第20章二次根式期中专题复习二 2026-2027学年数学沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-运算逻辑链，通过多校期中真题系统训练定义理解、性质应用及运算技能，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式及其性质|含选择、填空、解答题，覆盖多校期中真题|以概念辨析（最简二次根式）、有意义条件、性质化简为主|从定义（被开方数非负）到性质（化简、取值范围），构建概念生成逻辑| |二次根式的运算|含选择、填空、解答题，包含综合化简求值|涉及同类二次根式识别、四则运算、有理化及实际应用|以性质为基础，延伸至运算技能（同类合并、有理化），形成应用拓展链条|

第20章二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一.选择题 1.(2025年青浦区实验中学期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.0.5 B.√9a C.√a2+b2 D.V2 2.(2025年静安田家炳中学期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是() xy A.V45 B.3 C.a2-b2 D.Va2+2a+1 二.填空题 x+3 √x+3 1.(2025年建平中学期中)如果Vx-1√x-有意义，那么x的取值范围是 2.(2025年奉贤区期中)若二次根式V3-x 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 √5-3x 3.(2025年金山区期中)当x_时，代数式x2-4有意义， 1 4.(2025年七宝中学期中)二次根式1Vx-2有意义的条件是 第1页 Vx-2 5.(2025年青浦区实验中学期中)当_时，x-3有意义. 6(2025年浦东区期中)使代数式V3xr- 有意义的x的取值范围是 7.(2025年静安田家柄中学期中)等式Vx-2)(x-3)=V(x-2)Vc-3)成立的条件 是 8(2025年建平中学期中)若y=Vx-3+V3-x+1,则(x+y}= 三.解答题 1(2025年静安田家炳中学期中)已知x,v是实数，且少=Vx一9+V9-x2-2 x+3 一，求 5x+6y 的值. 考点2：二次根式的性质 一.选择题 1.(2025年建平中学期中)在下列各式中，是最简二次根式的是() A12 C.a2+4a D.4a2-b2 第2页 2.(2025年浦东区期中)在下列二次根式中，是最简二次根式的是() a A.12a B.√0.2m C.4+x2 D.V3 3.(2025年青浦区实验中学期中)如果V(2a-=1-20,则a的取值范围是() 1 1 A.a<2 B.as 2 2 D. 2 二.填空题 1.(2025年七宝中学期中)化简：V12m2n(m>0)= 2(2025年奉贤区期中)化简：V8后- 3.(2025年建平中学期中)化简：V4ab(a<0)= 4.(2025年静安田家炳中学期中)，化简：V 2b<0)=— 2 5.(2025年青浦区实验中学期中)化简：V3a 6(2025年浦东区期中)化简：VW3-2y= 4a2 7.(2025年浦东区期中)已知a>0:化简Vb 专题二：二次根式的运算 第3页 考点1：同类二次根式 一.选择题 1 1.(2025年建平中学期中) 根式V27,√8，√3，V10中，与√2是同类二次根式的 有()个 A.1 82 C 3 2.(2025年静安田家炳中学期中)下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是() A.V27ab2和√12a B.5V2x和5V3x C.V2和Vx2y ,a和 二.填空题 1.(2025年建平中学期中)）若最简二次根式2Vx+7与3V9-是同类二次根式，则x 2(2025年七宝中学期中)如果受筒=次根式23+b与210 是同类二次根式，那么 ab 的值等于」 3.(2025年青浦区实验中学期中)最简二次根式2一与1-2x是同类二次根式， 则x= 4.(2025年浦东区期中)若最简二次根式Vm-2与V8m+7是同类二次根式，则m的 值为一 三.解答题 第4页 .(2025年金山区期中)已知x、y是实数.少=一25+√25-x x+5 ,且最简二次根 式2m-2(m<0)与V2是同类二次根式，求代数式x+y+m的平方根。 考点2：二次根式的运算 一.选择题 1.(2025年奉贤区期中)下列计算正确的是() A.（-V2)x(-3)=6 B.2x3=23 c.(-2)2×V(-3)}2=6 D.6:(V2-5=3-V2 2.(2025年七宝中学期中)2-V5的倒数是() A.V5+2 B.2-V5 c3-2 D.3-2 1 3(2025年金山区期中)当≤3时，化简-6x+97+1-3x=《) 第5页 2-6x D 6x-2 A.0 B. C.2 4(2025年浦东区期中)在下列各式中，是V2a+b 的有理化因式的是() A.2a+b B. 2a-b C.2a+b D.2a-b 5.(2025年金山区期中) a+b 的一个有理化因式是() A.Ja-b B.Va+b c.Ja-/b D.Va+b 6.(2025年建平中学期中)下列代数式中，二次根式Vm+n 的有理化因式可以是 () A.Vm+n; B.m-Vn C.vm+n; D.Vm-n 7.(2025年七宝中学期中)下列结论中正确的个数是() ①V0-V2)2=1-V2,②V+b2是最简二次根式：③V18和v27不是同类二次根式： ④N-V少的有理化因式是x-y:⑥不等式亿-5r>1的解集是x>-2-5;© 1.98×105 的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二.填空题 1.(2025年静交田家柄中学期中)）Vm+Vn的有理化因式可以是 2.(2025年奉贤区期中)如果一个二次根式与V-) 相乘的积不含有根号，这个二次根式 可以是·（只需写一个） 3.(2025年青浦区实验中学期中)写出Va-1 的一个有理化因式： 、 第6页 4.(2025年浦东区期中)计算：2 5 25 5(2025年建平中学期中)计算：2V) 8(a5年金区巾)者0x1则y+2-+4=一 7.(2025年静安田家炳中学期中)不等式x≤V2x+1的解集是 8(2025年金山区期中)已知a是4的算术平方根，则不等式x>5(x-2)的解集是 9.(2025年建平中学期中)不等式：V5<2x1的解朱是 三.解答题 1.(2025年七宝中学期中)计算： 2c年+m.