14.3 角的平分线的判定（第2课时）（分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“三阶分层+反思闭环”设计，通过基础巩固、能力提升、拓展探究梯度进阶，融合概念理解、推理证明与实际应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|判定定理概念、三角形内心性质|填空/作图/简单证明，如“交换性质与结论得判定”强化概念辨析| |能力提升|定理证明、综合应用|完整证明题，如“证明内心到三边距离相等”培养逻辑推理| |拓展探究|复杂情境、实际应用|跨情境问题，如“三条公路建中转站”发展应用意识与创新思维|

14.3 角的平分线的判定（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上； ②判定与性质互为逆定理； ③三角形三条角平分线交于一点（内心）； ④应用：证明点在角平分线上、证明角相等。 2. 与本节课相关的旧知识：角平分线的性质定理、全等三角形判定。 3. 预习时遇到的疑问：角平分线的判定和性质有什么关系？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①判定定理的条件是"到角两边距离相等"，结论是"在角平分线上"； ②必须有垂直条件才能用判定； ③注意区分性质和判定的使用方向。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 到角两边距离相等的点，在____上。 2. 角的平分线的判定定理的题设是____，结论是____。 3. PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，PD=PE，则OP____∠AOB。 4. 角的平分线的性质定理与判定定理互为____。 5. 三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离____。 6. 判断：到角两边距离相等的点有且只有一个。（ ） 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？ 2. 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？ 3. 分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？ 4. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于点E，则下列结论一定正确的是（　　） A．AE=BE　　B．DB=DE　　C．AE=BD　　D．∠BCE=∠ACE 5. 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE=AF。求证：点P在∠BAC的平分线上。 证明： 6. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等。若∠A=40°，则∠BOC的度数为（　　） A．110°　　B．120°　　C．130°　　D．140° 7. 如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 你能证明“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”吗？请写出已知、求证并证明。 证明： 2. 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 证明： 3. 已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA=OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N。求证：CM=CN。 证明： 4. 已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1=∠2。求证：OB=OC。 证明： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。 证明： 2. 如图，直线l₁、l₂、l₃表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置。 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1∶20000）？ 2. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 14.3 角的平分线的判定（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 角的平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上；性质与判定互为逆定理。 二、基础随堂自检 1. 角的平分线 2. 到角两边距离相等；点在角平分线上 3. 平分 4. 逆定理 5. 相等 6. × 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。这个新结论正确（即角平分线的判定定理）　2. 三条角平分线交于一点（三角形的内心）　3. 交点到三边的距离相等　4. D（∵CD=CA，CE=CE，∠CDE=∠CAE=90°，∴Rt△CDE≌Rt△CAE（HL），∴∠BCE=∠ACE）　5. 证明：连接AP。在Rt△AEP和Rt△AFP中，AE=AF，AP=AP（公共边），∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴∠EAP=∠FAP（全等三角形对应角相等），即AP平分∠BAC，故点P在∠BAC的平分线上　6. A（O到三边距离相等，则O为内心，∠BOC=90°+½∠A=90°+20°=110°）　7. AD平分∠BAC。理由：过D作DG⊥PE于G、DH⊥PF于H，则DG=DH（已知），∴点D在∠EPF的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPF=∠BAC，且对应角平分线方向一致，故AD（PD所在直线）平分∠BAC ★★ 能力提升 1. 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：连接OP。在Rt△OPD和Rt△OPE中，PD=PE，OP=OP（公共边），∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴∠POD=∠POE（全等三角形对应角相等），即OP平分∠AOB，点P在∠AOB的平分线上　2. 证明：过P作PD⊥AB于D、PE⊥BC于E、PF⊥CA于F。∵BM平分∠ABC，点P在BM上，PD⊥AB、PE⊥BC，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。同理，PE=PF。∴PD=PE=PF，即点P到三边AB、BC、CA的距离相等　3. 证明：∵OD平分∠POQ（已知），∴∠AOD=∠BOD。在△AOD和△BOD中，OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD（公共边），∴△AOD≌△BOD（SAS），∴∠ADO=∠BDO，即OD平分∠ADB。∵点C在OD上，CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）　4. 证明：∵∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC（已知），∴OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠BDO=∠CEO=90°。在△BDO和△CEO中，∠BDO=∠CEO=90°，OD=OE，∠BOD=∠COE（对顶角相等），∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB=OC ★★★ 拓展探究 1. 证明：过F作FG⊥BC于G、FH⊥BD于H、FI⊥CE于I。∵BF平分∠CBD，点F在BF上，FG⊥BC、FH⊥BD，∴FG=FH（角平分线性质）。∵CF平分∠BCE，点F在CF上，FG⊥BC、FI⊥CE，∴FG=FI。∴FH=FI，即点F到AD、AE两边的距离相等（F到BD即AD所在直线的距离=FH，F到CE即AE所在直线的距离=FI），∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）　2. 4处。理由：到三条公路距离相等的点有三类——三角形内部1处（三条内角平分线的交点，即内心）；三角形外部3处（两个外角平分线与一个内角平分线的交点）。共4处，作图略 五、学以致用 1. 建在铁路与公路夹角的平分线上，距交叉处500米处。图上距离=500÷20000=0.025米=2.5厘米，即在角平分线上距交叉点2.5cm处建集贸市场　2. 作∠AOB的平分线，交MN于点P，点P即为超市位置。理由：角平分线上的点到角两边的距离相等，P在角平分线上且位于MN上，故P到OA、OB的距离相等 学科网（北京）股份有限公司 $