4.5.2三角形相似的性质（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过复习相似三角形对应角、边、线段性质，结合城市规划地图比例尺问题导入，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是采用“猜想→验证→证明→应用”探究流程，通过合作学习画图度量、逻辑证明培养推理能力，典例解析地图实际问题发展几何直观与模型意识。小结系统梳理性质，课堂练习分层巩固，助力学生深化理解，教师高效教学。

4.5.2 三角形相似的性质(2) 第四章 相似三角形 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3  理解并掌握相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方； 能运用周长必定和面积比的性质解决数学问题及实际问题； 经历"猜想→验证→证明→应用"的完整探究过程，体会"转化思想"。 复习引入 相似三角形的性质： 1.对应角相等，对应边成比例。 2.两个相似三角形对应角平分线、中线、高线的比等于相似比。 3.三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段 在三角形中，我们还经常研究那些量？ 情景引入 城市主城区总体规划示意图 1:100000 比例尺下的空间缩影 这是一张城市规划地图，比例尺为 1:100000。地图上绘制的三角形地块与现实中真实的地块是一对相似图形，它们的形状完全相同，仅大小不同。这种缩放关系正是我们要探究的数学核心。 1.地图上三角形的周长与真实地块的周长，它们的比例关系是怎样的？是否与比例尺一致？ 2.两者的面积之比会呈现出什么规律？ 探究新知 合作学习 1.任意画两个相似角形△ABC和△A'B'C' ，选探索下面的问题： （1）度量自己画的△ABC和△A'B'C' 的各边长。 （2）计算两三角形的相似比。 （3）计算两三角形的周长，周长比和相似比有什么关系？ 相似三角形的周长比等于相似比。 探究新知 合作学习 2.任意画两个相似角形△ABC和△A'B'C' ，选探索下面的问题： （1）作BC、B'C' 边上的高AD和A'D'，度量它们的长度。 （2）计算两三角形的相似比。 （3）计算两三角形的面积，面积比和相似比有什么关系？ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 新知探究 证一证 猜想：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于 相似比的平方 。 已知：如图△ABC ∽△A 'B'C'，相似比为k。 求证：（1） 证明：∵△ABC ∽△A 'B'C'，相似比为k， ∴， ∴AB=，BC=，AC=， ∴ = 新知探究 证一证 猜想：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于 相似比的平方 。 已知：如图△ABC ∽△A 'B'C'，相似比为k，AD和A'D' 为BC、B'C'边上的高。 求证：（2） 证明：∵△ABC ∽△A 'B'C'，相似比为k， ∴，∠B=∠B ' ∵AD和A'D' 为BC、B'C' 边上的高， ∴∠ADB=∠A'D'B '= ∴△ABD ∽△A 'B'D'， ∴ ∴BC=，AD=， ∴ 新知探究 总结 三角形相似的性质： 相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于 相似比的平方 。 符号语言表达： ∵ △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 ∴ ，= 新知巩固 做一做 如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC 于点G,AF⊥DE于点F。若AD =3,AB =5, 求： （1） 。 （2）△ADE 与△ABC 的周长之比。 （3）△ADE 与△ABC 的面积之比。 解（1）∵∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE， ∴△BAC ∽△DAE， ∵AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F， ∴ 。 新知巩固 做一做 如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC 于点G,AF⊥DE于点F。若AD =3,AB =5, 求： （1） 。 （2）△ADE 与△ABC 的周长之比。 （3）△ADE 与△ABC 的面积之比。 解：（2）由（1）可知△BAC ∽△DAE， ∴△ADE 与△ABC 的周长之比为 。 解：（3）由（1）可知△BAC ∽△DAE， ∴△ADE 与△ABC 的面积之比为 。 典例解析 例3 如图4-29是某市部分街道图，比例尺为1:100000。请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积。 解：量得地图上AB=2.7cm,BC=3.0 cm, AC=2.0cm, ∴(cm)。 ∵比例尺为1:100000 ∴ 故实际周长为：7.7×10⁵cm=7.7 km 量得BC 边上的高线长为1.8 cm， ∴， 故实际面积为：, 典例解析 例4 如图，在△ABC 中 ，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E。若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB 的比应取多少？ 解：∵DE//BC， ∴△ADE ∽△ABC。 ∵△ADE与四边形DBCE的面积相等， ∴ ∴， ∴， 解得: ， 答：AD与AB 的比为。 典例解析 练一练 1. 把一个三角形的三边同比例放大。填空： (1)如果三角形的边长扩大到原来的100倍，那么三角形的周长扩大到原来的       倍，面积扩大到原来的        倍； (2)如果三角形的周长扩大到原来的100倍，那么三角形的边长扩大到原来的 倍； (3)如果三角形的面积扩大到原来的100倍，那么三角形的边长扩大到原来的 倍。 100 10000 100 10 典例解析 练一练 2. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上 ，DE//BC。若BC=8cm，AD:DB=1: 3，则△ADE的周长等于 cm，△ADE的面积等于 cm² 。 6 解：∵AD:DB=1: 3, ∴AD:AB=1: 4。 ∵DE//BC， ∴△ADE ∽△ABC，相似比 ∵△ABC 为等边三角形，BC=8cm， ∴ ∴， ∴。 课堂小结 相似三角形的性质 周长和面积 两个相似三角形对应角平分线、中线、高线的比等于相似比 相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于 相似比的平方 。 重要线段 课堂练习 1. 已知△ABC∽△DEF, 相似比为2, 则它们的周长之比是____, 面积之比是 ____。 2. 如图, AB, CD相交于点 O, AC∥BD, AO :BO = 3:2, △ACO 的周长为18 cm。 求△BDO 的周长。 2：1 4：1 解：∵AC∥BD， ∴∠A=∠B，∠C=∠D， ∴△AOC∽△BOD， ∵AO:BO=3:2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴△BDO 的周长是12cm。 A C B D O 课堂练习 3. 如图，在△ABP中 ，AB//CD//EF ，AC=CE=EP，△PAB的面积为18cm² 。 求四边形CDFE 的面积。 解：∵AB//CD//EF , ∴△PEF∽△PAB,△PCD∽△PAB。 ∵AC=CE=EP ∴PE:PA=1:3,PC:PA=2:3。 ∴, ∵=18cm² ∴cm²。 同理可得： 。 ∴=8cm² ∴四边形CDFE的面积为: - P A B C D E F 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，点D,E,F分别在边AB, AC,BC 上 ，DE//BC,DF//AC。 已知,△ABC 的面积为a。求▱ DFCE的面积。 解：∵，设则AB=AD+BD=5 ∴ ∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC,相似比为， , ∴= ∵DF//AC ∴△BDF∽△BAC,相似比为， ∴,即=, ∴=-- A B C D F E $