第二章 有理数及其运算 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上册数学第二章《有理数及其运算》单元卷，满分150分，覆盖有理数概念、运算及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、绝对值、科学记数法等|基础概念辨析，如第6题科学记数法结合中考人数现实情境| |填空题|6/24|倒数、数轴距离、规律探究|第16题数字规律培养抽象能力，第14题数轴距离体现分类思想| |解答题|9/86|混合运算、实际应用（检修/光速）、动点问题|第22题检修行程应用培养模型意识，第25题数轴动点结合方程提升推理能力，第24题裂项相消体现创新思维|

北师大版七年级上册数学第二章《有理数及其运算》单元测试卷 学校：___________　班级：___________　姓名：___________　考号：___________ （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. -3的相反数是（　　） A. 3　　　　B. -3　　　　C. 　　　　D. - 2. 在数 -2，0，1.5，-中，负分数是（　　） A. -2　　　　B. 0　　　　C. 1.5　　　　D. - 3. |-5| 的值是（　　） A. ±5　　　　B. 5　　　　C. -5　　　　D. 4. 数轴上表示 -2 的点与表示 1 的点之间的距离是（　　） A. 1　　　　B. 3　　　　C. -3　　　　D. 2 5. 计算 (-2) + 3 的结果是（　　） A. -5　　　　B. 5　　　　C. 1　　　　D. -1 6. 某市今年参加中考的人数约为 69 600 人，将 69 600 用科学记数法表示为（　　） A. 6.96×10⁴　　　　B. 69.6×10³　　　　C. 6.96×10⁵　　　　D. 0.696×10⁵ 7. 计算 (-1)²⁰²⁶ + (-1)²⁰²⁷ 的结果是（　　） A. -2　　　　B. 0　　　　C. 1　　　　D. 2 8. 若 a > 0，b < 0，且 |a| < |b|，则 a + b 的值（　　） A. 大于 0　　　　B. 小于 0　　　　C. 等于 0　　　　D. 符号无法确定 9. 已知 |a - 2| + |b + 3| = 0，则 a + b 的值为（　　） A. 5　　　　B. 1　　　　C. -1　　　　D. -5 10. 观察下列一组数：1，-2，4，-8，16，…，按此规律排列，第 10 个数是（　　） A. 512　　　　B. -512　　　　C. 1024　　　　D. -1024 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. -2 的倒数是________。 12. 比较大小：-________-（填"＞""＜"或"＝"）。 13. 若 |x| = 5，则 x 的值为________。 14. 数轴上与表示 -1 的点相距 3 个单位长度的点表示的数是________。 15. 用四舍五入法将 1.805 精确到百分位，所得近似数为________。 16. 观察一列数：-1，2，-4，8，-16，…，按此规律排列，第 n 个数用含 n 的式子表示为________。 三、解答题（共9小题，共86分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17.（8分）计算： （1）(-12) + 7 - (-5)； （2）(-48) ÷ 6 × (-)。 18.（8分）计算： （1）-2² + (-2)³ + |-4| （2）(-1)⁴ - (1 - 0.5) × × [2 - (-3)²] 19.（8分）先在数轴上表示下列各数，再把这些数按从小到大的顺序用"＜"连接起来： -2.5，0，-(-1)，，|-3|，-4。 20.（8分）运用运算律简便计算： （1）99 × (-9) （2）(-24) × ( - + ) 21.（8分）已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值等于 2，求式子 a + b + cd + x² 的值。 22.（10分）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向的道路检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负。某天从 A 地出发到收工时，汽车行驶的记录如下（单位：km）： +10，-3，+4，-8，+13，-2，+7，-5。 （1）收工时，汽车距 A 地多远？在 A 地的哪个方向？ （2）若汽车每行驶 1 km 耗油 0.2 升，求这一天从出发到收工共耗油多少升。 23.（10分）光在真空中的传播速度约为 3×10⁵ 千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要 500 秒。 （1）求太阳与地球之间的距离大约是多少千米（结果用科学记数法表示）； （2）若一架飞机以 1.5×10³ 千米/时的速度飞行，飞完这段距离大约需要多少小时（用科学记数法表示）。 24.（12分）观察下列等式： 第 1 个等式： = 1 - ； 第 2 个等式： = - ； 第 3 个等式：= - ； …… （1）请写出第 4 个等式； （2）计算：+ + + … + ； （3）应用上述规律计算： + + + + 。 25.（14分）数轴上点 A、B 分别表示的数是 -4 和 2。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）点 P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 1 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左运动。经过多少秒，点 P 与点 Q 相遇？相遇点表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，从出发到相遇后再继续运动的过程中，经过多少秒时，点 P 与点 Q 之间的距离恰好为 3 个单位长度？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C A B B C B 1. A。考查相反数的概念。只有符号不同的两个数互为相反数，-3 的相反数是 3。故选 A。 2. D。考查有理数的分类。-2 是负整数，0 既不是正数也不是负数，1.5 是正分数，- 是负分数。故选 D。 3. B。考查绝对值的意义。负数的绝对值是它的相反数，|-5| = 5。注意绝对值的结果是一个非负数，不存在 ±5，故选 B。 4. B。考查数轴上两点间的距离。数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值：|1 - (-2)| = |1 + 2| = 3，距离是非负数，不能为 -3。故选 B。 5. C。考查有理数的加法。异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：(-2) + 3 = +(3 - 2) = 1。故选 C。 6. A。考查科学记数法。科学记数法的形式为 a×10ⁿ（1 ≤ |a| ＜ 10，n 为整数）。69 600 = 6.96×10⁴。B、D 中 a 不满足 1 ≤ a ＜ 10（B 中 69.6，D 中 0.696），C 中 n 应为 4 而非 5。故选 A。 7. B。考查有理数乘方的符号规律。(-1) 的偶数次幂为 1，奇数次幂为 -1，所以 (-1)²⁰²⁶ = 1，(-1)²⁰²⁷ = -1，原式 = 1 + (-1) = 0。故选 B。 8. B。考查有理数加法法则与绝对值的综合。异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号；因为 |b| ＞ |a| 且 b 为负数，所以 a + b 的符号与 b 相同，即 a + b ＜ 0。故选 B。 9. C。考查绝对值的非负性与"非负数之和为零"模型。因为 |a - 2| ≥ 0，|b + 3| ≥ 0，且两数之和为 0，所以 |a - 2| = 0 且 |b + 3| = 0，解得 a = 2，b = -3，故 a + b = 2 + (-3) = -1。故选 C。 10. B。考查数字规律与乘方符号规律。这组数的第 n 个数为 (-2)ⁿ⁻¹（绝对值依次乘 2，符号正负相间）。第 10 个数为 (-2)⁹ = -512。故选 B。 二、填空题 11. -。考查倒数的概念。乘积为 1 的两个数互为倒数，(-2) × (-) = 1，所以 -2 的倒数是 -。注意与相反数（-2 的相反数是 2）相区别。 12. ＞。考查有理数的大小比较。两个负数比较大小，绝对值大的反而小：|-| = ，|-| = ，因为 ＜ ，所以 - ＞ -。 13. ±5。考查绝对值的意义。绝对值等于 5 的数有两个：5 和 -5，它们互为相反数。注意不要漏解。 14. 2 或 -4。考查数轴上两点间的距离。与表示 -1 的点相距 3 个单位长度的点有两个：在它右边 3 个单位处，表示 2（-1 + 3 = 2）；在它左边 3 个单位处，表示 -4（-1 - 3 = -4）。注意有两种情况，不要漏解。 15. 1.81。考查近似数与精确度。精确到百分位即保留两位小数，看千分位上的数字：1.805 的千分位数字是 5，向百分位进一，得 1.81。 16. (-1)ⁿ·2ⁿ⁻¹（或写成 (-2)ⁿ⁻¹）。考查数字规律探究。这列数的绝对值依次为 1，2，4，8，16，…，即 2ⁿ⁻¹；符号负、正、负、正交替出现，第 n 个数的符号为 (-1)ⁿ。故第 n 个数为 (-1)ⁿ·2ⁿ⁻¹。 三、解答题 17.（8分）考查有理数的加减混合运算、乘除混合运算。 （1）原式 = -12 + 7 + 5（减去一个数等于加上它的相反数）= -5 + 5 = 0。（4分） （2）原式 = -8 × (-)（先算除法：(-48) ÷ 6 = -8）= 6（负负得正）。（4分） 18.（8分）考查含乘方的有理数混合运算：先乘方，再乘除，后加减；注意 -2² 与 (-2)² 的区别。 （1）原式 = -4 + (-8) + 4（-2² = -4，(-2)³ = -8，|-4| = 4）= -8。（4分） （2）原式 = 1 - × × (2 - 9)= 1 - × (-7) = 1 + = 。 （4分） 说明： (-1)⁴ = 1；1 - 0.5 = ； (-3)² = 9 19.（8分）考查数轴的画法、相反数与绝对值的化简及利用数轴比较有理数大小。 先化简各数：-(-1) = 1，|-3| = 3。（2分） 在数轴上依次描出各数：-4、-2.5、0、、1（即 -(-1)）、3（即 |-3|）。（4分） 按从小到大用"＜"连接：-4 ＜ -2.5 ＜ 0 ＜ ＜ -(-1) ＜ |-3|。（2分） （数轴画法提示：先画一条直线，确定原点 O，以单位长度标出 1、2、3、4 与 -1、-2、-3、-4，再在各数对应位置描点并标上对应数值。） 20.（8分）考查运算律（乘法分配律、凑整）在简便运算中的应用。 （1）原式 = (100 - ) × (-9)（把 99 拆成 100 - ）= 100 × (-9) - × (-9) = -900 + = -899。（4分） （2）原式 = (-24) × + (-24) × (-) + (-24) × （逆用乘法分配律）= -3 + 8 - 6 = -1。（4分） 21.（8分）考查相反数、倒数、绝对值的概念及代数式求值。 由题意得：a + b = 0，cd = 1，x² = 4（因为 |x| = 2，x = ±2，但无论 x 取 2 还是 -2，x² 都等于 4，与 x 的符号无关）。（6分） 所以 a + b + cd + x² = 0 + 1 + 4 = 5。（2分） 22.（10分）考查正负数的实际意义及有理数加减运算的应用。 （1）+10 - 3 + 4 - 8 + 13 - 2 + 7 - 5 = (+10 + 4 + 13 + 7) - (3 + 8 + 2 + 5) = 34 - 18 = 16（km）。（4分） 答：收工时汽车距 A 地 16 km，在 A 地的东边（正方向一侧）。（2分） （2）这一天共行驶的路程为各段路程的绝对值之和：10 + 3 + 4 + 8 + 13 + 2 + 7 + 5 = 52（km）。（2分） 耗油量 = 52 × 0.2 = 10.4（升）。（2分） 答：这一天从出发到收工共耗油 10.4 升。 （易错提醒：第（1）问求位置用"代数和"，第（2）问求总行程用"绝对值之和"，两者不可混淆。） 23.（10分）考查科学记数法在实际问题中的应用及有理数乘除运算。 （1）距离 = 3×10⁵ × 500 = 1.5×10⁸（千米）。（5分） 答：太阳与地球之间的距离大约是 1.5×10⁸ 千米。 （2）所需时间 = 1.5×10⁸ ÷ 1.5×10³ = 1×10⁵（小时）。（5分） 答：飞完这段距离大约需要 1×10⁵ 小时。 （解析提示：科学记数法相乘时，系数相乘、10 的幂相乘，结果再化成科学记数法的标准形式。） 24.（12分）考查规律探究、裂项相消法求和。 （1）第 4 个等式为：= - 。（3分） （2）原式 = (1 -) + ( - ) + ( - ) + … + ( - )， 中间各项相互抵消，只剩首尾两项 = 1 - = 。（5分） （3）= ， = ， = ， = ， = ， 故原式 = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) = 1 - =。（4分） （方法提炼：形如 的分数可拆为 - ，求和时中间项相消。） 25.（14分）考查数轴上动点问题（相遇与距离），是数轴知识与列式表示路程的综合运用。 （1）A、B 两点间的距离 = 2 - (-4) = 6（个单位长度）。（3分） （2）设经过 t 秒，点 P 与点 Q 相遇。点 P 向右运动 t 秒后表示的数为 -4 + t，点 Q 向左运动 t 秒后表示的数为 2 - 2t。相遇时两点表示的数相同：-4 + t = 2 - 2t，解得 t = 2。（4分） 相遇点表示的数：-4 + 2 = -2。（2分） 答：经过 2 秒两点相遇，相遇点表示的数是 -2。 （3）设经过 t 秒，P、Q 相距 3 个单位长度。两点间距离为 |(-4 + t) - (2 - 2t)| = |3t - 6|。 ①相遇前（P 在 Q 左侧）：6 - (1 + 2)t = 3，即 6 - 3t = 3，解得 t = 1； ②相遇后（P 在 Q 右侧）：(1 + 2)t - 6 = 3，即 3t - 6 = 3，解得 t = 3。（4分） 答：经过 1 秒或 3 秒时，点 P 与点 Q 之间的距离恰好为 3 个单位长度。（1分） （方法提炼：动点问题用"起始数 ± 速度×时间"表示运动后点的位置；求距离需分相遇前、相遇后两种情况讨论。） $