专题02 全等三角形（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期

**基本信息** 全等三角形专题期中试题汇编，涵盖两大高频考点，精选河北、天津多地期中真题，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富|全等性质（对应角计算）、判定定理（SSS/SAS应用）、实际测量（池塘距离）|整合多地期中真题，基础题（性质直接应用）与综合题（动态全等判定）分层设计，结合几何直观与逻辑推理|

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 11．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】2. 【分析】由全等三角形的性质可得AC=BD，可得AB=CD，即可求AB的长． 【详解】∵△ACF≌△DBE， ∴AC=BD， ∴AB=CD， ∵AD=10cm，BC=6cm， ∴AB+BC+CD=10cm， ∴2AB=4cm， ∴AB=2cm， 故答案为2. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 13．【答案】厘米/秒或厘米/秒 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用． 利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】 解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米/秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米/秒； 当点的运动速度为厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米/秒或厘米/秒． 14．【答案】10或9.5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等；分类讨论：，或者，. 【详解】 解：∵这两个三角形全等， ∴对应边相等， 当，时 解得， ∴， 当，时 解得， ∴. 故答案为：10或9.5. 考点02 三角形全等的判定 1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．A 10．C 11．C 12．D 13．B 14．A 15．D 16．D 17．B 18．D 19．A 20．A 21．D 22．B 23．D 24．A 25．C 26．C 27．D 28．D 29．C 30．B 31．A 32．D 33．A 34．A 35．A 36．B 37．B 38．B 39．【答案】∠BAD=∠CAD 【分析】 添加∠BAD=∠CAD，再加上∠1=∠2和公共边AD=AD可利用ASA可判定△ABD≌△ACD． 【详解】 解：添加∠BAD=∠CAD， ∵在△ADB和△ADC中 ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， 故答案为：∠BAD=∠CAD 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 40．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．根据 判断即可． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：． 41．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴。 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】 略 42．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，证明，得，进而可以解决问题． 【详解】 略 43．【答案】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△BEA和△AFC中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （2）证明：由（1）知△ABE≌△CAF， ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=AF+EA=BE+CF． 【分析】 （1）根据“AAS”即可证明△ABE≌△CAF； （2）利用全等三角形的性质－对应边相等就可以证明题目的结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 44．【答案】证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】 略 45．【答案】6 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据，得出，证明，得出． 【详解】 解：∵点为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，由全等三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．【答案】证明：∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质．利用两边及其夹角对应相等的两三角形全等解题即可． 【详解】 略 48．【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）2cm． 【分析】 （1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 （1） 略 （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 49．【答案】证明：∵C是AB的中点， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE． 【分析】 根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理． 50．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】 当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 51．【答案】证明：∵，， ∴，． 在和中， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．根据平行线的性质，得到，，利用即可得证． 【详解】 略 52．【答案】证明：连接，    ∵， ∴在 和 中， ， ∴， ∴， 【分析】 根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明 是解此题的关键． 53．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴ ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定；根据平行线的性质得到，再证明，由“”可证，得出，即可证明． 【详解】 略 54．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 55．【答案】证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠BAC＝∠BAD． ∵AC＝AD， AB＝AB， ∴△ABC≌△ABD（SAS）． ∴BC＝BD． 【分析】 由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 56．【答案】解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质．根据已知条件选择恰当的判定方法证明即可得出结论． 【详解】 略 57．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，延长至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】 解：如图，延长至E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴． 故答案为：． 58．【答案】；；；；；；；；；全等三角形对应角相等 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据“”证明，得出答案即可． 【详解】 证明：是的中点（已知）， ， 在和中 ， ， （全等三角形对应角相等）． 59．【答案】证明： ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE∠CAE =∠CAD∠CAE， 即∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED． ∴AC=AD．    ∴∠ACD=∠ADC 【详解】 略 60．【答案】在和中， ， ， ． 即的长就是A，B的距离． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】 略 61．【答案】证明：，， ， ， 在与中， ， ． 【分析】 根据全等的性质得出，进而利用证明即可． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定，解题的关键是利用证明解答． 62．【答案】 【分析】 根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】 解：利用，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明， 故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可． 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键． 63．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【分析】 先根据等式性质，得到，再根据“”即可判定． 【详解】 略 64．【答案】（1） 证明：， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ；     （2） 证明：在和中， ， ， ， 由可知，， 在和中， ， ，       【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，则，即可得出结论； （2）证明，得，再证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 65．【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．过点C作直线交于点E，作，画直线即可． 【详解】 略 66．【答案】作法：取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，如图所示： 点即为所求， 【分析】 本题考查用无刻度直尺作图，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】 解：说明如下： 是正方形的对角线，是矩形的对角线，是矩形的对角线， 平分，， 则， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 67．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标求解，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及作辅助线构造全等三角形的方法．掌握通过几何性质转化坐标问题，并利用全等三角形建立等量关系是解题的关键．过点B作轴于点E，过点A作轴，证明，从而找到边的等量关系求解． 【详解】 解：过B作轴交于点E，过A作轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 68．【答案】（1） 证明：，，即， ，， ，， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ． 即， 在和中 ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再利用即可证明； （2）利用证明，证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 69．【答案】（1） ， 在和中， ， ．     （2）4．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 70．【答案】 【分析】 由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到，由是的中点，得到． 【详解】 解∶，可得， 在和中， ∵E是的中点， 故答案为∶ 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键． 71．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 72．【答案】（1） ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，进而得到，利用线段的和差关系求出的长即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 73．【答案】58° :度 【分析】 先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】 ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 74．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴；     （2） ， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 75．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据平分，可得，利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 又， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 76．【答案】解：小军的方案可行， 理由如下：在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即测出的长即为雕塑底座两端、间的距离． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，根据题意可得，，，，即可证明，则即可． 【详解】 略 77．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】 解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 78．【答案】12 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，，进而得到，推出，即可得出结果． 【详解】 解：延长交于点，     ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12； 故答案为：12． 79．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，由已知得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 80．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 81．【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 82．【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【分析】 （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 83．【答案】（1）     （2）90     （3） ①，证明如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②作出图形，       【分析】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可证明，可得，，即可解题； （2）根据即可解答； （3）①易证，即可证明，可得，根据即可解题； ②易证，即可证明，可得，根据，即可解题； (1) 小问详解： 解：， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ； 故答案为：90； (3) 小问详解： 解：① 略 ②，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 84．【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ∴     （2）      【分析】 （1）由可得，再根据即可求证； （2）由三角形外角的性质可得，，由（1）可得，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由三角形外角的性质可得：， 由（1）可得 ∴， ∵点，，在同一直线上 ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 85．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断① ；推出，根据证明即可，即可判断② ；证明，得，，根据外角的性质可判断③ ；通过等量代换可判断④ ．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论② 正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③ 错误； 又∵， ∴， 即，故结论④ 正确， ∴正确的是① ② ④个． 故答案为：① ② ④． 86．【答案】40 【分析】 证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果． 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【详解】 解：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， 即 故答案为： 87．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴﹒      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直的定义，三角形内角和定理等知识﹒ （1）根据得到，利用“”证明，即可得到； （2）根据，得到，结合证明，即可证明﹒ (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 88．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∵∠D＝90°， ∴OD⊥CD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理得：∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC． 【分析】 （1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了与角平分线相关的证明问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、角平分线的性质、垂直的定义是解题的关键． 89．【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED 【分析】 根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题； 【详解】 略 考点：三角形全等的判定． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 90．【答案】（1）线段即为所求 （2）即为所求 （3）如图所示 【分析】 本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格找线段之间的相等关系． 借助网格线找到的中点，连接线段，即为所求； 构造底边长为，高为的三角形即可； 借助网格找到的中点，再借助网格构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等确定的位置． 【详解】 解：如下图所示，借助网格线找到的中点，连接线段，线段即为的中线； 解：如下图所示，借助网格作，使，边上的高为， 则的面积为； 解：如下图所示，借助网格构造， 过的中点作交于点， 点即为中点， 连接并延长，交网格线于点， 则， 在和中， ， ， ． 91．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义、全等三角形的性质与判定，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）延长，使，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出． (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， 即， ∵的长度是奇数， ∴； (2) 小问详解： 解：延长，使，如图所示： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 92．【答案】② 【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解． 【详解】∵已知，且 ∴若添加①，则可由判定≌； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌． 故答案为② ． 【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断． 93．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理得出，求出，根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 94．【答案】4 【分析】先根据BA⊥AC，CD∥AB证明∠DCA=∠BAC=90°，再根据等角的余角相等证明∠ACB =∠D，然后通过AAS可证明△ABC≌△ECD从而得出AC=CD=6，利用线段的和差可解. 【详解】∵BA⊥AC，CD∥AB ∴∠DCA=∠BAC=90°，∠B=∠BCD ∴∠B+∠ACB=90° ∵BC⊥DE ∴∠D+∠BCD=90°， ∴∠ACB =∠D. 在△ABC和△ECD中 ∴△ABC≌△ECD ∴AC=CD=6. ∵AB=2 ∴AE=AC-AB=4. 故填：4. 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质定理，等角的余角相等.在本题中掌握三角形全等的几种判定定理，并能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此题的关键. 95．【答案】 【分析】 先证明可得：再结合补充的条件证明，从而可得答案. 【详解】 证明：补充：，理由如下： AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握斜边直角边与边角边公理证明三角形全等是解题的关键. 96．【答案】（1）6     （2） ①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 【分析】 （1）利用割补法求解面积即可． （2）① 根据三角形全等的判定，② 画出图形即可．利用旋转和对称画出图形即可． (1) 小问详解： 解：如图1中，， 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 97．【答案】（1）     （2） ，证明如下： 如图，过点M作，交于点H， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）10或2      【分析】 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点M作，交于点H，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． (1) 小问详解： ∵为等边三角形，M为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点D， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵M为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则． 综上所述，的长为10或2． 98．【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）① 先证明出，得出，，即可得出结果； ② 证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：（1），， ， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）① 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ② 当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③ 当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 99．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点. 证明，，即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可得解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵梯形的面积， ， ， ∴图中实线所围成的图形的面积， 故答案为：． 100．【答案】（1）①20； ② 证明：∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形且 ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 即 ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴平分；     （2）长度不变，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据同角的余角相等即可解决问题； （2）如图2中，证明，可得垂直平分，利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）如图3中，过点C作轴于点H，证明，可得，，然后证明，即可解决问题． (1) 小问详解： ① ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 的长度不变，． 过点C作轴于点H，如图所示 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 2大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·河北·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A. 72° B. 60° C. 58° D. 48° 2．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（       ） A. 60° B. 54° C. 56° D. 66° 4．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，已知，，，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，已知两个三角形全等，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，，．若，的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，，，点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是(       ) A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，，若，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（       ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 10．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A.  B. 6 C.  D. 7 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，，，则　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·河北·期中）如图所示，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACF≌△DBE，AD=10cm，BC=6cm，则AB的长为　　　　　　cm． 13．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为　　　　　　　　　　时，能够使与全等． 14．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）一个三角形的三边为3，5，6，另一个三角形的三边为3，，；如果这两个三角形全等，那么　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 3．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（       ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A. ●表示点E B. ◎表示 C. ⊙表示 D. ⊕表示射线 4．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（     ） A. 是等腰三角形 B.  C. 折叠后得到的图形是轴对称图形 D.  5．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. AB=AD，∠2=∠1 B. AB=AD，∠3=∠4 C. ∠2=∠1，∠3=∠4 D. ∠2=∠1，∠B=∠D 6．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，，垂足分别为点，，，若，则的大小为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 8．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（     ）的长就是的长． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，作一个角等于已知角的步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②在射线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点；④过点作射线，则，上述尺规作图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·天津部分·期中）根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 13．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 14．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知，添加下列条件后，能判定的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为(     ). A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 不能确定 18．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，用，，直接判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·天津第六十一中学·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 23．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，，，与交于，于，于，那么图中全等的三角形有（       ） A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对 26．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 27．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 28．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，在的延长线上取一点，连接，使．有以下三个结论： ①； ②若为的中点，则； ③的面积是的面积的2倍． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 29．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 31．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑，若能够在某一时刻使与全等，则妞妞的运动速度为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 33．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 37．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 38．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 39．（25-26学年八上·天津河西·期中）（多选）如图，已知∠1=∠2，要根据ASA，判定△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是　　　　　　　．（在、、或选填） 41．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 42．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，，求证：． 43．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F． 求证：（1）△ABE≌△CAF； （2）EF=BE+CF． 44．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 45．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为　　　　　　　　　　　 46．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，，，，，垂足分别为、，若，，则　　． 47．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，要测量池塘两端、的距离，可先在平地上取一点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接．求证：． 48．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 49．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE． 50．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 52．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 53．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知：如图，，点，点在上，．求证：． 54．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为　　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）（多选）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD． 56．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，，点D，E分别在上，且，连接．求证：． 57．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）在中，，中线，边的取值范围：　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，是的中点，，，求证：，完成下面的证明过程． 证明：是的中点（已知）， _____=_____． 在_____和_____中， ， __________（_____）． （_____）． 59．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD． 求证：∠ACD=∠ADC． 60．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 61．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）已知：如图，，．求证：． 62．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使，再过点D画出的垂线，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段　　　　　　即可． 63．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 64．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，已知点C在线段上，线段，且，点E在线段上，连接，，恰好有，分别是和的角平分线．求证： （1）； （2）． 65．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，已知直线及直线外一点C．利用无刻度的直尺和圆规完成作图：过点C作直线的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． 66．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）　　　　　　． 67．（25-26学年八上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为　　　　　　． 68．（25-26学年八上·天津北辰·期中）证明下列各题： （1）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：； （2）如图，，，．求证：． 69．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 70．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且若，则的长为　　　　　　． 71．（25-26学年八上·河北·期中）如图，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 72．（25-26学年八上·河北·期中）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若．求和的长． 73．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　　　　　． 74．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 75．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，D是边上的一点，，平分，交边于点E，连接．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 76．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即为雕塑底座两端、间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由． 77．（25-26学年八上·天津部分·期中）在中，，，则的中线取值范围是　　　　　　． 78．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知的面积为6，平分，且于点D，那么的面积为　　　　　　． 79．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 80．（25-26学年八上·天津河东·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 81．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 82．（25-26学年八上·天津河东·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 83．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是          ． （2）在（1）的条件下，当时，那么          度． （3）设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系． 84．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    （1）求证：； （2）若，求的度数． 85．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为　　　　　． 86．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为　　　　　　 87．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知：如图，在中，，垂足为点C，与相交于点F，． 求证：    （1）； （2）． 88．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）（多选）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 89．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）（多选）如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 90．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 91．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）在中，， （1）若的长为奇数，求的长． （2）若是的中线，则长度范围_____． 92．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是　　　　　（只填序号）． 93．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，求度数． 94．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝　　　　　　　． 95．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件　　　　　　　　　．（填写一个你认为适当的条件即可） 96．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 97．（25-26学年八上·天津西青·期中）已知在等边中，点M在边上，点N在的延长线上，且．连接，． （1）填空：如图，当点M为中点时，线段与之间的数量关系是：                 （选填“”“ ”或“”）； （2）如图，当点M为边上任意一点时，写出线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点M为中点，时，点P，Q分别为射线，射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 98．（25-26学年八上·天津部分·期中）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 99．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　　　　　　． 100．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． （1）当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； （2）如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 2大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·河北·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A. 72° B. 60° C. 58° D. 48° 【答案】D 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质. 2．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】 解：， ， 即， 故选：A． 3．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（       ） A. 60° B. 54° C. 56° D. 66° 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是关键．根据三角形内角和定理可得的度数，再根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】 如图，，， ， 在中，边和边夹角为， 在中，边和边夹角为， 又两个三角形全等， ． 故选：D． 4．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，已知，，，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 故选：B． 5．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，已知两个三角形全等，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【详解】 解：两个三角形全等， ， 故选B． 6．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，，．若，的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，由全等三角形的性质可得，即可得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，，，点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答．根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 故选：C． 8．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，，若，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．很具三角形的内角和定理求出的度数，再利用全等三角形的性质得到，再由，即可得到答案． 【详解】 解：在中，， ， ， ， ． 故选B． 9．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（       ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【分析】 直接根据全等三角形的性质求解；本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 【详解】 解：∵， 和是对应边 ∴cm． 故选：B． 10．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A.  B. 6 C.  D. 7 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·河北·期中）如图所示，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACF≌△DBE，AD=10cm，BC=6cm，则AB的长为　　　　　　cm． 【答案】2. 【分析】由全等三角形的性质可得AC=BD，可得AB=CD，即可求AB的长． 【详解】∵△ACF≌△DBE， ∴AC=BD， ∴AB=CD， ∵AD=10cm，BC=6cm， ∴AB+BC+CD=10cm， ∴2AB=4cm， ∴AB=2cm， 故答案为2. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 13．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为　　　　　　　　　　时，能够使与全等． 【答案】厘米/秒或厘米/秒 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用． 利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】 解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米/秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米/秒； 当点的运动速度为厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米/秒或厘米/秒． 14．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）一个三角形的三边为3，5，6，另一个三角形的三边为3，，；如果这两个三角形全等，那么　　　　　． 【答案】10或9.5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等；分类讨论：，或者，. 【详解】 解：∵这两个三角形全等， ∴对应边相等， 当，时 解得， ∴， 当，时 解得， ∴. 故答案为：10或9.5. 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】 解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 2．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】C 【分析】 甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案． 【详解】 解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等； 则与△ABC全等的有乙和甲， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 3．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（       ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A. ●表示点E B. ◎表示 C. ⊙表示 D. ⊕表示射线 【答案】D 【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．利用作一个角等于已知角的方法对各选项进行判断． 【详解】 解：●表示点O，◎表示，⊙表示，⊕表示射线． 故选：D． 4．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（     ） A. 是等腰三角形 B.  C. 折叠后得到的图形是轴对称图形 D.  【答案】B 【分析】 根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、C、D，无法判断和是否相等． 【详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴是等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形 无法判断和是否相等， 故其中正确的是A、C、D， 故选：B． 【点睛】 本题考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，借助矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 5．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ） A. AB=AD，∠2=∠1 B. AB=AD，∠3=∠4 C. ∠2=∠1，∠3=∠4 D. ∠2=∠1，∠B=∠D 【答案】A 【分析】 利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可． 【详解】 解：A、AB=AD，∠2=∠1，再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意； B、AB=AD，∠3=∠4，再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； C、∠2=∠1，∠3=∠4，再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； D、∠2=∠1，∠B=∠D，再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； 故选A． 6．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，，垂足分别为点，，，若，则的大小为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 此题主要考查了三角形全等的判定和性质．根据“”可判定，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】 解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】 本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 8．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（     ）的长就是的长． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可求证． 【详解】 证明：∵，，    ∴，    在和中 ， ∴，      ∴． ∴这时测得的长就是的长． 故选：C． 9．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，作一个角等于已知角的步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②在射线上任取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点；④过点作射线，则，上述尺规作图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定．根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可． 【详解】 解：根据基本作图，由作图得，， ∴， ∴，依据是， 故选：A． 10．（25-26学年八上·天津部分·期中）根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】 解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； C、已知两边及其中一边的对角，属于的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故符合题意， D、已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意． 故选：C． 11．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 12．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 【答案】D 【分析】 因为△ABE与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点E在AB的上边、点E在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】 △ABE与△ABC有一条公共边AB， 当点E在AB的下边时，点E有两种情况① 坐标是（4，﹣1）；② 坐标为（﹣1，﹣1）； 当点E在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）； 点E的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键． 13．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】 解：， ， ①，又，，由判定，故① 符合题意； ②，和分别是和的对角，不能判定，故② 不符合题意； ③，又，，由判定，故③ 符合题意； ④，又，由判定，故④ 符合题意． 其中能使成立的条件有3个． 故选：B． 14．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知，添加下列条件后，能判定的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．． 【详解】 解：A、在和中， ， ∴，故选项A符合题意； B、由，不能判定，故选项B不符合题意； C、由，不能判定，故选项C不符合题意； D、由，不能判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，如解图，证明，得到，即可得出结果． 【详解】 解：如图，由题意， ∴， ∴， ∴； 故选D． 16．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用三角形内角和定理求出∠BAC=90°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题． 【详解】 解：∵∠ABC=40°，∠C=45°， ∴∠BAC=95°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABF=∠EBF， ∵BF=BF，∠BFA=∠BFE=90°， ∴△BFA≌△BFE（ASA）， ∴BA=BE， ∵BD=BD，∠ABD=∠EBD，BA=BE， ∴△BDA≌△BDE（SAS）， ∴∠BED=∠BAD=95°， ∴∠CDE=95°-45°=50°， 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为(     ). A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 不能确定 【答案】B 【分析】 延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可． 【详解】 如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠EPB=90°，BP=BP, ∴△ABP≌△EBP(ASA)， ∴AP=PE， ∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP， ∴S△PBC=S△ABC=×1=0.5(cm2)， 故选B. 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 18．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 19．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，用，，直接判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由于，，再加上公共边，则可根据“”判断． 【详解】 解：在和中， ， ． 故选：A 20．（25-26学年八上·天津第六十一中学·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 尺规作一个角等于已知角是通过构造两个全等三角形来实现的，其中三边对应相等，因此依据是全等判定． 【详解】 解：以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交、两边于D、C， 以新射线端点为圆心，相同半径画弧，交射线于， 用圆规量取距离，以为圆心画弧交前弧于， 连接，得，如下图： 在和中，，， 因此，用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是， 故选：A． 21．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，已知，以下条件中，不能推出的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得：，根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】 解：∵ ∴， 又∵， ∴，A选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，B选项正确，不符合题意； 又∵， ∴，C选项正确，不符合题意； 通过、不能证明，D选项符合题意； 故选：D 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 22．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE． 【详解】 当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中 ∵ ， ∴△ADF≌△CBE（SAS） 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 23．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 24．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 25．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，，，与交于，于，于，那么图中全等的三角形有（       ） A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对 【答案】C 【分析】 从已知条件开始，结合图形利用全等三角形的判定方法由易到难逐个寻找． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 26．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 共有4对，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可． 【详解】 ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEE＝90°， 在△ADC和△AEB中， ∵∠ADC=∠AEB，∠DAC=∠EAB，AC=AB， ∴△ADC≌△AEB（AAS）； ∴AD＝AE，∠C＝∠B， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BOD和△COE中， ∵∠B=∠C，∠BOD=∠COE，BD=CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）； ∴OB＝OC，OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∵OA=OA，OD=OE， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）； ∴共有3对全等的直角三角形， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键. 27．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确． 【详解】 解：在AB上截取AF=AD． 则△AED≌△AEF（SAS）． ∴∠AFE=∠D． ∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°． ∴∠C=∠BFE． ∴△BEC≌△BEF（AAS）． ∴① BC=BF，故AB=BC+AD； ② CE=EF=ED，即E是CD中点； ③ ∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°； ④ S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC， ∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD． 故选D． 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，运用了截取法构造全等三角形解决问题，难度中等． 28．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，在的延长线上取一点，连接，使．有以下三个结论： ①； ②若为的中点，则； ③的面积是的面积的2倍． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，中线和高，三角形的面积，先利用证明可判断① ，再利用证明可判断② ，再利用三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③ ． 【详解】 解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故① 正确； ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴， 故② 正确； ∵，，，， ∴， 故③ 正确； 综上，正确的结论有① ② ③ ，一共有3个， 故选：D． 29．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，由作图可知，所以，得，然后通过三角形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵，，, ∴， ∴， 故选：． 30．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【详解】 解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 31．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判断方法． 由，得，还有公共边，结合选项依次判断即可． 【详解】 解：A、添加，不能判定，故此选项错误，符合题意； B、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； C、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； D、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 32．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑，若能够在某一时刻使与全等，则妞妞的运动速度为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 根据三角形全等性质分，或，两类讨论求解即可得到答案． 【详解】 解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，，设运动时间为t， ，解得， ， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时， ， ， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选D． 【点睛】 本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论． 33．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案：A． 34．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 35．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】 解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 36．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理以及分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可；②时，点P从A到C运动，则，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可． 【详解】 解：① 当时，点P从C到A运动，则，， ∵， ∴，即，解得：； ② 当时，点P从A到C运动，则， ∵， ∴，即，解得：． 综上所述：当或时，和全等． 故答案为：2或4． 37．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故① 正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故② 正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③ 正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④ 错误， ∴正确的有① ② ③ ， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 38．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 由得到，由、平分、，得到，，根据三角形内角和得到，从而求得，可判断① 正确；先利用证明，得到，由平分，得到，即，推出，再利用即可证明，可判断② 正确；由全等得到，又因为，且，所以，可判断④ 正确；延长交于点，利用可证，可得，，所以，可判断③ 错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵、平分、， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故① 正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴． ∴． ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．故② 正确； ∴， ∵，且， ∴，故④ 正确； 延长交于点， ， 在和中， ，故③ 错误； 所以正确的结论是① ② ④ ， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明是解题的关键． 39．（25-26学年八上·天津河西·期中）（多选）如图，已知∠1=∠2，要根据ASA，判定△ABD≌△ACD，则需要补充一个条件为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】∠BAD=∠CAD 【分析】 添加∠BAD=∠CAD，再加上∠1=∠2和公共边AD=AD可利用ASA可判定△ABD≌△ACD． 【详解】 解：添加∠BAD=∠CAD， ∵在△ADB和△ADC中 ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， 故答案为：∠BAD=∠CAD 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 40．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是　　　　　　　．（在、、或选填） 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．根据 判断即可． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：． 41．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴。 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，证明，得，进而可以解决问题． 【详解】 略 43．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F． 求证：（1）△ABE≌△CAF； （2）EF=BE+CF． 【答案】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△BEA和△AFC中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （2）证明：由（1）知△ABE≌△CAF， ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=AF+EA=BE+CF． 【分析】 （1）根据“AAS”即可证明△ABE≌△CAF； （2）利用全等三角形的性质－对应边相等就可以证明题目的结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 44．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为　　　　　　　　　　　 【答案】6 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据，得出，证明，得出． 【详解】 解：∵点为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 46．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，，，，，垂足分别为、，若，，则　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，由全等三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，要测量池塘两端、的距离，可先在平地上取一点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质．利用两边及其夹角对应相等的两三角形全等解题即可． 【详解】 略 48．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）2cm． 【分析】 （1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 （1） 略 （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 49．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE． 【答案】证明：∵C是AB的中点， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE． 【分析】 根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理． 50．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】 当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 51．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，． 在和中， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．根据平行线的性质，得到，，利用即可得证． 【详解】 略 52．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】证明：连接，    ∵， ∴在 和 中， ， ∴， ∴， 【分析】 根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明 是解此题的关键． 53．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知：如图，，点，点在上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴ ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定；根据平行线的性质得到，再证明，由“”可证，得出，即可证明． 【详解】 略 54．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）（多选）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD． 【答案】证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠BAC＝∠BAD． ∵AC＝AD， AB＝AB， ∴△ABC≌△ABD（SAS）． ∴BC＝BD． 【分析】 由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD． 【详解】 略 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 56．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，，点D，E分别在上，且，连接．求证：． 【答案】解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质．根据已知条件选择恰当的判定方法证明即可得出结论． 【详解】 略 57．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）在中，，中线，边的取值范围：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，延长至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】 解：如图，延长至E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴． 故答案为：． 58．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，是的中点，，，求证：，完成下面的证明过程． 证明：是的中点（已知）， _____=_____． 在_____和_____中， ， __________（_____）． （_____）． 【答案】；；；；；；；；；全等三角形对应角相等 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据“”证明，得出答案即可． 【详解】 证明：是的中点（已知）， ， 在和中 ， ， （全等三角形对应角相等）． 59．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD． 求证：∠ACD=∠ADC． 【答案】证明： ∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE∠CAE =∠CAD∠CAE， 即∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED． ∴AC=AD．    ∴∠ACD=∠ADC 【详解】 略 60．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 【答案】在和中， ， ， ． 即的长就是A，B的距离． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】 略 61．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：，， ， ， 在与中， ， ． 【分析】 根据全等的性质得出，进而利用证明即可． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定，解题的关键是利用证明解答． 62．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使，再过点D画出的垂线，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段　　　　　　即可． 【答案】 【分析】 根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】 解：利用，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明， 故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可． 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键． 63．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【分析】 先根据等式性质，得到，再根据“”即可判定． 【详解】 略 64．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，已知点C在线段上，线段，且，点E在线段上，连接，，恰好有，分别是和的角平分线．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ；     （2） 证明：在和中， ， ， ， 由可知，， 在和中， ， ，       【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，则，即可得出结论； （2）证明，得，再证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 65．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，已知直线及直线外一点C．利用无刻度的直尺和圆规完成作图：过点C作直线的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．过点C作直线交于点E，作，画直线即可． 【详解】 略 66．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在正方形网格中，点、、分别为格点，点是线段上一点，请用无刻度直尺，在线段上找到点，使得（保留作图痕迹，写出作法）　　　　　　． 【答案】作法：取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，如图所示： 点即为所求， 【分析】 本题考查用无刻度直尺作图，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 取格点，连接，连接，与交于点，连接并延长，交于点，点即为所求． 【详解】 解：说明如下： 是正方形的对角线，是矩形的对角线，是矩形的对角线， 平分，， 则， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 67．（25-26学年八上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标求解，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及作辅助线构造全等三角形的方法．掌握通过几何性质转化坐标问题，并利用全等三角形建立等量关系是解题的关键．过点B作轴于点E，过点A作轴，证明，从而找到边的等量关系求解． 【详解】 解：过B作轴交于点E，过A作轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 68．（25-26学年八上·天津北辰·期中）证明下列各题： （1）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：； （2）如图，，，．求证：． 【答案】（1） 证明：，，即， ，， ，， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ． 即， 在和中 ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再利用即可证明； （2）利用证明，证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 69．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ， 在和中， ， ．     （2）4．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 70．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到，由是的中点，得到． 【详解】 解∶，可得， 在和中， ∵E是的中点， 故答案为∶ 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键． 71．（25-26学年八上·河北·期中）如图，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 72．（25-26学年八上·河北·期中）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若．求和的长． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，进而得到，利用线段的和差关系求出的长即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 73．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝　　　　　． 【答案】58° :度 【分析】 先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】 ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 74．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴；     （2） ， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 75．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，D是边上的一点，，平分，交边于点E，连接．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据平分，可得，利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 又， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 76．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即为雕塑底座两端、间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由． 【答案】解：小军的方案可行， 理由如下：在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即测出的长即为雕塑底座两端、间的距离． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，根据题意可得，，，，即可证明，则即可． 【详解】 略 77．（25-26学年八上·天津部分·期中）在中，，，则的中线取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】 解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 78．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知的面积为6，平分，且于点D，那么的面积为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，，进而得到，推出，即可得出结果． 【详解】 解：延长交于点，     ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12； 故答案为：12． 79．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，由已知得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 80．（25-26学年八上·天津河东·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 81．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 82．（25-26学年八上·天津河东·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【分析】 （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 83．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是          ． （2）在（1）的条件下，当时，那么          度． （3）设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】（1）     （2）90     （3） ①，证明如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②作出图形，       【分析】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可证明，可得，，即可解题； （2）根据即可解答； （3）①易证，即可证明，可得，根据即可解题； ②易证，即可证明，可得，根据，即可解题； (1) 小问详解： 解：， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ； 故答案为：90； (3) 小问详解： 解：① 略 ②，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 84．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ∴     （2）      【分析】 （1）由可得，再根据即可求证； （2）由三角形外角的性质可得，，由（1）可得，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由三角形外角的性质可得：， 由（1）可得 ∴， ∵点，，在同一直线上 ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 85．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断① ；推出，根据证明即可，即可判断② ；证明，得，，根据外角的性质可判断③ ；通过等量代换可判断④ ．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论② 正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③ 错误； 又∵， ∴， 即，故结论④ 正确， ∴正确的是① ② ④个． 故答案为：① ② ④． 86．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，小颖要测量池塘A，B两端的距离，她设计了一个测量方案：先在平地上取C，D两点，与相交于点O，且测得，，的周长为，则A，B两端的距离为　　　　　　 【答案】40 【分析】 证明，得到，由的周长为，可得，即，计算求出的长，进而可得结果． 本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【详解】 解：，， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， 即 故答案为： 87．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知：如图，在中，，垂足为点C，与相交于点F，． 求证：    （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴﹒      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直的定义，三角形内角和定理等知识﹒ （1）根据得到，利用“”证明，即可得到； （2）根据，得到，结合证明，即可证明﹒ (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 88．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）（多选）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∵∠D＝90°， ∴OD⊥CD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理得：∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC． 【分析】 （1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了与角平分线相关的证明问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、角平分线的性质、垂直的定义是解题的关键． 89．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）（多选）如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED 【分析】 根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题； 【详解】 略 考点：三角形全等的判定． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 90．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 【答案】（1）线段即为所求 （2）即为所求 （3）如图所示 【分析】 本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格找线段之间的相等关系． 借助网格线找到的中点，连接线段，即为所求； 构造底边长为，高为的三角形即可； 借助网格找到的中点，再借助网格构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等确定的位置． 【详解】 解：如下图所示，借助网格线找到的中点，连接线段，线段即为的中线； 解：如下图所示，借助网格作，使，边上的高为， 则的面积为； 解：如下图所示，借助网格构造， 过的中点作交于点， 点即为中点， 连接并延长，交网格线于点， 则， 在和中， ， ， ． 91．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）在中，， （1）若的长为奇数，求的长． （2）若是的中线，则长度范围_____． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义、全等三角形的性质与判定，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）延长，使，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出． (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， 即， ∵的长度是奇数， ∴； (2) 小问详解： 解：延长，使，如图所示： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 92．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是　　　　　（只填序号）． 【答案】② 【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解． 【详解】∵已知，且 ∴若添加①，则可由判定≌； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌． 故答案为② ． 【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断． 93．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，求度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理得出，求出，根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 94．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝　　　　　　　． 【答案】4 【分析】先根据BA⊥AC，CD∥AB证明∠DCA=∠BAC=90°，再根据等角的余角相等证明∠ACB =∠D，然后通过AAS可证明△ABC≌△ECD从而得出AC=CD=6，利用线段的和差可解. 【详解】∵BA⊥AC，CD∥AB ∴∠DCA=∠BAC=90°，∠B=∠BCD ∴∠B+∠ACB=90° ∵BC⊥DE ∴∠D+∠BCD=90°， ∴∠ACB =∠D. 在△ABC和△ECD中 ∴△ABC≌△ECD ∴AC=CD=6. ∵AB=2 ∴AE=AC-AB=4. 故填：4. 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质定理，等角的余角相等.在本题中掌握三角形全等的几种判定定理，并能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此题的关键. 95．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件　　　　　　　　　．（填写一个你认为适当的条件即可） 【答案】 【分析】 先证明可得：再结合补充的条件证明，从而可得答案. 【详解】 证明：补充：，理由如下： AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握斜边直角边与边角边公理证明三角形全等是解题的关键. 96．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】（1）6     （2） ①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 【分析】 （1）利用割补法求解面积即可． （2）① 根据三角形全等的判定，② 画出图形即可．利用旋转和对称画出图形即可． (1) 小问详解： 解：如图1中，， 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 97．（25-26学年八上·天津西青·期中）已知在等边中，点M在边上，点N在的延长线上，且．连接，． （1）填空：如图，当点M为中点时，线段与之间的数量关系是：                 （选填“”“ ”或“”）； （2）如图，当点M为边上任意一点时，写出线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点M为中点，时，点P，Q分别为射线，射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【答案】（1）     （2） ，证明如下： 如图，过点M作，交于点H， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）10或2      【分析】 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点M作，交于点H，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． (1) 小问详解： ∵为等边三角形，M为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点D， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵M为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则． 综上所述，的长为10或2． 98．（25-26学年八上·天津部分·期中）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）① 先证明出，得出，，即可得出结果； ② 证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：（1），， ， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）① 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ② 当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③ 当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 99．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点. 证明，，即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可得解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵梯形的面积， ， ， ∴图中实线所围成的图形的面积， 故答案为：． 100．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． （1）当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； （2）如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】（1）①20； ② 证明：∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形且 ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 即 ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴平分；     （2）长度不变，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据同角的余角相等即可解决问题； （2）如图2中，证明，可得垂直平分，利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）如图3中，过点C作轴于点H，证明，可得，，然后证明，即可解决问题． (1) 小问详解： ① ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 的长度不变，． 过点C作轴于点H，如图所示 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $