15.3.1 等腰三角形的判定（第2课时） （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦等腰三角形的判定，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义、判定定理及简单应用|以选择、填空为主，如“等角对等边”直接应用| |能力提升|综合证明与复杂图形分析|含角平分线、平行线结合的证明题，如AD∥BC证AB=AD| |拓展探究|实际问题与变式探究|结合航海情境求距离，探究EF与BE、FC关系的变式题|

15.3.1 等腰三角形的判定（第3课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①等腰三角形的判定：等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）； ②判定与性质互为逆定理； ③判定定理证明线段相等； ④等边三角形的判定：三个角都相等，或有一个角是60°的等腰三角形。 2. 与本节课相关的旧知识：等腰三角形的性质、全等三角形。 3. 预习时遇到的疑问：如何判定一个三角形是等腰三角形？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①"等角对等边"必须在同一个三角形中； ②判定和性质互为逆定理； ③等边三角形判定：三个角相等或有一个60°角的等腰三角形。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也____（简写成"等角对等边"）。 2. 等腰三角形的判定和性质互为____定理。 3. 三个角都相等的三角形是____三角形。 4. 有一个角是60°的____三角形是等边三角形。 5. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，则△ABC是____三角形。 6. "等角对等边"是等腰三角形的____定理。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 说一说等腰三角形的定义：有两条边________的三角形叫做等腰三角形。 2. 要点归纳：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 应用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C（已知），∴AC=______，即△ABC为等腰三角形。 3. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．∠A=50°，∠B=70°　　B．∠A=70°，∠B=40°　　C．∠A=30°，∠B=90°　　D．∠A=80°，∠B=60° 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 5. 一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍。这个三角形是（　　） A．钝角三角形　　B．直角三角形　　C．等腰三角形　　D．等边三角形 6. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD=______。 7. 在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　） A．70°　　B．35°　　C．110°或35°　　D．110° 8. 如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 例1：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。 2. 例2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形。 3. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD。求证：△OAB是等腰三角形。 4. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为______。 5. 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=______，∠BDC=______，图中的等腰三角形有______________________。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 例3：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O。过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。探究EF、BE、FC之间的关系。 想一想：若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 2. 如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°。求从B处到灯塔C的距离。 3. 已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D。求证：BC=CD。 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 问题引入：如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 2. 建立数学模型：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？ 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB______AC。　结论：________________________________________________。 3. 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 15.3.1 等腰三角形的判定（第3课时）参考答案 一、自习前置速忆 判定：等角对等边；与性质互逆；等边三角形判定：三角相等或有60°角的等腰三角形。 二、基础随堂自检 1. 相等 2. 逆 3. 等边 4. 等腰 5. 等腰 6. 判定 三、分层自主作业 ★ 基础巩固：1. 相等　2. AB　3. B（∠C=70°=∠A）　4. A（△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE）　5. C（外角130°=2×65°，不相邻的两个内角均为65°）　6. 3cm（∠OCD=∠COD=∠COB，CD=OD=3cm）　7. B（∠A=110°，∠A为顶角时∠B=35°；∠A为底角时∠B=110°不存在这种情况）　8. D（4个） ★★ 能力提升：1. ∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD；∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD；∴∠ABD=∠ADB（等角对等边），∴AB=AD　2. ∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE；∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）；∠CEF=∠CAE+∠ACD，∠CFE=∠BAE+∠B（外角），∴∠CEF=∠CFE（等角对等边），∴CE=CF，△CEF是等腰三角形　3. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠CAB=∠DBA（等角对等边），∴OA=OB，△OAB是等腰三角形　4. 9（∠EMB=∠EBC=∠EBM∴BE=EM；∠ENC=∠ECB=∠ECN∴EN=CN；MN=EM+EN=BM+CN=9）　5. ∠DBC=36°，∠BDC=72°；△ABC、△ABD、△BCD ★★★ 拓展探究：1. EF=BE+FC。∵BO平分∠ABC∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC∴∠EOB=∠OBC；∴∠EBO=∠EOB（等角对等边）∴BE=EO；同理CF=FO；∴EF=EO+FO=BE+FC。想一想：仍有等腰三角形（△EBO、△FCO），结论EF=BE+FC仍成立　2. 40海里（∠C=∠NBC−∠NAC=40°=∠NAC，BC=AB=20×2=40海里）　3. 连接BD，∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB；∵∠B=∠D∴∠CBD=∠CDB（等角对等边），∴BC=CD 五、学以致用：1. 能同时赶到。∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边），两船速度相同，距离相等，所用时间相同　2. AB=AC；结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）　3. 能。以C为顶点、CB为一边作∠BCM=∠C（M在BC的另一侧），射线CM与BC的垂直平分线的交点即为顶点A 学科网（北京）股份有限公司 $