专题01 三角形（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期

**基本信息** 汇集天津河北多校期中真题，聚焦三角形5大高频考点，通过生活情境（如手机支架、漫步机）与折叠、角度计算等问题，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|66|三角形边的性质、稳定性应用、内角和定理|结合河谷大桥钢索、窗钩固定考查稳定性| |填空|24|等腰三角形周长、中线分面积、外角性质|以手机支架稳定性、折叠问题设题| |解答|20|角平分线与高综合计算、折叠角度推理|通过三角板叠放、网格作图考查推理能力|

专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则它的腰长为　　　　　　. 2．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为　　　． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·天津河西·期中）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（　　） A. 22 B. 29 C. 37 D. 29或37 3．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，6 4．（25-26学年八上·河北·期中）下列物品不是利用三角形稳定性的是(     ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 5．（25-26学年八上·河北·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. 4，5，6 B. 9，3，5 C. 2，5，7 D. 4，5，10 6．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 7．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（     ） A. 利用三角形的稳定性 B. 保持对称 C. 节省材料，节约成本 D. 美观漂亮 9．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（     ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）适当进行有氧运动、可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 11．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 1cm，3cm，3cm B. 2cm，5cm，6cm C. 8cm，6cm，4cm D. 14cm，7cm，7cm 12．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，11 D. 5，6，10 13．（25-26学年八上·天津河西·期中）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 5，7，2 B. 5，9，3 C. 5，7，3 D. 5，10，5 14．（25-26学年八上·天津南开·期中）若三角形的三边长分别为2，7，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（       ） A. 7米 B. 8.8米 C. 15.5米 D. 26米 16．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（     ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 17．（25-26学年八上·天津北辰·期中）已知，三角形的三边分别为2，7，，则的值可能为（     ） A. 6 B. 9 C. 5 D. 4 18．（25-26学年八上·天津部分·期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（       ） A. 11 B. 14 C. 19 D. 14或19 19．（25-26学年八上·天津部分·期中）已知三角形三边的长分别是3，7，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·天津部分·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 21．（25-26学年八上·天津河东·期中）三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（       ） A. 5，11，7 B. 8，8，16 C. 10，5，4 D. 6，7，14 23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 24．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（       ） A.  B.      C.      D.      25．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（     ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 27．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 28．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（       ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 29．（25-26学年八上·天津西青·期中）一个三角形的两边长为2和3，则第三条边的长可以是　　　　　　  写出一个即可 30．（25-26学年八上·天津南开·期中）等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是　　　　　　cm． 31．（25-26学年八上·天津北辰·期中）若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　　　　　． 33．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的　　　　　　. 34．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）若在中，，，．则的取值范围是　　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为　　　　． 36．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）设a，b，c是的三边，化简：　　　　　　　　　　． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，钝角中，边上的高是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 5．（25-26学年八上·天津南开·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 6．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（     ） A.  B.  C. 6 D. 7 7．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，点F是的重心，与的延长线分别交于D，E，连接，若的面积为10，则的面积为（     ） A. 1 B.  C.  D. 5 9．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 13．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 14．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． （1）____________； （2）____________； （3）若，，则______，则______． 15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）已知D、E分别是 的边和的中点，若的面积是，则的面积为　　　　　． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　　　． 17．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． 18．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点均在小正方形的顶点上．请用无刻度直尺完成以下任务： （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 19．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，，其中． （1）求和的度数； （2）若与的周长差为3，，求的长． 20．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为　　　　　　． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·天津北辰·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（     ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，与的角平分线相交于点，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河北·期中）已知中，、、三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是（       ） A. 2：3：4 B. 1：2：3 C. 4：3：5 D. 1：2：2 4．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，中，，若沿图中虚线截去，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（       ） A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 8．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）一个三角形三个内角之比为，则最大的角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 12．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A. 如图①所示，过点作 B. 如图②所示，过点作 C. 如图③所示，过点作、垂足为点 D. 如图④所示，过边上点作， 15．（25-26学年八上·河北·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为　　　　　　　　　　　　 17．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 18．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，垂足为，，． （1）求的度数； （2）若是的平分线，求的度数． 19．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，，，分别是，的角平分线． （1）当时，求的度数． （2）求的度数． 21．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，是边上的高． （1）求的度数和的度数； （2）若，是角平分线，且，相交于点，求的度数． 22．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）平分交于，于点，求的度数． 23．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 24．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 25．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　　　　　　． 26．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． （1）若将按如图1所示方式摆放，则的度数； （2）若将按如图2所示方式摆放，求的度数． 27．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）在中，，高、所在的直线相交于点，则　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． （1）的度数为_______； （2）请用无刻度的直尺，确定的重心； （3）请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·天津南开·期中）将两把直尺如图放置，若，则的度数等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在三角形纸片中，，点在上．沿将该纸片折叠，使点落在边上的点处．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，中，为延长线上一点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 6．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，和是的外角．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·河北·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 12．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，若，，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，为边上的高，平分，与交于点E，与交于点F，若，，求和的大小． 15．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，点在的边的延长线上．若，，则的度数为　　　　　　． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　　　　． 18．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在中，，的平分线交于点， ． （1）求的度数； （2）求的度数． 19．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 20．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图1，的值为　　　　　　；如图2，的值为　　　　　　；如图3，的值为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，求的度数． 23．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，． （1）求的度数． （2）求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则它的腰长为　　　　　　. 【答案】6cm或7cm 【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，验证即可. 【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，符合三角形三边关系， ∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，符合三角形三边关系， 故答案为6cm或7cm. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长． 2．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为　　　． 【答案】4 【详解】 解：∵△BDE由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°． ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE． ∴∠A=30°． 在Rt△ABC中，∵AC=6， ∴BC=AC•tan30°=6×=2． 设BE=x，则CE=6﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x， ∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4． ∴折痕BE的长为4． 故答案为：4 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·天津河西·期中）一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】 解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（　　） A. 22 B. 29 C. 37 D. 29或37 【答案】C 【分析】 15和7分别当作腰讨论即可； 【详解】 解：当7是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当15是腰时，则三角形的周长是． 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，分类讨论是本题的解题关键． 3．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，6 【答案】A 【分析】 根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 中，，不能组成三角形； 中，，能组成三角形； 中，，能够组成三角形； 中，，能组成三角形． 故选：A． 【点睛】 本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 4．（25-26学年八上·河北·期中）下列物品不是利用三角形稳定性的是(     ) A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三脚架 D. 放缩尺 【答案】D 【详解】试题分析：只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性． 解：A，B，C都是利用了三角形稳定性， 放缩尺，是利用了四边形不稳定性． 故选D． 考点：三角形的稳定性． 5．（25-26学年八上·河北·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. 4，5，6 B. 9，3，5 C. 2，5，7 D. 4，5，10 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的三边关系定理，需严格满足任意两边之和大于第三边，注意等于或小于均不能构成三角形． 根据三角形的三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】 解：A、，能构成三角形，此项符合题意； B、，不能构成三角形，此项不符合题意； C、，不能构成三角形，此项不符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符合题意； 故选：A． 6．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【详解】 解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4． 故选C． 7．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】 解：小乔这样做的道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 8．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（     ） A. 利用三角形的稳定性 B. 保持对称 C. 节省材料，节约成本 D. 美观漂亮 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形稳定性的应用，理解三角形的稳定性是解题关键． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】 解：河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构主要是利用三角形的稳定性， 故选A． 9．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（     ）组． A. 4，7，3 B. 4，7，4 C. 4，7，11 D. 4，7，12 【答案】B 【分析】 本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】 解：A、，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意； C、，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）适当进行有氧运动、可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一性质是解题关键； 根据三角形具有稳定性解答， 【详解】 双人漫步机的支架为三角形， 这种设计应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A 11．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 1cm，3cm，3cm B. 2cm，5cm，6cm C. 8cm，6cm，4cm D. 14cm，7cm，7cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【详解】解：A、∵1+3＞3，∴能构成三角形，不符合题意； B、∵2+5＞6，∴能构成三角形，不符合题意； C、∵6+4＞8，∴能构成三角形，不符合题意； D、∵7+7＝14，∴不能构成三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形三边关系，熟记三边关系定理是解题关键. 12．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，11 D. 5，6，10 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和必须大于第三边．通过计算每个选项中最小的两边之和与第三边比较，即可判断是否能组成三角形． 【详解】 解：A项：，不大于3，∴不能组成三角形； B项：，∴不能组成三角形； C项：，∴不能组成三角形； D项：，且，，∴能组成三角形． 故选：D． 13．（25-26学年八上·天津河西·期中）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 5，7，2 B. 5，9，3 C. 5，7，3 D. 5，10，5 【答案】C 【分析】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 14．（25-26学年八上·天津南开·期中）若三角形的三边长分别为2，7，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解a的范围即可． 【详解】 解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴， 即 故选：D． 15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（       ） A. 7米 B. 8.8米 C. 15.5米 D. 26米 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.连接，在中，，可得的范围，然后对照选项即可. 【详解】 解：∵米，米 ∴由三角形三边关系定理得： ∴ ∴选项D的距离是不可能的. 故选D. 16．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（     ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，则可用三角形的稳定性解释． 【详解】 解：用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 17．（25-26学年八上·天津北辰·期中）已知，三角形的三边分别为2，7，，则的值可能为（     ） A. 6 B. 9 C. 5 D. 4 【答案】A 【分析】 此题主要考查了三角形三边关系．根据三角形任意两边之和大于第三边，进而得出答案． 【详解】 解：三角形三边长分别为2，7，， ， 即：， 观察四个选项，只有6符合， 故选：A． 18．（25-26学年八上·天津部分·期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（       ） A. 11 B. 14 C. 19 D. 14或19 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用以及等腰三角形的定义；等腰三角形有两条边相等，需分情况讨论哪边为腰、哪边为底，并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】 解：设等腰三角形两边长分别为3和8； ①若腰为3，底为8，则三边为3、3、8； ∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形； ②若腰为8，底为3，则三边为8、8、3； ∵ ，，满足三边关系， ∴ 可以构成三角形； 周长为. 故选：C. 19．（25-26学年八上·天津部分·期中）已知三角形三边的长分别是3，7，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查三角形三边关系，利用三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求解a的取值范围． 【详解】 ∵ 三角形三边长为3, 7, a， ∴ 由三角形三边关系，有：， 得， 故选：A． 20．（25-26学年八上·天津部分·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 21．（25-26学年八上·天津河东·期中）三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】 解：根据题意得：， 即x的取值范围是． 故选：C 22．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（       ） A. 5，11，7 B. 8，8，16 C. 10，5，4 D. 6，7，14 【答案】A 【分析】 本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析，实际判断时即两个较小边的和大于第三边即可． 【详解】 解：A、，能组成三角形，故本选项符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】 解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 24．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（       ） A.  B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】 解：A、用到了三角形的稳定性，不符合题意， B、用到了三角形的稳定性，不符合题意， C、用到了三角形的稳定性，不符合题意， D、用到了四边形的不稳定性，符合题意， 故选：D． 25．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断． 【详解】 解：A.，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； B. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； D. ，故这三根木棒能构成三角形，符合题意； 故选：D． 26．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（     ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A 【详解】 当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形， 当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17. 故选：A. 27．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，设第三边为x,可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： 7﹣3＜x＜7+3， 则4＜x＜10， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边大于已知的两边的差，而小于两边的和． 28．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（       ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10 【答案】B 【分析】 等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】 解：① 当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去． ② 当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 29．（25-26学年八上·天津西青·期中）一个三角形的两边长为2和3，则第三条边的长可以是　　　　　　  写出一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，第三边大于两边之差且小于两边之和． 【详解】 解：设第三边长为c，根据三角形三边关系，有，即， 因此，第三边的长可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 30．（25-26学年八上·天津南开·期中）等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是　　　　　　cm． 【答案】12 【分析】 因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】 解：① 当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形， 周长为； ② 当为腰时， 其它两边为和， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 31．（25-26学年八上·天津北辰·期中）若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】 解：① 若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ② 若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】 ∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】 本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 33．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的　　　　　　. 【答案】三角形的稳定性 【分析】 利用三角形的稳定性的性质直接回答即可． 【详解】 解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 34．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）若在中，，，．则的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】 解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 35．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】 解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形； 当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是、、，所以第三边是． 故答案为：8． 36．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）设a，b，c是的三边，化简：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】 解：∵a，b，c分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值化简，正确去绝对值是解题关键． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·天津西青·期中）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 2．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，钝角中，边上的高是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据三角形高的定义即可解答． 【详解】 解：如图，钝角中，边上的高是． 故选C． 3．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【分析】 本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】 解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 4．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】 解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 5．（25-26学年八上·天津南开·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】 解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 6．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（     ） A.  B.  C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形中线的性质．由三角形中线的性质可得被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，据此解答即可求解． 【详解】 解：连接， ∵点分别是线段的中点， ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， ∴阴影部分的面积是， 故选：C． 7．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】 解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故选：A． 8．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，点F是的重心，与的延长线分别交于D，E，连接，若的面积为10，则的面积为（     ） A. 1 B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据点F是的重心，得到为的中线，根据三角形的中线平分面积，即可得出结果． 【详解】 解：∵点F是的重心， ∴为的中线， ∴，， ∴是的中线， ∴； 故选C． 9．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】 解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角，  垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】 根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 11．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积即可得出结果． 【详解】 解：∵是的中线， ∴； ∵是的中线， ∴； 故选C． 12．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 13．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，，再得到，所以即可得出. 【详解】∵D为BC的中点 ∴， ∴ ∴+=+= ∴==×3=8 故选D 【点睛】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键. 14．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． （1）____________； （2）____________； （3）若，，则______，则______． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在中，是中线， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）已知D、E分别是 的边和的中点，若的面积是，则的面积为　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系． 【详解】 解：∵D、E分别是 的边和的中点，， ∴． 同理，． 故答案为8． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，注意根据三角形的面积公式，在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可求出阴影部分面积． 【详解】 解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：2． 17．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． 【答案】； 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线定义，直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 由是高可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数． 【详解】 解：在中， ． 又， ． 是的平分线，， ． ． 18．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点均在小正方形的顶点上．请用无刻度直尺完成以下任务： （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）解：如图，即为所求；     （3）4      【分析】 本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）根据中点的定义和网格特点，取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线将三角形分成面积相等的两部分，求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：， ∵为的中线， ∴的面积， 故答案为：． ． 19．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，，其中． （1）求和的度数； （2）若与的周长差为3，，求的长． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质即可求出；由三角形内角和定理即可求出； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：是中点， ， 与的周长差为3，， ， ， ， ． 20．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 21．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为，再由等面积法计算即可得解． 【详解】 解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ∴，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·天津北辰·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（     ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理，三角形外角和定理．判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数． 【详解】 解：A、不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； B、最大的内角为，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，此时，又，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、三个外角的度数分别为，则三个内角的度数分别为，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，与的角平分线相交于点，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线定义可得，即可求得． 【详解】 解：∵， ∴． 又，分别平分和， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 3．（25-26学年八上·河北·期中）已知中，、、三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是（       ） A. 2：3：4 B. 1：2：3 C. 4：3：5 D. 1：2：2 【答案】B 【分析】 根据三角形内角和定理分别求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】 解：A、∵中，， ∴，， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵中，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵中，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； ∵中，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 4．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，中，，若沿图中虚线截去，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，根据三角形的内角和定理为180度，四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】 解：∵中，， ∴， ∴； 故选B． 5．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理应用，根据，，求出，，根据角平分线定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，最后求出即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 【详解】 解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（       ） A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 【答案】A 【详解】 由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案． 解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE， ∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE， ∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE， 即∠1+∠2＝2∠A， ∵∠1+∠2＝120°， ∴∠A＝60°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB） ＝（180°﹣∠A） ＝90°﹣∠A． ∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）， ＝180°﹣（90°﹣∠A） ＝90°+∠A ＝90°+×60° ＝120°． 故选：A． 【点睛】 本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 8．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）一个三角形三个内角之比为，则最大的角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，将按比例分配，计算最大角对应的度数即可． 【详解】 解：∵三角形内角和为，且三个内角之比为， ∴ 总份数为份， 最大角对应5份， ∴最大角的度数为． 故答案为：D． 9．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 10．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】 解：， ， 、分别是平分、， ，， ， ． 故选：D． 11．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 【答案】C 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大的角的度数． 【详解】设三个内角的度数分别为2k，3k，7k. 则2k+3k+7k=180， 解得k=15， ∴2k=30,3k=45,7k=105， ∴这个三角形最大的角等于105. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理. 12．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了方向角，平行线的性质，三角形的内角和定理，理解方向角的定义，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．根据方向角的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， 故选：． 14．（25-26学年八上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A. 如图①所示，过点作 B. 如图②所示，过点作 C. 如图③所示，过点作、垂足为点 D. 如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】 解：如图① 所示，过点作， ，， ， 故图① 能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图② 能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③ 所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④ 所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④ 能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 15．（25-26学年八上·河北·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为　　　　　　　　． 【答案】75 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由，，再结合三角形的内角和定理解答即可. 【详解】 解：如图， 由题意可得：，， ∴， 故答案为： 16．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】 解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 18．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，垂足为，，． （1）求的度数； （2）若是的平分线，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ (2) 小问详解： ∵是的平分线， ∴ 在中， ∴ 19．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】?度 【分析】 证明，可得结论． 【详解】 解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是发现． 20．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，在中，，，分别是，的角平分线． （1）当时，求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角的平分线的概念和三角形的内角和定理，熟知内角和定理是解题的关键． （1）根据已知角和三角形的内角和定理，求出三角形的，再根据，分别是，的角平分线，得，，最终根据三角形的内角和为求解即可． （2）仿造（1）中的解题思路和过程得，再利用整体思想即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，是边上的高． （1）求的度数和的度数； （2）若，是角平分线，且，相交于点，求的度数． 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的高的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用三角形高的定义即可求解； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，， ． ∵是边上的高，即， ． ； (2) 小问详解： 解：∵在中，，，，是角平分线， ， ． 22．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）平分交于，于点，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴； (2) 小问详解： 解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． (1) 小问详解： 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， (2) 小问详解： ， ， 、是角平分线， ， ． 24．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解：，， ∴， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，，，，是高， ， 即， ． 25．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　　　　　　． 【答案】M度 【分析】 本题主要考查了方向角和平行线的性质，先根据题意得到，则由方位角的定义和平行线的性质得到，再分别求出，，进而求出，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：，是正南和正北方向， ， 处在处的南偏西方向， ， 处在处的南偏东方向， ， ， 又处在处的北偏东方向， ， ， ． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． （1）若将按如图1所示方式摆放，则的度数； （2）若将按如图2所示方式摆放，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和定理的应用． （1），利用三角形的内角和定理求出和即可； （2），利用三角形的内角和定理求出和即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 27．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）在中，，高、所在的直线相交于点，则　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理以及对顶角相等，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 本题中因为“高、所在的直线相交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论，当交点在三角形内部时，当交点在三角形外部时，求证即可． 【详解】 解：本题要分两种情况讨论如图： ① 当交点在三角形内部时（如图1）， 在四边形中，， 根据四边形内角和等于得，． 故． ② 当交点在三角形外部时（如图2）， 在中，， 故， ∵， 在中，， ∴，即． 故答案为：或． 28．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． （1）的度数为_______； （2）请用无刻度的直尺，确定的重心； （3）请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 【答案】（1）     （2） 如图，点为的重心．      （3）如图，点即为所求；      【分析】 本题考查三角形的内角和，三角形的重心与中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求解即可 （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点，由点F为的中点，点E为的中点，得到点为的重心． （3）根据三角形的中线的交点即为三角形的重心，即可解答． (1) 小问详解： 解：由图，得， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点； ∵是矩形， ∴点F为的中点， 同理可得，点E为的中点， ∴点为的重心． (3) 小问详解： 连接并延长，交于点即为所求． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·天津南开·期中）将两把直尺如图放置，若，则的度数等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了邻补角，三角形外角的性质．由题意可知，，由邻补角可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：如图，标记角， 由题意可知，， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】 解：由图可知，， ， ． 故选：C． 3．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，在三角形纸片中，，点在上．沿将该纸片折叠，使点落在边上的点处．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了折叠的性质，三角形外角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．根据折叠的性质可得，，再根据三角形外角性质求得，从而得，然后由邻补角即可求解． 【详解】 解：根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，中，为延长线上一点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】 解：根据题意可得，， 解得， 故选B． 5．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】 ∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】 本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 6．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】 解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 7．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，和是的外角．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了邻补角的性质，三角形的外角性质，由邻补角的性质可得，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】 解：如图， ， ． 故选：． 9．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】 解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．（25-26学年八上·河北·期中）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】 解：① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ② ∵， ∴， ∵平分，， ∴，故②正确； ③ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的有① ② ③，共3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 11．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 【答案】C 【详解】∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选C． 12．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】 解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，若，，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．由三角形的外角性质推出，，由角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 14．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，为边上的高，平分，与交于点E，与交于点F，若，，求和的大小． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．由，结合平分，可求；再结合三角形内角和可求． 【详解】 解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，点在的边的延长线上．若，，则的度数为　　　　　　． 【答案】120 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为　　　　　　　　． 【答案】39° 【分析】 根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE＝∠ABD+∠A，代入即可求出答案． 【详解】 解：∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝110°， ∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠ADE＝149°， ∴∠A＝39°． 故答案为：39° 【点睛】 本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键． 17．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　　　　． 【答案】20° 【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠ABF＝50°是解答此题的关键． 18．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在中，，的平分线交于点， ． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据角平分线得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ∵是的平分线， ∴ 19．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 【答案】； 【分析】 本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系．先由三角形内角与外角的关系可求，再根据三角形的内角和可求，最后由直角三角形可求． 【详解】 解：∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴； ∵是高， ∴， ∴． 20．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图1，的值为　　　　　　；如图2，的值为　　　　　　；如图3，的值为　　　　　　． 【答案】① 54    ② 40    ③ 60 【分析】 本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质． 图1根据三角形内角和，图2、3根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】 解：图1：由图可知，解得； 图2：由图可知，解得； 图3：由图可知，解得； 故答案为：，，． 21．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 度 【分析】 本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】 解：， ， ， . 故答案为：. 22．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】 根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，利用三角形内角和求出∠B的度数，由此得到∠ADE的度数，利用三角形外角性质求出∠ADC，即可得到答案． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角定理，正确分析图形掌握各角直角的位置关系是解题的关键． 23．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据外角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．【答案】6cm或7cm 【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，验证即可. 【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，符合三角形三边关系， ∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，符合三角形三边关系， 故答案为6cm或7cm. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长． 2．【答案】4 【详解】 解：∵△BDE由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°． ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE． ∴∠A=30°． 在Rt△ABC中，∵AC=6， ∴BC=AC•tan30°=6×=2． 设BE=x，则CE=6﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x， ∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4． ∴折痕BE的长为4． 故答案为：4 考点02 三角形的边 1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．C 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．D 13．C 14．D 15．D 16．D 17．A 18．C 19．A 20．C 21．C 22．A 23．C 24．D 25．D 26．A 27．C 28．B 29．【答案】2（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，第三边大于两边之差且小于两边之和． 【详解】 解：设第三边长为c，根据三角形三边关系，有，即， 因此，第三边的长可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 30．【答案】12 【分析】 因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】 解：① 当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形， 周长为； ② 当为腰时， 其它两边为和， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 31．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】 解：① 若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ② 若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 32．【答案】7 【分析】 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】 ∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】 本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 33．【答案】三角形的稳定性 【分析】 利用三角形的稳定性的性质直接回答即可． 【详解】 解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】 解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 35．【答案】8 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】 解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形； 当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是、、，所以第三边是． 故答案为：8． 36．【答案】 【分析】 直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】 解：∵a，b，c分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值化简，正确去绝对值是解题关键． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．C 11．C 12．B 13．D 14．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在中，是中线， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 15．【答案】8 【分析】 根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系． 【详解】 解：∵D、E分别是 的边和的中点，， ∴． 同理，． 故答案为8． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，注意根据三角形的面积公式，在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比． 16．【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可求出阴影部分面积． 【详解】 解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：2． 17．【答案】； 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线定义，直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 由是高可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数． 【详解】 解：在中， ． 又， ． 是的平分线，， ． ． 18．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）解：如图，即为所求；     （3）4      【分析】 本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）根据中点的定义和网格特点，取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线将三角形分成面积相等的两部分，求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：， ∵为的中线， ∴的面积， 故答案为：． ． 19．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质即可求出；由三角形内角和定理即可求出； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：是中点， ， 与的周长差为3，， ， ， ， ． 20．【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 21．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为，再由等面积法计算即可得解． 【详解】 解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ∴，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 考点04 三角形的内角 1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．A 8．D 9．B 10．D 11．C 12．C 13．C 14．C 15．【答案】75 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由，，再结合三角形的内角和定理解答即可. 【详解】 解：如图， 由题意可得：，， ∴， 故答案为： 16．【答案】 【分析】 本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】 解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 17．【答案】， 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ (2) 小问详解： ∵是的平分线， ∴ 在中， ∴ 19．【答案】?度 【分析】 证明，可得结论． 【详解】 解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是发现． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角的平分线的概念和三角形的内角和定理，熟知内角和定理是解题的关键． （1）根据已知角和三角形的内角和定理，求出三角形的，再根据，分别是，的角平分线，得，，最终根据三角形的内角和为求解即可． （2）仿造（1）中的解题思路和过程得，再利用整体思想即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 21．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的高的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用三角形高的定义即可求解； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，， ． ∵是边上的高，即， ． ； (2) 小问详解： 解：∵在中，，，，是角平分线， ， ． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴； (2) 小问详解： 解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． (1) 小问详解： 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， (2) 小问详解： ， ， 、是角平分线， ， ． 24．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解：，， ∴， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，，，，是高， ， 即， ． 25．【答案】M度 【分析】 本题主要考查了方向角和平行线的性质，先根据题意得到，则由方位角的定义和平行线的性质得到，再分别求出，，进而求出，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：，是正南和正北方向， ， 处在处的南偏西方向， ， 处在处的南偏东方向， ， ， 又处在处的北偏东方向， ， ， ． 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和定理的应用． （1），利用三角形的内角和定理求出和即可； （2），利用三角形的内角和定理求出和即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ． 27．【答案】或 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理以及对顶角相等，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 本题中因为“高、所在的直线相交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论，当交点在三角形内部时，当交点在三角形外部时，求证即可． 【详解】 解：本题要分两种情况讨论如图： ① 当交点在三角形内部时（如图1）， 在四边形中，， 根据四边形内角和等于得，． 故． ② 当交点在三角形外部时（如图2）， 在中，， 故， ∵， 在中，， ∴，即． 故答案为：或． 28．【答案】（1）     （2） 如图，点为的重心．      （3）如图，点即为所求；      【分析】 本题考查三角形的内角和，三角形的重心与中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求解即可 （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点，由点F为的中点，点E为的中点，得到点为的重心． （3）根据三角形的中线的交点即为三角形的重心，即可解答． (1) 小问详解： 解：由图，得， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点； ∵是矩形， ∴点F为的中点， 同理可得，点E为的中点， ∴点为的重心． (3) 小问详解： 连接并延长，交于点即为所求． 考点05 三角形的外角 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．B 14．【答案】， 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．由，结合平分，可求；再结合三角形内角和可求． 【详解】 解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 15．【答案】120 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 16．【答案】39° 【分析】 根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE＝∠ABD+∠A，代入即可求出答案． 【详解】 解：∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝110°， ∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠ADE＝149°， ∴∠A＝39°． 故答案为：39° 【点睛】 本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键． 17．【答案】20° 【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠ABF＝50°是解答此题的关键． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据角平分线得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案． (1) 小问详解： (2) 小问详解： ∵是的平分线， ∴ 19．【答案】； 【分析】 本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系．先由三角形内角与外角的关系可求，再根据三角形的内角和可求，最后由直角三角形可求． 【详解】 解：∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴； ∵是高， ∴， ∴． 20．【答案】① 54    ② 40    ③ 60 【分析】 本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质． 图1根据三角形内角和，图2、3根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】 解：图1：由图可知，解得； 图2：由图可知，解得； 图3：由图可知，解得； 故答案为：，，． 21．【答案】 度 【分析】 本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】 解：， ， ， . 故答案为：. 22．【答案】 【分析】 根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，利用三角形内角和求出∠B的度数，由此得到∠ADE的度数，利用三角形外角性质求出∠ADC，即可得到答案． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角定理，正确分析图形掌握各角直角的位置关系是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据外角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $