第二章 有理数及其运算 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大七年级上册有理数及其运算单元卷，以神舟发射、出租车营运等真实情境为载体，覆盖概念与运算，注重抽象能力、运算能力及推理意识培养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|科学记数法、绝对值、数轴|结合科技情境（如42500000米轨道周长），辨析概念本质| |填空题|6题|新定义运算、数字规律|设计WiFi密码（7★2★5）、正五边形数字和等生活问题| |解答题|7题|运算律、数轴应用、24点游戏|综合考查推理（如nⁿ⁺¹与(n+1)ⁿ大小比较）与建模（出租车营运额计算）|

北师大数学7年级上2026-2027第二章有理数及其运算 一．选择题（共10小题） 1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（　　） A．425×105 B．4.25×105 C．4.25×107 D．425×107 2．如图，若x为最大负整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 3．下列说法正确的是（　　） A．任何有理数的绝对值都是正数 B．如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等 C．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 D．数轴上到原点两侧的数互为相反数 4．下面是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　） 判断题．（正确的打√，错误的打×） ①﹣1的倒数是﹣；（√） ②若|a|＝2，则a的之值2或﹣2；（√） ③﹣的相反数是2；（√） ④绝对值等于它本身的数只有1；（√） ⑤倒数等于它本身的数只有1和﹣1．（√） A．1 B．2 C．3 D．4 5．有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．﹣（a﹣b）＜0 C．﹣a﹣b＞0 D．|a|＜|b| 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 7．在下列数﹣（+2），﹣32，，﹣（﹣1）3，﹣|﹣3|中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16． 丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．若|a|＝3，b2＝4，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b的值等于（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5 10．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2024次“F运算”后的结果是（　　） A．16 B．4 C．1 D．5 二．填空题（共6小题） 11．我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有a※b＝a+（﹣b）．例如：（﹣3）※2＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．那么，﹣6※（1※3）＝　 　 ． 12．某校园餐厅把wifi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是 　 　 ． 账号：XueZiCanTing 5★3★2＝151025 9★2★4＝183654 8★6★3＝482472 7★2★5＝密码 13．如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于﹣3，则c2+a2﹣b﹣d﹣e＝ 　 　 ． 14．观察下列算式发现规律：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，用你所发现的规律写出：72025的个位数字是　 　 ． 15．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于2，则（﹣pq）2025+t3的值是　 　 ． 16．下列说法中： ①任意有理数都可以用数轴上的点来表示； ②若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y＝﹣1； ③几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数个，那么积为负数； ④若a1＝﹣1，a2＝﹣3，a3＝﹣6，a4＝﹣10⋯依此类推，则a100＝﹣5050； ⑤使得|x+2|+|x﹣1|＝3成立的x的整数值有4个． 其中正确结论有　 　 ．（将正确答案的序号填在横线上） 三．解答题（共7小题） 17．在学习了有理数的乘法后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176； 例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233． （1）任务一：例1，例2都用到的运算律是 　 　 ； （2）任务二：请你参照上述例1、例2，用运算律简便计算下列式子：； （3）计算：． 18．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来： ． 19．出租车司机小谦某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小谦的行车记录（单位：千米）如下：+11，﹣2，+15，﹣12，+10，﹣11，+5，﹣15，+18，﹣16． （1）当小谦将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ （2）若每千米的营运额为5元，则小谦这天下午的总营运额为多少元？ 20．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：（4+2﹣3）×8＝24；②2、4、﹣4、﹣4：2×4+（﹣4）×（﹣4）＝24． （1）请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6； ②﹣1、﹣3、4、4． （2）若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：3×4×（4﹣2）＝24也可以这样计算：23+4×4＝24．请利用上述运算规则列式完成2、﹣3、﹣4、5的“24点”计算，要求用2种方法． 21．问题：你会比较20232024和20242023的大小吗？为了解决此问题，我们先写出它的一般式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结得出结论． （1）比较下列各组数的大小： ①12　 　 21；②23　 　 32；③34　 　 43；④45　 　 54；⑤56　 　 65．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）由（1）的结果，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 　 　 ． （3）试比较20232024和20242023的大小． 22．请利用绝对值的性质，解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，＝　 　 ；当b＜0时，＝　 　 ． （2）已知a，b是有理数，且ab＜0，求的值． （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （4）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值． 23．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．若点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，则P，Q两点之间的距离可表示为PQ＝|p﹣q|．请你利用“数形结合”思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和1的两点之间的距离为　 　 ；表示5和﹣1的两点之间的距离为　 　 ． （2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为　 　 ． （3）如图，数轴上从左到右的三个点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，其中AB＝2025，BC＝1000． ①若B为原点，写出点A，C所表示的数，并求a+b+c的值； ②若O为原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值． 北师大数学7年级上2026-2027第二章有理数及其运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，此次发射采用了先进的3.5小时快速交会对接方案达到更精确的发射和入轨控制，已知空间轨道周长约为42500000米，这个数字用科学记数法可以表示为（　　） A．425×105 B．4.25×105 C．4.25×107 D．425×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：42500000＝4.25×107． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．如图，若x为最大负整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【分析】由x为最大负整数，求出x，可得的值即可判断． 【解答】解：∵x为最大负整数， ∴x＝﹣1， ∴＝， ∵1＜＜1.6， ∴在段③上， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的大小，理解题意是关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．任何有理数的绝对值都是正数 B．如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等 C．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 D．数轴上到原点两侧的数互为相反数 【分析】通过逐一分析选项，依据定义判断正误． 【解答】解：∵选项A：有理数的绝对值是非负数，但0的绝对值为0，不是正数，∴A错误，不符合题意； ∵选项B：两个数不相等，但绝对值可能相等，如2与﹣2，∴B错误，不符合题意； ∵选项C：有理数都可以用数轴上的点表示，这是数轴的基本性质，∴C正确，不符合题意； ∵选项D：数轴上到原点两侧且距离相等的数才互为相反数，选项未指定距离相等，∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的绝对值、数轴和相反数的概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．下面是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　） 判断题．（正确的打√，错误的打×） ①﹣1的倒数是﹣；（√） ②若|a|＝2，则a的之值2或﹣2；（√） ③﹣的相反数是2；（√） ④绝对值等于它本身的数只有1；（√） ⑤倒数等于它本身的数只有1和﹣1．（√） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别根据绝对值的性质，倒数的定义以及相反数的定义解答即可． 【解答】解：①﹣1的倒数是﹣，故本选项正确； ②若|a|＝2，则a的之值2或﹣2，故本选项正确； ③﹣的相反数是，故本选项错误； ④绝对值等于它本身的数是非负数，故本选项错误； ⑤倒数等于它本身的数只有1和﹣1，故本选项正确； 他做对的题数是①②⑤，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，倒数以及相反数，掌握相关定义是解答本题的关键． 5．有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．﹣（a﹣b）＜0 C．﹣a﹣b＞0 D．|a|＜|b| 【分析】根据数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，再结合有理数加减运算以及绝对值即可解答． 【解答】解：由数轴可得，a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴﹣a﹣b＜0，﹣（a﹣b）＞0， 综上，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数加减运算、数轴、绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【分析】先由已知条件列等式求出a，把a的值代入原式求出结果． 【解答】解：根据题意，得﹣16+a＝﹣12， a＝4， ∴﹣16÷4＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的除法、有理数加法，掌握除法、加法法则，由已知条件列等式求出a是解题关键． 7．在下列数﹣（+2），﹣32，，﹣（﹣1）3，﹣|﹣3|中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：﹣（+2）＝﹣2＜0，是负数； ﹣32＝﹣9＜0，是负数； ＜0，是负数； ﹣（﹣1）3＝1＞0，是正数； ﹣|﹣3|＝﹣3＜0，是负数； ∴负数有﹣（+2），﹣32，，﹣|﹣3|，共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16． 丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】按照有理数的混合运算顺序，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：甲：9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9﹣ ＝， 故甲做错了； 乙：24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故乙做错了； 丙：（36﹣12）÷ ＝（36﹣12）× ＝36×﹣12× ＝24﹣8 ＝16； 故丙做对了； 丁：（﹣3）2÷×3 ＝9÷×3 ＝9×3×3 ＝81， 故丁做错了； 综上所述，我认为做对的同学是丙， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．若|a|＝3，b2＝4，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b的值等于（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5 【分析】根据绝对值的意义求出a的值，根据有理数乘方的意义求出b的值，再根据绝对值的意义得出a﹣b＜0，从而进一步确定出a、b的值，再计算a+b的值即可． 【解答】解：∵|a|＝3， ∴a＝±3， ∵b2＝4， ∴b＝±2， ∵|a﹣b|＝b﹣a， ∴a﹣b＜0， ∴a＝﹣3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣2， ∴a+b＝﹣3+2＝﹣1或a+b＝﹣3+（﹣2）＝﹣5， 综上，a+b的值等于﹣1或﹣5， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘方，有理数的加减法，确定出a＝﹣3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣2是解题的关键． 10．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2024次“F运算”后的结果是（　　） A．16 B．4 C．1 D．5 【分析】根据新定义的运算法则，分别计算出当n＝34时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答． 【解答】解：当n＝34时，历次运算的结果是： ，17×3+1＝52，，13×3+1＝40，，5×3+1＝16，，1×3+1＝4，…， ∴运算结果为17→52→13→40→5→16→1→4→1…， ∴从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴第2024次“F运算”后的结果是4， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．找到循环规律是解此题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有a※b＝a+（﹣b）．例如：（﹣3）※2＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．那么，﹣6※（1※3）＝　﹣4　 ． 【分析】先根据新定义写出算式，再根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：根据新定义写出算式计算得： 原式＝﹣6※[1+（﹣3）]＝﹣6※（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了有理数的运算，理解新定义是关键． 12．某校园餐厅把wifi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是 　143549　 ． 账号：XueZiCanTing 5★3★2＝151025 9★2★4＝183654 8★6★3＝482472 7★2★5＝密码 【分析】根据题中wifi密码规律确定出计算方法计算即可． 【解答】解：根据题意， 原式＝7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）＝143549． 故答案为：143549． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，找到运算规律是解本题的关键． 13．如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于﹣3，则c2+a2﹣b﹣d﹣e＝ 　17　 ． 【分析】根据题意，每条边上三个数的和都等于﹣3，得到每相邻两个字母的和，逐一验证，即可得到结果． 【解答】解：根据图形可得：每条边上三个数的和都等于﹣3， ∴a+b＝4，b+c＝8，c+d＝7，d+e＝6，a+e＝5， ∵a，b，c，d，e为正整数， ∴0＜a＜4，且为正整数， 当a＝1时，则b＝3，c＝5，d＝2，e＝4， ∴c2+a2﹣b﹣d﹣e＝52+12﹣3﹣2﹣4＝17； 当a＝2时，则b＝2，c＝6，d＝1，e＝5，a＝0，不符合题意， 当a＝3时，b＝1，c＝7，d＝0，不符合题意， ∴c2+a2﹣b﹣d﹣e＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解题的关键． 14．观察下列算式发现规律：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，用你所发现的规律写出：72025的个位数字是　7　 ． 【分析】通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【解答】解：通过观察7的幂的个位数字可知：个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵2025÷4＝506……1， ∴72025的个位数字为7， 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键． 15．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于2，则（﹣pq）2025+t3的值是　9或﹣7　 ． 【分析】根据相反数和倒数的性质，绝对值的意义可得m+n＝0，pq＝1，t＝±2，代入表达式计算即可． 【解答】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于2， ∴m+n＝0，pq＝1，t＝±2． ∴ ＝ ＝ 0﹣（﹣1）+t3 ＝1+t3． 当t＝2时，原式＝1+23＝9； 当t＝﹣2时，原式＝1+（﹣2）3＝﹣7， 故答案为：9或﹣7． 【点评】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的意义，有理数的混合运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 16．下列说法中： ①任意有理数都可以用数轴上的点来表示； ②若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y＝﹣1； ③几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数个，那么积为负数； ④若a1＝﹣1，a2＝﹣3，a3＝﹣6，a4＝﹣10⋯依此类推，则a100＝﹣5050； ⑤使得|x+2|+|x﹣1|＝3成立的x的整数值有4个． 其中正确结论有　①②④⑤　 ．（将正确答案的序号填在横线上） 【分析】根据绝对值、偶次方的非负性及数轴上的点所表示数的特征对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为任意有理数都可以用数轴上的点来表示， 所以①正确； 因为|x+3|+（y﹣2）2＝0， 则x+3＝0，y﹣2＝0， 所以x＝﹣3，y＝2， 则x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故②正确； 因为几个非零有理数相乘，如果负因数的个数是奇数个，那么积为负数， 故③错误； 因为a1＝﹣1，a2＝﹣3，a3＝﹣6，a4＝﹣10，⋯， 所以． 当n＝100时， ＝﹣5050． 故④正确； 代数式|x+2|+|x﹣1|的值可看成数轴上表示数x的点与表示﹣2和1的点的距离之和， 因为|x+2|+|x﹣1|＝3，且1﹣（﹣2）＝3， 所以当表示数x的点在表示﹣2和1的点之间时（包括端点），|x+2|+|x﹣1|＝3， 则整数x为：﹣2，﹣1，0，1，共计4个． 故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律、数轴、非负数的性质：绝对值及非负数的性质：偶次方，熟知绝对值和偶次方的非负性及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．在学习了有理数的乘法后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 利用运算律有时能进行简便计算： 例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176； 例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233． （1）任务一：例1，例2都用到的运算律是 　乘法分配律　 ； （2）任务二：请你参照上述例1、例2，用运算律简便计算下列式子：； （3）计算：． 【分析】（1）根据题目中的例子可知，运用的是乘法分配律； （2）先将式子变形，然后根据乘法分配律计算即可； （3）根据乘法分配律的逆用计算即可． 【解答】解：（1）由题目中的例子可知， 例1，例2都用到的运算律是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2） ＝（100﹣）×（﹣9） ＝100×（﹣9）﹣×（﹣9） ＝﹣900+ ＝﹣899； （3） ＝999×[（118）+（﹣）﹣118] ＝999×0 ＝0． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＜”将它们连接起来： ． 【分析】在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【解答】解：各数在数轴上表示如下所示： 从小到大排列为：． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，在数轴上表示各数是关键． 19．出租车司机小谦某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小谦的行车记录（单位：千米）如下：+11，﹣2，+15，﹣12，+10，﹣11，+5，﹣15，+18，﹣16． （1）当小谦将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ （2）若每千米的营运额为5元，则小谦这天下午的总营运额为多少元？ 【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可． 【解答】解：（1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析可得： +11﹣2+15﹣12+10﹣11+5﹣15+18﹣16＝3（千米）， ∴当小谦将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点3千米． （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额可得： |+11|+|﹣2|+|+15|+|﹣12|+|+10|+|﹣11|+|+5|+|﹣15|+|+18|+|﹣16| ＝11+2+15+12+10+11+5+15+18+16 ＝115， ∴小谦这天下午的总营运额为：115×5＝575（元）． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算的应用，熟练掌握有理数加减混合运算，正确地列出算式是解题的关键． 20．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：（4+2﹣3）×8＝24；②2、4、﹣4、﹣4：2×4+（﹣4）×（﹣4）＝24． （1）请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6； ②﹣1、﹣3、4、4． （2）若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：3×4×（4﹣2）＝24也可以这样计算：23+4×4＝24．请利用上述运算规则列式完成2、﹣3、﹣4、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【分析】（1）根据题意，写出符合要求的算式即可． （2）根据题意，写出符合要求的算式即可． 【解答】解：（1）由题知， ①3×1×（2+6）＝24（答案不唯一）； ②4×[4+（﹣1）﹣（﹣3）]＝24（答案不唯一）． （2）由题知， （﹣4）2﹣（﹣3）+5＝24；52﹣（﹣3）+（﹣4）＝24（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题目要求写出符合要求的算式是解题的关键． 21．问题：你会比较20232024和20242023的大小吗？为了解决此问题，我们先写出它的一般式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结得出结论． （1）比较下列各组数的大小： ①12　＜　 21；②23　＜　 32；③34　＞　 43；④45　＞　 54；⑤56　＞　 65．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）由（1）的结果，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 　当n≤2时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n ． （3）试比较20232024和20242023的大小． 【分析】（1）通过计算进行判断即可； （2）由（1）的计算可归纳出当n≤2时，nn+1＞（n+1）n，当n≥3时，nn+1＜（n+1）n； （3）由（2）的规律进行比较即可． 【解答】解：（1）①∵12＝1，21＝2， ∴12＜21， ②∵23＝8，32＝9， ∴23＜32， ③∵34＝81，43＝64， ∴34＞43， ④∵45＝1024，54＝625， ∴45＞54， ⑤∵56＝15625，65＝7776， ∴56＞65， 故答案为：①＜，②＜，③＞，④＞，⑤＞； （2）当n≤2时，nn+1＜（n+1）n， 当n≥3时，nn+1＞（n+1）n； 故答案为：当n≤2时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n； （3）由（2）可知，当n＝2023＞3时， ∴20232024＞20242023． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算比较大小，再结合运算结果归纳出一般规律，由特殊到一般的数学思想是解题的关键． 22．请利用绝对值的性质，解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，＝　1　 ；当b＜0时，＝　﹣1　 ． （2）已知a，b是有理数，且ab＜0，求的值． （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （4）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值． 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）分情况讨论都得0即可； （3）a+b+c＝0，abc＜0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0解答； （4）分三个数同时大于0；三个数同时小于0；一个数大于0，两个数小于0；两个数大于0，一个数小于0四种情况解答． 【解答】解：（1）∵a＞0，|a|＝a， ∴＝1； ∵b＜0， ∴|b|＝﹣b， ∴＝＝﹣1． 故答案为：1，﹣1； （2）a，b是有理数，且ab＜0， ∴＝0． （3）∵a+b+c＝0，abc＜0， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0 ∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）， ∴原式＝++＝﹣1﹣1+1＝﹣1； （4）①三个数同时大于0时， 原式＝1+1+1＝3； ②三个数同时小于0时， 原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ③一个数大于0，两个数小于0时， 原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； ④两个数大于0，一个数小于0时， 原式＝1+1﹣1＝1． 综上所述，代数式的值为：3或﹣3或1或﹣1． 【点评】本题考查的是有理数的乘法、有理数加法、绝对值，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解． 23．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．若点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，则P，Q两点之间的距离可表示为PQ＝|p﹣q|．请你利用“数形结合”思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和1的两点之间的距离为　1　 ；表示5和﹣1的两点之间的距离为　6　 ． （2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为　|x+3|　 ． （3）如图，数轴上从左到右的三个点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，其中AB＝2025，BC＝1000． ①若B为原点，写出点A，C所表示的数，并求a+b+c的值； ②若O为原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）①根据数轴上两点距离计算公式求出A、C表示的数，再根据有理数加法计算法则求解即可；②分原点在点B左侧和右侧两种情况，先求出点B表示的数，再求出A、C表示的数，最后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【解答】解：（1）数轴上表示2和1的两点之间的距离为|2﹣1|＝1，5和﹣1的两点之间的距离为|5﹣（﹣1）|＝|5+1|＝6， 故答案为：1；6； （2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为|x﹣（﹣3）|＝|x+3|， 故答案为：|x+3|； （3）①∵AB＝2025，BC＝1000，点B为原点， ∴点A对应的数a＝0﹣2025＝﹣2025，点C对应的数c＝0+1000＝1000，b＝0， ∴a+b+c＝﹣2025+0+1000＝﹣1025； ②当原点在点B左侧时， ∵OB＝18， ∴点B表示的数b＝0+18＝18， ∴点A表示的数a＝18﹣2025＝﹣2007，点C表示的数c＝18+1000＝1018， ∴a+b﹣c＝﹣2007+18﹣1018＝﹣3007； 当原点在点B右侧时， ∵OB＝18， ∴点B表示的数b＝0﹣18＝﹣18， ∴点A表示的数a＝﹣18﹣2025＝﹣2043，点C表示的数c＝﹣18+1000＝982， ∴a+b﹣c＝﹣2043﹣18﹣982＝﹣3043； 综上，值为﹣3007或﹣3043． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，解题的关键是掌握有理数加减混合运算顺序和运算法则． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/17 16:21:39；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $