微专题02 圆及其方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以题型为纲，方法为脉，构建圆及其方程的系统性训练体系，融合几何直观与代数运算，培养逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|8例+20练|几何法（求圆心半径）、待定系数法（设方程求参数）|从定义到方程构建，覆盖标准方程与一般方程的互化及应用| |直线与圆的位置关系|8例+20练|几何法（距离与半径比较）、代数法（方程组解的个数）|衔接圆的方程，深化位置关系判定及弦长、切线问题| |圆与圆的位置关系及最值|8例+20练|圆心距与半径关系判定、参数法转化最值问题|拓展至两圆关系，结合距离公式实现最值求解| |圆的切线与切线长|8例+20练|圆上/外点切线方程求法、切线长公式（勾股定理）|聚焦切线性质，强化几何性质与代数运算的结合| |轨迹与最值|8例+20练|直接法/相关点法求轨迹、距离/斜率型最值转化|综合应用圆的性质，培养轨迹思想与转化能力|

专题02 圆及其方程 题型一 圆的方程 1 题型二 直线与圆的位置关系 7 题型三 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值 14 题型四 圆的切线与切线长问题 20 题型五 与圆有关的轨迹与最值 27 题型一 圆的方程 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 【经典例题】 1．过 、、 三点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 、 的纵坐标相同，所以 的垂直平分线为 ，圆心在 上，设圆心为 。由 得 ，即 ，展开得 ，解得 ，故圆心 。半径 ，故所求圆为 。故选 A． 2．已知圆 的圆心在直线 上，且经过 、 两点，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，，故 的垂直平分线的斜率为 ，方程为 ，即 。圆心是 与 的交点：把 代入得 ，解得 ，，即圆心为 。半径的平方 ，故所求圆为 。故选 A． 3．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 。要使方程表示圆，需要右边为正数，即 ，解得 。故选 A． 4．已知圆 ：，则点 与圆 的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【详解】配方得 ，故圆心 ，半径 。 ，所以点 在圆外。故选 A． 5．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，，故 的垂直平分线斜率为 。 由点斜式得 ，即 。 圆心在 轴上，令 得 ，故圆心为 。 半径平方 ，故所求圆为 。故选 A． 6．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，。由 是 的中点得 ，，故 ，。 把 的坐标代入 ：， 整理得 ，即 。故选 A． 相关点法（代入法）是求轨迹方程的标准套路：把动点用所求点的坐标表示，再代回已知曲线。 7．已知点 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．圆心为 、半径为 的圆 B．圆心为 、半径为 的圆 C．圆心为 、半径为 的圆 D．直线 【答案】A 【详解】设 ，由 得 ，即。 展开整理：， 即 ，也就是 ，配方得 。 故轨迹是圆心为 、半径为 的圆。故选 A． （可把圆的参数式代入检验，圆上每一点都满足 ，故轨迹是整圆，不用挖去任何点。） 结论：到两定点距离之比为常数 （，）的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）。 8．已知圆 过 、 两点，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，，故 的垂直平分线斜率为 ，方程为 。 圆心是 与 的交点：把 代入得 ，即 ，圆心为 。 半径平方 ，故所求圆为 。故选 A． 【变式训练】 1．以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆与直线相切，故半径等于圆心到直线的距离：，所以 。 故所求圆为 。故选 A． 2．与 轴相切，圆心在直线 上，且半径为 的圆的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】圆与 轴相切且半径为 ，说明圆心到 轴的距离为 ，故圆心的横坐标为 或 。 ① 当圆心横坐标为 时，由 得 ，圆心 ，圆为 ； ② 当圆心横坐标为 时，由 得 ，圆心 ，圆为 。 故选 A． 3．若圆 过 、、 三点，则（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】把三点坐标依次代入方程： ：； ：，即 ； ：，即 ，解得 。 代入 得 。故 ，，，圆为 ，即 。故选 A． 4．已知圆过点 ，圆心在直线 上，且与直线 相切，则该圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为 ，则 。 因为圆与直线 相切，所以 ，即 。 于是 ，展开得 ， 即 ，，，解得 。 故圆心 ，，所求圆为 。故选 A． 5．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，，故 的垂直平分线斜率为 ，方程为 。 圆心在 轴上，令 得 ，故圆心为 。 ，故所求圆为 。故选 A． 6．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，，故垂直平分线的斜率为 ，方程为 ，即 。 圆心在 轴上，令 得 ，故圆心为 。 ，故所求圆为 。故选 A． 7．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，则 ，，故 ，。 代入 满足的方程 得 ，即 。故选 A． 8．已知点 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．圆心为 、半径为 的圆 B．圆心为 、半径为 的圆 C．圆心为 、半径为 的圆 D．直线 【答案】A 【详解】设 ，由 得 。 展开整理：， 即 ，也就是 ，配方得 。 故轨迹是圆心为 、半径为 的圆。故选 A． 9．圆 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，故半径 ，面积 。故选 A． 10．已知圆 过 、 两点，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、 的纵坐标相同，故 的垂直平分线为 。 圆心在 上，把 代入得 ，即圆心为 。 ，故所求圆为 。故选 A． 【巩固练习】 1．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由标准方程直接读出圆心为 ，半径 。故选 A． 2．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 。要使方程表示圆，需 ，即 。故选 A． 3．过原点，且与直线 相切于点 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心在过切点且与切线垂直的直线上。切线 的斜率为 ，故法线的斜率为 ，法线方程为 ，设圆心为 。 因为圆过原点，所以 ； 因为圆过切点 ，所以 。 于是 ，即 ，解得 。 故圆心为 ，，所求圆为 。故选 A． 4．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、 两点的纵坐标相同，故 的垂直平分线为 。 圆心在 轴上，故圆心为 ，。 故所求圆为 。故选 A． 5．若点 在圆 的内部，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 点 在圆内，故 ，即 ，解得 。故选 A． 6．圆心在直线 上，且过 、 两点，半径为 的圆的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】设圆心为 ，则 。 由 得 ，即 ，，解得 或 。 当 时，圆心 ，圆为 ； 当 时，圆心 ，圆为 。故选 A． 7．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】配方得 ，故圆心为 ，半径 。故选 A． 8．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 。 要使它表示圆，需要右边为正数，即 ，解得 。故选 A． 9．过 、、 三点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的一般方程为 ，把三点依次代入： ：； ：，解得 ； ：，解得 。 故圆的方程为 ，配方得 。故选 A． 10．以点 为圆心且与 轴相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆与 轴相切，故半径等于圆心到 轴的距离，即 ，。 故所求圆为 。故选 A． 题型二 直线与圆的位置关系 判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 【经典例题】 1．直线 与圆 的位置关系及截得的弦长为（　　） A．相切 B．相交，弦长 C．相交，弦长 D．相离 【答案】B 【详解】圆心为 ，半径 。圆心到直线的距离 ，故直线与圆相交。 弦长 。故选 B． 2．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 满足 ，故点 在圆上。 由过圆上一点的切线公式得 ，即 。故选 A． 3．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 若切线斜率不存在，则切线为 ，圆心到它的距离为 ，不相切，舍去。② 设切线斜率为 ，则切线为 ，即 。由圆心到切线的距离等于半径得 ，两边平方得 ，即 ，解得 或 。故切线为 或 ，即 或 。故选 A． 4．已知圆 ：，直线 ： 被圆 截得的弦长为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】圆心 ，半径 。设圆心到直线的距离为 。 由弦长公式 得 ，即 ，故 ，。 又 ，所以 ，，解得 或 。故选 A． 5．已知圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，弦中点为 。由垂径定理，弦与 垂直，，故弦的斜率为 。 由点斜式得 ，即 。故选 A． 6．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 先检验斜率不存在的情形：切线为 ，圆心 到它的距离为 ，恰好等于半径，故它是切线；② 设另一条切线的斜率为 ，则切线为 ，即 。由圆心到直线的距离等于半径得 。两边平方得 ，即 ，解得 。故切线为 ，即 。综上，切线为 或 。故选 A． 7．已知点 在直线 上，过 向圆 引切线，则切线长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为 ，圆心为 ，由勾股关系 ，故切线长最小 最小。 的最小值是原点 到直线 的距离：。所以 。故选 A． 8．已知直线 ： 与圆 ，则直线 与圆的位置关系是（　　） A．一定相交 B．一定相切 C．一定相离 D．与 的取值有关 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。直线 ： 恒过定点 。 因为 ，定点 在圆内部，所以过 的任意直线都与圆相交。故选 A． 通法：直线含参时先找定点，再看定点与圆的位置关系，比直接算 与 快得多。 【变式训练】 1．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线化为 ，圆心到它的距离 。 相切需 ，即 ，解得 。故选 A． 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 ，故相交。 弦长 。故选 A． 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为 ，圆心为 ，则 。 因为 ，，所以 。故选 A． 4．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 若切线斜率不存在，则切线为 。圆心 到它的距离为 ，等于半径，符合题意。 ② 若切线斜率存在，设切线为 ，即 。 由 得 ，两边平方得 ，解得 。 此时切线为 ，即 。 综上，所求切线为 或 。故选 A． 5．过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】设圆心到直线的距离为 ，由弦长公式 得 ，即 ，。 ① 斜率不存在时直线为 ，，舍去； ② 设直线为 ，即 ，则 。 两边平方得 ，整理得 ，解得 或 。 故所求直线为 或 。故选 A． 6．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】① 斜率不存在时直线为 ，圆心到它的距离为 ，不相切，舍去；② 设切线为 ，即 ，由 得 ，即 ，。故切线为 或 ，即 或 。故选 A． 提醒：点 在圆外，切线必有两条。 7．直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。圆心到直线的距离 。弦长 。故选 A． 8．已知点 与圆 ：，则点 到圆 上点的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。因为 ，点 在圆外，所以最短距离为 。故选 A． 9．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】到直线 距离为 的点的轨迹是两条平行直线 与 。 圆上恰有三个点满足条件，等价于这两条平行线中一条与圆相切（ 个公共点），另一条与圆相交（ 个公共点）。① 若 与圆相切：，得 或 。 当 时，另一条为 ，与圆交于 点 （共 点）； 当 时，另一条为 ，与圆相离 （只 点）。 ② 若 与圆相切：，得 或 。 当 时，另一条为 ，与圆交于 点； 当 时，另一条与圆相离。 综上 。故选 A． 10．若圆 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】直线化为 ，圆心到它的距离 。要有两个公共点，须 ，即 。两边平方得 ，即 ，解得 或 。故选 A． 【巩固练习】 1．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 ，故直线与圆相切。故选 A． 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线化为 ，圆心到它的距离 ，半径 。 弦长 。故选 A． 3．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 满足 ，在圆上。 由切线公式得 ，即 。故选 A． 4．若直线 与圆 相离，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 。 相离需 ，即 ，，解得 或 。故选 A． 5．若圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，弦中点为 。因为 ，而 所在直线为 （水平）， 所以 所在直线竖直。又 过 ，故 ：，即 。 检验：把 代入圆方程得 ，，弦中点为 ，符合题意。故选 A． 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线化为 ，圆心到它的距离 。 相切需 ，即 ，，，解得 。故选 A． 7．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心 到直线 的距离 ，而 ，故 ，直线与圆相切。故选 A． 8．圆 被 轴截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 轴即直线 ，圆心 到它的距离 ，半径 。 弦长 。故选 A． 9．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以点 在圆上。 由过圆上一点的切线公式 得 ，即 。故选 A． 10．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为 ，圆心为 ，则 。 ，，故 。故选 A． 题型三 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值 1. 两圆位置关系的判定: 设两圆半径为 、，圆心距为 ： (1) 外离； (2) 外切； (3) 相交； (4) 内切； (5) 内含。 2. 公共弦: 两圆方程相减消去 、 项，所得直线方程即为公共弦所在直线的方程（两圆相交时）。 3. 圆上点到直线的最值: 设圆心到直线的距离为 、半径为 ，则圆上点到该直线距离的最大值为 ，最小值为 。 4. 与圆有关的最值（参数法）: 求 型的最值，可设 ，转化为“直线与圆有公共点”，即 ，由此解出 的范围。 【经典例题】 1．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】 的圆心为 ，半径 ； 的圆心为 ，半径 。 圆心距 ，而 ，故 ，两圆外切。故选 A． 2．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【详解】 配方得 ，圆心 ，； 配方得 ，圆心 ，。 圆心距 。 因为 ，所以两圆相交。故选 A． 3．已知圆 ，则该圆上的点到直线 的距离的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】圆心 到直线的距离 ，半径 。 最大距离为 ，最小距离为 。故选 A． 4．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则直线 与圆 有公共点， 故圆心到直线的距离 ，即 ，所以 。 故 的最大值为 。故选 A． 5．圆 与圆 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二个圆展开：，即 。 与 相减得 ，即公共弦所在直线为 。 第一个圆的圆心为 、半径 ，圆心到公共弦的距离 。 公共弦长 。故选 A． 技巧：公共弦长 = 用其中一个圆的半径与该圆圆心到公共弦的距离去算。 6．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的几何意义是：圆 上的点 与定点 连线的斜率。 设 ，则直线 即 与圆有公共点， 故圆心到直线的距离 。 两边平方得 ，即 ，。 故最大值为 。故选 A． 7．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的几何意义是点 到原点 的距离的平方。 已知圆的圆心为 、半径 ，。 故 的范围是 ， 所以 。故选 A． 8．若圆 与圆 （）内切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 内切的条件是 ，即 。 解得 或 ，由 得 。故选 A． 提醒：内切写 而不是 ，否则会漏掉“大圆是后一个”的情形。 【变式训练】 1．若圆 与圆 外切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 外切需 ，即 ，解得 。故选 A． 2．已知点 ， 为圆 上的动点，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】，圆半径 。因为 ，点 在圆外。 所以 的最大值为 ，最小值为 。故选 A． 3．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则直线 与圆 有公共点。 圆心到直线的距离 ，即 。 故 。故选 A． 4．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】 的圆心为 ，半径 ； 的圆心为 ，半径 。 圆心距 ，故两圆外切。故选 A． 5．两圆 与 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两式相减得 ，即公共弦所在直线为 。 把第一个圆配方：，圆心 ，半径 。 圆心到公共弦的距离 。 公共弦长 。故选 A． 6．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，它的几何意义是圆上点与定点 连线的斜率。 直线 即 与圆有公共点，故 。 两边平方得 ，整理得 ，解得 。故选 A． 提醒：得到关于 的二次不等式后，要注意 的系数决定开口方向。 7．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 ，而 ，故 。 平方得 。故选 A． 8．若圆 与圆 （）内切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心距 ，两圆半径分别为 、。 内切需 ，即 ，解得 或 。 由 得 。故选 A． 9．过点 的直线被圆 截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，点 在圆内部，过 的弦必与圆相交。 弦长最短 弦心距最大，而弦心距不超过 ， 当弦与 垂直时弦心距取到最大值 。 故最短弦长 。故选 A． 10．若圆 与圆 （）外切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心距 ，两圆半径分别为 、。 外切需 ，即 ，解得 。故选 A． 【巩固练习】 1．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】第二个圆配方得 ，圆心 ，半径 ；第一个圆的圆心为 ，半径 。 圆心距 ，故两圆外切。故选 A． 2．已知圆 ，则该圆上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 到圆心 的距离为 ，大于半径 ，故该点在圆外。 圆上的点到该点距离的最小值为 。故选 A． 3．若实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 设 ，则直线 与圆有公共点，故圆心到直线的距离 ，即 ，解得 。 故 的最小值为 。故选 A． 4．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、。 圆心距 ，故两圆外离。故选 A． 5．若圆 与圆 相交，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 相交需 ，即 ，两边平方得 ，即 ， 解得 且 。（当 时 ，两圆内切。） 故 。故选 A． 6．两圆 与 的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把第二个圆的方程展开：，即 。 与 相减得 ，即 。 故公共弦所在直线的方程为 。故选 A． 7．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、。 圆心距 ，而 ，故 ，两圆外切。故选 A． 8．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则直线 与圆 有公共点。 圆心到直线的距离 ，即 。 故 的最大值为 。故选 A． 9．若圆 与圆 内切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆的圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 内切需 ，即 ，解得 。故选 A． 10．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则直线 与圆有公共点，故 。 于是 ，故 的最大值为 。故选 A． 题型四 圆的切线与切线长问题 1. 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法： 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率， 再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程． 若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 2. 切线长：从圆外一点 引切线，切点为 ，圆心为 ，则 ，来自直角三角形 的勾股关系。 3. 切点弦：从圆 外一点 引两条切线，切点为 、，则直线 的方程为 （与过圆上一点的切线同形，意义不同）。 4. 弦长与弦心距：设圆心到直线的距离为 、半径为 ，则弦长 。 越小弦越长： 时弦长最大为 （直径）。 易错提醒：弦长公式里的 是圆心到直线的距离，不是原点到直线的距离；求弦长前先确认 ，否则两曲线根本不相交。 【经典例题】 1．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ，所以点 在圆上。 圆心为 ，由过圆上一点的切线公式得 ，即 。整理得 。故选 B． 2．过点 作圆 的切线，则切线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】因为 ，点 在圆外，切线有两条。 ① 若切线斜率不存在，则为 ，圆心到它的距离为 ，不合题意。 ② 设切线为 ，即 。 由圆心到切线的距离等于半径得 ，两边平方得 ，即 ，解得 或 。 对应切线为 与 ，即 。故选 A． 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。 。 设切点为 ，则 。故选 A． 4．若直线 被圆 截得的弦长最大，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】弦长 ，其中 为圆心到直线的距离。 越小， 越大；当 时弦过圆心，弦长取最大值 。 圆心为 ，代入直线得 ，故 。故选 A． 5．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点 在圆外。 由切点弦公式，过圆 外一点 所引两切点的连线方程为 。 故直线 为 ，即 。故选 A． 提醒：切点弦方程与过圆上一点的切线方程形式相同，但 一个在圆外、一个在圆上，含义不同。 6．过点 的直线被圆 截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，点 在圆内，过 的弦必与圆相交。 弦长 ，其中 是圆心到直线的距离。 最小 最大，而 不超过 ，当弦与 垂直时取到 。 故 。故选 A． 7．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 先检验斜率不存在的情形：切线为 ，圆心到它的距离为 ，等于半径，故它是切线； ② 设另一条切线为 ，即 。 由 得 ，展开得 ，即 ，解得 。 此时切线为 ，即 。 综上，所求切线为 或 。故选 A． 注意：本题斜率存在的情形只有唯一解，另一条正是被漏掉的竖直切线 。 8．过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心到直线的距离为 ，由 得 ，即 ，。 ① 斜率不存在时，直线为 ，圆心到它的距离为 ✓； ② 设直线为 ，即 ，由 得 ，解得 ，直线为 ✓。 故所求直线为 或 。故选 A． 提醒：弦长一定时，符合条件的直线一般有两条（对称分布）。 【变式训练】 1．从点 向圆 引两条切线，切点分别为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，点 在圆外，可以引两条切线。 由切点弦公式，过圆 外一点 所引两切点的连线为 。 故直线 为 ，即 。 检验：圆心到该直线的距离 ，直线与圆确有两个交点。故选 C． 2．与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】B 【详解】截距相等且在两轴上都有截距，设直线为 （； 时直线过原点，圆心到它的距离为 ，不可能相切）。 由相切得 ，即 ，。 故直线为 或 。故选 B． 3．过点 的直线与圆 交于 、 两点，且 ，则该直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】圆心 ，半径 。设圆心到直线的距离为 ，由 得 ，。 ① 若直线斜率不存在，则为 ，圆心到它的距离为 ，符合题意。 ② 若斜率存在，设直线为 ，即 。 由 得 ，两边平方得 ，解得 。 此时直线为 ，即 。故选 A． 4．过点 作圆 的切线，则切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，点 在圆上，切线只有一条。 由切线公式 得 ，即 。故选 C． 5．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 ，。 因为 ，点 在圆外，切线长 。故选 A． 6．过点 作圆 的两条切线，切点为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由切点弦公式，所求直线为 ，即 。故选 A． 检验：圆心到该直线的距离 ，故它与圆确有两个交点（即两个切点）。 7．与圆 相切且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线为 ，即 。 由相切得 ，即 ，解得 。 故所求直线为 或 。故选 A． 8．直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 ，圆心到直线 的距离 。 弦长 。故选 A． 9．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】① 斜率不存在时，切线为 ，圆心到它的距离为 ，不相切，舍去； ② 设切线为 ，即 ，由 得 ，即 。 故切线为 或 ，即 或 。故选 A． 10．过原点作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 斜率不存在时，直线为 ，圆心 到它的距离为 ，等于半径 ✓； ② 设切线为 ，即 ，由 得 ，解得 ，即 ✓。 故所求切线为 或 。故选 A． 结论：圆与两坐标轴都相切且圆心在 时，两坐标轴本身就是它的两条切线。 【巩固练习】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。 圆心到直线的距离 ，故直线与圆相切。故选 A． 2．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】因为 ，点 在圆上，切线只有一条。 由切线公式 得 ，即 ，。 注意此时切线斜率不存在，若一味设点斜式就会漏掉它。故选 A． 3．若圆 的弦 的长为 ，则弦 的中点到圆心 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弦中点为 ，则 ，且 。 代入得 ，即 ，。故选 B． 4．过点 作圆 的切线，切点为 ，则 ______． 【答案】 【详解】，半径 。 切线长 。 5．过圆 上一点 作该圆的切线，切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则切线为 。 它在两坐标轴上的截距分别为 、，围成的三角形面积 。 因为 ，所以 ，当 等（即 ）时取等号。故选 A． 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆心为 ，半径 。直线化为 。 由相切得 ，即 。 解得 。故选 D． 7．从原点向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 ，圆心到原点的距离 。 切线长 。故选 A． 8．直线 被圆 截得的弦长为______． 【答案】 【详解】圆心 到直线 的距离 ，半径 。 弦长 。 9．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以点 在圆上。 由切线公式 得 ，两边同除 得 。故选 A． 10．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 。 相切需 ，即 ，解得 。故选 A． 题型五 与圆有关的轨迹与最值 1. 轨迹方程（直接法） 设动点 ，把题设的几何条件直接翻译成等式，再化简整理。条件中出现“到两定点距离之比为常数 ”时，轨迹是阿波罗尼斯圆。 2. 轨迹方程（相关点法） 若动点 随已知曲线上的点 而动，先写出 与 的坐标关系，反解出 的坐标代入已知曲线方程即可。 3. 圆上点到定点的距离 设圆心为 、半径为 ，定点为 ，则圆上点到 的距离的最大值为 ，最小值为 。 4. 圆上点到直线的距离 设圆心到直线的距离为 ，则圆上点到该直线距离的最大值为 ，最小值为 。“圆上恰有 个点到直线的距离为定值”这类题，本质是讨论两条平行线与圆的交点个数。 5. 型与斜率型最值 设 ，转化为直线与圆有公共点（）解出 的范围； 型看作动点与定点连线的斜率，同样转化为直线与圆的位置关系。 易错提醒 用 求范围时，别忘另一条切线可能斜率不存在，此时最值在端点处的竖直/水平位置取得；求轨迹时要检验轨迹是否完整（有无多余点、缺失点）。 【经典例题】 1．已知点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 。 两边平方：，展开得 。 整理得 ，即 。 配方得 ，轨迹是圆心为 、半径为 的圆（阿波罗尼斯圆）。故选 A． 2．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。 是圆上一点 与原点连线的斜率 。 过原点的直线 与圆有公共点的条件是 ，即 ，化简得 。 注意圆与 轴相切于 ，此时 、 无意义，对应“另一条斜率不存在的切线”，故 。 所以最小值为 （在切点 处取得）。故选 B． 3．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 两圆上各取一点，距离的最大值等于“圆心距 两半径”，即 （最小值则为 ）。故选 A． 4．已知点 ， 为圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 、。因为 是 的中点，所以 ，，反解得 ，。 代入 得 ，即 ，。故选 C． 5．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方后知圆心为 、半径 。 是圆上的点 与定点 连线的斜率 。 直线 即 与圆有公共点，故 。 两边平方得 ，即 ，。 故最大值为 。故选 A． 6．圆 上的点到直线 的最大距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 ，圆心到直线的距离 。 故圆上点到直线的最大距离为 （最小距离为 ）。故选 A． 7．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 。 因为 ，两圆外离。 故 ，。故选 A． 通法：两圆上各取一点的距离最值，就是“圆心距 两半径之和”。 8．已知实数 、 满足 ，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】 是圆 上的点 到定点 的距离的平方。 ，半径 ，故距离的范围是 。 平方得所求范围为 ，即最大值为 、最小值为 。故选 A． 注意：题目问的是平方的最值，必须先求出距离的范围再平方，不能直接把距离的最值平方后就完事（这里恰好单调，但要养成习惯）。 【变式训练】 1．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是圆 上的点 到点 距离的平方。 ，半径 ，故圆上点到 的最小距离为 。 所求最小值为 。故选 A． 2．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆上到直线距离为 的点，落在与该直线平行且距离为 的两条直线 、 上。 设圆心到已知直线的距离为 ，则圆心到这两条平行线的距离分别为 与 。 半径为 ，一条线与圆交 个点需距离 ，相切（ 个点）需距离 。 要使总点数恰为 ，只能是一条相切、一条相交：由 得 ，此时 ，该线过圆心交 点，合计 个，符合。 由 得 ，即 。故选 B． 3．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。 设 ，则直线 与圆有公共点，故 ，即 。 解得 ，所以 的最大值为 。故选 C． 4．已知点 在圆 ： 上，点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。 圆心到直线 的距离 。 圆上点到该直线距离的最小值为 ，这也是 的最小值（取 为 到直线的垂足时达到）。故选 A． 5．已知 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 。 展开整理得 ，即 ，也就是 。故选 A． 结论：到两定点距离相等的点的轨迹，就是这两点所连线段的垂直平分线。 6．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 、，由中点坐标公式得 ，。 反解得 ，。 代入 ：， 整理得 ，即 ，配方得 。故选 A． 7．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，它是圆上点与定点 连线的斜率。 直线 即 与圆有公共点，故 。 两边平方得 ，即 ，解得 。 当点 趋近 时 ，故取值范围为 。故选 A． 注意：圆与直线 相切于 ，该点使分母为 ，但对应的斜率趋向无穷，不影响取值范围。 8．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 。 因为 ，直线与圆相离，故最小距离为 。故选 A． 9．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆圆心分别为 、，半径都为 ，圆心距 ，两圆外离。 故 。故选 A． 10．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，半径 ，。 是圆上点到原点距离的平方，距离的最小值为 。 故最小值为 。故选 A． 【巩固练习】 1．若动点 到点 与点 的距离之比为 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 。 展开得 ，整理得 ，即 。 配方得 。故选 A． 2．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 是圆上的点 到原点距离的平方。 圆心 到原点的距离 ，半径 ，故圆上点到原点的最大距离为 。 所求最大值为 。故选 C． 3．若圆 与圆 有公共点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两圆半径分别为 、，圆心距 。 两圆有公共点 ，即 。 左边恒成立（）；右边化为 ，即 ，解得 。故选 B． 4．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是______． 【答案】 【详解】设 ，则直线 与圆 有公共点。 由 得 ，即 。 5．过直线 上一点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 最小等价于 最小，即 取为原点到直线 的垂足。 。 于是 。故选 A． 6．已知点 在圆 上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是圆上的点 与定点 连线的斜率 （点 使分母为 ，此时比值无意义，其余点均可取）。 过 的直线 与圆有公共点的条件是 ，即 。 两边平方得 ，即 。 又当 趋近 时 ，故取值范围为 。故选 A． 7．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心 到直线的距离 ，半径 。 因为 ，直线与圆相离，故最小距离为 。故选 A． 8．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 。 设 ，则直线 与圆有公共点，故 。 两边平方得 ，即 ，。 故最大值为 。故选 A． 9．若动点 到 与 的距离之比为 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 。 展开得 ，整理得 ，即 。 配方得 。故选 A． 10．已知实数 、 满足 ，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】 是圆 上的点到定点 距离的平方。 ，半径 ，故距离的范围是 。 平方得所求范围为 ，即最大值为 、最小值为 。故选 A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆及其方程 题型一 圆的方程 1 题型二 直线与圆的位置关系 4 题型三 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值 6 题型四 圆的切线与切线长问题 8 题型五 与圆有关的轨迹与最值 11 题型一 圆的方程 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 【经典例题】 1．过 、、 三点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆 的圆心在直线 上，且经过 、 两点，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 3．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知圆 ：，则点 与圆 的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 5．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 7．已知点 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．圆心为 、半径为 的圆 B．圆心为 、半径为 的圆 C．圆心为 、半径为 的圆 D．直线 8．已知圆 过 、 两点，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．与 轴相切，圆心在直线 上，且半径为 的圆的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 3．若圆 过 、、 三点，则（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知圆过点 ，圆心在直线 上，且与直线 相切，则该圆的方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．圆心为 、半径为 的圆 B．圆心为 、半径为 的圆 C．圆心为 、半径为 的圆 D．直线 9．圆 的面积为（　　） A． B． C． D． 10．已知圆 过 、 两点，且圆心在直线 上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．过原点，且与直线 相切于点 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知圆 过 、 两点，且圆心在 轴上，则圆 的方程为（　　） A． B． C． D． 5．若点 在圆 的内部，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．圆心在直线 上，且过 、 两点，半径为 的圆的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 7．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 8．若方程 表示圆，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．过 、、 三点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 10．以点 为圆心且与 轴相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 题型二 直线与圆的位置关系 判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 【经典例题】 1．直线 与圆 的位置关系及截得的弦长为（　　） A．相切 B．相交，弦长 C．相交，弦长 D．相离 2．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 4．已知圆 ：，直线 ： 被圆 截得的弦长为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 5．已知圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 6．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 7．已知点 在直线 上，过 向圆 引切线，则切线长的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知直线 ： 与圆 ，则直线 与圆的位置关系是（　　） A．一定相交 B．一定相切 C．一定相离 D．与 的取值有关 【变式训练】 1．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B． C． D． 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 5．过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 6．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 7．直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 8．已知点 与圆 ：，则点 到圆 上点的最短距离为（　　） A． B． C． D． 9．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．若圆 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【巩固练习】 1．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 3．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 4．若直线 与圆 相离，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 5．若圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 7．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 8．圆 被 轴截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 9．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 10．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 题型三 圆与圆的位置关系及与圆有关的最值 1. 两圆位置关系的判定: 设两圆半径为 、，圆心距为 ： (1) 外离； (2) 外切； (3) 相交； (4) 内切； (5) 内含。 2. 公共弦: 两圆方程相减消去 、 项，所得直线方程即为公共弦所在直线的方程（两圆相交时）。 3. 圆上点到直线的最值: 设圆心到直线的距离为 、半径为 ，则圆上点到该直线距离的最大值为 ，最小值为 。 4. 与圆有关的最值（参数法）: 求 型的最值，可设 ，转化为“直线与圆有公共点”，即 ，由此解出 的范围。 【经典例题】 1．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 2．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 3．已知圆 ，则该圆上的点到直线 的距离的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．圆 与圆 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 6．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若圆 与圆 （）内切，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若圆 与圆 外切，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知点 ， 为圆 上的动点，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 5．两圆 与 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 6．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若圆 与圆 （）内切，则 （　　） A． B． C． D． 9．过点 的直线被圆 截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．若圆 与圆 （）外切，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 2．已知圆 ，则该圆上的点到点 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．若实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．若圆 与圆 相交，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．两圆 与 的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 8．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 9．若圆 与圆 内切，则 （　　） A． B． C． D． 10．若实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型四 圆的切线与切线长问题 1. 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法： 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率， 再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程． 若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 2. 切线长：从圆外一点 引切线，切点为 ，圆心为 ，则 ，来自直角三角形 的勾股关系。 3. 切点弦：从圆 外一点 引两条切线，切点为 、，则直线 的方程为 （与过圆上一点的切线同形，意义不同）。 4. 弦长与弦心距：设圆心到直线的距离为 、半径为 ，则弦长 。 越小弦越长： 时弦长最大为 （直径）。 易错提醒：弦长公式里的 是圆心到直线的距离，不是原点到直线的距离；求弦长前先确认 ，否则两曲线根本不相交。 【经典例题】 1．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．过点 作圆 的切线，则切线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 4．若直线 被圆 截得的弦长最大，则 （　　） A． B． C． D． 5．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 6．过点 的直线被圆 截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 8．过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 【变式训练】 1．从点 向圆 引两条切线，切点分别为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 2．与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． B． 或 C． 或 D． 3．过点 的直线与圆 交于 、 两点，且 ，则该直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 4．过点 作圆 的切线，则切线方程为（　　） A． B． C． D． 5．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 6．过点 作圆 的两条切线，切点为 、，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 7．与圆 相切且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 8．直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 9．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 或 10．过原点作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【巩固练习】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 2．过点 且与圆 相切的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 3．若圆 的弦 的长为 ，则弦 的中点到圆心 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．过点 作圆 的切线，切点为 ，则 ______． 5．过圆 上一点 作该圆的切线，切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 7．从原点向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B． C． D． 8．直线 被圆 截得的弦长为______． 9．过圆 上一点 的切线方程为（　　） A． B． C． D． 10．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B． C． D． 题型五 与圆有关的轨迹与最值 1. 轨迹方程（直接法） 设动点 ，把题设的几何条件直接翻译成等式，再化简整理。条件中出现“到两定点距离之比为常数 ”时，轨迹是阿波罗尼斯圆。 2. 轨迹方程（相关点法） 若动点 随已知曲线上的点 而动，先写出 与 的坐标关系，反解出 的坐标代入已知曲线方程即可。 3. 圆上点到定点的距离 设圆心为 、半径为 ，定点为 ，则圆上点到 的距离的最大值为 ，最小值为 。 4. 圆上点到直线的距离 设圆心到直线的距离为 ，则圆上点到该直线距离的最大值为 ，最小值为 。“圆上恰有 个点到直线的距离为定值”这类题，本质是讨论两条平行线与圆的交点个数。 5. 型与斜率型最值 设 ，转化为直线与圆有公共点（）解出 的范围； 型看作动点与定点连线的斜率，同样转化为直线与圆的位置关系。 易错提醒 用 求范围时，别忘另一条切线可能斜率不存在，此时最值在端点处的竖直/水平位置取得；求轨迹时要检验轨迹是否完整（有无多余点、缺失点）。 【经典例题】 1．已知点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知点 ， 为圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 5．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．圆 上的点到直线 的最大距离为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 8．已知实数 、 满足 ，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式训练】 1．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．已知点 在圆 ： 上，点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知 、，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知点 ， 是圆 上的动点，则线段 的中点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D． 9．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若动点 到点 与点 的距离之比为 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．若圆 与圆 有公共点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是______． 5．过直线 上一点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知点 在圆 上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D． 8．已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 9．若动点 到 与 的距离之比为 ，则点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 10．已知实数 、 满足 ，则 的最大值与最小值分别为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $