专题05 等腰三角形、等边三角形（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期

**基本信息** 本试卷为八年级上册期中等腰三角形与等边三角形专题汇编，整合天津、河北多地区期中真题，覆盖两大核心考点，题型多样且梯度分明，注重几何直观与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约30题|等腰三角形性质判定、等边三角形性质、垂直平分线应用|结合尺规作图（如角平分线作图）、多结论判断（如三角形全等与轴对称关系）| |填空|约20题|等腰三角形角度计算、等边三角形旋转综合、动点最值|设置折叠问题（如等腰三角形折叠后角度关系）、网格作图（如格点等腰三角形找点）| |解答|约15题|全等证明、动态几何（如动点路径分析）、实际应用（如房梁水平检测）|设计分层探究题（如点D运动中角度关系），融合转化思想（如对称法求最值）|

专题05 等腰三角形、等边三角形 2大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·天津部分·期中）下列命题是真命题的是（       ） A. 直角三角形两锐角互补 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26学年八上·河北·期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（       ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 5．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（   ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A＝30°，∠B＝60° B. ∠A＝40°，∠B＝80° C. ∠A＝50°，∠B＝65° D. ∠A＝60°，∠B＝70° 8．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知等腰三角形一个内角的度数是，则该等腰三角形底角的度数为（　 　）． A.  B.  C. 或 D. 或 9．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在等腰三角形空地上种植某种草皮．已知，，若这种草皮每平方米的售价是n元，则购买这种草皮至少花费（   ）元． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，，的垂直平分线交于D，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（       ） A. 6 B. 7 C.  D.  17．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 18．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（     ） A. 5 B.  C. 12 D.  19．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·河北·期中）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 22．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(       ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 24．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 25．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若，，则的周长是（     ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 26．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合 D. 等腰三角形平分线与底边上的中线重合 27．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 28．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（       ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 29．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（     ）个． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 12 32．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是的中线，过点D作，与相交于点E，连接，恰好有平分，若，则的长是（    ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 33．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 34．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 36．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，，则　　　　　　． 37．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，，则的大小是　　　　　　 （度）． 38．（25-26学年八上·天津河西·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为　　　　　　度． 40．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为　　　　　　． 41．（25-26学年八上·河北·期中）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形． 42．（25-26学年八上·河北·期中）如图，已知，，，则的长等于　　　　　　． 43．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有　　　　　　． 44．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为 　　　　　． 45．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为　　　　　　． 46．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB． 我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明． 已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC． 求证：∠APB ＝∠AOB． 47．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为　　　　　　度． 48．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 49．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是　　　　　　  ． 50．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是等边三角形的中线，，则　　　　　　． 51．（25-26学年八上·天津南开·期中）在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为17． （1）如图1，求线段的长； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，连接，，，若的周长为36，求线段的长（直接写出结果即可） 52．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积=　　　　　　； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，，，，，点是的中点．则的长为　　　　　　． 54．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，已知是上一点，线段与线段相交于点，，，． （1）若，求的大小； （2）求证平分． 55．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．说明：图中仅点A，B，C在格点上，所有作图在网格内完成． （1）作的角平分线； （2）画格点H，使． （3）在线段上画一点G，使． 56．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，点分别在边上，且．求的度数． 57．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）求线段的长． （2）若，求的度数； （3）连接，，，若的周长为，求线段的长． 58．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． （2）如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 60．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 61．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若为的中点，为上一动点，当的周长取得最小值时，的面积为　　　　　． 62．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的大小． 63．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　　　　　　． 64．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 66．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 68．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE． 求证：（1）∠EAC＝∠DBC； （2）BD平分∠ABC． 69．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）在中，，点D是直线上一动点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接，设． （1）当点D在线段上，如图1，如果，则               度． 当点D在线段上，如图2，如果，则               度． 当点D在线段上，如图3，，之间的数量关系是：               ． （2）当点D在线段延长线上时，如图4，猜想，之间的数量关系并证明． （3）当点D在线段延长线上时，如图5，猜想，之间的数量关系并证明． 70．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，，于点C，若，则　　　　　． 71．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 72．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1）　　　　　　（度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　． 73．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）填空：__________，的度数为__________； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形；求的度数； （4）若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 74．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，点D在上，且，，则的度数为　　　　　　　　． 75．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 76．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，，是边上的高，则的度数是　　　　　　． 77．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有　　　　　个． 78．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是　　　　　　． 79．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为　　　　　　　　　　 80．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，，，交于点D，若，则的长是　　　　　　  ． 81．（25-26学年八上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，，，．动点，连接，过点作，垂足为点，过点作轴，直线与直线相交于点，， （1）如图1，若，求证：，且； （2）连接，直线与直线相交于点，点，直线与直线相交于点． ①如图2，若，求点的横坐标； ②若，请用含的式子表示的大小（直接写出结果即可）． 82．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，． （1）平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） （2）点为的中点，交于点，求的度数； （3）点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 83．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．        （1）求证：； （2）如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 84．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是　　　　　　． 85．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）等腰，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求点的坐标； （3）如图3，点，两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 86．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）平面直角坐标系中，点，轴于点，且满足． （1）直接写出、两点坐标及的形状； （2）如图2，若为线段的中点，连接，并作且，连接交轴于点，求点的坐标； （3）如图3，若为轴负半轴上的动点（在点左侧），以为一边作交轴负半轴于点，连接，在点运动过程中，猜想的值是否发生变化？若不变求其值，若发生变化，求其变化的范围． 87．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，的顶点、、均在格点上． （1）　　　　　； （2）在这个的网格中，找出格点，使为等腰三角形，满足条件的格点有　　　　　个； （3）在边上有一点，且，请用无刻度直尺在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）　　　　　． 考点02 等边三角形 1．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于3，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（       ） A. 8＋2m B. 8＋m C. 6＋2m D. 6＋m 11．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（        ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在等边三角形中，，，则的长为　　　　　． 16．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列命题的逆命题正确的是　　　　　（只填序号） ①三边对应相等的两个三角形全等；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④等边三角形的三个内角相等 18．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． （1）如图1，当点E为线段的中点时，求证：； （2）如图2，当时，求度数． 19．（25-26学年八上·天津西青·期中）已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标______，______，______； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小．在图中画出点P的位置，并简要说明是怎样找到的．（请在同一个平面直角坐标系中完成第（1）（3）题的画图） 20．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 21．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在边长为的等边三角形中，P，Q分别是射线上的动点，点P从顶点A出发，同时点Q从顶点B出发，且它们的运动速度都是． （1）如图①，当点P，Q分别在边上运动时，连接，且与交于点M． ①求证： ； ②在点P，Q运动的过程中的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出的大小； （2）设点P的运动时间为，当是直角三角形时，t的值为______； （3）如图2，当点P，Q分别在线段的延长线上运动时，直线交于点M，请直接写出的大小______（度）． 22．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 24．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求，，的数量关系． 25．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，中，，点是三角形右外一点，且． （1）如图1，若，点恰巧在的平分线上，，求的长； （2）如图2，若，探究，，的数量关系，并证明． 26．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为　　　　　． 27．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　　　　　．　 28．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 29．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 30．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图1，已知等边，点在线段上，连接，作点关于的对称点，连接，在上取一点使得，连接，交于点． （1）连接，，则，之间的数量关系是________； （2）①设，求的大小；（用含的式子表示） ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 31．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）（多选）如图，点O是等边△ABC内一点，，．△COD为等边三角形，连接OD、AD． （1）求证：△BCO≌△ACD； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 32．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形、等边三角形 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．C 13．C 14．B 15．D 16．B 17．C 18．A 19．B 20．D 21．C 22．D 23．B 24．D 25．B 26．C 27．C 28．C 29．C 30．A 31．B 32．C 33．D 34．A 35．B 36．【答案】6 【分析】 本题考查了30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 故答案为：6 37．【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 则的大小为， 故答案为：40． 38．【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 39．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．【答案】11 【分析】 此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点E，连接，由，的面积是18，求得，由垂直平分，得，由，可知当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，的值最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作于点E，连接，则， ∵，的面积是18， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当，且的值最小时，的值最小， ∴当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，，此时的值最小， ∴， ∴当的值最小时，周长为11， 故答案为：11． 41．【答案】证明：∵DE∥AC， ∴∠1＝∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形． 【分析】 直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出是解题关键． 42．【答案】4 【分析】 本题考查含角的直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半；熟记性质是解题关键． 根据角所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：4． 43．【答案】① ② ④ 【分析】 根据尺规作圆可判定① ；根据尺规作垂直平分线可判定② ；根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理平角的性质可判定③ ；根据线段的等量关系可判定④ ；由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，连结， ∵以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，故① 正确； 分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，两直线恰好经过点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，故② 正确； 由② 正确可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③ 错误； ∵，， ∴在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图的知识，数形结合分析思想是解题的关键． 44．【答案】6 【分析】 由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE=30°， ∵EC=1.5， ∴CD=2EC=3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD=CD=3， ∴AB=AC=AD+CD=6． 故答案为：6． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．掌握等边三角形的性质是解题的关键． 45．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 46．【答案】证明：， 为等腰三角形， ， 由外角的性质得：， ， 再由外角的性质得：， ， ． 【分析】 由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解． 47．【答案】 【分析】 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接， 等腰中，，， ， 是的平分线， ， 又是的中垂线， ， ， 垂直平分线段， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠问题，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可； （2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 49．【答案】6 【分析】 本题考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，得，则，所以，由垂线段最短可知，当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：， ， 垂直平分， ， ， 当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为， ， ， ， 故答案为： 50．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 51．【答案】（1）；     （2）的度数为     （3）．      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为36，求出的长，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为17，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为36，即， ∴， ∴， ∴． 52．【答案】①     ② 作图见解析；利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】 本题考查了网格中求三角形的面积，全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定； （Ⅰ）在网格中，用正方形的面积减去三个三角形的面积； （Ⅱ）利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】 解：（Ⅰ）的面积为：， 故答案为：16； （Ⅱ）如图所示：利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 53．【答案】6 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用直角三角形的性质得到，然后解题即可． 【详解】 解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 54．【答案】（1）；     （2） 证明：∵， ， ， ， ， 平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点． （1）由已知条件可证得，于是可得，即可求解； （2）由，可得，等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． (1) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， ∴； (2) 小问详解： 证明：略． 55．【答案】（1） 的角平分线如图所示：      （2）格点H，使，如图所示；     （3）在线段上画一点G，使，如图所示．      【分析】 本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征以及等腰三角形的三线合一，即可作答． （2）设每个网格边长为1，根据勾股定理，得，，又因为勾股逆定理，得，则是等腰直角三角形，故； （3）结合（2）得是等腰直角三角形，则，即与的交点记为G点，故，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 56．【答案】的度数为，的度数为 【分析】 设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而求出，最后可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 57．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 58．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 59．【答案】（1） 证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴；     （2）①，② 不变，4      【分析】 本题考查的是坐标与图形综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明三角形全等是解题的关键． （1）用证明，即可求解； （2）①证明，即可求解； ② 点D为的中点，则，而，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 线段， 理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ② 式子的值不发生改变， 理由如下：， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴． 60．【答案】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 略 61．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，连接，可推出的周长，求得；由题意得，即可求解； 【详解】 解：连接，如图所示： 由题意得：， ∵的周长， 又的周长的最小值为， ∴， ∴； ∵，为的中点， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 62．【答案】（1） 证明：的垂直平分线交于点， ， ；     （2）；      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，进而可得结论； （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，利用角的和差求的度数，最后根据，求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由（1）得， ， ， ∵垂直平分， ， ． 63．【答案】40° 【详解】 解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 64．【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵，，的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 65．【答案】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【分析】 求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】 略 66．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ① 当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ② 当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 67．【答案】（1）30°     （2）1      【分析】 （1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案； （2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可． (1) 小问详解： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠EAD， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 设∠CAD=x，则3x=90°， ∴x=30°， ∴∠CAD=30°； (2) 小问详解： ∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， 设DC=y，则DE=y，BD=3-y， 又∵∠B=30°， ∴y=， 解得y=1， ∴DE=1． 【点睛】 本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质． 68．【答案】证明：（1）∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°， 又∵∠ADE＝∠BDC， ∴∠EAC＝∠CBD． （2）延长AE、BC交于点M， 在△ACM和△BCD中， ， ∴△ACM≌△BCD（ASA）， ∴AM＝BD． ∵BD＝2AE，AE＋EM＝BD， ∴AE＝ME，即E为AM中点 ∵BE⊥AM， ∴EB垂直平分AM ∴BA＝BM， ∴BE平分∠ABC． 【分析】 （1）由∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°，因为∠ADE＝∠BDC，即可推出∠EAC＝∠CBD． （2）延长AE、BC交于点M，由△ACM≌△BCD（ASA），推出AM＝BD，由BD＝2AE，AE＋EM＝BD，推出AE＝ME，即E为AM中点，再根据垂直平分线与等腰三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 69．【答案】（1）90，120，；     （2） 解： 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ，即；     （3） 解：， 证明：， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，即．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质得到，结合三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得到，即可得出答案； （3）证明，得到，结合三角形内角和定理即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 当时，， ∴， ∴，即， 当时，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， 故答案为：90，120，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 70．【答案】4 【分析】 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】 解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 71．【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 72．【答案】① 45    ② 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作 【分析】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键． （1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】 解：（1）由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 73．【答案】（1），     （2）4     （3）度或度或度     （4）      【分析】 （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据线段中点的性质即可得出，根据角平分线的定义得出的度数； （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点M作，作点P关于的对称点，根据题意可得，，可证明，则，因此，以此得出当点E、M、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴，， ∵点是边的中点 ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：∵四边形为轴对称图形，平分， ∴对称轴为直线 ∴； (3) 小问详解： 解：∵平分， ∴， 当时， ， ∴； 当时， 当时， ； 综上，的度数度或度或度． (4) 小问详解： 解：如图，点在上，且，作点关于的对称点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 又∵根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、三点共线时，的值最小是解题关键． 74．【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由得，由得，，从而可推出，根据三角形的内角和定理即可求得的度数，然后根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 75．【答案】（1）见解答     （2）      【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． (1) 小问详解： 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2) 小问详解： 解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 76．【答案】度 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是要明确等腰三角形的性质． 根据，判断出，然后根据三角形的内角和定理，求出的度数；最后用减去的度数，求出的度数是多少即可． 【详解】 解：， ， ， 是边上的高， ， ． 故答案为：． 77．【答案】6 【分析】 当AB=AP，AB=BP，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】 （1）分别以点A、B为圆心，AB为半径画⊙A和⊙B，两圆和两坐标轴的交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）； （2）作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次）． 如下图，符合条件的点P共有6个． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 78．【答案】6 【分析】 先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 79．【答案】72°或54° 【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可． 【详解】等腰三角形的一个外角为108°， ∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°， ① 72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°， ② 72°角是底角时，底角为72°， 综上所述，其底角的度数为54°或72°． 故答案为54°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解． 80．【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 故答案为：9． 81．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且；     （2）① 点的横坐标为；②．      【分析】 （1）证明，利用全等三角形的性质求解即可； （2）① 作于点，求得，，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可到得点的横坐标为； ② 先判断点在延长线上，证明，推出，求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴点，， 作于点， ， ∴点，， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为； ② 当时， ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点在延长线上， ∴， ∴， 由① 得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了图形与坐标，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质． 82．【答案】（1） 证明：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）      【分析】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 83．【答案】（1） 证明：平分， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ；     （2）8     （3） 解：，证明如下： 如图3，在的延长线上取一点，使，     平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）根据角平分线的对应点得出，进而证明，进一步证明，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，进而证明，得出，进一步证明，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，过点作于，     平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 84．【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ；由平分结合即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤ 符合题意． 综上，正确的是① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤． 85．【答案】（1） 如图， ，， ， ；     （2）     （3）的长度不会发生改变，的长度始终是9      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算 （1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点B作轴于D，再判定，求得，，进而得出，即可得到B点的坐标； （3）先过N作，交y轴于H，再证明，得出，，然后根据点，，求得，最后判定，得出，即可求得 (定值)． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点B作轴于D，则， 在和中， ， ， ，， ， 又∵点B在第三象限， ； (3) 小问详解： 解：的长度不会发生改变． 理由：如图，过N作，交y轴于H，则 ， ∵等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵点，， ∴，即， ， ， , ， ∴在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 86．【答案】（1），，为等腰直角三角形     （2）     （3） 解：不变，      【分析】 本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性、全等三角形的判定与性质，过点向坐标轴作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，可求点坐标，即可求解； （2）过点作于点，由“”可证，得，由“”可证，得，进而可求得即可求解； （3）过点作于，轴于，交轴，可由“” 可证，得，，由“”可证，得，由等式性质即可求解． (1) 小问详解： 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵轴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点； (3) 小问详解： 解：的值不变，理由如下： 如图，过点作于，轴于，交轴于， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 87．【答案】① 45    ② 5    ③ 如图，点D即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图，等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）取格点D，根据等腰直角三角形的性质，求出结果即可； （2）根据等腰三角形的定义，找出符合条件的格点，得出答案即可； （3）取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 【详解】 （1）解：取格点D，如图所示： ∵，， ∴， 故答案为：45； （2）当时，符合条件的格点有、；当时，符合条件的格点有、、；因此符合条件的格点有5个． 故答案为：5； （3）取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 理由：连接， ∵；， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 考点02 等边三角形 1．B 2．D 3．D 4．A 5．A 6．D 7．D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B 13．B 14．D 15．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得的长度． 【详解】 解：∵为等边三角形，且，， ∴D为的中点，且， ∴ , 故答案为：． 16．【答案】度 【分析】 本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 17．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了命题真假的判别，判断每个命题的逆命题是否正确，逆命题是将原命题的条件和结论互换后得到的新命题．根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质进行分析即可． 【详解】 解：①原命题：三边对应相等的两个三角形全等．逆命题：如果两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，逆命题正确； ②原命题：全等三角形的对应角相等．逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，逆命题错误； ③原命题：等腰三角形的两个底角相等．逆命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，逆命题正确； ④原命题：等边三角形的三个内角相等．逆命题：如果一个三角形的三个内角相等，那么这个三角形是等边三角形，逆命题正确，因为三角形内角和为，三个角相等则每个角为，所以是等边三角形． 故逆命题正确的是① ③ ④． 故答案为：① ③ ④． 18．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 点E为线段的中点， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等边三角形性质及点E为线段的中点得，，进而得，则，再根据三角形外角性质得，则，据此得出结论即可； （2）过点E作交的延长线于点F，证明是等边三角形得，进而得，再根据得，根据全等三角形判定和全等，得，则是等腰直角三角形，据此得出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 19．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2），，     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出，，三点的坐标； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短，此时的周长最小，点P即为所求． 20．【答案】（1） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE．     （2）90°．      【分析】 （1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 21．【答案】（1） ① 证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在等边三角形中，， 在与中， ， ∴， ②的大小不变，     （2）或     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）① 由可证；② 由全等可得，由外角的性质可求； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程可求解； （3）由可证，可得，由三角形内角和定理可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ②不变．理由如下： ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设时间为t秒，则（厘米），（厘米），如下图： ① 当时， ∵， ∴， ∴，得， ∴； ② 当时， ∵， ∴， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22．【答案】（1），     （2）；     （3）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，．      【分析】 （1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，     ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF.                        ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形，                               ∴，. ∴. ∴ .                             在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS）                                                 ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）                          ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE.                                                                       ∴． 【分析】 （1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】 （1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】 此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 24．【答案】（1）①；；②     （2）      【分析】 （1）① 根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ② 过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则， ∵的面积为， ∴，则， ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 故答案为：；； ② 如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．【答案】（1）     （2） 结论：PA+PC=PB． 理由：在上截取，使，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意得出为等边三角形，根据点P在的平分线上，则，根据得出； （2）在上截取，使，连接，证明和全等，从而得出，得出所求的答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵点P恰巧在的平分线上， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 26．【答案】100° 【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长= PP，然后得到等腰△OP1P2中，∠O PP+∠O PP=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°． 【详解】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P,连接PP，交OA于M，交OB于N，则    O P=OP=OP,∠OPM=∠MPO,∠NPO=∠NPO， 根据轴对称的性质,可得MP=PM,PN=PN，则 △PMN的周长的最小值=PP， ∴∠POP=2∠AOB=80°， ∴等腰△OPP中,∠OPP+∠OPP=100°， ∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°， 故答案为100° 【点睛】 此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 27．【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∥∥，以及，得出，，，进而得出答案； 【详解】 如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴∥∥，∥， ∴，， ∴， ∴，，， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为； 故答案是． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质和图形规律，准确分析计算是解题的关键． 28．【答案】（1）不变，     （2）或     （3）不变，．      【分析】 （）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． (1) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； (3) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 29．【答案】（1） 是直角三角形，理由： ∵和是等边三角形， ∴， ，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形；     （2）、、      【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先证明，，，再证明即可证明，利用全等三角形的性质与等边三角形的性质证明，从而可得答案； （2）先表示，， ，，再分三种情况讨论：① 当，② 当，③ 当，再建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ，， ① 当，∴， ∴， ∴； ② 当，∴， ∴， ∴； ③ 当，∴， ∴， ∴． 所以，当α为、、时，是等腰三角形． 30．【答案】（1）     （2）①； ②，理由如下： 如图所示，连接，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．      【分析】 （1）由轴对称的性质可得；证明是等边三角形，得到，则可得到； （2）① 由三角形外角的性质可得；则；据此求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可得，据此由平角的定义可得答案；② 连接，在上截取，连接，证明，得到；再证明，得到；进一步证明，得到，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，， 由轴对称的性质可得； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°， ∴∠ACB−∠ACO＝∠DCO−∠ACO． 即∠BCO＝∠ACD． 在△BCO和△ACD中：           ，              ∴△BCO≌△ACD． （2）解：当， △AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠BOC＝∠ADC， ∵∠BOC＝＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°−60°＝90°， ∴△ADO是直角三角形．         （3）当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【分析】 （1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC； （2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝， ∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠COD＝360°−110°−−60°＝190°−， ∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝−60°． ∴∠OAD＝180°−∠AOD−∠ADO＝180°−（190°−）−（−60°）＝50°． 当∠AOD＝∠ADO时，190°−＝−60°， ∴＝125°． 当∠AOD＝∠OAD时，190°−＝50°， ∴＝140°． 当∠ADO＝∠OAD时， −60°＝50°， ∴＝110°． 综上所述：当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质以及根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键． 32．【答案】（1）；等边     （2） 解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴；     （3） 解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则．      【分析】 （1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形、等边三角形 2大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形的性质．三角形的外角性质结合等边对等角求得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年八上·天津部分·期中）下列命题是真命题的是（       ） A. 直角三角形两锐角互补 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【分析】 本题考查命题真假的判断，需要根据直角三角形的性质、全等三角形的判定以及轴对称的性质等知识，对每个选项逐一进行分析． 判断各选项命题的真假：A混淆互补与互余；B举反例说明周长相等不全等；C全等三角形不一定轴对称；D是角平分线的性质定理． 【详解】 解：A.∵直角三角形两锐角互余（和为），而非互补（和为）， ∴A为假命题． B.∵例如等腰三角形边长5、5、2（周长12）与4、4、4（周长12）不全等， ∴B为假命题． C.∵全等三角形可通过平移、旋转重合，不一定轴对称， ∴C为假命题． D.∵角平分线上的点到角两边距离相等，是角平分线的性质， ∴D为真命题． 故选：D． 3．（25-26学年八上·河北·期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由角平分线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【详解】 解：∵分别平分，    ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年八上·河北·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（       ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 由作图知，可得，然后根据含直角三角形的性质求出和即可得出答案． 【详解】 解：由作图知，， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴, 故选：C． 【点睛】 本题考查了尺规作垂线，含直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 5．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】 解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 6．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（   ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】 解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】 题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 7．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A＝30°，∠B＝60° B. ∠A＝40°，∠B＝80° C. ∠A＝50°，∠B＝65° D. ∠A＝60°，∠B＝70° 【答案】C 【分析】 先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据等角对等边进行求解即可 【详解】 解：A、∠C＝180°−∠A−∠B＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项不符合题意； B、∠C＝180°−∠A−∠B＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，B选项不符合题意； C、∠C＝180°−∠A−∠B＝65°，则∠B=∠C，是等腰三角形，C选项符合题意； D、∠C＝180°−∠A−∠B＝50°，没有相等的角，则不是等腰三角形，，D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定定理和三角形内角和公式，理解等腰三角形的判定定理是关键． 8．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）已知等腰三角形一个内角的度数是，则该等腰三角形底角的度数为（　 　）． A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】 解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故选：C． 9．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质，可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 11．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在等腰三角形空地上种植某种草皮．已知，，若这种草皮每平方米的售价是n元，则购买这种草皮至少花费（   ）元． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质等腰三角形的性质，三角形外角定理，解决问题的关键是正确作出辅助线． 作边的高，设与的延长线交于点D，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求得，根据含度角的直角三角形的性质求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积，最后根据每平方米的售价求出结果即可． 【详解】 解：如图，作边的高，设与的延长线交于点D， ，， ， ，， ， ， 草皮每平方米的售价是n元， 购买这种草皮至少花费元． 故选：B． 12．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和等．根据题意可以得出，继而得到，再利用三角形内角和可得，即可得到本题答案． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，，，的垂直平分线交于D，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质．利用等边对等角，求出的度数，利用中垂线的性质，求出的度数，两角差即为的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 14．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线．首先连接，由的垂直平分线l交于点M，可得，又由，，证得，得出，，设，则， ，根据，求出，继而求得答案． 【详解】 解：如图，连接， ∵的垂直平分线l交于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】 解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 16．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（       ） A. 6 B. 7 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】 解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长 ， 故选B． 17．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，，由含角的直角三角形的性质得出，得出，，即可求出的长． 【详解】 解：连接，如图所示： ， ，， 的垂直平分线交于， ，， ， ， ， ， ． 故选C． 18．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（     ） A. 5 B.  C. 12 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 19．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，由，得，根据三角形外角性质可得，最后通过所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 20．（25-26学年八上·河北·期中）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、含角直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算即可解答； 【详解】 解：如图，过点作，交于点，如图所示： 点在的平分线上，， ， ，， ； 故选：D 21．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG． 【详解】 解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BD＝CD．故① 正确； 在Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DCA． 又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， ∴△DFB≌△DAC． ∴BF＝AC；DF＝AD． ∵CD＝CF+DF， ∴AD+CF＝BD；故② 正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． 又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC． ∴CE＝AE＝AC． 又由（2），知BF＝AC， ∴CE＝AC＝BF；故③ 正确； 连接CG． ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD 又DH⊥BC， ∴DH垂直平分BC． ∴BG＝CG 在Rt△CEG中， ∵CG是斜边，CE是直角边， ∴CE＜CG． ∵CE＝AE， ∴AE＜BG．故④ 错误． ∴正确的选项有① ② ③ ； 故选：C． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点． 22．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(       ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 【答案】B 【详解】 ∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选B． 24．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分二种情况进行讨论： 当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点； 当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4个． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂． 25．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若，，则的周长是（     ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线，平行线，等腰三角形的判定和性质，证是解题的关键．先根据角平分线和平行线证得，再根据等角对等边得出，最后得出的周长即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ， ， ， ， ， 的周长 ， 的周长， 故选：． 26．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合 D. 等腰三角形平分线与底边上的中线重合 【答案】C 【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是个等腰三角形， ∴AC=BC， ∵点O是AB的中点， ∴AO=BO， ∴OC⊥AB． ∴依据是等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合， 故选C． 【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的． 27．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】 解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 28．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（       ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定方法，当，，时分三种情况讨论即可解答． 【详解】 解：分为三种情况：①作的垂直平分线交南北公路于一点P，此时； ②以A为圆心，以为半径交南北公路于两点，此时； ③以B为圆心，以为半径交南北公路于两点（A点除外，有一点），此时； ∴共点， 故选C． 29．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（     ）个． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此① 正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此② 正确；设，则，，，从而证得，因此③ 正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④ 错误，据此解题即可． 【详解】 解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故① 正确； ② 由① 知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故② 正确； ③ 由，， 设，则， ，， ， 故③ 正确； ， ， 由① 知，，， ， ， 由① 知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④ 错误， 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 30．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设的垂直平分线交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质知是等腰三角形，证明是直角三角形，利用含角的直角三角形的性质可得与间的数量关系，进一步推出，可得结论． 【详解】 解：设的垂直平分线交于点，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，确定是解题的关键． 31．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的判定及性质，延长交于，由已知条件可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，又由可得，继而得到，即可得解．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴的长为． 故选：B． 32．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是的中线，过点D作，与相交于点E，连接，恰好有平分，若，则的长是（    ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等角对等边是解题的关键．根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，再根据三角形的中线的定义计算，得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 33．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③ 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故② 正确； ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由② 知，， ∴， ∴，故④ 正确； ∴正确的有① ② ③ ④ ， 故选：D． 34．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了最短路线问题，全等三角形的性质，等边对等角．在右侧作，使，连接，当A、N、三点在同一直线上时，最小值为，推出，所以，据此求解即可． 【详解】 解：在右侧作，使，连接． 则，． ∴， 当A、N、三点在同一直线上时，最小值为． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 35．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论③；根据题意可证，得到，，从而判断结论②；结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点作于点， 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有① ② ③，共3个， 故选：B． 36．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 故答案为：6 37．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，，则的大小是　　　　　　 （度）． 【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 则的大小为， 故答案为：40． 38．（25-26学年八上·天津河西·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 39．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点E，连接，由，的面积是18，求得，由垂直平分，得，由，可知当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，的值最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：作于点E，连接，则， ∵，的面积是18， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当，且的值最小时，的值最小， ∴当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，，此时的值最小， ∴， ∴当的值最小时，周长为11， 故答案为：11． 41．（25-26学年八上·河北·期中）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形． 【答案】证明：∵DE∥AC， ∴∠1＝∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形． 【分析】 直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出是解题关键． 42．（25-26学年八上·河北·期中）如图，已知，，，则的长等于　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查含角的直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半；熟记性质是解题关键． 根据角所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：4． 43．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 根据尺规作圆可判定① ；根据尺规作垂直平分线可判定② ；根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理平角的性质可判定③ ；根据线段的等量关系可判定④ ；由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，连结， ∵以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，故① 正确； 分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，两直线恰好经过点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，故② 正确； 由② 正确可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③ 错误； ∵，， ∴在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图的知识，数形结合分析思想是解题的关键． 44．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为 　　　　　． 【答案】6 【分析】 由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE=30°， ∵EC=1.5， ∴CD=2EC=3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD=CD=3， ∴AB=AC=AD+CD=6． 故答案为：6． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．掌握等边三角形的性质是解题的关键． 45．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，D为边上的一点，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，设出未知数列出方程是解题关键． 由题意可得，，都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：， ， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB． 我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明． 已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC． 求证：∠APB ＝∠AOB． 【答案】证明：， 为等腰三角形， ， 由外角的性质得：， ， 再由外角的性质得：， ， ． 【分析】 由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解． 47．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为　　　　　　度． 【答案】 【分析】 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接， 等腰中，，， ， 是的平分线， ， 又是的中垂线， ， ， 垂直平分线段， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠问题，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线． 48．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可； （2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答． (1) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 49．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，点E为边上的定点，，，，，点P，F分别为线段上的动点，则的最小值是　　　　　　  ． 【答案】6 【分析】 本题考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，得，则，所以，由垂线段最短可知，当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：， ， 垂直平分， ， ， 当C、P、F三点共线且时，的值最小，最小值为， ， ， ， 故答案为： 50．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，是等边三角形的中线，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 51．（25-26学年八上·天津南开·期中）在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为17． （1）如图1，求线段的长； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，连接，，，若的周长为36，求线段的长（直接写出结果即可） 【答案】（1）；     （2）的度数为     （3）．      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为36，求出的长，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为17，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为36，即， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积=　　　　　　； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 作图见解析；利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】 本题考查了网格中求三角形的面积，全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定； （Ⅰ）在网格中，用正方形的面积减去三个三角形的面积； （Ⅱ）利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】 解：（Ⅰ）的面积为：， 故答案为：16； （Ⅱ）如图所示：利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 53．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，，，，，点是的中点．则的长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用直角三角形的性质得到，然后解题即可． 【详解】 解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 54．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，已知是上一点，线段与线段相交于点，，，． （1）若，求的大小； （2）求证平分． 【答案】（1）；     （2） 证明：∵， ， ， ， ， 平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点． （1）由已知条件可证得，于是可得，即可求解； （2）由，可得，等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． (1) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， ∴； (2) 小问详解： 证明：略． 55．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．说明：图中仅点A，B，C在格点上，所有作图在网格内完成． （1）作的角平分线； （2）画格点H，使． （3）在线段上画一点G，使． 【答案】（1） 的角平分线如图所示：      （2）格点H，使，如图所示；     （3）在线段上画一点G，使，如图所示．      【分析】 本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征以及等腰三角形的三线合一，即可作答． （2）设每个网格边长为1，根据勾股定理，得，，又因为勾股逆定理，得，则是等腰直角三角形，故； （3）结合（2）得是等腰直角三角形，则，即与的交点记为G点，故，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 56．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，，点分别在边上，且．求的度数． 【答案】的度数为，的度数为 【分析】 设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而求出，最后可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 57．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． （1）求线段的长． （2）若，求的度数； （3）连接，，，若的周长为，求线段的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 58．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 59．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． （2）如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】（1） 证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴；     （2）①，② 不变，4      【分析】 本题考查的是坐标与图形综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明三角形全等是解题的关键． （1）用证明，即可求解； （2）①证明，即可求解； ② 点D为的中点，则，而，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 线段， 理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ② 式子的值不发生改变， 理由如下：， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴． 60．（25-26学年八上·天津天津东丽区·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 略 61．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若为的中点，为上一动点，当的周长取得最小值时，的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，连接，可推出的周长，求得；由题意得，即可求解； 【详解】 解：连接，如图所示： 由题意得：， ∵的周长， 又的周长的最小值为， ∴， ∴； ∵，为的中点， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 62．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的大小． 【答案】（1） 证明：的垂直平分线交于点， ， ；     （2）；      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，进而可得结论； （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，利用角的和差求的度数，最后根据，求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由（1）得， ， ， ∵垂直平分， ， ． 63．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　　　　　　． 【答案】40° 【详解】 解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 64．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵，，的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 65．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 【答案】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【分析】 求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】 略 66．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ① 当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ② 当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 67．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 【答案】（1）30°     （2）1      【分析】 （1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案； （2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可． (1) 小问详解： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠EAD， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 设∠CAD=x，则3x=90°， ∴x=30°， ∴∠CAD=30°； (2) 小问详解： ∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， 设DC=y，则DE=y，BD=3-y， 又∵∠B=30°， ∴y=， 解得y=1， ∴DE=1． 【点睛】 本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质． 68．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE． 求证：（1）∠EAC＝∠DBC； （2）BD平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°， 又∵∠ADE＝∠BDC， ∴∠EAC＝∠CBD． （2）延长AE、BC交于点M， 在△ACM和△BCD中， ， ∴△ACM≌△BCD（ASA）， ∴AM＝BD． ∵BD＝2AE，AE＋EM＝BD， ∴AE＝ME，即E为AM中点 ∵BE⊥AM， ∴EB垂直平分AM ∴BA＝BM， ∴BE平分∠ABC． 【分析】 （1）由∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°，因为∠ADE＝∠BDC，即可推出∠EAC＝∠CBD． （2）延长AE、BC交于点M，由△ACM≌△BCD（ASA），推出AM＝BD，由BD＝2AE，AE＋EM＝BD，推出AE＝ME，即E为AM中点，再根据垂直平分线与等腰三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 69．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）在中，，点D是直线上一动点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接，设． （1）当点D在线段上，如图1，如果，则               度． 当点D在线段上，如图2，如果，则               度． 当点D在线段上，如图3，，之间的数量关系是：               ． （2）当点D在线段延长线上时，如图4，猜想，之间的数量关系并证明． （3）当点D在线段延长线上时，如图5，猜想，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）90，120，；     （2） 解： 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ，即；     （3） 解：， 证明：， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，即．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质得到，结合三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得到，即可得出答案； （3）证明，得到，结合三角形内角和定理即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 当时，， ∴， ∴，即， 当时，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， 故答案为：90，120，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 70．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，，于点C，若，则　　　　　． 【答案】4 【分析】 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】 解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 71．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 72．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1）　　　　　　（度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　． 【答案】① 45    ② 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作 【分析】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键． （1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】 解：（1）由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 73．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）填空：__________，的度数为__________； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形；求的度数； （4）若点在线段上，连接，，直接写出的值最小时的长度． 【答案】（1），     （2）4     （3）度或度或度     （4）      【分析】 （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据线段中点的性质即可得出，根据角平分线的定义得出的度数； （2）根据轴对称图形的性质即可解答． （3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解． （4）过点M作，作点P关于的对称点，根据题意可得，，可证明，则，因此，以此得出当点E、M、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴，， ∵点是边的中点 ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：∵四边形为轴对称图形，平分， ∴对称轴为直线 ∴； (3) 小问详解： 解：∵平分， ∴， 当时， ， ∴； 当时， 当时， ； 综上，的度数度或度或度． (4) 小问详解： 解：如图，点在上，且，作点关于的对称点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 又∵根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、三点共线时，的值最小是解题关键． 74．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，在中，，点D在上，且，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由得，由得，，从而可推出，根据三角形的内角和定理即可求得的度数，然后根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 75．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解答     （2）      【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． (1) 小问详解： 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； (2) 小问详解： 解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 76．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，，是边上的高，则的度数是　　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是要明确等腰三角形的性质． 根据，判断出，然后根据三角形的内角和定理，求出的度数；最后用减去的度数，求出的度数是多少即可． 【详解】 解：， ， ， 是边上的高， ， ． 故答案为：． 77．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有　　　　　个． 【答案】6 【分析】 当AB=AP，AB=BP，AP=BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】 （1）分别以点A、B为圆心，AB为半径画⊙A和⊙B，两圆和两坐标轴的交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）； （2）作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次）． 如下图，符合条件的点P共有6个． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 78．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是　　　　　　． 【答案】6 【分析】 先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 79．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为　　　　　　　　　　 【答案】72°或54° 【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可． 【详解】等腰三角形的一个外角为108°， ∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°， ① 72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°， ② 72°角是底角时，底角为72°， 综上所述，其底角的度数为54°或72°． 故答案为54°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解． 80．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，在中，，，，交于点D，若，则的长是　　　　　　  ． 【答案】9 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 故答案为：9． 81．（25-26学年八上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，，，．动点，连接，过点作，垂足为点，过点作轴，直线与直线相交于点，， （1）如图1，若，求证：，且； （2）连接，直线与直线相交于点，点，直线与直线相交于点． ①如图2，若，求点的横坐标； ②若，请用含的式子表示的大小（直接写出结果即可）． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且；     （2）① 点的横坐标为；②．      【分析】 （1）证明，利用全等三角形的性质求解即可； （2）① 作于点，求得，，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可到得点的横坐标为； ② 先判断点在延长线上，证明，推出，求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴点，， 作于点， ， ∴点，， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为； ② 当时， ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点在延长线上， ∴， ∴， 由① 得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了图形与坐标，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质． 82．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，在中，，． （1）平分，交于点，，交的延长线于点，求证：；（提示：分别延长、交于点） （2）点为的中点，交于点，求的度数； （3）点，分别是，上的动点，且，当的值最小时，的度数是_______．（直接写结果） 【答案】（1） 证明：延长、交于点，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）      【分析】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长、交于点，利用证，得到，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点作，使，证明，求得，当点、、共线时，最短，即取最小值，证明是等腰三角形，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作，使， ∵，，， ∴， ∴， 当点、、共线时，最短，即取最小值， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 83．（25-26学年八上·天津河东区三片·期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．        （1）求证：； （2）如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1） 证明：平分， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ；     （2）8     （3） 解：，证明如下： 如图3，在的延长线上取一点，使，     平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）根据角平分线的对应点得出，进而证明，进一步证明，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，进而证明，得出，进一步证明，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，过点作于，     平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 84．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ；由平分结合即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤ 符合题意． 综上，正确的是① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤． 85．（25-26学年八上·天津塘沽第一中学·期中）等腰，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求点的坐标； （3）如图3，点，两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1） 如图， ，， ， ；     （2）     （3）的长度不会发生改变，的长度始终是9      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算 （1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点B作轴于D，再判定，求得，，进而得出，即可得到B点的坐标； （3）先过N作，交y轴于H，再证明，得出，，然后根据点，，求得，最后判定，得出，即可求得 (定值)． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点B作轴于D，则， 在和中， ， ， ，， ， 又∵点B在第三象限， ； (3) 小问详解： 解：的长度不会发生改变． 理由：如图，过N作，交y轴于H，则 ， ∵等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵点，， ∴，即， ， ， , ， ∴在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 86．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）平面直角坐标系中，点，轴于点，且满足． （1）直接写出、两点坐标及的形状； （2）如图2，若为线段的中点，连接，并作且，连接交轴于点，求点的坐标； （3）如图3，若为轴负半轴上的动点（在点左侧），以为一边作交轴负半轴于点，连接，在点运动过程中，猜想的值是否发生变化？若不变求其值，若发生变化，求其变化的范围． 【答案】（1），，为等腰直角三角形     （2）     （3） 解：不变，      【分析】 本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性、全等三角形的判定与性质，过点向坐标轴作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，可求点坐标，即可求解； （2）过点作于点，由“”可证，得，由“”可证，得，进而可求得即可求解； （3）过点作于，轴于，交轴，可由“” 可证，得，，由“”可证，得，由等式性质即可求解． (1) 小问详解： 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵轴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点； (3) 小问详解： 解：的值不变，理由如下： 如图，过点作于，轴于，交轴于， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 87．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，的顶点、、均在格点上． （1）　　　　　； （2）在这个的网格中，找出格点，使为等腰三角形，满足条件的格点有　　　　　个； （3）在边上有一点，且，请用无刻度直尺在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）　　　　　． 【答案】① 45    ② 5    ③ 如图，点D即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图，等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）取格点D，根据等腰直角三角形的性质，求出结果即可； （2）根据等腰三角形的定义，找出符合条件的格点，得出答案即可； （3）取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 【详解】 （1）解：取格点D，如图所示： ∵，， ∴， 故答案为：45； （2）当时，符合条件的格点有、；当时，符合条件的格点有、、；因此符合条件的格点有5个． 故答案为：5； （3）取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 理由：连接， ∵；， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：取格点T，连接，交于点D，则点D即为所求． 考点02 等边三角形 1．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】B 【分析】 根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】 解：A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意； B．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故B符合题意； C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故C不符合题意题意； D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 2．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点．连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年八上·天津南开·期中）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】 解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于3，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查动点最值问题，涉及点的对称、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法是解决问题的关键． 作点关于、的对称点，连接、、，如图所示，由对称性可知，，，，，由两点之间线段最短可得，当四点共线时，，使的周长最小，即周长的最小值为线段长度，从而得到是等边三角形，即可得到从而得到答案． 【详解】 解：作点关于、的对称点，连接、、，如图所示： 由对称性可知，，，，， ， 由两点之间线段最短可得，当四点共线时，，使的周长最小，即周长的最小值为线段长度，如图所示： ，周长的最小值等于3， ， 即是等边三角形， ， ， ，解得， 故选：A． 5．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，即可求的度数． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是折叠而成， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算． 6．（25-26学年八上·天津和平区部分学校·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】 解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 7．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】 由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】 作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】 解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE'， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 9．（25-26学年八上·天津第九十中学·期中）如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合等边三角形的性质得，再根据进行证明，运用全等三角形的对应角相等，证明，则；运用平角性质进行列式计算，得；运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得出是等边三角形，则，即；分别过点作，则，由，，可得，故，又因为，即平分． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故① 是符合题意； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故② 是符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故③ 是符合题意； 连接 ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故④ 是符合题意； ∵， ∴，， 分别过点作， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， 综上，正确的个数有5个， 故选：D． 10．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（       ） A. 8＋2m B. 8＋m C. 6＋2m D. 6＋m 【答案】C 【分析】 根据题意，判定△PMN是等边三角形，∠QMN=∠G=30°，QN=NC=，得到QM=QG，计算周长即可． 【详解】 ∵，， ∴△PMN是等边三角形， ∵， ∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°， ∵， ∴∠GQN=∠G=30°，QN=NC=， ∴∠QMN=∠G=30°， ∴QM=QG， ∵的周长为12，， ∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m， ∴周长是QM+QG+MN+NG=6+2m， 故选C． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和三线合一性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三线合一性质是解题的关键． 11．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为① ② ③，共3个． 故选∶C． 12．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题综合考查了等边三角形的性质，角的和差，全等三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定方法．由和是等边三角形得，，，再由角的和差得，可证明，根据全等三角形的性质得，，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确； 如图，过A作于H，于I， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故③ 正确； ∵无法得出，不能得出，故② 错误； 故选：B． 13．（25-26学年八上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（        ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③ 正确；根据∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到① ② 正确；∆ ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④ 正确 【详解】解：∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形 ∴AE=BE, DE=CE ∵∠AEB＝∠DEC＝90° ∴∠AEC＝∠DEB ∴△AEC≌△BED ∴AC=BD ∵AD＝AC＝AB ∴AD＝BD＝AB ∴②∆ ABD是等边三角形正确 ∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60° ∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形 ∴∠EAB＝∠ABE=45° ∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15° ∴AE为∠CAD的角平分线 ∵∆ ABD为等腰三角形 ∴①AE垂直平分CD正确 ∴∠CAD＝30° ∴②AC平分∠BAD正确 ∵∆ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30° ∴∠ACB＝∠ABC=75° 同理∠ACD＝∠ADC=75° ∴④ ∠BCD的度数为150°正确. 故选D 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键. 15．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在等边三角形中，，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得的长度． 【详解】 解：∵为等边三角形，且，， ∴D为的中点，且， ∴ , 故答案为：． 16．（25-26学年八上·天津天津红桥区·期中）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）下列命题的逆命题正确的是　　　　　（只填序号） ①三边对应相等的两个三角形全等；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④等边三角形的三个内角相等 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了命题真假的判别，判断每个命题的逆命题是否正确，逆命题是将原命题的条件和结论互换后得到的新命题．根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质进行分析即可． 【详解】 解：①原命题：三边对应相等的两个三角形全等．逆命题：如果两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，逆命题正确； ②原命题：全等三角形的对应角相等．逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，逆命题错误； ③原命题：等腰三角形的两个底角相等．逆命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，逆命题正确； ④原命题：等边三角形的三个内角相等．逆命题：如果一个三角形的三个内角相等，那么这个三角形是等边三角形，逆命题正确，因为三角形内角和为，三个角相等则每个角为，所以是等边三角形． 故逆命题正确的是① ③ ④． 故答案为：① ③ ④． 18．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． （1）如图1，当点E为线段的中点时，求证：； （2）如图2，当时，求度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 点E为线段的中点， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等边三角形性质及点E为线段的中点得，，进而得，则，再根据三角形外角性质得，则，据此得出结论即可； （2）过点E作交的延长线于点F，证明是等边三角形得，进而得，再根据得，根据全等三角形判定和全等，得，则是等腰直角三角形，据此得出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 19．（25-26学年八上·天津西青·期中）已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标______，______，______； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小．在图中画出点P的位置，并简要说明是怎样找到的．（请在同一个平面直角坐标系中完成第（1）（3）题的画图） 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2），，     （3）如图，点P即为所求．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出，，三点的坐标； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，． 故答案为：，，． (3) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短，此时的周长最小，点P即为所求． 20．（25-26学年八上·天津北辰·期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE．     （2）90°．      【分析】 （1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 21．（25-26学年八上·天津部分·期中）如图，在边长为的等边三角形中，P，Q分别是射线上的动点，点P从顶点A出发，同时点Q从顶点B出发，且它们的运动速度都是． （1）如图①，当点P，Q分别在边上运动时，连接，且与交于点M． ①求证： ； ②在点P，Q运动的过程中的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出的大小； （2）设点P的运动时间为，当是直角三角形时，t的值为______； （3）如图2，当点P，Q分别在线段的延长线上运动时，直线交于点M，请直接写出的大小______（度）． 【答案】（1） ① 证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在等边三角形中，， 在与中， ， ∴， ②的大小不变，     （2）或     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）① 由可证；② 由全等可得，由外角的性质可求； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程可求解； （3）由可证，可得，由三角形内角和定理可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ②不变．理由如下： ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：设时间为t秒，则（厘米），（厘米），如下图： ① 当时， ∵， ∴， ∴，得， ∴； ② 当时， ∵， ∴， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1），     （2）；     （3）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，．      【分析】 （1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，     ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．（25-26学年八上·天津第十一中学·期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF.                        ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形，                               ∴，. ∴. ∴ .                             在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS）                                                 ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）                          ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE.                                                                       ∴． 【分析】 （1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】 （1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】 此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 24．（25-26学年八上·天津第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求，，的数量关系． 【答案】（1）①；；②     （2）      【分析】 （1）① 根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ② 过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则， ∵的面积为， ∴，则， ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 故答案为：；； ② 如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，中，，点是三角形右外一点，且． （1）如图1，若，点恰巧在的平分线上，，求的长； （2）如图2，若，探究，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）     （2） 结论：PA+PC=PB． 理由：在上截取，使，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意得出为等边三角形，根据点P在的平分线上，则，根据得出； （2）在上截取，使，连接，证明和全等，从而得出，得出所求的答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵点P恰巧在的平分线上， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 26．（25-26学年八上·天津第二十一中学·期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为　　　　　． 【答案】100° 【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长= PP，然后得到等腰△OP1P2中，∠O PP+∠O PP=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°． 【详解】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P,连接PP，交OA于M，交OB于N，则    O P=OP=OP,∠OPM=∠MPO,∠NPO=∠NPO， 根据轴对称的性质,可得MP=PM,PN=PN，则 △PMN的周长的最小值=PP， ∴∠POP=2∠AOB=80°， ∴等腰△OPP中,∠OPP+∠OPP=100°， ∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°， 故答案为100° 【点睛】 此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 27．（25-26学年八上·天津第二十中学·期中）如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　　　　　．　 【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∥∥，以及，得出，，，进而得出答案； 【详解】 如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴∥∥，∥， ∴，， ∴， ∴，，， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为； 故答案是． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质和图形规律，准确分析计算是解题的关键． 28．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1）不变，     （2）或     （3）不变，．      【分析】 （）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． (1) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； (3) 小问详解： 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 29．（25-26学年八上·天津第十九中学·期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1） 是直角三角形，理由： ∵和是等边三角形， ∴， ，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形；     （2）、、      【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先证明，，，再证明即可证明，利用全等三角形的性质与等边三角形的性质证明，从而可得答案； （2）先表示，， ，，再分三种情况讨论：① 当，② 当，③ 当，再建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ，， ① 当，∴， ∴， ∴； ② 当，∴， ∴， ∴； ③ 当，∴， ∴， ∴． 所以，当α为、、时，是等腰三角形． 30．（25-26学年八上·天津河西·期中）如图1，已知等边，点在线段上，连接，作点关于的对称点，连接，在上取一点使得，连接，交于点． （1）连接，，则，之间的数量关系是________； （2）①设，求的大小；（用含的式子表示） ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）①； ②，理由如下： 如图所示，连接，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．      【分析】 （1）由轴对称的性质可得；证明是等边三角形，得到，则可得到； （2）① 由三角形外角的性质可得；则；据此求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可得，据此由平角的定义可得答案；② 连接，在上截取，连接，证明，得到；再证明，得到；进一步证明，得到，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，， 由轴对称的性质可得； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）（多选）如图，点O是等边△ABC内一点，，．△COD为等边三角形，连接OD、AD． （1）求证：△BCO≌△ACD； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°， ∴∠ACB−∠ACO＝∠DCO−∠ACO． 即∠BCO＝∠ACD． 在△BCO和△ACD中：           ，              ∴△BCO≌△ACD． （2）解：当， △AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠BOC＝∠ADC， ∵∠BOC＝＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°−60°＝90°， ∴△ADO是直角三角形．         （3）当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【分析】 （1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC； （2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝， ∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠COD＝360°−110°−−60°＝190°−， ∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝−60°． ∴∠OAD＝180°−∠AOD−∠ADO＝180°−（190°−）−（−60°）＝50°． 当∠AOD＝∠ADO时，190°−＝−60°， ∴＝125°． 当∠AOD＝∠OAD时，190°−＝50°， ∴＝140°． 当∠ADO＝∠OAD时， −60°＝50°， ∴＝110°． 综上所述：当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质以及根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键． 32．（25-26学年八上·天津第一中学·期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】（1）；等边     （2） 解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴；     （3） 解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则．      【分析】 （1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $