15.3.2等边三角形第二课时 含 30度角的直角三角形 分层训练 2026年暑假预习人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦含30°角直角三角形性质，通过分层题型构建“性质应用-辅助线构造-综合拓展-实际建模”的完整方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据性质求边长|6题|直接应用“30°角对直角边为斜边一半”|从等边三角形性质推导30°角直角三角形性质，基础计算强化概念理解| |作辅助线构造|4题|作高/垂直平分线构造含30°角直角三角形|通过尺规作图等技巧，实现非特殊图形向特殊图形转化，提升空间观念| |与等边三角形综合|5题|结合等边三角形三线合一、内角60°转化角关系|建立等边三角形与30°角直角三角形的内在联系，培养综合推理能力| |实际应用|5题|将斜坡、高度等实际问题抽象为几何模型|强化应用意识，实现数学语言表达现实世界的转化能力|

15.3.2 等边三角形（第2课时） 含30°角的直角三角形分层训练 题型一、根据性质求边长 1.如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是 ． 【答案】3 3.如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是　 cm． 4.如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线，交于点D，过点D作交于点E，已知，，则的长为 ． 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD为△ABC的角平分线，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若DE＝2，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB边上的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．求证：CD＝2BD． 题型二、作辅助线构造含30°角的直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（     ） A．4 B．8 C．16 D．18 3.如图，两个全答的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 4.如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 题型三、与等边三角形的综合运用 1.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若AB＝10，则BE+CF为（　 　） A．4 B．5 C．6 D．3 2.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D是BC的中点，点E是AC的中点，EF∥AD，若CF＝2，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3.如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 5.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 题型四、实际应用 1.如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米． 3.某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 4.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． (1)求该斜坡的高度BD； (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 5.校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝ (1)求证：△ABC≌△CDA ； (2)求草坪造型的面积． 1.如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s． 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（     ） A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别在边BC、CA上且∠EDF＝120°，DF∥BC，则四边形CEDF的周长是　　 ． 4.如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 1.（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 2.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3.（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ． 4.（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15.3.2 等边三角形（第2课时） 含30°角的直角三角形分层训练答案 题型一、根据性质求边长 1.9 2. 3 3. 3 4. 3 5. B　 6.证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°， ∴CD＝2AD， ∴CD＝2BD． 题型二、作辅助线构造含30°角的直角三角形 1.C 2.C    3.B   4.C   题型三、与等边三角形的综合运用 1.B　 2.D 3.C  4.（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 5.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 题型四、实际应用 1. B  2． 3. 4.（1） ， （2）C，A，D三点共线， . 5.（1）在和中， ， ； （2）过点A作AE⊥BC于点E， ， ， ， ， ， ， ， 草坪造型的面积， 所以，草坪造型的面积为． 1. 1 2. D  3. 4.①③④ 1. 1.2 2. 3.6或12 4.D  学科网（北京）股份有限公司 $