15.3.2 等边三角形的性质与判定（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“分层递进+反思性学习”为特色，通过前置速忆唤醒、分层作业巩固（基础→能力→拓展）、后置复盘提升，构建从概念辨析到综合应用再到开放探究的知识路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等边三角形性质（边、角、三线合一、对称轴）与判定（边、角）的单一概念|类比等腰三角形对比填空，强化新旧知联系，全员必做夯实基础| |能力提升|性质与判定的综合应用（角度计算、线段关系）|图形情境中档推理题，如含60°角的等腰三角形判定，自主选做提升思维| |拓展探究|开放探究与跨知识点综合（平行线证等边、全等与等边结合）|含“反向延长线”变式探究，培养创新意识，学优挑战深化推理能力|

15.3.2 等边三角形的性质与判定（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①等边三角形的性质：三边相等，三个角都等于60°； ②等边三角形的判定：三个角都相等，或有一个角是60°的等腰三角形； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，有3条对称轴； ④等边三角形的"三线合一"。 2. 与本节课相关的旧知识：等腰三角形的性质与判定。 3. 预习时遇到的疑问：等边三角形和等腰三角形有什么关系？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①等边三角形是特殊的等腰三角形； ②判定等边三角形：先证等腰，再证一个60°角； ③等边三角形有3条对称轴。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 等边三角形的三个内角都等于____°。 2. 等边三角形是特殊的____三角形。 3. 三个角都相等的三角形是____三角形。 4. 有一个角是60°的____三角形是等边三角形。 5. 等边三角形有____条对称轴。 6. 等边三角形的每个外角都等于____°。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 三条边都________的三角形叫作等边三角形。 2. 类比学习一（等边三角形的性质）：与等腰三角形比较填空： ①边：等腰三角形有两条边相等，等边三角形有______条边都相等； ②角：等腰三角形两个底角相等，等边三角形______角都相等，且都是______； ③三线合一：等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合，等边三角形______上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合； ④对称轴：等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有______条对称轴。 3. 类比学习二（等边三角形的判定）：与等腰三角形比较填空： ①有______条边相等的三角形是等腰三角形，有______条边都相等的三角形是等边三角形； ②有______个角相等的三角形是等腰三角形，有______个角都相等的三角形是等边三角形。 4. 已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 5. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm。 6. △ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度。 7. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105°　　B．120°　　C．135°　　D．150° 8. △ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（　　） A．9　　B．8　　C．6　　D．13 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数。 2. 例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？ 3. 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（　　） A．5条　　B．6条　　C．7条　　D．8条 4. 在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10°　　B．15°　　C．20°　　D．25° 5. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm，EC=2cm，则△ADE的周长是______cm。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 例3：如图，在等边三角形ABC中，点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形。 想一想：若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F。求证：△AEF≌△BEC。 3. 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形。 （1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； （2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论。 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论。 2. 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF。求证：△DEF是等边三角形。 3. 如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小。 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 15.3.2 等边三角形的性质与判定（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 性质：三边相等，各角60°；判定：三角相等或有60°角的等腰三角形；3条对称轴。 二、基础随堂自检 1. 60 2. 等腰 3. 等边 4. 等腰 5. 3 6. 120 三、分层自主作业 ★ 基础巩固：1. 相等　2. ①三　②三个，60°　③每一边　④3　3. ①两，三　②两，三　4. C　5. 9（周长为3×3=9）　6. 60　7. B（两条高线夹角为180°−60°=120°）　8. A（∠B=60°且AB=AC，△ABC为等边三角形，周长为9） ★★ 能力提升：1. ∠CED=40°（∠ABC=60°，∠ABE=40°∴∠EBC=20°；BE=DE∴∠EDB=∠EBD=20°∴∠BED=140°；∠BEC=180°−20°−60°=100°；∠CED=∠BED−∠BEC=40°）　2. ∠BQM=60°（△ABM≌△BCN（SAS）∴∠BAM=∠CBN；∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠BAM+60°−∠CBN=60°）　3. D（8条：BD=DE=BE=CD=DF=CF=AE=AF=EF）　4. B（∠DBC=30°，BD=BF∴∠BDF=∠BFD=75°；∠BDC=90°∴∠CDF=90°−75°=15°）　5. 12（AB=6，AE=AC−EC=4，△ADE周长=3×4=12） ★★★ 拓展探究：1. ∵DE∥BC∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°；又∠DAE=∠BAC=60°（对顶角），∴△ADE三个内角都相等，是等边三角形。想一想：成立（证明方法相同）　2. ∵E是AB中点∴AE=BE；∠AEF=∠BEC（对顶角相等）；∠EAF=∠EBC=60°（△ABD为等边三角形），∴△AEF≌△BEC（ASA）　3. （1）AN=BM。∵△ACM、△CBN都是等边三角形∴AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB=120°（60°+∠MCN），∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM。（2）△CEF是等边三角形。由△ACN≌△MCB得∠EAC=∠FMC；又AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△ACE≌△MCF（ASA），∴CE=CF；又∠ECF=60°，∴△CEF是等边三角形 五、学以致用：1. △APQ是等边三角形。△ABP≌△ACQ（SAS：AB=AC，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ）∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ；∠PAQ=∠BAC−∠BAP+∠CAQ=∠BAC=60°，∴AP=AQ且∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形　2. ∵△ABC为等边三角形，AD=BE=CF∴BD=CE=AF；△ADF≌△BED≌△CFE（SAS：AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°）∴DF=DE=EF，∴△DEF是等边三角形　3. ∠AEB=60°（△OAB、△OCD为全等的等边三角形，∠OAB=60°，由全等得∠AOC=∠OBD等角关系，可证∠AEB=60°） 学科网（北京）股份有限公司 $