4.4.3两个三角形相似的判定（第3课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“三边对应成比例的两个三角形相似”判定定理，通过温故知新回顾已学相似判定方法，结合动手绘制三角形测量角度与边长比引出猜想，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是“猜想-构造辅助线-证明-应用”的探究过程，培养数学思维中的推理能力，典例含方格纸计算、中位线应用等发展几何直观。归纳表格清晰对比判定定理，助力学生构建知识体系，提升探究与表达能力，为教师提供系统教学资源。

4.4.3 两个三角形相似的判定(3) 第四章 相似三角形 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3  熟练掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，会证明定理，能运用定理解决几何证明与计算问题； 能规范书写相似三角形的证明步骤，找准对应边、对应顶点，正确列出比例式； 经历“猜想—构造辅助线—证明归纳—例题应用”的探究过程，体会转化思想。 温故知新 温故知新 1.定义：三组对应角相等，三组对应边成比例。 2.平行于三角形一边的直线，与其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。 3.两个角对应相等的两个三角形相似。 全等有SSS的判定，那么相似是否也存在类似的判定方法？ 我们已经掌握的判定三角形相似的方法有那些？ 4.两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 情景引入 试一试 请同学们动手绘制两个三角形：三边分别为 6cm、8cm、10cm 和 3cm、4cm、5cm。 3. 它们的形状是否相似？ 1. 用量角器测量对应角，比较角度大小。 它们的形状相似 三组对应角相等 2. 用各组对应边的比多少？它们有什么关系？ 各组对应边的比都是，各组对应边的比相等。 猜想：三边对应成比例的两个三角形相似。 合作学习 证一证 已知：如图,在△ABC 与△ 中 ，。     求证：△AB C∽△。 C' D E B' A' C A B 证明：如图,在A'B′上截取 A'D=AB, 过点D 作DE// ,交 A'C′于点 E, 则△A'DE∽△ 。 ∴ ∵ ,= ∵ ∴△ABC≌△, ∴△CAB ∽△。 根据那条判定? 猜想：三边对应成比例的两个三角形相似。 你能总结这种证明方法的基本思路吗？ 新知探究 总结 三角形相似的判定定理： 三边对应成比例的两个三角形相似。 符号语言表达： ∵ ∴ △ABC ∽△ C B A C A B 注意边的对应关系：长边对长边，中边对中边，短边对短边。 典例4 如图,△ABC与△EFD的顶点都在4×4方格纸的格点上。 △ABC 与△EFD 相似吗?说明理由。 典例解析 解：△ABC ∽△EFD。理由如下： 设小方格的边长为1，则在 △ABC中， ，， 在△DEF 中， EF, △ABC ∽△EFD。 练一练 1.如图，三个三角形的顶点都在方格纸的格点上。它们中哪些三角形 相似?请说明理由 。 解：△BED ∽△MGF。理由如下： 设小方格的边长为1，则在 △MGF中， ，， 在△BED 中， , = △BED ∽△MGF。 典例解析 典例5 已知：如图，O为△ABC 内一点，A'，B'，C'分别是OA,OB, OC 上的点，且 。求证：△A'B'C' ∽ △ABC。 典例解析 证明：如图,在△OA'B '与△OAB 中， ∵∠A'OB'=∠AOB， ∴△A'OB'∽△AOB ∴ 同理可证：， ∴== ∴△A'B'C' ∽ △ABC 根据那条判定可得？ 练一练 如图，在△ABC中D、E、F分别是AB，BC，CA的中点。 求证：△EFD∽△ABC，并说出△EFD与△ABC 的相似比。 典例解析 证明：∵D、E、F 分别是AB，BC，CA的中点， ∴DF、EF、DE 是△ABC的中位线， ∴DF =BC，EF =AB，DE =AC， ∴ ∴△EFD ∽△ABC，相似比为 三角形的中位线 对应边的比相等 三角形相似 归纳总结 两个三角形相似的判定 判定定理 基本图形 符号语言 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ∵ DE ∥ BC ∴ △ADE ∽ △ABC 两个角对应相等的两个三角形相似。 ∵ ∠A = ∠A'， ∠B = ∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 ∵ ∴ △CAB ∽△ 三边对应成比例的两个三角形相似。 ∵ ∴ △ABC ∽△ 思 考 拓展学习 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形一定相似吗? 证明你的判断。 A B C D E F ∟ ∟ 解：一定相似，理由如下： 如图，在Rt△ABC 和Rt△DEF 中∠B=∠E=且， ∴ 设,则： ,， ∴ ∴ ∴ ∴△ABC ∽△DEF 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 还有哪些方法能判定两个直角三角形相似？ 总 结 拓展学习 直角三角形相似的判定方法 方法类型 文字表述 判定依据 记忆口诀 常规方法 特有方法 一般三角形相似的判定方法都可以判定直角三角形相似 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。（或两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。） 有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 直角先占一等角，再找锐角就够了； 三边比例两边比，斜直成比也相似。 课堂小结 相似三角形的判定 判定定理 数学思想 三边对应成比例的两个三角形相似。 转化思想 课堂练习 1.如图，在等边三角形ABC中 D、E、F分别是AB，BC，CA 上的点，且AD=BE=CF 找出图中所有相似的三角形(要求证明)。 解：△ADF ∽△BED∽△CFE，△ABC ∽△DEF，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C=AB=BC=CA， ∵AD =BE=CF ∴BD =CE=AF ∴△ADF ≌△BED ∴DF =ED 同理：△ADF ≌△CFE ∴△ADF ∽△BED∽△CFE，DF =EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴EDF=∠A=， ∴△ABC ∽△DEF。 课堂练习 2.已知：如图，在△ABC 中 ，点F，O，G在BC 边上，点E 在AO上， ，求证：△EFG ∽△ABC。 证明：∵，∠EOF=∠AOB， ∴△EOF ∽△AOB， ∴∠OEF=∠OAB， 同理：△OEG∽△OAC， ∴∠OEG=∠OAC， ∴,∠BAC=∠FEG ∴△EFG ∽△ABC A B C 课堂练习 3.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上。在方格纸内画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC, 相似比为2:1,且顶点都在格点上。 A' B' C' 解：作图如图所示△A'B'C'即为所求。 还有其他画法吗？动手试一试。 课堂练习 4.求证：任何两个等边三角形都相似。你有几种不同的证明方法? A B C A' B' C' 已知：△ABC 和△A'B'C'都是等边三角形。 求证：△ABC ∽△A'B'C'。 证明：∵△ABC 和△A'B'C'都是等边三角形。 ∴∠A=∠B=∠C=,∠A'=∠B'=∠C'= ∴∠A=∠A',∠B=∠B'。 ∴△ABC ∽△A'B'C' 还有那些方法可以证明这个结论？和你的同桌交流。 $