26.2.1二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版九年级上册数学

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质这一核心知识点，系统梳理从y=ax²到y=ax²+k（上下平移）、y=a(x-h)²（左右平移）再到顶点式的递进关系，明确开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性等性质，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以课标为纲，典例精析分7大题型，每题型配“点拨”提炼方法，如比较函数值大小结合对称轴与开口方向，培养数学思维中的推理能力。分层训练题量丰富，涵盖选择、填空、解答，适配不同学情，助力学生用数学语言表达函数关系，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

初中数学（RJ）九年级上册 26.2.1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会画出、、的图象，掌握各自的开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性。理解抛物线平移变换规律（左加右减改、上加下减改，关于轴对称改符号）；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.图象：把的图象沿轴向上（）或向下（）平移个单位得到的抛物线。 2.对称轴：（轴）；顶点 。 3.最值：时，时。 4.增减性：平移规律：上加下减，只动顶点坐标，形状、开口方向、对称轴不变。 知识点 2 　二次函数的图象与性质 1.图象：把的图象沿轴向右（）或向左（）平移个单位。 2.对称轴：；顶点。 3.平移规律：左加右减，只动顶点坐标。 4.特殊点：与轴交于（顶点恰在轴上），与轴交于。 知识点 3 　二次函数的图象与性质 顶点式（标准式）：对称轴，顶点。 平移：先把经两步平移到，与上面规律一致。 开口方向与大小：仅由决定，开口向上、开口向下；决定开口宽度。 增减性：时递减、递增；时相反；顶点处取最值。 三、典例精析 题型 1 　图象识别与性质辨析 ★ 点拨　紧扣 a 确定开口方向，越大，图象的开口越小，对称轴，顶点 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 题型 2 　点与抛物线的关系　 ★ 点拨　代入检验；已知求解方程 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 2（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，先求出，然后用待定系数法求出，再把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴是y轴． ∵，， ∴，∴， ∴， ∴， 把代入，得． 故答案为：． 题型 3 　比较函数值大小　 ★ 点拨　直接代入计算，或比较各点与对称轴的距离并结合开口方向 1．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ，，． ， ． 2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段检测）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么_______．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线可得时，随增大而减小，进而求解． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线， 时，随增大而减小， ． 故答案为：． 题型 4 　增减性与二次函数定义求参数 ★ 点拨　先定开口与对称轴，二次项系数不为0，未知数最高次数为2 1．（21-22九年级下·甘肃武威·开学考试）下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 2．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴，解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 题型 5 　值域与最值（区间分类讨论） ★ 点拨　画草图；判断对称轴是否在区间内，在区间内取顶点值，否则取端点值 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分析列出不等式，从而求解． 【详解】解：∵若二次函数的图象不经过第一象限， ∴，即， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y轴的负半轴上，即横坐标为0，纵坐标小于0． 因为抛物线的顶点在y轴的负半轴上，所以可得，即可得到，又因为抛物线开口向上，所以，从而得解． 【详解】解：抛物线的顶点在y轴的负半轴上， ，解得． 抛物线开口向上， ， 的取值范围是． 故答案为：． 题型 6 　图象的平移 ★ 点拨　由“左加右减、上加下减”口诀进行判断 1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 题型 6 　待定系数法 ★ 点拨　设顶点式，代入非定点坐标进行求解 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的图像与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， 这条抛物线与另一条抛物线的顶点坐标相同， ，， 这条抛物线与抛物线形状相同， ，即， 这条抛物线的解析式为：或 故答案为：， 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)；(2)见详解 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【详解】（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 题型 7 　一次函数与二次函数的综合 ★ 点拨　共存图象按、分类核对；交点问题联立方程组求解 1．（21-22九年级上·云南昆明·期末）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ，∴交点坐标为：； 把代入可得： ，解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴，解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 四、分层训练 1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．（20-21九年级上·山东烟台·期末）关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1-x）2，下列说法不正确的是（    ） A．图象y1与y2的开口方向相同 B．y1与y2的图象关于y轴对称 C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象 D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象 3．（19-20八年级下·湖南长沙·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 6．（2022·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 7．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是____． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为______平方单位． 9．（25-26九年级上·天津·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 12．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若函数的图象经过点，则_________，抛物线的开口方向是_________，顶点坐标_________，它的对称轴是_________． 13．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数的图象上有，，，三点，则的大小关系是_______（用“<”连接）． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 18．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 19．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 21．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 22．（2026·广东广州·二模）已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 23．（21-22八年级下·浙江金华·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 24．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式； (2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值． 25．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 26．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数． (1)函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ． (2)当 时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 26.2.1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会画出、、的图象，掌握各自的开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性。理解抛物线平移变换规律（左加右减改、上加下减改，关于轴对称改符号）；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.图象：把的图象沿轴向上（）或向下（）平移个单位得到的抛物线。 2.对称轴：（轴）；顶点 。 3.最值：时，时。 4.增减性：平移规律：上加下减，只动顶点坐标，形状、开口方向、对称轴不变。 知识点 2 　二次函数的图象与性质 1.图象：把的图象沿轴向右（）或向左（）平移个单位。 2.对称轴：；顶点。 3.平移规律：左加右减，只动顶点坐标。 4.特殊点：与轴交于（顶点恰在轴上），与轴交于。 知识点 3 　二次函数的图象与性质 顶点式（标准式）：对称轴，顶点。 平移：先把经两步平移到，与上面规律一致。 开口方向与大小：仅由决定，开口向上、开口向下；决定开口宽度。 增减性：时递减、递增；时相反；顶点处取最值。 三、典例精析 题型 1 　图象识别与性质辨析 ★ 点拨　紧扣 a 确定开口方向，越大，图象的开口越小，对称轴，顶点 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 题型 2 　点与抛物线的关系　 ★ 点拨　代入检验；已知求解方程 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 2（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，先求出，然后用待定系数法求出，再把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴是y轴． ∵，， ∴，∴， ∴， ∴， 把代入，得． 故答案为：． 题型 3 　比较函数值大小　 ★ 点拨　直接代入计算，或比较各点与对称轴的距离并结合开口方向 1．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ，，． ， ． 2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段检测）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么_______．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线可得时，随增大而减小，进而求解． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线， 时，随增大而减小， ． 故答案为：． 题型 4 　增减性与二次函数定义求参数 ★ 点拨　先定开口与对称轴，二次项系数不为0，未知数最高次数为2 1．（21-22九年级下·甘肃武威·开学考试）下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 2．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴，解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 题型 5 　值域与最值（区间分类讨论） ★ 点拨　画草图；判断对称轴是否在区间内，在区间内取顶点值，否则取端点值 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分析列出不等式，从而求解． 【详解】解：∵若二次函数的图象不经过第一象限， ∴，即， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y轴的负半轴上，即横坐标为0，纵坐标小于0． 因为抛物线的顶点在y轴的负半轴上，所以可得，即可得到，又因为抛物线开口向上，所以，从而得解． 【详解】解：抛物线的顶点在y轴的负半轴上， ，解得． 抛物线开口向上， ， 的取值范围是． 故答案为：． 题型 6 　图象的平移 ★ 点拨　由“左加右减、上加下减”口诀进行判断 1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 题型 6 　待定系数法 ★ 点拨　设顶点式，代入非定点坐标进行求解 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为________．（结论用顶点式表示） 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的图像与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， 这条抛物线与另一条抛物线的顶点坐标相同， ，， 这条抛物线与抛物线形状相同， ，即， 这条抛物线的解析式为：或 故答案为：， 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)；(2)见详解 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【详解】（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 题型 7 　一次函数与二次函数的综合 ★ 点拨　共存图象按、分类核对；交点问题联立方程组求解 1．（21-22九年级上·云南昆明·期末）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ，∴交点坐标为：； 把代入可得： ，解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴，解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 四、分层训练 1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 2．（20-21九年级上·山东烟台·期末）关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1-x）2，下列说法不正确的是（    ） A．图象y1与y2的开口方向相同 B．y1与y2的图象关于y轴对称 C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象 D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象 【答案】D 【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系． 【详解】∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2， 抛物线y2＝（1-x）2＝（x-1）2， ∴抛物线y1的开口向上，顶点为（-1，0），对称轴为直线x=-1；抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x=1，故选项A说法正确，不符合题意； ∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确，不符合题意； ∴y1与y2的顶点关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确，不符合题意； ∵y1绕原点旋转得到的抛物线为y=-（x+1）2，与y2开口方向不同， ∴D错误，符合题意． 故选：D 3．（19-20八年级下·湖南长沙·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 6．（2022·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 7．（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为______平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 9．（25-26九年级上·天津·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ，解得． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】0；6或1 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 12．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若函数的图象经过点，则_________，抛物线的开口方向是_________，顶点坐标_________，它的对称轴是_________． 【答案】1；向上；；直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的性质以及运用待定系数求函数解析式成为解题的关键．将点代入可求得a的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：将点代入可得：，解得：， ∴函数解析式为， ∴抛物线的开口方向是向上，顶点坐标为，它的对称轴是直线． 故答案为：1，向上，，直线． 13．（24-25九年级上·北京·期中）已知函数的图象上有，，，三点，则的大小关系是_______（用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，；当时，． ∵， ∴． 故答案为：． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为．；(2)当时，函数取得最大值，最大值为2．；(3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 【答案】(1)抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的，开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴；(2)最小值为3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移． （1）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案； （2）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴； （2）解：因为开口向上，所以函数有最小值， 当时，函数有最小值，最小值为3． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据二次函数的性质列式计算； （2）分和两种情况进行计算． 【详解】解：（1）由题意，得，解得． （2）分两种情况：①，无解；②，解得． 故a的取值范围是． 18．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴， ∴， ∵， ∴，代入中， 得：，解得：， ∴； （2）解：将代入中， 得：，解得：； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 19．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 【答案】(1)；(2)点的坐标为，的面积为16 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点为即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴将代入得：，即， 故该抛物线的解析式为． （2）解：该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， 点的坐标为． 的面积为． 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，，；(2)4；(3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴，∴， ∴或． 21．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 22．（2026·广东广州·二模）已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【答案】(1)；(2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）作差后，分类比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴不妨设， ∵抛物线过点， ，解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵直线过点， ∴， ， 直线， ， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ． 23．（21-22八年级下·浙江金华·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设顶点式，代入求值即可； （2）根据抛物线与轴的交点问题，即时，求函数值即可． 【详解】（1）解：设二次函数的顶点式为：， ∵顶点为， ∴， 将代入得，∴， 则二次函数的解析式为：， （2）解：令， 则，解得：， 所以二次函数与轴的交点坐标为：． 24．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式； (2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1)；；(2)或. 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题、二次函数的顶点坐标等，熟练掌握二次函数与轴的交点问题和配顶点式是解题的关键． （1）根据二次函数图象的顶点在轴上，可得，代入求解即可； （2）先将配成顶点式，再结合题目求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上， ∴与轴只有一个交点，即， ，解得：， 二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴顶点为， ∵抛物线的顶点到轴的距离为， ∴，解得，， 的值为或． 25．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数图象的平移，掌握平移法则是解题的关键． （1）根据两条抛物线顶点相同，可得，，再求出点A的坐标，代入抛物线解析式求出a值即可； （2）根据“上加下减，左加右减”平移法则求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点与抛物线的顶点相同， ，， ， 对于，当时， ， 将代入，得：，解得， 这条抛物线的函数解析式为； （2）解：把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式为： ， 即． 26．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数． (1)函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ． (2)当 时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【答案】(1)向下；直线；；(2)；(3)当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是；(4)抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数平移口诀是解题的关键． （1）根据二次函数顶点式的性质即可解答． （2）根据对称轴和二次函数的性质即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答； （4）根据二次函数平移口诀即可解答． 【详解】（1）解：根据二次函数解析式可得， 函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 故答案为：向下；直线；； （2）解：根据二次函数的性质可得当时，随的增大而减小， 故答案为：； （3）解：根据二次函数的性质可得当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是； （4）解：二次函数的平移口诀为：左加右减，上加下减， ∵ ∴抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $