4.4.1两个三角形相似的判定（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定，核心内容为预备定理（平行于一边的直线截得的三角形相似）和“两角对应相等”判定定理。课堂导入通过测河宽实际问题激发兴趣，温故知新类比全等三角形判定方法，引导学生用缩减条件思路探究，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“猜想—验证—证明—应用”为主线，合作学习中通过中位线及作辅助线证明预备定理，叠合法严谨推导AA定理，发展逻辑推理（数学思维）。典例分析测河宽、楼高问题，让学生用数学语言解决实际问题，培养应用意识（数学语言）。学生能提升几何抽象能力，教师可借助完整探究链条和实例提高教学效率。

4.4.1 两个三角形相似的判定(1) 第四章 相似三角形 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3  掌握三角形相似判定的预备定理，理解并熟记“两角对应相等，两个三角形相似”判定定理； 能独立完成定理的课本证明过程，规范书写几何推理，厘清全等与相似证明的关联，会利用定理解决两几何证明及实际测量类应用题； 通过合作学习、类比三角形全等判定的探究思路，经历“猜想—验证—证明—应用”的完整推导过程，发展逻辑推理、几何抽象核心素养。 情景引入 小聪欲测河宽，却因河水阻隔无法直接横渡，手中仅有卷尺、两根标杆，她该用何种巧妙方法精准测算河宽？聪慧的同学们可有良策？ 带着这个问题，我们学习两个三角形相似的判定，学完定理，我们就能用简单卷尺算出河宽，解决所有远距离测量难题。 温故知新 三角形全等 三角形相似 SSS SAS AAS ASA HL 判定方法 由定义出发，缩减条件，寻找简单判定方法 相似比为1 判定方法 类比思考 由定义出发，缩减条件，寻找简单判定方法 尝试减少边、角的条件，能否得到更 简便的判定方法？两个三角形相似需要 哪些条件？ 合作学习 试一试 如图,在△ABC中，D、E 分别是AB，AC的中点 ，△ADE与△ABC相似吗？ 三角形的中位线 DE∥BC DE= 三组对应角相等对应边成比例 △ADE∽△ABC,理由如下： ∵D、E 分别是AB，AC的中点 ∴DE∥BC,DE= ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC A D E C B 合作学习 想一想 如图,在△ABC中，D、E 分别是AB，AC 上的 点 ，DE∥BC。△ADE与△ABC相似吗？ A D E C B 平行线分线段成比例 线段的比相等 三组对应角相等 对应边成比例 △ADE∽△ABC,理由如下： 过点E作EF∥AB，交BC于点F ∴ 又∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 四边形ABCD是平行四边形 ∴，DE=BF ∴ ∴ 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC F 新知探究 总结 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。 A D E C B 判定三角形相似的预备定理： 符号语言表达： ∵ DE ∥ BC ∴ △ADE ∽ △ABC 判定三角形相似的最基本依据，也是后续推导其他判定方法的重要基石。 练一练 课堂练习 如图，点D,E,F分别在△ABC 的各条边上，且DE//BC,DF//AC。请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。 解：(1)△ADE∽△ABC,理由如下： ∵DE//BC △ADE∽△ABC。 (2)△DBF∽△ABC,理由如下： ∵DF//AC △DBF∽△ABC。 A B D E F C (3)△ADE∽△DBF,理由如下： ∵DE//BC △ADE∽△ABC, ∵DF//AC △DBF∽△ABC, △ADE∽△DBF。 相似和全等相同都具有传递性。 还有没有其他做法呢？ 新知探究 想一想 平行线预备定理依赖特殊平行线条件，在复杂图形中难以直接构造。我们能否抛开“平行线”前提，找到仅通过三角形边角关系直接判定相似的方法？ 推出相等的角 对应角相等的两个三角形相似 猜想 两个角相等的两个三角形相似 三角形的内角和 如何证明这个猜想？ 新知探究 证一证 两个角对应相等的两个三角形相似。 由前面分析，我们得到如下猜想 求证：△ABC ∽ △A'B'C'。 已知：如图,在△ABC 与△A'B'C 中 ，∠A=∠A',∠B=∠B′。 A' D E C' B' A B C 证明：如图,在A'B'上截取 A'D=AB, 作DE//B'C′ ,交 A'C′于点 E, 则△A'DE∽△A'B'C ′。 ∴∠B′=∠A'DE, ∵∠B=∠B′, ∴∠B=∠A'DE, ∵∠A=∠A',A'D=AB, ∴△ABC≌△A'DE, ∴△ABC∽△ A'B'C。 构造辅助图形 利用平行证相似 等量代换证全等 相似传递得结论 叠合法 新知探究 总结 两个角对应相等的两个三角形相似。 我们得到以三角形相似下判定定理 A' C' B' A B C 符号语言表达： ∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 为何只需两个角相等？ 据三角形内角和为180°，若两个角对应相等，则第三个角必然相等，无需额外证明。 练一练 课堂练习 能否判定如图所示的△ABC与△A'B'C'相似?为什么? A B C A' B' C' 解：相似，理由如下： 在△ABC中，∠C=∠A -∠B = = 在△A'B'C'中，∠C'= ∠C=∠C' △ABC∽△A'B'C' 寻找隐藏等角是应用AA定理判定三角形相似的关键 典例分析 学以致用 学习了新知识后, 小聪采用如下方法测量河宽AB：从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达D处，再右转90°走到E处，使B,C,E三点恰好在一条直线上。量得DE=20m, 这样就可以求出河宽AB。请你说明理由，并算出结果。 ∟ ∟ A B C D E 解 ：由题意可知AB⟂AD,DE⟂AD, ∴∠BAC =∠EDC =Rt∠， 又∵∠ACB =∠DCE, ∴△ABC ∽ △DEC ( 两个角对应相等的两个 三角形相似), ∴ , ∵AC=45,CD=15,DE=20 , ∴ ， 解得：AB=60 ， 答：河宽AB为60m。 典例分析 典例1 如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于点D 。 试写出图中的相似三角形并说明理由。 解 ：△ACB ∽ △ADC ∽ △CDB,理由如下： ∵∠ACB=,CD⊥AB ∴∠ADC =∠CDB =∠ACB= ， 又∵∠A =∠A, ∴△ACB ∽ △ADC , ∵ ∠B =∠B , ∴△ACB ∽ △CDB, ∴△ADC ∽ △CDB, ∴△ACB ∽ △ADC ∽ △CDB。 ∟ ∟ A B D C 由三角形相似的性质可以得到什么结论？ △ACB ∽ △ADC △ADC ∽ △CDB △ACB ∽ △CDB 射影定理 还有其他证明方法吗？ 典例分析 典例2 小明和他的同学用如图方法测量一幢楼的楼高：线段AB,EF,CD 分别表示人、竹竿、楼房的高度，且点A,E,C在一条直线上。测得 人和竹竿的水平距离为1.5m,人和楼房的水平距离为20 m, 人的高度为1.6m, 竹竿的高度为2.8m, 据此可求出楼高。请你给出这种测量方法的数学解释，并算出楼高。 C B E F G D H A 解：由题意可知：△AGE 和 △AHC 为直角三角形， ∴∠AGE=∠AHC= 又 ∵∠EAG=∠CAH， ∴△AGE ∽ △AHC ， ∴ ∴HC ∵AH=BD=20m, GE=EF-GH=EF-AB=2.8-1.6=1.2m， HD=AB=1.6m，AG=BF=1.5m， ∴HC ， ∴CD=HC+HD=16+1.6=17.6m 答：这幢楼高17.6m。 课堂小结 相似三角形的判定 预备定理 判定定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 课堂练习 1. 如图，已知EF //CD //AB, 写出图中的相似三角形。 解：△OEF ∽ △OCD ,△OEF ∽ △OAB ,△OCD ∽ △OAB 2. 如图，已知∠ACB=∠CDB=Rt∠。 图中这两个三角形相似吗?如果你认为相似，请说明理由；如果你认为不一定相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似。 O E F C D A B 1题图 ∟ ∟ A C D B 2题图 解：不一定相似，因为个三角形只满足一组对应角相等。 可以添加条件：∠A =∠CBD 或∠ABC =∠BCD或CD //AB 课堂练习 3. 已知:如图，在⊙O中，弦 AB与弦CD交于点P。 (1)求证:△ADP∽△CBP; (2)判断AP·BP=DP·CP是否成立，并给出证明。 D A C B P O (1)证明：在⊙O中， ∵∠A和∠C，∠B和∠D是同弧所对的圆周角 ∴∠A=∠C，∠B=∠D, ∴△ADP∽△CBP。 (2)解：AP·BP=DP·CP成立，理由如下： 由（1）可知△ADP∽△CBP ∴ 即AP·BP=DP·CP $