26.2.3 二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数一般式的图象和性质，核心是通过配方法转化为顶点式并推导对称轴、顶点坐标公式。课堂导入复习顶点式性质及配方法解一元二次方程旧知，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 以小组合作探究为特色，学生通过实例配方推导公式，培养运算能力与推理意识，分层练习和作业设计兼顾不同水平，发展应用意识。帮助学生理解公式本质，提升代数能力，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

分课时教学设计 第六课时《26.2.3 二次函数的图象和性质》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课研究一般式的图象性质，核心是配方法转化为顶点式．教材以为例，通过配方法化成，建立一般式与顶点式之间的桥梁，由此推导对称轴公式，顶点坐标公式．配方法既是解一元二次方程旧知的迁移，也是处理二次函数的重要工具．本课打通一般式与顶点式，学生不用配方也可以直接套用公式得到顶点、对称轴，分析增减性、最值．本课是本章重难点，上承顶点式，下启二次函数与一元二次方程、实际应用，是中考高频考点，对整章后续学习至关重要． 学习者分析 学生已经熟练顶点式的图象性质，之前学过用配方法解一元二次方程．但把配方法迁移到二次函数变形，学生存在障碍，尤其二次项系数不为1的时候配方运算容易出错．学生能够记忆对称轴、顶点公式，但不理解公式推导来源，只会死记硬背；代入公式计算容易符号出错．部分学生拿到一般式，不会分析增减性与最值．教学组织小组合作，回顾解方程的配方法，类比迁移到函数，理解公式由来，同时训练公式计算． 教学目标 1.会用配方法把化成顶点式． 2.推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3.掌握图象性质，会求最值． 教学重点 配方法将一般式化为顶点式；掌握对称轴、顶点坐标公式，会求函数最值． 教学难点 二次项系数不为1时的配方变形；理解顶点公式的推导过程． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用配方法把化成顶点式． 2．推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3．掌握图象性质，会求最值． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：说一说二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质？ 答案：一般地，抛物线与形状相同，位置不同.把抛物线向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据的值来决定. 抛物线有如下特点: (1)当时，开口向上；当时，开口向下. (2)对称轴是. (3)顶点是(). 从二次函数的图象可以看出:如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取最大值，最大值为. 导入：从简单的二次函数 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数 转化为 . 这样，就可以利用 的图象和性质来研究二次函数 的图象和性质. 学生活动2： 学生积极回答问题，并回忆配方法解一元二次方程，思考配方法是否可以用于函数变形，进入新课． 活动意图说明： 通过复习已经学过的二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质的知识，利用学生已掌握的解方程配方法，类比迁移到二次函数，为引出新课“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质”作铺垫． 环节三：新知讲解 教师活动3： 思考：对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 分析：对二次函数配方，可得．根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象． 追问：还有其他平移方法吗？ 预设：先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度 解：先配方，将二次函数的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． ． 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是 ，对称轴是 . 再利用图象的对称性列表： ... 3 4 5 6 7 8 9 ... ... 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ... 然后描点画图，得到 的图象如图所示 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取最小值，最小值是3. 探究：你能用上面的方法研究二次函数 的图象和性质吗? 解：先配方，将二次函数y＝－2x2－4x＋1的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． y＝－2x2－4x＋1 ＝－2(x2＋2x)＋1 ＝－2(x2＋2x＋12－12)＋1 ＝－2(x＋1)2＋3． 由配方的结果可知，抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点是(－1，3)，对称轴是x＝－1． 再利用图象的对称性列表： ... - -2 - -1 - 0 ... y＝－2x2－4x＋1 ... - 1 3 1 - ... 然后描点画图，得到y＝－2x2－4x＋1的图象如图所示． 从二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取最大值，最大值是3. 归纳：一般地，我们可以类似地研究二次函数的图象和性质.通过配方，可以将二次函数化成 因此，抛物线的对称轴是，顶点是.如图所示，从二次函数的图象可以看出： 如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 因此，当(或)时，抛物线的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当时，二次函数有最小值(或最大值). 学生活动3： 回忆一元二次方程配方法；开展小组合作探究，小组尝试对进行配方，互相纠错；研读教材的一般式配方推导，组内互相解释对称轴、顶点公式来源；小组练习配方变形与公式代入计算；小组代表板演展示，全班订正，整理配方步骤与公式笔记． 活动意图说明： 依托教材实例，小组合作完成配方训练，让学生理解公式的推导由来，而不是单纯死记公式，提升代数运算能力． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：26.2.3 二次函数的图象和性质 一、开口方向 二、顶点坐标 三、对称轴 四、增减性 五、最值 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 答案：C 2．抛物线的最大值是_____． 答案： 3．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)当时，结合图象求y的取值范围． 解：（1）列表， 0 1 2 3 4 2 2 函数图象如下图： （2）观察函数图象得：当时，的取值范围为． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 解：（1）当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．将二次函数化为的形式是________． 答案： 3．已知二次函数. (1)用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出二次函数的图像，观察图像，求随增大而增大的的取值范围. 解：（1）∵二次函数， ∴二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是 （2）∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，过，，，， 函数图像如下图所示： 由图像可知，随增大而增大的的取值范围是． 选做题： 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 解：（1） （2）由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 教学反思 本节课将配方法迁移到二次函数，小组合作开展配方训练．学生对二次项系数不为1的配方运算错误较多；部分学生只会死记顶点公式，不理解推导过程，代入公式符号出错．后续教学要强化配方步骤训练，兼顾理解推导和公式运用，多安排板演纠错，提升代数运算能力． 学科网（北京）股份有限公司 $