专题26.2.1--26.2.2二次函数y=ax2 和y=a(x-h)2+k的图像与性质（17大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²和y=a(x-h)²+k的图像与性质，构建从基础图像绘制、开口方向、对称轴、顶点坐标到增减性的学习支架，逐步过渡到平移、旋转等变换及综合应用，形成完整知识脉络。 资料以模块化分层设计（模块通关、专题攻坚、压轴突破）为特色，通过典例与变式训练培养抽象能力和推理意识，如平移问题结合坐标变换强化几何直观，新定义压轴题提升创新思维，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.2.1--26.2.2二次函数y=ax2 和y=a(x-h)2+k的图像与性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 画二次函数y=ax2的图象 模块10 二次函数y=a(x-h)2 ++k的图象 模块2 求二次函数y=ax2的开口、对称轴、顶点的方法 模块11 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 模块3 二次函数y=ax2的增减性 模块12二次函数y=a(x一h)2+k图象上点的坐标特征 模块4 画二次函数y=ax2+k的图象 微专题1二次函数平移问题 模块5 二次函数y=ax2+k的图象及性质 微专题2 二次函数中的旋转问题 模块6由二次函数y=ax2+k的性质求参数 微专题3二次函数图像的折叠与对称 模块7二次函数y=a(x一h)2的图象 压轴1 直线与抛物线交点个数问题 模块8 二次函数y=a(x一h)2的性质 压轴2 二次函数中的 新定义问题 模块9二次函数y=a(x一h)2图象上点的坐标特征 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数的定义： 我们把一种意义一般地，如果就是常数，，那么y叫做x的二次函数. 知识点2二次函数的图像和性质 大致图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 0 ． 函数轴最 大 值这个值是 0 ． 特别提示：①二次函数的开口大小由|a|决定．|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大． ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大，反之函数值越大的点离对称轴越远；二次函数开口向下时，离对称轴越远的点函数值越小，反之函数值越小的点离对称轴越远． 知识点3二次函数的图像的画法 (1)列表: 以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值. (2)描点: 在平面直角坐标系中描出表中的各点. (3)连线: 用平滑的曲线顺次连接各点. (4)在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在 顶点的两侧各取2~4个点即可.在连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸，.画抛物线y=ax2 ()的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧. 知识点4 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于进行了左右平移． 大致图像 （向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移） 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 0 ． 函数轴最 大 值这个值是 0 ． 知识点5 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于进行了上下平移． 大致图像 （向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移） 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 k ． 函数轴最 大 值这个值是 k ． 知识点6 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于既进行了左右平移，又进行了上下平移． 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 k ． 函数轴最 大 值这个值是 k ． 模块通关·举一反 三 【模块一】画二次函数y=ax2的图象 .1. 列表：在x的取值范围内合理选取若干个值，代入解析式计算出对应的y值，整理为x与y对应值的表格； 2. 描点：根据表格中得到的每组(x, y)坐标，在平面直角坐标系中逐一描出对应的点； 3. 连线：用平滑的曲线，按照x从小到大的顺序顺次连接所描的各点，最终得到二次函数y=ax2的图象，注意图象两端需适当延伸，体现抛物线向两方无限延伸的性质。 【典例1】通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【答案】见解析 【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 【详解】解：列表得： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线． 【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 【变式1-1】画函数的图像． 【答案】见解析 【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可． 【详解】解：列表： 描点、连线如下图所示： 【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可． 【变式1-2】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大． （1）求m的值； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）m=1；（2）见解析 【分析】（1）根据二次函数的定义以及性质，求解即可； （2）描点法画出函数的图像即可． 【详解】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴ ， ∴ ∴ （2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数， 自变量 描点连线，如图所示． 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质． 【变式1-3】已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　． （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 　 　． 【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0 【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴； （2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得； （3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴， 故答案为：-3，y轴； （2）∵点A（1，m）， ∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m）， 故答案为：（﹣1，m）， 故答案为：（﹣1，m）； （3）如图所示： 当时，， 当x＝4时，， 根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，， ∴当时，； 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键 【模块二】求二次函数y=ax2的开口、对称轴、顶点的方法 .1.二次函数中的绝对值越大开口越小,开口向上，开口向下 2.对称轴是y轴。顶点坐标为( (0,0) ，即坐标原点； 【典例2】抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的性质判定即可． 【详解】抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误； 抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确； 综上分析可知，正确的个数为2个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【变式2-1】已知四个二次函数的图象如图所示，那么的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数中的绝对值越大开口越小,开口向上，开口向下，进行判断即可求解． 【详解】解：如图所示：①的开口小于②的开口，则， ③的开口大于④的开口，开口向下， 则， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了的图象与性质，掌握的意义是解题的关键． 【变式2-2】下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝−1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D． 【详解】解：∵二次函数， ∴当x＝−1时，y＝3，故选项A不符合题意； 它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意； 当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式2-3】关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－x2的图象关于x轴对称 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质分析判断即可； 【详解】二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，故A不符合题意； ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴关于y轴对称，故B不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴它的顶点是抛物线的最低点，故C符合题意； ∵和1互为相反数， ∴它与y＝－x2的图象关于x轴对称，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 【模块三】二次函数y=ax2的增减性 首先结合开口方向与对称轴的位置分情况判断：因为y=ax2的对称轴恒为y轴，增减性只需要结合a的符号即可确定：当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，也就是x<0时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，也就是x>0时，y随x的增大而增大。当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，也就是x<0时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，也就是x>0时，y随x的增大而减小。 【典例3】下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的图象的性质即可判断 【详解】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大， 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握的图象的性质是解题的关键 【变式3-1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】D 【分析】先分别计算出自变量为、和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 【变式3-2】．已知，点，，都在函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由a＜﹣2即可得出a﹣1＜a＜a+1＜﹣1，再根据在函数y=x2的图象上，当x＜0时，y随着x的增大而减小，由此即可得出y1＜y2＜y3． 【详解】解：∵a＜﹣2，∴a﹣1＜a＜a+1＜﹣1． ∵在函数y=x2的图象上，当x＜0时，y随着x的增大而减小，∴y1＜y2＜y3． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，根据a的取值范围找出a﹣1＜a＜a+1＜﹣1是解题的关键． 【变式3-3】已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，那么n的取值范围为______． 【答案】(1)； (2)＜y≤0 【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当x=2时，y=4，当x=1时，y=1并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， 如图所示： 当x=2时，， 当x=1时，， ∴当2≤x＜1时，＜y≤0， 故答案为：＜y≤0． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 【模块四】画二次函数y=ax2+k的图象 可分为描点法和平移法两种常用绘制路径： 1.采用描点法作图时，第一步列表，在定义域内选取以x=0（即该抛物线对称轴）为中心的若干组对称x值，依次代入解析式计算出对应y值，整理出坐标表格；第二步描点，将表格中每组坐标对应到平面直角坐标系中，逐一描出点；第三步连线，用平滑曲线顺次连接所有点，再将曲线向两端适当延伸，即可得到完整图象。 2.若已经掌握y=ax²的图象绘制，也可利用平移法作图：y=ax²+k的图象与y=ax²的图象形状、开口方向完全一致，仅顶点位置不同，因此当k>0时，将y=ax²的图象整体向上平移|k|个单位，当k<0时，将y=ax²的图象整体向下平移|k|个单位，即可得到y=ax²+k的图象。 【典例4】画出函数y＝﹣x2＋1的图象． 【答案】见解析 【分析】根据列表、描点连线的方法画出二次函数图象即可求解． 【详解】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 【点睛】本题考查了画二次函数图象，掌握的图象与性质是解题的关键． 【变式4-1】已知：二次函数y＝x2﹣1． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)画出它的图象． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）． (2)图像见解析． 【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h； （2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象． 【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴； （2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0． 解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)； 令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)； 又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴， 再求出关于对称轴对称的两个点， 将上述点列表如下： x -2 -1 0 1 2 y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3 描点可画出其图象如图所示： 【点睛】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标． 【变式4-2】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【来源】第10讲 二次函数y 【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系． 【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像： 由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）； 由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式4-3】初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 (4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 【答案】(1)取任意实数 (2)；；图象见解析 (3)B (4) 【分析】（1）根据解析式直接可得答案； （2）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值； ②根据m、n的值描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象； （3）观察函数图象，逐项判断即可得答案； （4）由可得，即知． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； （2）当时，， 当时，， 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图； （3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意， 函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意； 若函数图象经过点与，则；故D正确，不符合题意， 故答案为：B； （4）∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． 【模块五】二次函数y=ax2+k的图象及性质 首先根据二次项系数a 判断开口方向与最值：若a>0 ，则抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值为y=k ；若a<0 ，则抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为 y=k 。 随后确定对称轴与顶点坐标，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,k) 。 最后结合开口方向判断增减性：当a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大；当 a<0 时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。 【典例5】抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小． 【答案】 向下 轴 【分析】利用二次函数的性质判定即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故答案为：向下，轴，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 【变式5-1】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵在二次函数的图象上， ∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键． 【变式5-2】关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数，2>0, ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 对称轴是轴，故选项B错误， 当时，随的增大而减小，故选项C错误， 当时，有最小值是1，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式5-3】已知，点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，抛物线的对称轴为y轴，即直线，图象开口向上，当时，，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断的大小关系． 【详解】解：∵当时，， 而抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 【模块六】由二次函数y=ax2+k的性质求参数 第一步，可先根据函数图象的开口方向确定参数a的符号：若图象开口向上，则a＞0；若图象开口向下，则a＜0；若给出开口大小相关条件，可进一步结合|a|的几何意义得到a的具体取值。 第二步，再结合函数图象与y轴的交点确定参数k的值，二次函数y=ax2+k与y轴的交点坐标为(0,k)，直接读取交点纵坐标即可得到k的值。若题目给出函数经过任意一个已知坐标的点，也可将点的横、纵坐标代入函数解析式，通过解一元方程得到未知参数的值，这种代入求解的思路也可推广到其他形式二次函数的参数求解问题中。 第三步，也可根据函数的增减性，求参数的取值范围. 【典例6】已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ． 【详解】解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且 ∴，下面解此不等式． 第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0； 第二种情况，当时，得，解得； 第三种情况，当时，得，解得，无解； 综上所述得． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小． 【变式6-1】对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 【变式6-2】已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线有最低点可知抛物线开口向上，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是此抛物线的最低点， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【变式6-3】定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（    ） A．﹣12 B．0 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m、n的方程，求得m、n便可． 【详解】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点， ∴n＝m2+k， ∴k＝n﹣m2， ∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16， ∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16， ∴|m|＝4，|n|＝4， 当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12； 当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20． 故选：A． 【点睛】本题是一个新定义题，主要考查了二次函数的图象与性质，矩形的性质，关键是根据题意列出m、n的方程． 【模块七】二次函数y=a(x一h)2的图象 （一）判断图象性质的思路： 第一步根据二次项系数a 判断开口方向与最值：若 a>0 ，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值为0；若a<0 ，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为0。 第二步确定对称轴与顶点坐标，根据该形式二次函数的结构特征可得，对称轴为直线x=h ，顶点坐标为 (h,0) 。 第三步判断增减性：当 a>0时，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大；当 a<0 时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。 （2） 具体的作图方法， 常用的有两种：第一种为描点法作图，步骤依次是：先确定顶点(h,0) ，再在对称轴左右两侧选取若干组关于 x=h 对称的x值，计算出对应的y值并整理成坐标列表；接着根据列表坐标在平面直角坐标系中逐一描点；最后用平滑曲线顺次连接各点，再向曲线两端适当延伸，即可得到完整图象。第二种为平移作图法，该函数图象形状与y=ax2 完全相同，仅顶点位置不同：若h>0，将y=ax2 的图象整体向右平移 h 个单位即可得到目标图象；若 h<0 ，将y=ax2 的图象整体向左平移|h| 个单位，即可得到y=a(x-h)2 的图象。 【典例7】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标． 【变式7-1】二次函数的的大致图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得． 【详解】解：∵，， ∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：D． 【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键． 【变式7-2】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案 【详解】解： y＝2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为 该函数不经过第三、四象限 如图， 故选C 【点睛】本题考查了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键． 【变式7-3】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大；当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 【模块八】二次函数y=a(x一h)2的性质 ①当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(h,0)，对称轴为直线\x=h；当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大，函数在x=h处取得最小值，最小值为0。 ②当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为((h,0)，对称轴为直线x=h；当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小，函数在x=h处取得最大值，最大值为0。该形式的二次函数图象可由抛物线y=ax2左右平移得到，平移规律为“左加右减”，掌握这个规律能快速得到函数图象的位置。 【典例8】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式8-1】已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上， 当时，最小为， 又∵， ∴时，最大为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性． 【变式8-2】已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图像开口向上，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，故；三点中，点离对称轴最近，故最小． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上， ，，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， 由得， 三点中，C点离对称轴最近， 最小，即， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． 【变式8-3】已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线可得对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为，根据时，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 当时，，且随的增大而减小， ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【模块九】二次函数y=a(x一h)2图象上点的坐标特征 对称轴为直线x=h，因此图象关于直线x=h对称，若两个点的纵坐标相等，则这两个点关于直线x=h对称，即两点横坐标之和等于2h。顶点坐标为(h, 0)，说明图象一定过(h, 0)点，该点也是二次函数的最值点。 结合二次项系数的符号可进一步得到纵坐标范围：当a>0时，抛物线开口向上，除顶点外，图象上任意一点的纵坐标都大于0；当a<0时，抛物线开口向下，除顶点外，图象上任意一点的纵坐标都小于0。若某点在图象上，则该点的横、纵坐标必然满足解析式y=a(x-h)2，代入解析式即可验证点与图象的位置关系。 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则，再求出A、B坐标即可求解． 【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a， 则：，解得：x＝h， 即：A(h﹣，0)，B(h+，0)， ∵AB＝4， ∴h+﹣(h﹣)＝4，解得：a＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是设并求出A,B的坐标是解答本题的关键． 【变式9-1】在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点m，n）和（m+3，n）代入得到，解一元二次方程得出m的值，从而得出n的值． 【详解】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到： 整理得： 解得： 把点代入可得： 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上代入求出m的值是解此题的关键． 【变式9-2】抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 【变式9-3】已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解． 【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m， 当p＝q时，m＝＝1， ∵p＜q， ∴m＞1， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【模块十】二次函数y=a(x-h)2 ++k的图象 可以由抛物线y=ax2通过平移变换得到，平移规律为“上加下减，左加右减”：先将y=ax2沿水平方向平移|h|个单位，再沿竖直方向平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2+k的图象，二者形状、大小完全相同，仅位置不同。该形式的图象特征十分明确：开口方向由二次项系数a决定，a>0时抛物线开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标固定为(h,k)，对称轴为直线x=h，结合这些特征可以快速画出函数草图，也能直接读出函数的最值。 【典例10】二次函数中，图像是 开口_ _，对称轴是直线_ _，顶点坐标是__ ，当x 时，函数y随着x的增大而增大，当x__ 时，函数y随着x的增大而减小．当x＝ 时，函数y有最__ 值是_ _． 【答案】 抛物线 向下 大 【分析】根据二次函数图像的性质确定函数的图像的形状、开口方向、顶点的坐标、对称轴及增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴图像是抛物线，开口方向向下， 对称轴为，顶点坐标为， 当时，函数y随着x的增大而增大， 当时，函数y随着x的增大而减小， 当时，函数y有最大值是． 故答案为：抛物线、向下、、大、． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的图像和性质是解答本题的关键． 【变式10-1】关于x的二次函数中，若，则下列示意图中符合要求的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需要分类讨论求解，当时，若，当时，当时；当时，若，当时，当时． 【详解】解：当时，若，分两种情况讨论： 当时，此时图像开口向上，与轴交于负半轴，顶点到第四象限；故A选项的图符合要求； 当时，此时图像开口向上，与轴交于正半轴，顶点到第二象限；没有符合要求的图； 当时，若，分两种情况讨论： 当时，此时图像开口向下，与轴交于正半轴，顶点到第一象限；没有符合要求的图； 当时，此时图像开口向下，与轴交于负半轴，顶点到第三象限；没有符合要求的图； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行讨论求解． 【变式10-2】已知点，，都在抛物线（）上点在点左侧，下列选项正确的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意画出二次函数的大致图像，利用数形结合的思想求解． 【详解】解：根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，再根据可以画出抛物线的大致图像，分为两种情况： 当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故选项错误，选项正确； 当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故、选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，根据题意画出函数的大致图像利用数形结合的思想解题是解决本题的关键． 【变式10-3】点，都在上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式可知，其图像开口向上，对称轴为．当时，点关于直线对称，故；当及时，结合图像确定点的位置，然后比较即可获得答案． 【详解】解：对于函数，，可知其图像开口向上，对称轴为， 则当，即当时，如图1， 此时点关于直线对称，故； 当时，如图2， 此时点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 随着的增大而减小，随着的增大而增大，故； 当时，如图3， 此时函数值随着的增大而增大，点在点左侧，故． 综上所述，若，则的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 【模块十一】 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 具体性质总结如下： ①二次项系数a确定开口方向与开口大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0)时，抛物线开口向下；|a|越大，抛物线的开口越窄。 ②该形式可以直接读出对称轴与顶点坐标：对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h, k)，进而直接得到函数的最值：当a>0时，顶点是抛物线的最低点，函数在x=h处取得最小值，最小值为k；当a<0时，顶点是抛物线的最高点，函数在x=h处取得最大值，最大值为k。 ③增减性：当a>0时，x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大。当a<0时，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小。y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2平移得到，平移规律遵循“左加右减、上加下减”，可快速确定图象位置。 【典例11】已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数有最大值 (3)当，随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值-4； （3）对称轴，开口向下 ∴当，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键． 【变式11-1】已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：由题可知，画出函数图象如图所示，并把，点A在点B左侧，，按坐标绘制在图象上， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助函数图象，利用数形结合的思想是解本题的关键． 【变式11-2】已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线； 故答案为：向下，； （2）解：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意． 【变式11-3】已知抛物线． (1)其开口方向为____________． (2)顶点坐标为______________． (3)当x___________时，y随x的增大而增大． (4)最______（填“大”或“小”）为________． 【答案】(1)向上 (2) (3) (4)小， 【分析】（1）根据，即可判断开口方向向上； （2）根据顶点式的顶点坐标为求解即可； （3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； （4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴其开口方向向上， 故答案为：向上； （2）解：∵ ∴顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：∵开口向上，对称轴为 ∴当时，y随x的增大而增大； 故答案为：； （4）解：∵，开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值，最小值为， 故答案为：小，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 【模块十二】二次函数y=a(x一h)2+k图象上点的坐标特征 若点P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) 在该抛物线上，当两点都在对称轴同侧时，可以直接结合增减性判断y1 与y2的大小关系；若两点分别在对称轴两侧，则可以根据两点到对称轴x=h 的距离，结合开口方向判断：开口向上时，距离对称轴越远，纵坐标越大，开口向下时，距离对称轴越远，纵坐标越小。同时，关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，若已知其中一个点的坐标，就能直接得到另一个对称点的坐标，这一特征在求解函数交点、参数范围问题中经常用到，可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。 【典例12】若，，是二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得抛物线对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线 ∴当时，随的增大而减小 ∵与点关于对称，且 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性和增减性即可得到答案． 【变式12-1】点，都在二次函数的图象上，则______（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】根据开口向上的二次函数，离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 【变式12-2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，对称轴为直线，且图象开口向上， 点离对称轴距离越远函数值越大， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够根据二次函数的顶点式得出抛物线的对称轴． 【变式12-3】点，都在上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式可知，其图像开口向上，对称轴为．当时，点关于直线对称，故；当及时，结合图像确定点的位置，然后比较即可获得答案． 【详解】解：对于函数，，可知其图像开口向上，对称轴为， 则当，即当时，如图1， 此时点关于直线对称，故； 当时，如图2， 此时点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 随着的增大而减小，随着的增大而增大，故； 当时，如图3， 此时函数值随着的增大而增大，点在点左侧，故． 综上所述，若，则的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数平移问题 是初中二次函数模块的高频基础题型，也常结合最值、点的坐标判断出现在综合题中。这类问题的核心规律是“左加右减自变量，上加下减常数项”，平移过程中抛物线的形状、开口大小保持不变，即二次项系数 a 的值不会发生改变。解题时一般先将原二次函数整理为顶点式，再根据平移方向调整顶点坐标中h 和k 的值，即可快速得到平移后的函数解析式。 【典例13】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【难度】0.85 【来源】第5章 二次函数（2）——考点考题点点通 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 【变式13-1】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】云南省昆明市第三中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题卷 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 【变式13-2】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】第14讲 二次函数图像与性质（知识点 11题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 【变式13-3】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2026年湖南长沙市南雅中学初三中考模拟考试数学试卷 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 【微专题二】 二次函数中的旋转问题 二次函数中的旋转问题，核心是抓住旋转前后图形的形状大小不变，因此旋转后所得新二次函数的二次项系数绝对值和原二次函数相等，仅开口方向在旋转180°时会发生改变，常用坐标变换法求解旋转后的解析式： 若旋转角度为180°，若绕顶点旋转，顶点坐标不变，只需将原解析式y=a(x-h)2+ + k 中的 a 变为 -a ，即可得到旋转后的解析式 y=-a(x-h)2+k ；若绕原点旋转180°，可利用点的旋转规律：原抛物线上任意一点(x,y) 旋转后对应点为(-x,-y) ，将x=-x,y=-y 代入原解析式，整理即可得到新二次函数的解析式。 若旋转角度为90°或其他角度，同样利用点的旋转变换得到对应点坐标关系，反代回原解析式即可推得新函数解析式，这类问题常结合顶点坐标、与坐标轴的交点、函数最值考察，掌握坐标变换的思路就能快速求解。 【典例14】如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的顶点坐标是___________，解析式为_______________． 【答案】 【分析】根据的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后确定的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线 的解析式为 ∴抛物线 的开口向上，顶点坐标为： ∵抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称． ∴抛物线 的开口向下，顶点坐标为： 抛物线的解析式为 故答案为：①；②． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 【变式14-1】将二次函数的图象绕着顶点旋转后得到的新图象的解析式是___________． 【答案】 【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的图象绕着顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化． 【变式14-2】将抛物线绕坐标原点旋转，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点旋转后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出旋转后抛物线． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 点绕原点旋转后的点为， 抛物线旋转后开口向下， ∴旋转后的抛物线顶点为，且开口向下 ∴旋转后的抛物线为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变． 【变式14-3】将函数的图像绕着原点旋转，得到的新图像的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为, 图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反， 即， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化． 【微专题三】 二次函数图像的折叠与对称 二次函数图像的折叠与对称是二次函数几何变换类问题的核心考点，解题的关键是抓住变换过程中的不变量与坐标变化规律：变换过程中抛物线的开口大小始终保持不变，仅开口方向或顶点位置随对称规则发生改变，结合对称变换的坐标变化规律即可快速推导出变换后函数的解析式。 ①若为关于x轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(x,-y)，代入原解析式整理即可得到新解析式； ②若为关于y轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(-x,y)，同理可推导得到新解析式。 ③若为沿任意直线折叠的题型，则需先利用轴对称性质，求出折叠后抛物线的顶点坐标与开口方向，再结合顶点式即可写出最终解析式，这类问题常结合动点最值、线段和差问题考查，可利用对称性质转化线段，简化计算过程。 【典例15】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 【答案】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 【变式15-1】如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如y＝（x﹣1）2＋2与y＝﹣（x＋1）2﹣2互为中心对称函数．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：函数y＝﹣2（x＋4）2﹣1的中心对称函数为 　 ． (2)若函数y＝3（x＋m）2﹣4与y＝a（x＋m）2＋n互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离d． 【答案】(1)y＝2（x﹣4）2+1 (2)8 【分析】（1）根据中心对称函数的定义，两个函数形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称对称即可． （2）根据中心对称函数的定义，得到二次函数的顶点，进而即可求得d的值． (1) 根据“如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数”可得， 函数y＝﹣2（x+4）2﹣1的中心对称函数为y＝2（x﹣4）2+1； 故答案为：y＝2（x﹣4）2+1． (2) ∵函数y＝3（x+m）2﹣4与y＝a（x+m）2+n互为中心对称函数， ∴a=-3,m＝-m ，n＝4， ∴a=-3，m＝0 ，n＝4， ∴两个函数的顶点分别为（0，﹣4），（0，4）， ∴两函数顶点的距离d为：4+4＝8． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键． 【变式15-2】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【变式15-3】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 直线与抛物线交点个数问题 是二次函数模块中考察方程与函数结合思想的典型题型，解题的核心思路是将几何交点问题转化为代数方程根的个数问题：将直线解析式与抛物线解析式联立，消去y后整理得到关于x的一元二次方程，再通过根的判别式即可直接判断交点个数：当判别式大于零时，直线与抛物线有两个不同的公共点；当判别式等于零时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切；当判别式小于零时，直线与抛物线没有公共点。若涉及抛物线翻折、分段抛物线这类新定义问题，除利用判别式判断外，还需要结合图象的范围，找到临界交点位置对应的参数值，最终确定满足条件的参数取值范围，这类问题也是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例16】在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)请你求出点A、B、C的坐标； (2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据二次函数顶点式可得顶点C的坐标，令一次函数的自变量和函数值分别为0，可求得点A、B的坐标． （2）分和两种情况，画出草图，即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． 对于，令，得；令，得， ，， 点A、B、C的坐标分别为，，； （2）解：把代入，得． 当时，，说明抛物线的对称轴左侧与线段总有交点， 只需抛物线的对称轴右侧与线段无交点即可，如图： 只需要时，抛物线的函数值即可， ， ； 当时，抛物线开口下向，如图： 只需要时，抛物线的函数值即可， ， 综上可知，当或时，二次函数与线段AB恰有一个公共点． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象的顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征等，第二问有一定难度，解题的关键是分情况画出草图，利用图形求解． 【变式16-1】当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是_____________． 【答案】或者 【分析】通过抛物线解析式，用五点法画出函数图象，再利用数形结合的思想，得出结论． 【详解】抛物线， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为， 令，则， 令．则，， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，和，，与轴交点为，当时，， 抛物线的图象如图所示： ∴当时，； 当时，， ∵直线与抛物线在内图象有一个交点， ∴由图象知：则或者， 故答案为：或者． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及直线和抛物线的交点问题，关键是利用五点法画出二次函数的图象，数形结合解决问题． 【变式16-2】已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 【答案】17 【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17． 【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3， 整理得x2-（10+k）x+36=0， ∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是2， ∴k的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键． 【变式16-3】已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【答案】（1），；（2）证明见详解． 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标； （2）由直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可； 【详解】解：（1）抛物线过点， ，即， ， 抛物线顶点的坐标为，； （2）直线经过点， ，解得， ∴直线的解析式是 联立直线与抛物线解析式，即有： 可得 △， 由（1）知，且， ， △， 方程有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点； 【点睛】本题考查的是二次函数的顶点式，根的判别式，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【压轴二】二次函数中的 新定义问题 是近年各地中考二次函数压轴题中十分热门的创新题型，这类问题会在已有二次函数知识的基础上，给出全新的概念、规则或约束条件，比如定义“友好点”“伴随抛物线”“对称割线”等新术语，要求考生结合已掌握的二次函数图象与性质知识，完成阅读理解、知识迁移与推理计算，重点考察学生的审题分析能力、知识转化能力与数形结合思想的应用。 解决这类问题的核心步骤可总结为三步：首先是认真读题，准确拆解新定义的含义，将陌生的新规则转化为我们熟悉的二次函数交点、最值、参数范围等常规问题；其次是结合图象梳理条件，找到满足新定义要求的临界位置；最后结合二次函数的性质分类讨论，计算得到最终的参数范围或结果。这类问题往往分层设问，前一问的结论也常常会为后一问的解答提供铺垫，解题时要注意把握前后设问的逻辑关联，逐步推导即可。 【典例17】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 【变式17-1】定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”． 分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”． (1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） (2)试求出的“反顶伴侣二次函数”． (3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由． (4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”． ①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） ②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？ ③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 (4)①真；②见解析；③见解析 【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可； （2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式； （3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果； （4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”； ②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论； ③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论． 【详解】（1）解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1）， 此时C1不经过B（4，1）， ∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题． 故答案为：假． （2）解：，则“反顶伴侣二次函数”为， 由题意，得将（2，1）代入，得 ， 解得a=-1， ∴的“反顶伴侣二次函数”为． （3）解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A， ∴①， ②， ①+②，得， 当h=k时，与任意非零实数； 当h≠k时，=0． （4）解：①如图 ∵A，B的中点为M， ∴对称中心为M， ∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”． 故答案为：真； ②∵M为A，B的中点， ∴M的坐标为， 即M在直线y=x上． ③解：∵轴，四边形EFQG为矩形， ∴AB∥y轴， ∴h=k， 即A，B的坐标均为（h，h）， ∴A，B两点重合在直线y=x上． 【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键． 【变式17-2】如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条． 如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标； 请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围； 若抛物的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由． 【答案】（1）点D坐标（4，4）；（2）L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；（3）a1与a2的关系式为a1＋a2＝0或a1＝－a2，理由见解析. 【分析】（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标； （2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围； （3）根据抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1+a2=0． 【详解】（1）∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）； （2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大； （3）a1与a2的关系式为a1+a2=0． 理由如下： ∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2 （x﹣h）2+k，∴y=a2 （x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n过点（h，k），即 k=a1 （h﹣m）2+n…① n=a2 （m﹣h）2+k…② 由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0． 又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度． 【变式17-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值是1 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质由得到图像开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，随增大而增大． 【详解】解：A．由抛物线得抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； B．由抛物线顶点式可知顶点坐标为，对称轴为直线，故B正确，不符合题意； C．由抛物线对称轴以及开口方向可知，当时，随增大而增大，故C错误，符合题意； D．当时，函数值有最小值是1，故D正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】第14讲 二次函数图像与性质（知识点 11题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 3.将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转， 旋转后的抛物线的顶点坐标为， 旋转后的抛物线的解析式为． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便． 4.定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（    ） A．﹣12 B．0 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m、n的方程，求得m、n便可． 【详解】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点， ∴n＝m2+k， ∴k＝n﹣m2， ∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16， ∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16， ∴|m|＝4，|n|＝4， 当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12； 当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20． 故选：A． 【点睛】本题是一个新定义题，主要考查了二次函数的图象与性质，矩形的性质，关键是根据题意列出m、n的方程． 5.如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题： ①G的最低点坐标为； ②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值； ③当a=1时，G经过点（1，－1）； ④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1． 其中正确的是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向和顶点坐标可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；将a=1和x=1代入抛物线的解析式中，求出y值即可判断③；将点（0，0）代入抛物线解析式中求得a值，进而求得与x轴的交点坐标，结合图象可判断④． 【详解】解：①根据图象，抛物线G开口向上，且顶点坐标为， ∴G的最低点坐标为，故①正确； ②∵抛物线G的对称轴为直线x=2， ∴x=2+b时的函数值等于x=2－b时的函数值，故②错误； ③当a=1时，， 当x=1时，y=1﹣=≠﹣1， ∴当a=1时，G不经过点（1，－1），故③错误； ④当G经过原点时，则，解得：， ∴抛物线G：， 令y=0，由得：，， 当x=1时，y=﹣1， 当x=2时，y=， 当x=3时，y=﹣1， ∴满足条件的整点坐标为（2，﹣1），只有一个，故④正确， 综上，正确的为①④， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 二 填空题 6.二次函数的对称轴是_________． 【答案】 【分析】直接根据抛物线的顶点式写出对称轴即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点式，掌握顶点式与对称轴及顶点坐标关系是解题的关键． 7.二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 8.在抛物线上，有两点，，当时，判断______（用“”，“”或“”连接） 【答案】 【分析】先根据函数解析式可得当时，y随x的增大而减小，然后再结合即可解答． 【详解】解：∵ ∴当时，y随x的增大而减小 ∵ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数增减性的应用，根据函数解析式得到当时，y随x的增大而减小是解答本题的关键． 9.已知二次函数，当x_________时，y随x的增大而减小． 【答案】/小于1 【分析】首先可求得该二次函数的开口方向及对称轴，再根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：该二次函数图象的对称轴为直线， ， 该二次函数图象的开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 10.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可得二次函数对称轴为直线，且开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，推出当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，且开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，的最小值为，， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数开口向下时，离对称轴越远函数值越小是解题的关键． 三解答题 11.已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． （1） 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ （2） 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 12已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 13.已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数有最大值 (3)当，随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值-4； （3）对称轴，开口向下 ∴当，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键． 14.已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）1；②=；（2） 【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得； ②把分别代入和，即可比较与大小； （2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围． 【详解】解：（1）①由， 则对称轴， ， ②把分别代入与得， ，， ； （2）联立、的解析式可得，， 整理得，， 则△， ， ， 即就是没有直线与抛物线相切的情况． 当时，代入方程， 得， （负值舍去）， ， 当时，代入方程， 得， ， 又， 的取值为：． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等． 15如图是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）的解是 ； （2）确定的值； （3）设抛物线的顶点是P，与轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）12 【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标； （2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值； （3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积． 【详解】（1）由图象可知A点坐标为（−4，0）， ∵， ∴抛物线对称轴方程为x＝−1， ∵A、B两点关于对称轴对称， ∴B的坐标为（2，0）， ∴y=的解为， 故答案为：， （2）解：由图象，知A（－4，0）， ∴， 解得 （3）由，知P（－1，4）， 时，，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.2.1--26.2.2二次函数y=ax2 和y=a(x-h)2+k的图像与性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 画二次函数y=ax2的图象 模块10 二次函数y=a(x-h)2 ++k的图象 模块2 求二次函数y=ax2的开口、对称轴、顶点的方法 模块11 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 模块3 二次函数y=ax2的增减性 模块12二次函数y=a(x一h)2+k图象上点的坐标特征 模块4 画二次函数y=ax2+k的图象 微专题1二次函数平移问题 模块5 二次函数y=ax2+k的图象及性质 微专题2 二次函数中的旋转问题 模块6由二次函数y=ax2+k的性质求参数 微专题3二次函数图像的折叠与对称 模块7二次函数y=a(x一h)2的图象 压轴1 直线与抛物线交点个数问题 模块8 二次函数y=a(x一h)2的性质 压轴2 二次函数中的 新定义问题 模块9二次函数y=a(x一h)2图象上点的坐标特征 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1二次函数的定义： 我们把一种意义一般地，如果就是常数，，那么y叫做x的二次函数. 知识点2二次函数的图像和性质 大致图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 0 ． 函数轴最 大 值这个值是 0 ． 特别提示：①二次函数的开口大小由|a|决定．|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大． ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大，反之函数值越大的点离对称轴越远；二次函数开口向下时，离对称轴越远的点函数值越小，反之函数值越小的点离对称轴越远． 知识点3二次函数的图像的画法 (1)列表: 以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值. (2)描点: 在平面直角坐标系中描出表中的各点. (3)连线: 用平滑的曲线顺次连接各点. (4)在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在 顶点的两侧各取2~4个点即可.在连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸，.画抛物线y=ax2 ()的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧. 知识点4 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于进行了左右平移． 大致图像 （向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移） 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 0 ． 函数轴最 大 值这个值是 0 ． 知识点5 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于进行了上下平移． 大致图像 （向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移） 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 k ． 函数轴最 大 值这个值是 k ． 知识点6 的图像与性质： 由函数平移可知，函数相当于既进行了左右平移，又进行了上下平移． 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 ．对称轴左边y随x的增大而 减小 ． 对称轴右边y随x的增大而 减小 ．对称轴左边y随x的增大而 增大 ． 最值 函数轴最 小 值这个值是 k ． 函数轴最 大 值这个值是 k ． 模块通关·举一反 三 【模块一】画二次函数y=ax2的图象 .1. 列表：在x的取值范围内合理选取若干个值，代入解析式计算出对应的y值，整理为x与y对应值的表格； 2. 描点：根据表格中得到的每组(x, y)坐标，在平面直角坐标系中逐一描出对应的点； 3. 连线：用平滑的曲线，按照x从小到大的顺序顺次连接所描的各点，最终得到二次函数y=ax2的图象，注意图象两端需适当延伸，体现抛物线向两方无限延伸的性质。 【典例1】通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【变式1-1】画函数的图像． 【变式1-2】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大． （1）求m的值； （2）画出函数的图象． 【变式1-3】已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　． （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 　 　． 【模块二】求二次函数y=ax2的开口、对称轴、顶点的方法 .1.二次函数中的绝对值越大开口越小,开口向上，开口向下 2.对称轴是y轴。顶点坐标为( (0,0) ，即坐标原点； 【典例2】抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-1】已知四个二次函数的图象如图所示，那么的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【变式2-3】关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－x2的图象关于x轴对称 【模块三】二次函数y=ax2的增减性 首先结合开口方向与对称轴的位置分情况判断：因为y=ax2的对称轴恒为y轴，增减性只需要结合a的符号即可确定：当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，也就是x<0时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，也就是x>0时，y随x的增大而增大。当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，也就是x<0时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，也就是x>0时，y随x的增大而减小。 【典例3】下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【变式3-2】．已知，点，，都在函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，那么n的取值范围为______． 【模块四】画二次函数y=ax2+k的图象 可分为描点法和平移法两种常用绘制路径： 1.采用描点法作图时，第一步列表，在定义域内选取以x=0（即该抛物线对称轴）为中心的若干组对称x值，依次代入解析式计算出对应y值，整理出坐标表格；第二步描点，将表格中每组坐标对应到平面直角坐标系中，逐一描出点；第三步连线，用平滑曲线顺次连接所有点，再将曲线向两端适当延伸，即可得到完整图象。 2.若已经掌握y=ax²的图象绘制，也可利用平移法作图：y=ax²+k的图象与y=ax²的图象形状、开口方向完全一致，仅顶点位置不同，因此当k>0时，将y=ax²的图象整体向上平移|k|个单位，当k<0时，将y=ax²的图象整体向下平移|k|个单位，即可得到y=ax²+k的图象。 【典例4】画出函数y＝﹣x2＋1的图象． 【变式4-1】已知：二次函数y＝x2﹣1． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)画出它的图象． 【变式4-2】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【变式4-3】初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 (4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 【模块五】二次函数y=ax2+k的图象及性质 首先根据二次项系数a 判断开口方向与最值：若a>0 ，则抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值为y=k ；若a<0 ，则抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为 y=k 。 随后确定对称轴与顶点坐标，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,k) 。 最后结合开口方向判断增减性：当a>0 时，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大；当 a<0 时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。 【典例5】抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小． 【变式5-1】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1 【变式5-3】已知，点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【模块六】由二次函数y=ax2+k的性质求参数 第一步，可先根据函数图象的开口方向确定参数a的符号：若图象开口向上，则a＞0；若图象开口向下，则a＜0；若给出开口大小相关条件，可进一步结合|a|的几何意义得到a的具体取值。 第二步，再结合函数图象与y轴的交点确定参数k的值，二次函数y=ax2+k与y轴的交点坐标为(0,k)，直接读取交点纵坐标即可得到k的值。若题目给出函数经过任意一个已知坐标的点，也可将点的横、纵坐标代入函数解析式，通过解一元方程得到未知参数的值，这种代入求解的思路也可推广到其他形式二次函数的参数求解问题中。 第三步，也可根据函数的增减性，求参数的取值范围. 【典例6】已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（    ） A．﹣12 B．0 C．4 D．16 【模块七】二次函数y=a(x一h)2的图象 （一）判断图象性质的思路： 第一步根据二次项系数a 判断开口方向与最值：若 a>0 ，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值为0；若a<0 ，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为0。 第二步确定对称轴与顶点坐标，根据该形式二次函数的结构特征可得，对称轴为直线x=h ，顶点坐标为 (h,0) 。 第三步判断增减性：当 a>0时，对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大；当 a<0 时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。 （2） 具体的作图方法， 常用的有两种：第一种为描点法作图，步骤依次是：先确定顶点(h,0) ，再在对称轴左右两侧选取若干组关于 x=h 对称的x值，计算出对应的y值并整理成坐标列表；接着根据列表坐标在平面直角坐标系中逐一描点；最后用平滑曲线顺次连接各点，再向曲线两端适当延伸，即可得到完整图象。第二种为平移作图法，该函数图象形状与y=ax2 完全相同，仅顶点位置不同：若h>0，将y=ax2 的图象整体向右平移 h 个单位即可得到目标图象；若 h<0 ，将y=ax2 的图象整体向左平移|h| 个单位，即可得到y=a(x-h)2 的图象。 【典例7】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】二次函数的的大致图像是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【变式7-3】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【模块八】二次函数y=a(x一h)2的性质 ①当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(h,0)，对称轴为直线\x=h；当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大，函数在x=h处取得最小值，最小值为0。 ②当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为((h,0)，对称轴为直线x=h；当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小，函数在x=h处取得最大值，最大值为0。该形式的二次函数图象可由抛物线y=ax2左右平移得到，平移规律为“左加右减”，掌握这个规律能快速得到函数图象的位置。 【典例8】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【变式8-1】已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【变式8-2】已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【变式8-3】已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【模块九】二次函数y=a(x一h)2图象上点的坐标特征 对称轴为直线x=h，因此图象关于直线x=h对称，若两个点的纵坐标相等，则这两个点关于直线x=h对称，即两点横坐标之和等于2h。顶点坐标为(h, 0)，说明图象一定过(h, 0)点，该点也是二次函数的最值点。 结合二次项系数的符号可进一步得到纵坐标范围：当a>0时，抛物线开口向上，除顶点外，图象上任意一点的纵坐标都大于0；当a<0时，抛物线开口向下，除顶点外，图象上任意一点的纵坐标都小于0。若某点在图象上，则该点的横、纵坐标必然满足解析式y=a(x-h)2，代入解析式即可验证点与图象的位置关系。 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-1】在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（  ） A． B． C． D． 【变式9-2】抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【变式9-3】已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 【模块十】二次函数y=a(x-h)2 ++k的图象 可以由抛物线y=ax2通过平移变换得到，平移规律为“上加下减，左加右减”：先将y=ax2沿水平方向平移|h|个单位，再沿竖直方向平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2+k的图象，二者形状、大小完全相同，仅位置不同。该形式的图象特征十分明确：开口方向由二次项系数a决定，a>0时抛物线开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标固定为(h,k)，对称轴为直线x=h，结合这些特征可以快速画出函数草图，也能直接读出函数的最值。 【典例10】二次函数中，图像是 开口_ _，对称轴是直线_ _，顶点坐标是__ ，当x 时，函数y随着x的增大而增大，当x__ 时，函数y随着x的增大而减小．当x＝ 时，函数y有最__ 值是_ _． 【变式10-1】关于x的二次函数中，若，则下列示意图中符合要求的是（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】已知点，，都在抛物线（）上点在点左侧，下列选项正确的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式10-3】点，都在上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【模块十一】 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 具体性质总结如下： ①二次项系数a确定开口方向与开口大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0)时，抛物线开口向下；|a|越大，抛物线的开口越窄。 ②该形式可以直接读出对称轴与顶点坐标：对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h, k)，进而直接得到函数的最值：当a>0时，顶点是抛物线的最低点，函数在x=h处取得最小值，最小值为k；当a<0时，顶点是抛物线的最高点，函数在x=h处取得最大值，最大值为k。 ③增减性：当a>0时，x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大。当a<0时，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小。y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2平移得到，平移规律遵循“左加右减、上加下减”，可快速确定图象位置。 【典例11】已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【变式11-1】已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【变式11-3】已知抛物线． (1)其开口方向为____________． (2)顶点坐标为______________． (3)当x___________时，y随x的增大而增大． (4)最______（填“大”或“小”）为________． 【模块十二】二次函数y=a(x一h)2+k图象上点的坐标特征 若点P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) 在该抛物线上，当两点都在对称轴同侧时，可以直接结合增减性判断y1 与y2的大小关系；若两点分别在对称轴两侧，则可以根据两点到对称轴x=h 的距离，结合开口方向判断：开口向上时，距离对称轴越远，纵坐标越大，开口向下时，距离对称轴越远，纵坐标越小。同时，关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，若已知其中一个点的坐标，就能直接得到另一个对称点的坐标，这一特征在求解函数交点、参数范围问题中经常用到，可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。 【典例12】若，，是二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】点，都在二次函数的图象上，则______（填“>”或“<”） 【变式12-2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______（用“<”连接）． 【变式12-3】点，都在上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数平移问题 是初中二次函数模块的高频基础题型，也常结合最值、点的坐标判断出现在综合题中。这类问题的核心规律是“左加右减自变量，上加下减常数项”，平移过程中抛物线的形状、开口大小保持不变，即二次项系数 a 的值不会发生改变。解题时一般先将原二次函数整理为顶点式，再根据平移方向调整顶点坐标中h 和k 的值，即可快速得到平移后的函数解析式。 【典例13】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【变式13-1】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【变式13-3】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【微专题二】 二次函数中的旋转问题 二次函数中的旋转问题，核心是抓住旋转前后图形的形状大小不变，因此旋转后所得新二次函数的二次项系数绝对值和原二次函数相等，仅开口方向在旋转180°时会发生改变，常用坐标变换法求解旋转后的解析式： 若旋转角度为180°，若绕顶点旋转，顶点坐标不变，只需将原解析式y=a(x-h)2+ + k 中的 a 变为 -a ，即可得到旋转后的解析式 y=-a(x-h)2+k ；若绕原点旋转180°，可利用点的旋转规律：原抛物线上任意一点(x,y) 旋转后对应点为(-x,-y) ，将x=-x,y=-y 代入原解析式，整理即可得到新二次函数的解析式。 若旋转角度为90°或其他角度，同样利用点的旋转变换得到对应点坐标关系，反代回原解析式即可推得新函数解析式，这类问题常结合顶点坐标、与坐标轴的交点、函数最值考察，掌握坐标变换的思路就能快速求解。 【典例14】如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的顶点坐标是___________，解析式为_______________． 【变式14-1】将二次函数的图象绕着顶点旋转后得到的新图象的解析式是___________． 【变式14-2】将抛物线绕坐标原点旋转，得到的抛物线解析式为______． 【变式14-3】将函数的图像绕着原点旋转，得到的新图像的函数表达式为_________． 【微专题三】 二次函数图像的折叠与对称 二次函数图像的折叠与对称是二次函数几何变换类问题的核心考点，解题的关键是抓住变换过程中的不变量与坐标变化规律：变换过程中抛物线的开口大小始终保持不变，仅开口方向或顶点位置随对称规则发生改变，结合对称变换的坐标变化规律即可快速推导出变换后函数的解析式。 ①若为关于x轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(x,-y)，代入原解析式整理即可得到新解析式； ②若为关于y轴对称的变换，原函数上任意点(x,y)变换后对应点为(-x,y)，同理可推导得到新解析式。 ③若为沿任意直线折叠的题型，则需先利用轴对称性质，求出折叠后抛物线的顶点坐标与开口方向，再结合顶点式即可写出最终解析式，这类问题常结合动点最值、线段和差问题考查，可利用对称性质转化线段，简化计算过程。 【典例15】当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 【变式15-1】如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如y＝（x﹣1）2＋2与y＝﹣（x＋1）2﹣2互为中心对称函数．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：函数y＝﹣2（x＋4）2﹣1的中心对称函数为 　 ． (2)若函数y＝3（x＋m）2﹣4与y＝a（x＋m）2＋n互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离d． 【变式15-2】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【变式15-3】已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 直线与抛物线交点个数问题 是二次函数模块中考察方程与函数结合思想的典型题型，解题的核心思路是将几何交点问题转化为代数方程根的个数问题：将直线解析式与抛物线解析式联立，消去y后整理得到关于x的一元二次方程，再通过根的判别式即可直接判断交点个数：当判别式大于零时，直线与抛物线有两个不同的公共点；当判别式等于零时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切；当判别式小于零时，直线与抛物线没有公共点。若涉及抛物线翻折、分段抛物线这类新定义问题，除利用判别式判断外，还需要结合图象的范围，找到临界交点位置对应的参数值，最终确定满足条件的参数取值范围，这类问题也是中考二次函数压轴题的常见考法。 【典例16】在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)请你求出点A、B、C的坐标； (2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围． 【变式16-1】当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是_____________． 【变式16-2】已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 【变式16-3】已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【压轴二】二次函数中的 新定义问题 是近年各地中考二次函数压轴题中十分热门的创新题型，这类问题会在已有二次函数知识的基础上，给出全新的概念、规则或约束条件，比如定义“友好点”“伴随抛物线”“对称割线”等新术语，要求考生结合已掌握的二次函数图象与性质知识，完成阅读理解、知识迁移与推理计算，重点考察学生的审题分析能力、知识转化能力与数形结合思想的应用。 解决这类问题的核心步骤可总结为三步：首先是认真读题，准确拆解新定义的含义，将陌生的新规则转化为我们熟悉的二次函数交点、最值、参数范围等常规问题；其次是结合图象梳理条件，找到满足新定义要求的临界位置；最后结合二次函数的性质分类讨论，计算得到最终的参数范围或结果。这类问题往往分层设问，前一问的结论也常常会为后一问的解答提供铺垫，解题时要注意把握前后设问的逻辑关联，逐步推导即可。 【典例17】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【变式17-1】定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”． 分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”． (1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） (2)试求出的“反顶伴侣二次函数”． (3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由． (4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”． ①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”） ②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？ ③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由． 【变式17-2】如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条． 如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标； 请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围； 若抛物的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由． 【变式17-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值是1 2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3.将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4.定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（    ） A．﹣12 B．0 C．4 D．16 5.如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题： ①G的最低点坐标为； ②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值； ③当a=1时，G经过点（1，－1）； ④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1． 其中正确的是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 二 填空题 6.二次函数的对称轴是_________． 7.二次函数的顶点坐标是______． 8.在抛物线上，有两点，，当时，判断______（用“”，“”或“”连接） 9.已知二次函数，当x_________时，y随x的增大而减小． 10.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为__________． 三解答题 11.已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线与x轴的交点坐标． 12已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 13.已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 14.已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 15如图是二次函数的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）的解是 ； （2）确定的值； （3）设抛物线的顶点是P，与轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $