2.2.3直线的一般式方程专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线一般式方程的概念辨析、形式转换及位置关系判断，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线的一般式方程及辨析|8题|基础书写与概念辨析，含多选|概念生成：斜率、截距与一般式的关系| |直线方程形式之间的转换|9题|方程互化与实际应用（面积、截距）|应用拓展：五种方程形式的灵活转换| |一般式方程判断两直线平行|8题|参数计算与位置关系判断，含多选|原理推导：平行的充要条件应用| |一般式方程判断两直线垂直|12题|垂直条件与综合应用，含多选|原理深化：垂直的充要条件及几何意义| |直线过定点问题|8题|定点探究与参数范围，含解答题|综合应用：方程恒成立与几何位置关系|

2.2.3直线的一般式方程 （题型专练）答案版 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，． （2）直线方程为， 即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为. 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、直线图象的辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 4．（25-26高一下·海南海口·期末）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 5．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，，写出直线的一般式方程. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】先由两点计算直线的斜率，再由点斜式可得直线方程，再化为一般式可得. 【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为， 则直线，所以直线的一般式方程为. 6．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设该直线的倾斜角为，则由题意， 又，所以. 7．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 9．（第01讲直线的方程（复习讲义）（全国通用）-2）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【知识点】斜率公式的应用、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 11．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】(1)或 (2)或． 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. （2）根据截距式直线方程，并化为一般式. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 13．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、根据直线的法向量求直线方程 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 14．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线过定点问题 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 17．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】 0 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 19．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 20．（25-26高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 21．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 22．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【知识点】根据充要条件求参数、已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 23．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 24．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 25．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）（多选）已知直线，则（    ） A．直线经过定点 B．直线经过定点 C．存在实数，使得 D．当时， 【答案】AD 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】对A和B，利用直线方程特点，将方程进行转化，即可求解；对C，利用一般方程形式两直线平行的充分条件，得，利用方程无解，即可求解；对D，当时，分别求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之间的关系，即可求解. 【详解】对于A，由，得到， 由，解得，所以直线经过定点，故A正确， 对于B，由，得到， 由，解得，所以直线经过定点，故B错误， 对于C，由，得到，， 所以方程无解，则不存在实数，使得，故C错误， 对于D，当时，， 直线的斜率为，直线的斜率为，则，所以，故D正确， 故选：AD. 26．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 27．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 【答案】BD 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】把直线方程化成斜截式，可判断A的真假；根据平行直线的判断方法判断B的真假；根据垂直之线的判断方法判断C的真假；设，平移得点坐标，代入直线的方程验证可判断D的真假. 【详解】对A：由，为直线的斜截式方程，故A错误； 对B：因为，所以直线与平行，故B正确； 对C：因为，所以直线与不垂直，故C错误； 对D：设，则，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，因为，所以点仍在直线上，故D正确. 故选：BD 28．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨  注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 29．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再由两条直线的位置关系可得，进而利用基本不等式求解即得. 【详解】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 30．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、由一般式方程判断直线的垂直 【详解】是的充要条件. 31．（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 32．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【知识点】直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据截距、方向向量的定义，结合两直线平行与垂直的性质逐一判断即可. 【详解】A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确； B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确； C：由，所以直线的一个方向向量为， 而， 所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确； D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确， 故选：BD 33．（第12讲直线的一般式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 34．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】因为，所以，所以. 35．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 36．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入点来求得正确答案. （2）通过中点和斜率求得线段的垂直平分线的方程. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. （2）线段的中点为，斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即. 37．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）设是直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可； （2）设点是所在直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设是直线上任意一点，则， 因为点D，E分别为边，的中点，所以，， 则，， 所以， 即为直线的方程． （2）设点是所在直线上任意一点，则，所以， 又，，所以， 即为所求直线的方程． 38．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 39．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：C. 40．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 41．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 42．（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 43．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 44．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 45．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、直线过定点问题、平面向量共线定理的推论 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 46．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 47．（25-26高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 【答案】AC 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D. 【详解】若，：，：，显然成立， 若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误； 的方程可化为，即，所以过定点，故C正确， ，所以过定点，故D错误. 故选：AC. 48．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. (2)或； (3). 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【详解】（1）证明略，. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3直线的一般式方程 （题型专练）原卷版 直线的一般式方程及辨析知识点01 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·海南海口·期末）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 5．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，，写出直线的一般式方程. 6．（25-26高二下·湖北·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 直线方程形式之间的转换知识点02 9．（第01讲直线的方程（复习讲义）（全国通用）-2）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 11．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 12．（25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 13．（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 一般式方程判断两直线平行知识点03 17．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 18．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 19．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 20．（25-26高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若，则 21．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 22．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 23．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 一般式方程判断两直线垂直知识点04 25．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）（多选）已知直线，则（    ） A．直线经过定点 B．直线经过定点 C．存在实数，使得 D．当时， 26．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 27．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 28．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 29．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 30．（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 31．（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 32．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 一般式方程判断两直线垂直知识点05 33．（第12讲直线的一般式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 34．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 35．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 36．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 37．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 38．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 直线过定点问题知识点06 41．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 43．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 44．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 46．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 47．（25-26高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 48．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $