专题04 角的平分线、线段的垂直平分线（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦角平分线与垂直平分线两大核心考点，汇编天津多区八年级期中真题，以实际应用情境（如度假村选址、一带一路中转仓）和工具创新（直尺作角平分线）为特色，覆盖定义、性质、作图及综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|24题|角平分线性质（到两边距离相等）、垂直平分线判定（到两端点距离相等）、尺规作图依据（SSS）|结合“抢凳子游戏公平性”“货物中转站选址”等生活场景| |填空|10题|角平分线分面积计算、垂直平分线与周长关系|融入矩形、正方形网格等图形背景| |解答|18题|角平分线与垂直平分线综合证明（如双角平分线证线段相等）、作图与计算结合|设置“用三角板确定角平分线”“网格中找角平分线点”等创新问题|

专题04 角的平分线、线段的垂直平分线 2大高频考点概览 考点01 角的平分线 考点02 线段的垂直平分线 考点01 角的平分线 1．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（    ） A. 这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B. 这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C. 这个三角形任意两条高线的交点处 D. 这个三角形任意两条中线的交点处 2．（25-26学年八上·天津河西·期中）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 3．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 4．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积是（     ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 5．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，平分，过点D作于E，测得，，则的周长是（　　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 8．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（       ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 9．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 10．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（       ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 13．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(     ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 14．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，，三条角平分线相交于点，则的值是　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 17．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 18．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是　　　　　　　 19．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 20．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，点M，N分别是的边，上的点，，点P在的内部，，过点P分别作，．求证：． 21．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是　　　　　　． 22．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分， （1）求证：平分； （2）填空：①______（度）； ②若，，的长为______． 23．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，是的角平分线，于点于点，若的面积是，，则的面积为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）已知：在和中，，． （1）如图①，若， 求证：①．②．③连接，直接写出的度数． （2）如图②，若，的大小为______（直接写出结果，不证明）． 25．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 26．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 27．（25-26学年八上·河北·期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝9，AC＝5，则BE＝　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　　　　　． 29．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，地块中，边，． （1）尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； （2）若地块的面积为，求地块的面积． 30．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图所示，在中： （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是怎样_____．（将序号按正确的顺序写出）． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线． （2）能说明的依据是_____（填序号）． ①     ②   ③   ④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）如图，若点在的平分线上且，求证： 31．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，，，垂足分别为B，E，，，相交于点F，连接．求证：平分． 32．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=8cm,BC=30cm,则点D到BC边的距离是　　　　　　cm，△BCD的面积是　　　　　　cm2 33．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，为的角平分线，，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有　　　　　　． 34．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，求出的度数； （3）如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 2．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三边中线的交点 B. 三边上高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（       ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 4．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应角相等 5．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（     ）. A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（       ） A. ①中线，②角平分线，③高线 B. ①高线，②中线，③角平分线 C. ①角平分线，②高线，③中线 D. ①高线，②角平分线，③中线 8．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 对顶角相等 9．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A.  B. 3 C. 4 D. 5 10．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 11．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，则有（       ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 12．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （          ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为．则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 15．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 19．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为，则的长为　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为　　　　　． 23．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 24．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，，分别是，的中点，，垂足为，，垂足为．求证：．（此题不可用全等证明） 25．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图， 的周长为 cm， 的垂直平分线 交 于点 ， 为垂足，，则 的周长为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，则___________． 27．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． （1）若，的周长为19，求的长度； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 28．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 29．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 30．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在四边形中，，，为的中点，连接，，．则　　　　　　． 31．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG=CF； （2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周长． 32．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm. （1）求证：FC=AD； （2）求AB的长. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角的平分线、线段的垂直平分线 考点01 角的平分线 考点02 线段的垂直平分线 考点01 角的平分线 1．A 2．D 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．D 10．B 11．B 12．A 13．A 14．【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：作于点D，于点E，于点F， ∵三条角平分线交于点O，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】7 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】 解：过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 17．【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 18．【答案】3 【分析】 角平分线上的点到角两边的距离相等．点到直线的距离是指过点作已知直线的垂线段的长度．过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离．根据角平分线的性质可得DE=CD=3． 【详解】 解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 19．【答案】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】 略 20．【答案】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，证明，得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】 略 21．【答案】35 【分析】 本题主要考查角平分线的性质，能求出是解此题的关键． 如图，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作，交的延长线于E，则， ∵平分， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：35． 22．【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分；     （2）①90；②      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，平行线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）① 根据平分，平分，，，由已知，可得，则，即可得出，进而得出； ② 首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：①∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故答案为：90； ②， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 23．【答案】20 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据可求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】 解：∵是的角平分线，于点，于点， ∴， 设， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为， 故答案为：20． 24．【答案】（1） ① 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ③     （2）      【分析】 （1）①根据已知先证明，再证明，则可得结论； ②利用全等三角形性质得到，结合图形，利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求出； ③ 过点作、垂足分别为、，证明，由角平分线的判定定理即可得出平分，由此即可得出； （2）由（1）可知，，则，由三角形内角和定理得到，可得到． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 ③ 如图① ，过作、垂足分别为M、N， ∴；， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 26．【答案】（1）图见解析     （2）的面积为      【分析】 本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，为的平分线． (2) 小问详解： 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 27．【答案】2 【详解】 如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=9，AC=5， ∴BE=(9−5)=2. 故答案为2. 点睛：本题考查了全三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择适当的判定条件.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.页考查了角平分线的性质. 28．【答案】3 【分析】根据作图的过程知：平分，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∠A=90°，AP=3即可求解. 【详解】解：结合作图的过程知：平分， 点到的距离等于的长，为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键. 29．【答案】（1） 如图，线段即为所求；      （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 30．【答案】（1）② ① ③     （2）①     （3） 证明：延长，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的作法等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理即可解答； （3）延长，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出即可． (1) 小问详解： 解：作 的平分线的正确顺序是② ① ③ ， 故答案为：② ① ③ ； (2) 小问详解： 解：如图：连接 ， 在和中，， ∴ ， ∴， 故答案为：① ； (3) 小问详解： 略 31．【答案】证明：如图，连接， ，， ， 又，， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 连接，先根据题中条件证明，推出，再利用角平分线的性质，推出平分． 【详解】 略 32．【答案】① 8    ② 120 【详解】 作DE⊥BC于E点． ∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴DE=DA=8cm． ∴△BCD的面积是：（cm2）. 故答案为8，120. 33．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断① 正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故② 正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③ 正确；根据，，结合线段的和差关系，判断④ 正确． 【详解】 解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故① 正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故② 正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③ 正确； ∵，， ∴；故④ 正确； 综上可知① ② ③ ④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 34．【答案】（1）     （2）     （3）的值不发生改变，等于      【分析】 本题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； (2) 小问详解： 解：过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， (3) 小问详解： 解：的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．D 9．D 10．A 11．A 12．B 13．A 14．B 15．B 16．D 17．D 18．D 19．B 20．【答案】15厘米 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 22．【答案】20 【分析】此题涉及的知识点是线段的垂直平分线的性质，根据性质先得到BE=CE，BD=CD，再根据等量代换的思想去解答就可以 【详解】∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=CE，BD=CD ∴△ABD的周长=AB+BD+AD =30-BC-(AD+CD)+CD+AD =30-BC-AD-CD+CD+AD =30-10=20 故答案为20． 【点睛】此题重点考查学生对线段垂直平分线的理解，等量代换是解题的关键 23．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．【答案】证明：如图，连接，     ∵于是的中点， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∵为中点，， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∴． 【分析】 题目主要考查线段垂直平分线的性质，理解题意，作出辅助线是解题关键．连接，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立． 【详解】 略 25．【答案】11cm 【分析】 根据垂直平分线的性质可知 ， cm，再结合 的周长为19cm即可得知 cm，然后计算 的周长即可． 【详解】 解：∵ 的垂直平分线 交 于点 ， 为垂足， ∴， cm， ∵ 的周长为19cm， ∴cm， ∴的周长= cm． 故答案为： cm． 【点睛】 本题主要考查了垂直平分线段的性质，熟练掌握垂直平分线的定义和性质是解题关键． 26．【答案】（1）20     （2） 解：点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上；     （3）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：垂直平分， ， 同理， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 27．【答案】（1）     （2） 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、，如图 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上．      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． (1) 小问详解： 解：直线垂直平分边， ， 的周长为19， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 28．【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 29．【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分；     （2）4      【分析】 此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 30．【答案】3 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长和，交于点，证，证垂直平分，利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质求解即可． 【详解】 延长和，交于点，如图所示， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴ 故答案为：3． 31．【答案】（1）证明：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL） ∴AG=CF； （2）△ABC的周长为16． 【分析】 （1）连接AD、DC，根据角平分线的性质和中垂线的性质得DG=DF，DA=DC，进而得Rt△DGA≌Rt△DFC，即可得到结论； （2）先证Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG=BF，结合AG=CF，进而即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）由（1）知DG=DF． 又∵BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF， ∴BG=BF． 又∵AG=CF， ∴C△ABC=AB＋BC＋AC=BG－AG＋BF＋FC＋AC=2BG＋AC=2×5＋6=16． 答：△ABC的周长为16． 【点睛】 本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中垂线的性质定理，掌握角平分线的性质，中垂线的性质定理以及用HL证直角三角形全等，是解题的关键． 32．【答案】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠ADC=∠ECF ， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC ， ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA) ， ∴FC=AD ； （2）AB=7cm. 【详解】 试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可． 试题解析：（1）略 （2）∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF ， ∵BE⊥AE ， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF ， ∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角的平分线、线段的垂直平分线 2大高频考点概览 考点01 角的平分线 考点02 线段的垂直平分线 考点01 角的平分线 1．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（    ） A. 这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B. 这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C. 这个三角形任意两条高线的交点处 D. 这个三角形任意两条中线的交点处 【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，正确理解和应用“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 由三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等，可知度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处，于是得到问题的答案． 【详解】 解：度假村到三条公路的距离相等，且三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等， 度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处， 故选：A． 2．（25-26学年八上·天津河西·期中）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【详解】 解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； 再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP． 故选D． 3．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】 解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 4．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积是（     ） A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线定理．根据角平分线定理求得，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：∵，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：C． 5．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，由角平分线的性质可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵是的平分线，， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】 解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 7．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，平分，过点D作于E，测得，，则的周长是（　　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【分析】 由中，，，平分，根据角平分线的性质定理得到，即可求出的周长． 【详解】 解：∵在中，， ∴ ∵，平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选B． 【点睛】 此题考查了角平分线的性质定理，此题比较简单，注意角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 8．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（       ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】B 【分析】 本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】 解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 9．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【分析】 根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】 解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 10．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值． 【详解】 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM， ∴PA=PQ=2， 故选：B． 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查角平分线的判定和三角形内角和定理，由点在内，且到三边的距离相等，则为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴为三角形三个内角的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（       ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 【答案】A 【分析】 根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】 如图，    ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 13．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(     ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 14．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，，三条角平分线相交于点，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：作于点D，于点E，于点F， ∵三条角平分线交于点O，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】 解：过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 18．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是　　　　　　　 【答案】3 【分析】 角平分线上的点到角两边的距离相等．点到直线的距离是指过点作已知直线的垂线段的长度．过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离．根据角平分线的性质可得DE=CD=3． 【详解】 解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 19．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，点M，N分别是的边，上的点，，点P在的内部，，过点P分别作，．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，证明，得，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是　　　　　　． 【答案】35 【分析】 本题主要考查角平分线的性质，能求出是解此题的关键． 如图，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作，交的延长线于E，则， ∵平分， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：35． 22．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分， （1）求证：平分； （2）填空：①______（度）； ②若，，的长为______． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分；     （2）①90；②      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，平行线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）① 根据平分，平分，，，由已知，可得，则，即可得出，进而得出； ② 首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：①∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故答案为：90； ②， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 23．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，是的角平分线，于点于点，若的面积是，，则的面积为　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据可求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】 解：∵是的角平分线，于点，于点， ∴， 设， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为， 故答案为：20． 24．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）已知：在和中，，． （1）如图①，若， 求证：①．②．③连接，直接写出的度数． （2）如图②，若，的大小为______（直接写出结果，不证明）． 【答案】（1） ① 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ③     （2）      【分析】 （1）①根据已知先证明，再证明，则可得结论； ②利用全等三角形性质得到，结合图形，利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求出； ③ 过点作、垂足分别为、，证明，由角平分线的判定定理即可得出平分，由此即可得出； （2）由（1）可知，，则，由三角形内角和定理得到，可得到． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 ③ 如图① ，过作、垂足分别为M、N， ∴；， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 26．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）图见解析     （2）的面积为      【分析】 本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，为的平分线． (2) 小问详解： 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 27．（25-26学年八上·河北·期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝9，AC＝5，则BE＝　　　　　　　． 【答案】2 【详解】 如图，连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=9，AC=5， ∴BE=(9−5)=2. 故答案为2. 点睛：本题考查了全三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择适当的判定条件.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.页考查了角平分线的性质. 28．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　　　　　． 【答案】3 【分析】根据作图的过程知：平分，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等，∠A=90°，AP=3即可求解. 【详解】解：结合作图的过程知：平分， 点到的距离等于的长，为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键. 29．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，地块中，边，． （1）尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； （2）若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】（1） 如图，线段即为所求；      （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 30．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图所示，在中： （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是怎样_____．（将序号按正确的顺序写出）． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③画射线． （2）能说明的依据是_____（填序号）． ①     ②   ③   ④角平分线上的点到角两边的距离相等 （3）如图，若点在的平分线上且，求证： 【答案】（1）② ① ③     （2）①     （3） 证明：延长，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的作法等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理即可解答； （3）延长，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出即可． (1) 小问详解： 解：作 的平分线的正确顺序是② ① ③ ， 故答案为：② ① ③ ； (2) 小问详解： 解：如图：连接 ， 在和中，， ∴ ， ∴， 故答案为：① ； (3) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，，，垂足分别为B，E，，，相交于点F，连接．求证：平分． 【答案】证明：如图，连接， ，， ， 又，， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 连接，先根据题中条件证明，推出，再利用角平分线的性质，推出平分． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=8cm,BC=30cm,则点D到BC边的距离是　　　　　　cm，△BCD的面积是　　　　　　cm2 【答案】① 8    ② 120 【详解】 作DE⊥BC于E点． ∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴DE=DA=8cm． ∴△BCD的面积是：（cm2）. 故答案为8，120. 33．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，为的角平分线，，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断① 正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故② 正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③ 正确；根据，，结合线段的和差关系，判断④ 正确． 【详解】 解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故① 正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故② 正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③ 正确； ∵，， ∴；故④ 正确； 综上可知① ② ③ ④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④ ． 34．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，求出的度数； （3）如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）     （2）     （3）的值不发生改变，等于      【分析】 本题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； (2) 小问详解： 解：过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， (3) 小问详解： 解：的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【详解】 ∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 2．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三边中线的交点 B. 三边上高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】 解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：D． 3．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（       ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】 到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 4．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，判断每个命题的逆命题是否正确． 写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】 A、逆命题是“同位角相等，两直线平行”，成立； B、逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，但绝对值相等的两个实数可能互为相反数，不成立； C、逆命题是“相等的角是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），不成立； D、逆命题是“如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等”，但对应角相等的三角形相似，不一定全等，不成立； 故选：A． 5．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，理解题意得是线段的垂直平分线，故，结合的周长是，即，因为，故的长为，即可作答． 【详解】 解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】 解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的（       ） A. ①中线，②角平分线，③高线 B. ①高线，②中线，③角平分线 C. ①角平分线，②高线，③中线 D. ①高线，②角平分线，③中线 【答案】D 【分析】 由角平分线，垂线，线段垂直平分线的作图方法进行判断即可． 【详解】 解：①由作图方法可知，AD是BC边上的垂线，即AD为△ABC的高； ② 由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线； ③由作图方法可知D在BC的垂直平分线上，即AD是BC的中线； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图，垂线的尺规作图，三角形高，角平分线，中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 8．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是 （ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 全等三角形的对应边相等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【详解】 解：A、逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立； B、逆命题是三组对应边相等的三角形全等，成立； C、逆命题是到一个角的两边的距离相等的点再这个角的平分线上，成立； D、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； 故选D． 9．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A.  B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】 解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 10．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 11．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，则有（       ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【分析】 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】 ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 12．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，垂直平分，则，，从而有，，然后根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 【详解】 解：由作图可知，垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 13．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为．则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，， ∴， 故选：． 14．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 【答案】B 【详解】试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线 ∴BD=AD ∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm． 故选B. 15．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，是的垂直平分线，也是的角平分线，可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】 解：由作图过程可知： 是的垂直平分线，也是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 16．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】 解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】 本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 17．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】 解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 18．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【分析】 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 19．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】 解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 20．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为，则的长为　　　　　　　　　． 【答案】15厘米 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 22．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E．若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为　　　　　． 【答案】20 【分析】此题涉及的知识点是线段的垂直平分线的性质，根据性质先得到BE=CE，BD=CD，再根据等量代换的思想去解答就可以 【详解】∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=CE，BD=CD ∴△ABD的周长=AB+BD+AD =30-BC-(AD+CD)+CD+AD =30-BC-AD-CD+CD+AD =30-10=20 故答案为20． 【点睛】此题重点考查学生对线段垂直平分线的理解，等量代换是解题的关键 23．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，，分别是，的中点，，垂足为，，垂足为．求证：．（此题不可用全等证明） 【答案】证明：如图，连接，     ∵于是的中点， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∵为中点，， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∴． 【分析】 题目主要考查线段垂直平分线的性质，理解题意，作出辅助线是解题关键．连接，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图， 的周长为 cm， 的垂直平分线 交 于点 ， 为垂足，，则 的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】11cm 【分析】 根据垂直平分线的性质可知 ， cm，再结合 的周长为19cm即可得知 cm，然后计算 的周长即可． 【详解】 解：∵ 的垂直平分线 交 于点 ， 为垂足， ∴， cm， ∵ 的周长为19cm， ∴cm， ∴的周长= cm． 故答案为： cm． 【点睛】 本题主要考查了垂直平分线段的性质，熟练掌握垂直平分线的定义和性质是解题关键． 26．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，则___________． 【答案】（1）20     （2） 解：点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上；     （3）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：垂直平分， ， 同理， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 27．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． （1）若，的周长为19，求的长度； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、，如图 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上．      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． (1) 小问详解： 解：直线垂直平分边， ， 的周长为19， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 29．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分；     （2）4      【分析】 此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 30．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在四边形中，，，为的中点，连接，，．则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长和，交于点，证，证垂直平分，利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质求解即可． 【详解】 延长和，交于点，如图所示， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴ 故答案为：3． 31．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G． （1）求证：AG=CF； （2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL） ∴AG=CF； （2）△ABC的周长为16． 【分析】 （1）连接AD、DC，根据角平分线的性质和中垂线的性质得DG=DF，DA=DC，进而得Rt△DGA≌Rt△DFC，即可得到结论； （2）先证Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG=BF，结合AG=CF，进而即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）由（1）知DG=DF． 又∵BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF， ∴BG=BF． 又∵AG=CF， ∴C△ABC=AB＋BC＋AC=BG－AG＋BF＋FC＋AC=2BG＋AC=2×5＋6=16． 答：△ABC的周长为16． 【点睛】 本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中垂线的性质定理，掌握角平分线的性质，中垂线的性质定理以及用HL证直角三角形全等，是解题的关键． 32．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）（多选）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm. （1）求证：FC=AD； （2）求AB的长. 【答案】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠ADC=∠ECF ， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC ， ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA) ， ∴FC=AD ； （2）AB=7cm. 【详解】 试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可． 试题解析：（1）略 （2）∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF ， ∵BE⊥AE ， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF ， ∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $