第08讲 2.4.2圆的一般方程专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“定义辨析-方程转化-应用拓展”为主线，系统构建圆的一般方程从概念到综合问题的解题体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3知识点+2即学即练|定义三要素（系数特征、判别式、点与圆关系判定）|从一般方程定义出发，对比标准方程特征，建立位置关系判断通法| |题型精讲|10题型+3典例/题型|参数范围确定（判别式法）、方程转化（配方法）、轨迹方程（代入法）、最值问题（几何法）|按“理解方程→求方程→转化应用→综合拓展”递进，覆盖高考高频考法|

第08讲 2.4.2圆的一般方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 第三部分 题型精讲 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 题型02求圆的一般方程 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【变式1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为________． 【变式3】（24-25高二上·四川·期中）已知圆过三点，则圆的面积为______． 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）圆的半径大小为___________. 【变式1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为___________ 【变式3】（25-26高三上·福建福州·期中）已知圆，则半径是_______． 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05圆过定点问题 【典例1】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【变式1】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【变式2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【典例2】（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【变式1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型08圆的对称问题 【典例1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【变式1】（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【变式2】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 题型09圆的实际应用 【典例1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【变式1】如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________.    【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 题型10圆的综合问题 【典例1】（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【典例2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【变式1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【变式2】（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【变式3】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京顺义·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 6．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 10．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. B能力提升 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 2．（吉林省实验繁荣高级中学2025-2026学年高二上学期学程性考试（一）数学试卷）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 3．若实数满足方程，求代数式的取值范围． 4．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 5．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 2.4.2圆的一般方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 第三部分 题型精讲 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式2】（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型02求圆的一般方程 【典例1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 【典例2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·四川·期中）已知圆过三点，则圆的面积为______． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的方程为， 其标准方程为，半径， 故其面积． 故答案为： 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）圆的半径大小为___________. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的半径大小为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B 【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为___________ 【答案】 【分析】将方程化为，根据其表示圆列不等式求参数范围. 【详解】由题设表示圆，则，即. 故答案为： 【变式3】（25-26高三上·福建福州·期中）已知圆，则半径是_______． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，再根据标准方程确定圆的半径. 【详解】由圆，得到， 所以圆的半径为. 故答案为： 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 题型05圆过定点问题 【典例1】当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【变式1】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则， 则点轨迹方程为. 故选：C. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】设点的坐标，根据切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理即可建立等量关系，从而求出P点的轨迹方程. 【详解】设是轨迹上任一点，连接，，， 由圆的方程为，则圆心为， 根据切线的性质，则， 则由勾股定理可得，即，所以， 即P点的轨迹方程为. 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 【答案】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，结合已知条件用点的坐标表示出点的坐标，再利用点与圆的关系，即可求解． 【详解】如图，设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标是，且是线段的中点，所以，． 于是有，， 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．    ② 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为． 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，求出、、，即可得解； （2）设中点为，圆上任一点，利用相关点法计算可得. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）设中点为，圆上任一点， 因为，所以 整理得 ， 代入圆的方程得，整理得，   所以中点的轨迹方程为； 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 【典例2】（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 题型08圆的对称问题 【典例1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 【变式1】（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 【变式2】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 题型09圆的实际应用 【典例1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 【变式1】如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________.    【答案】（不唯一） 【分析】以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，根据用坐标表示可得答案. 【详解】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，设， 因为，所以， 化简，得， 当时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式， 故杆的交点P的轨迹方程是. 因为取原点的位置不一样，所以答案不一样. 故答案为：（答案不唯一）.    【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用数形结合思想，根据圆的标准方程，可得答案； （2）利用圆的对称性，求隧道边缘最高点，比大小，可得答案. 【详解】（1）因为，所以C的，由圆心，，则圆C的方程是. （2）当时，米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过. 题型10圆的综合问题 【典例1】（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 【典例2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 【变式1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 【变式2】（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】（1）根据圆的一般式方程知,当时方程表示圆； （2）由半径,通过配方可以求出圆的最大半径以及半径最大时圆的方程. 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 【变式3】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，5 【分析】（1）设圆心得到圆的方程，代点坐标得到方程组，解方程组即可求得圆的方程； （2）设点坐标，列出，代入坐标的关系式化简即可得到定值. 【详解】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴， 解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 3．（25-26高二上·北京顺义·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求圆心，根据直线经过圆心可得答案. 【详解】圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆心，可得，即. 故选：A 4．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 5．（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先判断点和圆的位置关系，然后根据点和圆的位置关系确定正确答案. 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    6．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 7．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 8．（多选）（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 9．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 10．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】分，和三种情况求解. 【详解】由于为等腰三角形， 若，设，则， 化简得， 但由于三点不能共线，则与不共线， 得到， 所以， 即，结合，得， 所以点C的一个轨迹方程为； 若， 则点C的一个轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 则点C的一个轨迹方程为； 同理当时，点C的一个轨迹方程为. B能力提升 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； （2）设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 2．（吉林省实验繁荣高级中学2025-2026学年高二上学期学程性考试（一）数学试卷）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足，设点P所构成的曲线为． (1)求点P的轨迹的方程；若满足曲线的方程，求的最大值及最小值． (2)若，求点Q的轨迹的方程． 【答案】(1)；最大值为；最小值为； (2). 【分析】（1）设结合题意列方程化简即可求得的方程，表示为圆上的点到的距离，根据点到圆上点距离最值求法计算即可. （2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程. 【详解】（1）设，由可得，， 化简可得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 表示为圆上的点到的距离， 因为，所以点在圆外， 点与点的距离为， 所以最大值为，最小值为； （2）设点，由，可得， 即则有（*）， 因点在圆上，故有， 将（*）代入上式得：，即. 故点的轨迹的方程为：. 3．若实数满足方程，求代数式的取值范围． 【答案】 【分析】设，转化可得，构造向量，结合题设可得，，借助求解即可. 【详解】设，则 ①， 方程可化为． 故可将①式写成． 构造向量， 则，， 由，得，解得， 故所求的取值范围是． 4．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. (2) 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）略 （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 5．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $