垂线（直线MN），分别交l2于点M、交x轴于点N，当线段MN的长等于线段BD长的2倍时，求点M的坐标。 14．如图，直线l1经过A（−1，0）、C（1，3）两点，直线l2经过B（2，0）、C（1，3）两点。（1）分别求直线l1、l2的解析式；（2）直接写出方程“l2对应的一次式＝0”的解，以及不等式“l2对应的一次式＜0”的解集；（3）直接写出l1对应的函数值大于l2对应的函数值时x的取值范围；（4）求△ABC的面积。 15．如图，在平面直角坐标系中，把三角形（顶点为A1（1，0）、A2（2，1）、A3（3，0），底边在x轴上）沿x轴正方向每次向右平移3个单位长度，得到一系列三角形，对应顶点依次记为A1、A2、A3、A4、…，下文中用A(k)表示下标为k的点。（1）写出A4、A5、A6的坐标；（2）用含n（n为正整数）的式子分别表示点A(3n−2)、A(3n−1)、A(3n)的坐标；（3）求点A2025的坐标。 16．国庆假期，小明一家乘出租车（网约车）从高铁站出发去某景点，图中折线表示出租车离高铁站的距离y（千米）与行驶时间x（时）的关系。已知去景点时一路畅通，平均速度为50千米/时，行驶3小时到达；在景点停留时间不计，返回时因轻微拥堵，平均速度为60千米/时，5.5小时回到高铁站。（1）分别求去程、回程y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）求行驶4小时时出租车离景点的距离；（3）回程途中经过一个高速服务区（记为乙地），已知出租车去程和回程两次经过乙地的时间间隔为小时，求乙地距离高铁站多少千米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版数学八年级上册 第11～12章 平面直角坐标系与一次函数 第一次月考压轴题专项训练 （解析版）　范围：平面直角坐标系、函数与一次函数 （本解析版与原卷版配套，每题给出思路点拨、详细解析与标准答案，几何作图题给出规范结果图。） 一、解题通法（方法归纳） 1．点与坐标是一一对应的：由点向两坐标轴作垂线，垂足对应的数依次为横坐标、纵坐标；反之，按横、纵坐标在两轴上的位置作垂线，交点即为所求点。 2．由坐标符号定象限：（＋，＋）在第一象限，（−，＋）在第二象限，（−，−）在第三象限，（＋，−）在第四象限；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。 3．点到坐标轴的距离要取绝对值：点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|；已知距离反求坐标时，务必按点所在象限（或半轴）分类讨论符号。 4．对称点的坐标规律：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号；关于原点对称，横、纵坐标都变号。 5．平移规律可概括为“右加左减、上加下减”：点（x，y）向右（左）平移a个单位得（x±a，y），向上（下）平移b个单位得（x，y±b）；图形平移时，所有点按同一规则变化。 6．平行于坐标轴的直线上的点坐标特征明显：平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同，解题时据此列方程。 7．求坐标系中图形的面积，优先用“割补法”：把水平边、竖直边作底，用点到直线的竖直（水平）距离作高；不规则图形可用外包矩形减去若干直角三角形，求线段长只用水平、竖直距离，不使用两点间距离公式。 8．坐标规律探究题，先算出前若干个点的坐标，按周期或序号寻找通项，再用通项计算较大序号的点；动点类问题要先弄清每一步（或每一循环）坐标的变化量。 9．确定一次函数解析式用待定系数法：设y＝kx＋b，把图象上两个已知点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组求解；正比例函数只需一个非原点条件。 10．读一次函数（行程）图象，要抓住“起点、折点、交点、水平段、终点”五类关键点：折点对应速度或状态改变，交点对应两车（两人）相遇或路程相等，水平段对应停留。 11．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解；比较两个函数值的大小（解kx＋b＞mx＋n一类不等式），只需在图象上看哪条直线在上方，结合交点横坐标确定范围。 12．面对“新定义”题，先把新规则翻译成熟悉的运算或图象，举一两个特例验证理解，再按规则逐步计算；分段（含绝对值）的新函数，要按分界点分段写出解析式后再讨论。 二、九大题型归纳 题型一　平面直角坐标系与几何图形综合 【典例1】如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，其坐标分别为A（2，4）、B（1，2）、C（5，2）。（1）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；（2）若以点B为坐标原点，以BA所在网格方向重新建立与原坐标轴平行的坐标系，求此时点B1的坐标；（3）求△ABC在平移过程中，边BC所扫过的图形的面积。 【思路点拨】平移作图先移三个顶点再顺次连接；以B为新原点时，把各点坐标同时减去B的坐标；线段平移扫过的是平行四边形，底为平移的水平分量、高为竖直分量。 【解析】（1）按“右加左减、上加下减”，各点横坐标加3、纵坐标加2，得A1（5，6）、B1（4，4）、C1（8，4），在网格中描点并顺次连接即得△A1B1C1。 （2）以B（1，2）为新原点，新坐标等于原坐标减去B的坐标，故B1（4−1，4−2）＝（3，2）。 （3）边BC水平，BC＝5−1＝4；平移的竖直距离为2，BC扫过的图形是平行四边形，其面积＝底×高＝4×2＝8。 【答案】（1）A1（5，6）、B1（4，4）、C1（8，4）；（2）B1（3，2）；（3）面积为8。 【变式1-1】如图，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（−2，1）、B（1，3）、C（3，1）、D（1，−1）。（1）将四边形ABCD向左平移2个单位长度，写出平移后各顶点的坐标；（2）若将四边形ABCD整体向上平移3个单位长度，写出平移后各顶点的坐标。 【解析】（1）向左平移2个单位，各点横坐标减2、纵坐标不变，得A′（−4，1）、B′（−1，3）、C′（1，1）、D′（−1，−1）。 （2）向上平移3个单位，各点纵坐标加3、横坐标不变，得A″（−2，4）、B″（1，6）、C″（3，4）、D″（1，2）。 【答案】（1）（−4，1）、（−1，3）、（1，1）、（−1，−1）；（2）（−2，4）、（1，6）、（3，4）、（1，2）。 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（−6，0），与y轴交于点B（0，m），点C（−2，2）在线段AB上，过点C作CN⊥x轴于点N、作CQ⊥y轴于点Q。（1）若△AOC的面积为6，且S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，求m的值及点B的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线AB上一点P的纵坐标为，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，直线AB上是否存在点H，使△AOH的面积为3？若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 【解析】（1）由C（−2，2）知CN＝2，△AOC以OA＝6为底、CN为高，S△AOC＝×6×2＝6。设B（0，m），则S△AOB＝×6m＝3m，S△BOC以BO＝m为底、点C到y轴距离2为高，S△BOC＝×m×2＝m。由S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，得3m＝6＋m，解得m＝3，故B（0，3）。 （2）直线AB过A（−6，0）、B（0，3），解析式为y＝x＋3。令y＝，得x＋3＝，x＝1，故P（1，）。 （3）存在。设H（x，y），△AOH以OA＝6为底、点H到x轴的距离|y|为高，由×6×|y|＝3得|y|＝1。当y＝1时，x＋3＝1，x＝−4；当y＝−1时，x＋3＝−1，x＝−8。故H（−4，1）或H（−8，−1）。 【答案】（1）m＝3，B（0，3）；（2）P（1，）；（3）H（−4，1）或（−8，−1）。 题型二　平移、对称与含参点的综合 【典例2】已知点M的坐标为（3k，−k−2）。（1）当k＝1时，求点M的坐标，并判断点M在第几象限；（2）在平面直角坐标系中，将点M先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，若点N（3k＋2，−k−5）在第二象限，求k的取值范围。 【解析】（1）k＝1时，M（3，−1−2）＝（3，−3），横坐标为正、纵坐标为负，故点M在第四象限。 （2）点N在第二象限，需横坐标小于0且纵坐标大于0，即3k＋2＜0且−k−5＞0。由3k＋2＜0得k＜−；由−k−5＞0得k＜−5。取两者的公共部分，得k＜−5。 【答案】（1）M（3，−3），在第四象限；（2）k＜−5。 【变式2-1】如图，方格纸中△ABC的三个顶点都在格点上，其中A（3，4）、B（2，1）、C（5，2），将△ABC平移后得到△A1B1C1，已知点A的对应点为A1（0，2）。（1）写出点C的对应点C1的坐标；（2）若△ABC内任意一点M的坐标为（x，y），写出平移后对应点M1的坐标。 【解析】由A（3，4）平移到A1（0，2），横坐标变化0−3＝−3、纵坐标变化2−4＝−2，即先向左平移3个单位、再向下平移2个单位。 （1）C（5，2）平移后C1（5−3，2−2）＝（2，0）。 （2）M（x，y）平移后M1（x−3，y−2）。 【答案】（1）C1（2，0）；（2）M1（x−3，y−2）。 【变式2-2】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（−2，−1）、B（4，−2）、C（2，3）。（1）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，写出各顶点的坐标；（2）画出△ABC关于y轴成轴对称的△A2B2C2，并写出各顶点的坐标；（3）求△ABC的面积。 【解析】（1）横坐标加4、纵坐标加1，得A1（2，0）、B1（8，−1）、C1（6，4）。 （2）关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号，得A2（2，−1）、B2（−4，−2）、C2（−2，3）。 （3）用割补法（外包矩形）：包围△ABC的矩形横向从−2到4长6、纵向从−2到3高5，面积为30；减去三个直角三角形，面积分别为×6×1＝3、×2×5＝5、×4×4＝8，故S△ABC＝30−3−5−8＝14。 【答案】（1）A1（2，0）、B1（8，−1）、C1（6，4）；（2）A2（2，−1）、B2（−4，−2）、C2（−2，3）；（3）面积为14。 题型三　坐标规律探究与新定义变换 【典例3】在平面直角坐标系中，定义一种变换T：T（x，y）＝（2x＋y，x−2y）。例如T（2，3）＝（2×2＋3，2−2×3）＝（7，−4）。（1）求T（1，2）；（2）若T（x，y）＝（5，−5），求x−y的值。 【思路点拨】新定义运算的关键是“对号入座”，按括号内第一、第二个数分别代入规则，必要时通过解方程组求原来的x、y。 【解析】（1）T（1，2）＝（2×1＋2，1−2×2）＝（4，−3）。 （2）由定义列方程组：2x＋y＝5，x−2y＝−5。由第一式y＝5−2x代入第二式，x−2（5−2x）＝−5，5x−10＝−5，x＝1，y＝3，故x−y＝1−3＝−2。 【答案】（1）（4，−3）；（2）x−y＝−2。 【变式3-1】如图，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，得到点A1、A2、A3、…，其中A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）……（1）直接写出A7、A8的坐标；（2）求点A2024的坐标；（3）动点移动第2000步时，移动的方向是什么？ 【解析】每4步为一个循环，一个循环后点回到x轴且横坐标增加2，即A4（2，0）、A8（4，0）、A12（6，0）……规律为A(4n)（2n，0）。 （1）A4（2，0），再走“上、右、下”得A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0），第8步向右得A8（4，0）。 （2）2024＝4×506，故A2024（2×506，0）＝（1012，0）。 （3）2000＝4×500，第4n步的方向为向右，故第2000步向右。 【答案】（1）A7（3，0）、A8（4，0）；（2）A2024（1012，0）；（3）向右。 【变式3-2】一个质点从坐标原点O（0，0）出发，只能向上或向右运动，且每秒移动1个单位长度。（1）当质点运动了11秒时，它可能到达的整点（横、纵坐标均为整数的点）共有＿＿＿＿个；（2）当质点到达点（23，8）时，它一共运动了＿＿＿＿秒。 【解析】质点t秒后横坐标与纵坐标之和恒为t，即可能到达（k，t−k），k＝0，1，…，t，共t＋1个整点。 （1）t＝11时共有11＋1＝12个整点。 （2）到达（23，8）需向右23步、向上8步，共23＋8＝31秒。 【答案】（1）12；（2）31。 题型四　到坐标轴（角平分线）距离相等的含参讨论 【典例4】已知点P的坐标为（2a−3，a＋2）。（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；（2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标。 【思路点拨】第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；“到两轴距离相等”要分横纵坐标相等、互为相反数两种情况。 【解析】（1）第一、三象限角平分线上横、纵坐标相等，2a−3＝a＋2，解得a＝5，故P（7，7）。 （2）到两轴距离相等即|2a−3|＝|a＋2|，分两种情况：①2a−3＝a＋2，a＝5，得P（7，7）；②2a−3＝−（a＋2），3a＝1，a＝，得P（−，）。 【答案】（1）P（7，7）；（2）P（7，7）或P（−，）。 【变式4-1】已知A（−2，a＋2）、B（a−3，4）、C（b−4，b）三个点。（1）若线段AB平行于x轴，求a的值及A、B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，若点C到y轴的距离为2，求点C的坐标。 【解析】（1）AB∥x轴，两点纵坐标相等，a＋2＝4，a＝2，故A（−2，4）、B（−1，4）。 （2）点C到y轴的距离为|b−4|＝2，故b−4＝2或b−4＝−2，b＝6或b＝2。当b＝6时C（2，6）；当b＝2时C（−2，2）。 【答案】（1）a＝2，A（−2，4）、B（−1，4）；（2）C（2，6）或C（−2，2）。 【变式4-2】已知点M（2m−3，m＋2）。（1）若点M在y轴上，则点M的坐标为＿＿＿＿；（2）若点M到x轴、y轴的距离相等，则点M的坐标为＿＿＿＿。 【解析】（1）M在y轴上，横坐标为0，2m−3＝0，m＝，纵坐标m＋2＝，故M（0，）。 （2）|2m−3|＝|m＋2|，解得m＝5或m＝，对应M（7，7）或M（−，）。 【答案】（1）（0，）；（2）（7，7）或（−，）。 【变式4-3】已知点P（2a−4，2−3a）、Q（2，7）。（1）若线段PQ平行于y轴，求点P的坐标；（2）若点P到x轴的距离为3，求a的值。 【解析】（1）PQ∥y轴，两点横坐标相等，2a−4＝2，a＝3，纵坐标2−3a＝−7，故P（2，−7）。 （2）点P到x轴的距离为|2−3a|＝3，故2−3a＝3或2−3a＝−3，解得a＝−或a＝。 【答案】（1）P（2，−7）；（2）a＝−或a＝。 题型五　一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【典例5】一次函数y＝−2x＋4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【解析】令y＝0得x＝2，图象与x轴交于（2，0）；令x＝0得y＝4，与y轴交于（0，4）。围成的直角三角形两直角边长分别为2和4，面积＝×2×4＝4，故选A。 【变式5-1】若一次函数y＝2x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则该一次函数的解析式为＿＿＿＿。 【解析】图象与x轴交于（−，0）、与y轴交于（0，b），围成三角形面积＝×|−|×|b|＝。由＝9得b²＝36，b＝±6，故解析式为y＝2x＋6或y＝2x−6。 【答案】y＝2x＋6或y＝2x−6。 【变式5-2】如图，一次函数y＝2x与y＝−3x＋k的图象相交于点P，且点P的横坐标为1。（1）求k的值及点P的坐标；（2）求直线y＝−3x＋k与x轴的交点Q的坐标；（3）求直线y＝2x、直线y＝−3x＋k与x轴所围成的三角形的面积。 【解析】（1）点P在y＝2x上且横坐标为1，纵坐标为2，P（1，2）；把P代入y＝−3x＋k，2＝−3＋k，k＝5。 （2）y＝−3x＋5中令y＝0，x＝，故Q（，0）。 （3）围成的三角形以OQ＝为底、点P到x轴的距离2为高，面积＝××2＝。 【答案】（1）k＝5，P（1，2）；（2）Q（，0）；（3）面积为。 【变式5-3】某一次函数y＝kx＋b，当x＝−1时y＝1，当x＝1时y＝3。（1）求该一次函数的解析式；（2）求该函数图象与两坐标轴交点的坐标；（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。 【解析】（1）代入两组对应值：−k＋b＝1，k＋b＝3，解得k＝1，b＝2，故y＝x＋2。 （2）令y＝0得x＝−2，与x轴交于（−2，0）；令x＝0得y＝2，与y轴交于（0，2）。 （3）面积＝×2×2＝2。 【答案】（1）y＝x＋2；（2）（−2，0）、（0，2）；（3）面积为2。 题型六　两条直线的交点、面积与一次不等式 【典例6】如图，一次函数y＝mx＋4的图象l1与一次函数y＝2x−4的图象l2相交于点C，且点C的纵坐标为2。（1）求点C的坐标及m的值；（2）直接写出关于x的不等式mx＋4＜2x−4的解集。 【思路点拨】两直线交点的纵坐标已知，先代回任一直线求横坐标，再代入另一直线求参数；不等式的解集看图象上直线的高低关系。 【解析】（1）点C在y＝2x−4上且纵坐标为2，令2x−4＝2，x＝3，故C（3，2）。把C代入y＝mx＋4，2＝3m＋4，m＝−。 （2）不等式mx＋4＜2x−4即l1在l2下方时对应的x范围。两直线交于C（3，2），在交点右侧l1在l2下方，故解集为x＞3。 【答案】（1）C（3，2），m＝−；（2）x＞3。 【变式6-1】如图，一次函数y1＝x＋1与y2＝mx＋n的图象相交于点A（4，a），y2的图象与y轴交于点D（0，9）。（1）求a的值及y2的解析式；（2）直接写出当0≤y1＜y2时自变量x的取值范围。 【解析】（1）点A在y1上，a＝×4＋1＝3，A（4，3）。y2过A（4，3）、D（0，9），由待定系数法m＝＝−，n＝9，故y2＝−x＋9。 （2）y1≥0即x＋1≥0，x≥−2；y1＜y2即x＋1＜−x＋9，2x＜8，x＜4。综上−2≤x＜4。 【答案】（1）a＝3，y2＝−x＋9；（2）−2≤x＜4。 【变式6-2】直线l1经过A（−4，0）、B（0，2）两点，直线l2：y＝x−1与y轴交于点C，l1与l2相交于点P。（1）求直线l1的解析式；（2）求点P的坐标；（3）直接写出不等式x＋2＜x−1的解集。 【解析】（1）设l1为y＝kx＋b，代入A（−4，0）、B（0，2），得b＝2，−4k＋2＝0，k＝，故l1：y＝x＋2。 （2）联立y＝x＋2与y＝x−1，x＋2＝x−1，x＝6，y＝5，故P（6，5）。 （3）在交点P右侧l1在l2下方，故解集为x＞6。 【答案】（1）y＝x＋2；（2）P（6，5）；（3）x＞6。 【变式6-3】如图，一次函数y1＝kx＋b与y2＝mx＋2的图象相交于点A（−1，3），两条直线分别与x轴交于点B、C，且△ABC的面积为9。（1）若y2＝−x＋2，求点C的坐标及m的值；（2）若点B的坐标为（−4，0），求y1的解析式；（3）直接写出当0＜y1＜y2时x的取值范围。 【解析】（1）y2＝mx＋2过A（−1，3），3＝−m＋2，m＝−1，故y2＝−x＋2；令y＝0得x＝2，C（2，0）。 （2）y1过A（−1，3）、B（−4，0），k＝＝1，由B点0＝−4＋b得b＝4，故y1＝x＋4。 （3）y1＞0即x＋4＞0，x＞−4；y1＜y2即x＋4＜−x＋2，2x＜−2，x＜−1。综上−4＜x＜−1。 【答案】（1）C（2，0），m＝−1；（2）y1＝x＋4；（3）−4＜x＜−1。 题型七　一次函数与几何图形面积的存在性问题 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，已知√(b−6)＋（c＋3）²＋|a−3|＝0，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（c，a）。（1）求a、b、c的值及A、B、C三点的坐标；（2）若点P（2，n）在第四象限，试用含n的式子表示四边形OPBC的面积S；（3）在（2）中，当n＝−2时，在y轴上是否存在点M，使△BOM的面积等于此时四边形OPBC的面积？若存在，求出点M的坐标。 【思路点拨】算术平方根、平方、绝对值都具有非负性，三者之和为0则每一项都为0；四边形面积用割补法写成点坐标的表达式；存在性问题设出点的坐标按面积列方程，并注意y轴上的点有正、负两个位置。 【解析】（1）由非负数性质，b−6＝0、c＋3＝0、a−3＝0，得a＝3、b＝6、c＝−3，故A（0，3）、B（6，0）、C（−3，3）。 （2）四边形OPBC可分割为△OBC与△OBP。△OBC以OB＝6为底、点C到x轴距离3为高，面积为×6×3＝9；△OBP以OB＝6为底、点P（2，n）到x轴距离|n|＝−n（n＜0）为高，面积为×6×(−n)＝−3n。故S＝9−3n。 （3）n＝−2时S＝9−3×(−2)＝15。设M（0，t），△BOM以OB＝6为底、|t|为高，×6×|t|＝15，|t|＝5，故M（0，5）或（0，−5）。 【答案】（1）a＝3，b＝6，c＝−3，A（0，3）、B（6，0）、C（−3，3）；（2）S＝9−3n；（3）M（0，5）或（0，−5）。 【变式7-1】如图，一次函数y1＝kx＋3的图象与正比例函数y2＝−x的图象交于点A，且点A的横坐标为−2，y1的图象与y轴交于点B。（1）求k的值；（2）直接写出当0＜y1＜y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP的面积为6？若存在求出点P的坐标；（4）若点M（m，y1）在线段AB上移动、点N（1−m，y2）在射线AO上移动，求y1−y2的最小值。 【解析】（1）点A在y2上，横坐标−2时y2＝1，A（−2，1）；代入y1＝kx＋3，1＝−2k＋3，k＝1。 （2）y1＝x＋3＞0得x＞−3；y1＜y2即x＋3＜−x，x＜−3，x＜−2。故−3＜x＜−2。 （3）B（0，3），设P（0，t），△ABP以BP＝|t−3|为底、点A到y轴距离2为高，×|t−3|×2＝6，|t−3|＝6，t＝9或t＝−3，故P（0，9）或（0，−3）。 （4）M在线段AB上有−2≤m≤0，y1−y2＝(m＋3)−[−(1−m)]＝m＋3＋−m＝m＋，它随m增大而增大，当m＝−2时取最小值。 【答案】（1）k＝1；（2）−3＜x＜−2；（3）P（0，9）或（0，−3）；（4）最小值为。 【变式7-3】如图，一次函数y＝kx＋2k＋4（k为常数，且k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，且点A的横坐标为1，该一次函数图象分别与x轴、y轴交于点B、C。（1）求k的值及该一次函数的解析式；（2）直接写出kx＋2k＋4＞2x的解集；（3）求△BOC的面积；（4）在x轴上是否存在点P，使△PAB的面积为3？若存在求出点P的坐标。 【解析】（1）点A在y＝2x上，横坐标1时纵坐标2，A（1，2）；代入y＝kx＋2k＋4，2＝k＋2k＋4，3k＝−2，k＝−，解析式为y＝−x＋。 （2）不等式即一次函数图象在y＝2x上方时x的范围，在交点A（1，2）左侧，故x＜1。 （3）令y＝0得x＝4，B（4，0）；令x＝0得y＝，C（0，），S△BOC＝×4×＝。 （4）设P（p，0），△PAB以PB＝|p−4|为底、点A到x轴距离2为高，×|p−4|×2＝3，|p−4|＝3，p＝1或p＝7，故P（1，0）或（7，0）。 【答案】（1）k＝−，y＝−x＋；（2）x＜1；（3）；（4）P（1，0）或（7，0）。 题型八　动点与行程问题中的分段函数图象 【典例8】甲、乙两地相距480千米，一辆慢车从乙地、一辆快车从甲地同时出发，沿同一条公路相向而行。已知慢车速度为80千米/时，快车速度为120千米/时，快车到达乙地后立即原速返回甲地，慢车到达甲地即停止。图中折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间x（时）之间的函数关系。（1）求两车出发后几小时相遇（即图中点C的横坐标）；（2）求点D的坐标，并说明点D表示的实际意义；（3）求两车出发后何时相距300千米。 【思路点拨】行程图象要分清“相向而行”和“快车返回后同向”两个阶段：相遇前距离随时间减小，相遇后距离增大；列方程时注意距离要取绝对值或分阶段。 【解析】（1）两车相向而行，速度和为80＋120＝200千米/时，相遇时间＝480÷200＝2.4（时），即C（2.4，0）。 （2）快车从甲地到乙地需480÷120＝4（时），此时慢车行驶了80×4＝320千米（距甲地320千米），即D（4，320）；点D表示出发4时快车到达乙地，此时两车相距320千米。慢车到达甲地需480÷80＝6时，E（6，480）。 （3）相遇前：480−200x＝300，x＝0.9；相遇后（快车返回、慢车继续，两车背向，距离为200x−480）：200x−480＝300，x＝3.9。故出发后0.9时或3.9时两车相距300千米。 【答案】（1）2.4时；（2）D（4，320），表示出发4时快车到达乙地（甲地），此时两车相距320千米；（3）0.9时或3.9时。 【变式8-1】周末小华骑自行车去植物园，出发后匀速骑行半小时到达距家10千米处，自行车出现故障修车用了半小时，修好后按原速继续骑行，2小时时到达植物园。小华的爸爸在小华出发小时后骑摩托车沿同一路线以60千米/时的速度前往，结果比小华早10分钟到达。如图（折线表示小华离家的路程y与时间x的关系），下列说法错误的是（　　） A．小华骑车的速度为20千米/时 B．爸爸出发后离家路程y与时间x的关系式为y＝60x−80 C．爸爸出发25分钟后追上小华 D．植物园距小华家28千米 【答案】D 【解析】小华半小时骑10千米，速度为20千米/时；修车后按原速，1～2时骑完余下20千米，全程为10＋20＝30千米，故D“28千米”错误。爸爸时出发，y＝60(x−)＝60x−80，B正确；小华1时后路程y＝10＋20(x−1)＝20x−10，令60x−80＝20x−10，x＝1.75时，爸爸已出发1.75−＝时＝25分，C正确。综上选D。 【变式8-2】某公园智慧健身步道全长3000米，起点和终点分别设有打卡点。小兴从起点出发，以60米/分的速度匀速步行，50分钟到达终点C。桐桐从起点出发，先以60米/分的速度步行20分钟到达途中的休息点A（对应图中横坐标m），在A处打卡休息10分钟，然后扫码租用电动车，以160米/分的速度匀速骑行到达终点C，比小兴早到。图中折线表示桐桐的路程s（米）与时间t（分）的关系。（1）求m的值和桐桐到达终点的时刻n（用分数表示），并求出桐桐比小兴早到几分钟；（2）求桐桐骑行路段s关于t的函数解析式及t的取值范围；（3）桐桐再次出发后，什么时刻两人相距200米？ 【解析】（1）桐桐步行20分钟到达A，故m＝20，此时已走60×20＝1200米；休息到第30分钟，余下3000−1200＝1800米，骑行需1800÷160＝分，故n＝30＋＝，比小兴早50−＝分。 （2）骑行段过（30，1200），速度160米/分，s＝1200＋160(t−30)＝160t−3600，其中30≤t≤。 （3）小兴路程s1＝60t，桐桐路程s2＝160t−3600，由|s2−s1|＝200得|100t−3600|＝200，即100t−3600＝±200，解得t＝34或t＝38（均在骑行时段内），故第34分钟或第38分钟两人相距200米。 【答案】（1）m＝20，n＝，早到分钟；（2）s＝160t−3600（30≤t≤）；（3）第34分钟或第38分钟。 题型九　一次函数中的新定义问题 【典例9】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。若关联数为[3，m−2]的函数是正比例函数，则点（1，2m＋1）在第＿＿＿＿象限。 【思路点拨】正比例函数是常数项为0的一次函数，据此先求m，再确定点的坐标符号。 【解析】关联数[3，m−2]对应y＝3x＋(m−2)，它是正比例函数需m−2＝0，m＝2。点（1，2m＋1）即（1，5），横、纵坐标均为正，在第一象限。 【答案】一。 【典例10】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。若关联数为[1，m＋2]的函数是正比例函数，则关于x的方程x−＝2的解为＿＿＿＿。 【解析】关联数[1，m＋2]对应y＝x＋(m＋2)，它是正比例函数需m＋2＝0，m＝−2。代入方程x−＝2，即x＋＝2，x＝，x＝1。 【答案】x＝1。 【变式9-1】定义：关联数为[a，b]的一次函数为y＝ax＋b。（1）若关联数为[2，3−k]的函数是正比例函数，求k的值；（2）已知某一次函数的图象经过A（1，3）、B（5，1）两点，求该函数的关联数。 【解析】（1）y＝2x＋(3−k)为正比例函数需3−k＝0，k＝3。 （2）设y＝ax＋b，代入A、B：a＋b＝3，5a＋b＝1，相减得4a＝−2，a＝−，b＝，故关联数为[−，]。 【答案】（1）k＝3；（2）[−，]。 【变式9-3】定义：把一次函数y＝kx＋b在x≤m的部分保持不变、在x＞m的部分改为y＝−kx−b，所得到的函数称为y＝kx＋b的“m变函数”。（1）求y＝x＋1的“2变函数”在x＝4时的函数值；（2）求y＝x＋2的“1变函数”与y＝x−2的“−1变函数”图象的交点坐标；（3）求y＝2x＋2的“1变函数”在−3≤x≤3时函数值的取值范围。 【解析】（1）x＝4＞2，用y＝−x−1，函数值为−4−1＝−5。 （2）y＝x＋2的1变函数为：x≤1时y＝x＋2，x＞1时y＝−x−2；y＝x−2的−1变函数为：x≤−1时y＝x−2，x＞−1时y＝−x＋2。分区间联立：当x≤−1时x＋2＝x−2，x＝−8，y＝−6，得（−8，−6）；当−1＜x≤1时x＋2＝−x＋2，x＝0，y＝2，得（0，2）；x＞1时联立得x＝−8（舍去）。故交点为（−8，−6）、（0，2）。 （3）y＝2x＋2的1变函数为：x≤1时y＝2x＋2，在−3≤x≤1上取值−4≤y≤4；x＞1时y＝−2x−2，在1＜x≤3上取值−8≤y＜−4。合并得−8≤y≤4。 【答案】（1）−5；（2）（−8，−6）、（0，2）；（3）−8≤y≤4。 三、压轴挑战 （一）选择题 1．在平面直角坐标系中，把满足|x|＋|y|＝1的点（x，y）称为“励志点”，这些点组成一个以（1，0）、（0，1）、（−1，0）、（0，−1）为顶点的菱形。若一次函数y＝kx＋b的图象经过点E（2，−2），并且图象上存在“励志点”，则k的取值范围是（　　） A．−2≤k≤− B．−≤k≤− C．−2≤k≤− D．−≤k≤− 【答案】A 【解析】直线过E（2，−2），其方程为y＋2＝k(x−2)。当直线与菱形相切（经过菱形顶点）时取到临界值：经过（1，0）时k＝(0＋2)/(1−2)＝−2；经过（0，−1）时k＝(−1＋2)/(0−2)＝−。直线在这两个临界位置之间扫过菱形，故−2≤k≤−，选A。 2．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点及内部一点M的位置如图所示，其中A（−2，2）、B（−1，0）、C（2，1）、M（0，1）。将△ABC（连同点M）作一次平移，使点M移到点M1（−3，2），则平移后点A的对应点A1的坐标是（　　） A．（−5，3） B．（−5，1） C．（1，3） D．（1，1） 【答案】A 【解析】由M（0，1）移到M1（−3，2），平移规则为横坐标减3、纵坐标加1（向左3个单位、向上1个单位）。故A（−2，2）平移后A1（−5，3），选A。 3．若一次函数y＝kx＋b，当−1≤x≤3时，相应的函数值满足−2≤y≤6，则下列结论正确的是（　　） A．该函数一定是y＝2x B．该函数一定是y＝−2x＋4 C．该函数为y＝2x或y＝−2x＋4 D．满足条件的函数有无数个 【答案】C 【解析】分两种情况：①y随x增大而增大，x＝−1时y＝−2、x＝3时y＝6，解得k＝2，b＝0，即y＝2x；②y随x增大而减小，x＝−1时y＝6、x＝3时y＝−2，解得k＝−2，b＝4，即y＝−2x＋4。一次函数在闭区间上的最值必在端点取得，故只有这两种，选C。 4．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的纵坐标恰好等于横坐标的2倍，即y＝2x，则称点P为“两倍点”。下列关于“两倍点”的说法错误的是（　　） A．正比例函数y＝kx（k≠2）的图象上有且只有一个“两倍点”（原点） B．一次函数y＝x＋1的图象上的“两倍点”为（1，2） C．一次函数y＝2x图象上的每一个点都是“两倍点” D．任意一个一次函数的图象上都存在“两倍点” 【答案】D 【解析】令kx＋b＝2x，即(k−2)x＝−b。当k≠2时有唯一解；当k＝2且b≠0时方程无解，此时直线y＝2x＋b与y＝2x平行，没有“两倍点”，故D错误。验证：B中x＋1＝2x得x＝1，点（1，2）正确；C显然正确。选D。 5．如图①，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点M从点B出发，沿B→C→D的方向以每秒1个单位长度的速度运动。设运动时间为t秒，△ADM的面积为y，图②中能大致表示y与t之间函数关系的图象上，当y＝3时，t的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．4或6 【答案】B 【解析】建立坐标：设A（0，0）、B（4，0）、C（4，3）、D（0，3），则AD＝3。当M在BC上（0≤t≤3）时，M（4，t）到AD的距离恒为4，△ADM面积y＝×3×4＝6；当M在CD上（3＜t≤7）时，M（7−t，3），DM＝7−t，M到AD的距离为7−t，y＝×3×(7−t)＝。令＝3，得7−t＝2，t＝5，选B。 6．如图，函数y＝|2x−4|的图象与直线y＝b（b为常数，b＞0）交于A、B两点，若线段AB的长为8，则b的值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．8 【答案】D 【解析】y＝|2x−4|的图象关于直线x＝2对称。A、B关于x＝2对称且AB＝8，故A、B的横坐标分别为2−4＝−2和2＋4＝6，即A（−2，b）、B（6，b）。代入y＝|2x−4|，b＝|2×(−2)−4|＝8，选D。 （二）填空题 7．定义一种新运算：（a，b）⊗（c，d）＝（ac＋bd，ad−bc）。例如（1，2）⊗（3，4）＝（1×3＋2×4，1×4−2×3）＝（11，−2）。若（m，n）⊗（0，1）＝（1，2），则以（m，n）为坐标的点A在第＿＿＿＿象限。 【解析】（m，n）⊗（0，1）＝（m×0＋n×1，m×1−n×0）＝（n，m）。由（n，m）＝（1，2）得n＝1，m＝2，故点A（m，n）＝（2，1），横、纵坐标均为正，在第一象限。 【答案】一。 8．已知直线l1经过点（−3，0）、（0，1），直线l2：y＝ax−2（a为常数，且a＞0）。若l1与l2平行，则a＝＿＿＿＿；若对于一切x＞1，都有l1上的函数值y1小于l2上的函数值y2，则a的取值范围是＿＿＿＿。 【解析】l1的解析式为y＝x＋1。两直线平行则a＝。y1＜y2即x＋1＜ax−2，整理得(a−)x＞3。要使一切x＞1恒成立，需a−＞0且在x＝1处有(a−)×1≥3，解得a≥。 【答案】；a≥。 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x−1与x轴交于点A1，以OA1为一边向上作第一个正方形；再以相同方式依次作第二个、第三个……正方形，顶点B1、B2、B3、…都在直线l的同侧。按此规律，点Bn的坐标为＿＿＿＿，由此可得点B2025的坐标为＿＿＿＿。 【解析】由图，A1（1，0）、B1（1，1），A2（2，1）、B2（2，2），A3（3，2）、B3（3，3），归纳得Bn（n，n）（该点恰在直线y＝x上，与l：y＝x−1平行对应）。故B2025（2025，2025）。 【答案】Bn（n，n）；B2025（2025，2025）。 10．如图，一次函数y＝−x＋b的图象与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，且△AOB的面积为8，则b＝＿＿＿＿；若第二象限内有一点F（m，n），连接FA交y轴于点D，则△ABF的面积为＿＿＿＿（用含m、n的式子表示）。 【解析】A（b，0）、B（0，b），S△AOB＝b²＝8，b²＝16，由图象交正半轴知b＞0，b＝4。用割补（面积）法，S△ABF＝|xA(yB−yF)＋xB(yF−yA)＋xF(yA−yB)|＝|4(4−n)＋0＋m(0−4)|＝2|4−m−n|；F在第二象限且在△ABF所在区域内有m＋n＜4，故S△ABF＝2(4−m−n)。 【答案】4；2(4−m−n)。 （三）解答题 11．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）（a、b均为非零常数），定义它的“倾斜系数”k＝max，，即取与中较大的值。（1）求点P（6，2）的倾斜系数；（2）若点P（a，b）的倾斜系数为2，写出a与b之间的等量关系；（3）在（2）的条件下，若a＋b＝3，求点P的坐标。 【解析】（1）＝＝3，＝＝，较大值为3，故倾斜系数为3。 （2）k＝2，说明＝2或＝2，即a＝2b或b＝2a。 （3）当a＝2b时，2b＋b＝3，b＝1，a＝2，得P（2，1）；当b＝2a时，a＋2a＝3，a＝1，b＝2，得P（1，2）。 【答案】（1）3；（2）a＝2b或b＝2a；（3）P（2，1）或（1，2）。 12．如图，△A1B1C1是由△ABC向右平移4个单位长度得到的，已知A1（1，1）、B1（4，2）、C1（3，5）。（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）求△ABC在平移过程中所扫过的图形的面积。 【解析】（1）向右平移4个单位，则原坐标为新坐标横坐标减4、纵坐标不变，得A（−3，1）、B（0，2）、C（−1，5）。 （2）用割补法，S△ABC＝|(−3)(2−5)＋0(5−1)＋(−1)(1−2)|＝|9＋1|＝5。 （3）三角形水平平移4个单位，扫过的图形由原三角形与一个平行四边形（侧带）组成，侧带面积＝平移距离4×三角形的竖直跨度(5−1)＝16，故扫过的面积＝5＋16＝21。 【答案】（1）A（−3，1）、B（0，2）、C（−1，5）；（2）面积为5；（3）扫过的面积为21。 13．如图，一次函数y＝kx−1的图象l1与一次函数y＝x＋1的图象l2相交于点A，且点A的纵坐标为2，l1、l2分别与y轴交于点B、D。（1）求点A的坐标及k的值，并写出点B、D的坐标；（2）过x轴上的点N作x轴的垂线（直线MN），分别交l2于点M、交x轴于点N，当线段MN的长等于线段BD长的2倍时，求点M的坐标。 【解析】（1）点A在y＝x＋1上且纵坐标为2，x＝1，A（1，2）；代入y＝kx−1，2＝k−1，k＝3。l1与y轴交于B（0，−1），l2与y轴交于D（0，1）。 （2）BD＝|1−(−1)|＝2，故MN＝2BD＝4。设N（t，0），则M（t，t＋1），MN＝|t＋1|＝4，解得t＝3或t＝−5。当t＝3时M（3，4）；当t＝−5时M（−5，−4）。 【答案】（1）A（1，2），k＝3，B（0，−1）、D（0，1）；（2）M（3，4）或（−5，−4）。 14．如图，直线l1经过A（−1，0）、C（1，3）两点，直线l2经过B（2，0）、C（1，3）两点。（1）分别求直线l1、l2的解析式；（2）直接写出方程“l2对应的一次式＝0”的解，以及不等式“l2对应的一次式＜0”的解集；（3）直接写出l1对应的函数值大于l2对应的函数值时x的取值范围；（4）求△ABC的面积。 【解析】（1）l1中k＝＝，由点A得y＝(x＋1)＝x＋；l2中k＝＝−3，由点B得y＝−3(x−2)＝−3x＋6。 （2）l2对应一次式−3x＋6＝0的解为x＝2；−3x＋6＜0的解集为x＞2。 （3）l1在l2上方对应交点C右侧，解集为x＞1。 （4）AB＝2−(−1)＝3为底，点C到x轴距离3为高，S△ABC＝×3×3＝。 【答案】（1）l1：y＝x＋，l2：y＝−3x＋6；（2）x＝2，x＞2；（3）x＞1；（4）。 15．如图，在平面直角坐标系中，把三角形（顶点为A1（1，0）、A2（2，1）、A3（3，0），底边在x轴上）沿x轴正方向每次向右平移3个单位长度，得到一系列三角形，对应顶点依次记为A1、A2、A3、A4、…，下文中用A(k)表示下标为k的点。（1）写出A4、A5、A6的坐标；（2）用含n（n为正整数）的式子分别表示点A(3n−2)、A(3n−1)、A(3n)的坐标；（3）求点A2025的坐标。 【解析】每平移一次（3个单位）得到一个新三角形，三个顶点的横坐标依次增加3。 （1）A4（4，0）、A5（5，1）、A6（6，0）。 （2）归纳得第n个三角形三个顶点为A(3n−2)（3n−2，0）、A(3n−1)（3n−1，1）、A(3n)（3n，0）。 （3）2025＝3×675，属于A(3n)型（n＝675），故A2025（3×675，0）＝（2025，0）。 【答案】（1）A4（4，0）、A5（5，1）、A6（6，0）；（2）A(3n−2)（3n−2，0）、A(3n−1)（3n−1，1）、A(3n)（3n，0）；（3）A2025（2025，0）。 16．国庆假期，小明一家乘出租车（网约车）从高铁站出发去某景点，图中折线表示出租车离高铁站的距离y（千米）与行驶时间x（时）的关系。已知去景点时一路畅通，平均速度为50千米/时，行驶3小时到达；在景点停留时间不计，返回时因轻微拥堵，平均速度为60千米/时，5.5小时回到高铁站。（1）分别求去程、回程y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）求行驶4小时时出租车离景点的距离；（3）回程途中经过一个高速服务区（记为乙地），已知出租车去程和回程两次经过乙地的时间间隔为小时，求乙地距离高铁站多少千米。 【解析】（1）去程过原点、速度50，y＝50x（0≤x≤3），到达C（3，150），故景点距高铁站150千米；回程速度为60千米/时、路程随时间减小，故k＝−60，y−150＝−60(x−3)，即y＝330−60x（3＜x≤5.5）。 （2）x＝4时出租车在回程上，y＝330−60×4＝90，即离高铁站90千米，故离景点150−90＝60千米。 （3）设乙地距高铁站s千米。去程经过乙地的时刻为；回程经过乙地时330−60x＝s，x＝。由两次经过的时间间隔为小时，得−＝，两边同乘300：5(330−s)−6s＝550，即1650−11s＝550，s＝100，故乙地距高铁站100千米。 【答案】（1）y＝50x（0≤x≤3），y＝330−60x（3＜x≤5.5）；（2）60千米；（3）100千米。 学科网（北京）股份有限公司 $