÷i+5万写 3（2025年定平中学期中)计算： 6(5+)522+-可 第7页 连8嵬 艺水×外g信a,8 0<90<经细小g八9海4中u o<m<2号)四号 9興（中雌素中书S0z)9 一之》r+8八是利（中雀风聚出s)s (9-g小水g少+八少落共（4习联女s)七 ab3.1 9.(2025年静安田家炳中学期中)计算：√16宁a×√8b2. 10.(2025年青浦区实验中学期中)计算：12aVab÷362、 2b2 Vb x va. 11.(2025年青浦区实验中学期中)计算：a a-b a-4ab+4b 12.(2025年静安田家炳中学期中)先化简，后求值：√a+√石2√b-√a,其中 11 a= ,b= 2 18. 第9页 13.(2025年建平中学期中)化简求值：当x=3,y=4时 时，求代数式 x-9y x+2xy+y Vx-3)Vx+√y的值. 2x2-2x+2 14(2025年青浦区实验中学期中)已知X=3-1,求x一1的值. a-b a-2Jab+b 15.(2025年金山区期中)先化简，再求值：√a+V6√a-√b，其中a=3: 3 第10页 x-1,x+2Wx+1 6(2025年浦东区期中)先化简，再求值：-1+1，其中x二 2 17.(2025年静安田家炳中学期中)已知x=V19-8V3求代数式 x4-6x3-2x2+18x+23 x2-8x+15 的值. 18.(2025年七宝中学期中)先化简，再求值： a-b a-4vab+4b Ja+b Ja-21b 其中。是4的算术平方根，b是。的倒数 2025年建平中学翅中已知+y=一5，y判断，和，的正负并求十 的值. 第11页 20.(2025年静安田家炳中学期中)已知 a=(2+5)m(5-2-2(5+2°+V-2,求a2+40的值. 21.(2025年金山区期中)解方程：V5(x-V5)=V(x+V2) 22(2025年金山区期中)解不等式：V7x-3>V7+3x 23.(2025年青浦区实验中学期中)解不等式：V3x+2<V5x 第12页 24.(2025年建平中学期中)我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一 个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果 ax+b=0 a=0b=0 ,其中a,b为有理数，x为无理数，那么且.运用上述知识，解决 下列问题： )如果(a-2)小V5+b+3=0,其中a,b为有理数，那么a=一，b=一 (2)如果(2+v2)a-(1-v2)b=5,其中a,b为有理数，求a+2b的值. 2 25.(2025年奉贤区期中)【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简√3+1： 2三31_（人-_（5+5-5-1，我们这的化简方法叫作 3+13+13+1 V3+1 第13页 “二次根式的因式分解法”· 【完成任务】 A (1)如果二次根式√8一√5能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值， A 并将√8一√5用“二次根式的因式分解法”进行化简： m-n (2)用“二次根式的因式分解法”化简√m-√n(其中m>0、n>0). 26(2025年浦东区期中)阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式+6x+5的 最小值， :x2+6x+5=x+2x3+32-32+5=(x+3-4,且x+3≥0 当=-3时，+6x+5有最小值4 请根据上述方法，解答下列问题： )若+4r-1=(x+a+b,则b的值是 第14页 (2)求证：无论x取何值，二次根式V?+x+4都有意义： (3)若代数式2r2+ce+7 的最小值为2，求的值. 27.(2025年青浦区实验中学期中)材料一：由 (5+V35-3)=(N5>-(5}=2可以看出，丙个含有二次根式的代数式相乘， 积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用 有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 第15页 1 √5-√2 =5-2 V3+V2(W3+V2(V3-V2) 材料二：根式化简 +D北-) 1 1 V5-1 5g+s85店4 1 1 √5-3 根据以上材料，请完成下列问题： 3 (1)3-6一：（值接写结果） 1 1 1 (2)计算：2+15+2+4+N5++ 100+99: 1 1 3)计算：3+V553+35+7W5+57++ 49√47+47V49; (4)计算： V5-V5 √7-W5 √2025-√2023 1+V5+V5+V3x5+i+V5+V7+V5x7+.+1+2023+V2025+V2023x2025 第16页 第20章 二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一．选择题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 2.（2025年静安田家炳中学期中） 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式），逐一分析各选项，即可作答． 【详解】解：A、，含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； B、含分母，故不是最简二次根式； C、属于最简二次根式， D、含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式； 故选：C 二．填空题 1.（2025年建平中学期中） 如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 2.（2025年奉贤区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 3.（2025年金山区期中）当_____时，代数式有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据分母不为零且根号内表达式非负，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ， 由  解得 ， 由  解得 ， 综上，x的取值范围为  且 ． 故答案为： 且 ． 4.（2025年七宝中学期中） 二次根式有意义的条件是____________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，同时考虑分式中分母不能为零，据此进行解题即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：且 由于分子， 所以分母，解得． 故答案为． 5.（2025年青浦区实验中学期中） 当______时，有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 6.（2025年浦东区期中） 使代数式有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得：． 解得：． 故答案为： 7.（2025年静安田家炳中学期中） 等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 8.（2025年建平中学期中） 若，则___________． 【答案】16 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定的取值范围，进而求出和 的值，最后计算． 本题考查了二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由二次根式的定义，被开方数必须满足非负条件： 且， 即且， 故； 故， 则， 故答案为：16． 三．解答题 1.（2025年静安田家炳中学期中） 已知是实数，且，求的值． 【答案】13 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得x=3， 所以，y=， 所以，5x+6y=5×3+6×()=15-2=13． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和代数式求值．掌握二次根式中被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0是解题关键． 考点2：二次根式的性质 一．选择题 1.（2025年建平中学期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键；因此此题可根据“被开方数不含有开得尽方的数及分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选D． 2.（2025年浦东区期中） 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： ，不是最简二次根式． ，不是最简二次根式． ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 故选：C． 3.（2025年青浦区实验中学期中） 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 二．填空题 1.（2025年七宝中学期中） 化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025年奉贤区期中）化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2025年建平中学期中） 化简：___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和化简，先根据 的条件，确保根式有意义，得出，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：，且二次根式有意义，故 ， ∴ ，即 ， ∴， ∴， 故答案为 ． 4.（2025年静安田家炳中学期中） 化简：=______． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，由于 ，被开方数 ，平方根有意义．化简时，将根号内的表达式变形，利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：因为 ，所以 ， ∴， ∵，∴， ∴ 故答案为：． 5.（2025年青浦区实验中学期中） 化简：______． 【答案】 【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以，化解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6.（2025年浦东区期中） 化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键；根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 故答案为：． 7.（2025年浦东区期中） 已知，化简__________. 【答案】## 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 被开方数分子和分母同乘以，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， 有意义， ∴ ∴ ， 故答案为：． 专题二：二次根式的运算 考点1：同类二次根式 一．选择题 1.（2025年建平中学期中） 根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴与是同类二次根式为，共个， 故选：． 2.（2025年静安田家炳中学期中） 下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 二．填空题 1.（2025年建平中学期中） 若最简二次根式2与3是同类二次根式，则x＝_____． 【答案】﹣2或1 【分析】根据同类二次根式定义列式计算即可； 【详解】解：因为最简二次根2与3是同类二次根式， 所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0， 解得x1＝﹣2．x2＝1， 故答案是：﹣2或1． 2.（2025年七宝中学期中） 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 【答案】28 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 3.（2025年青浦区实验中学期中） 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 4.（2025年浦东区期中） 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ___． 【答案】9 【分析】根据同类二次根式的概念列方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，最后分类讨论即可． 【详解】解：由题意可得：m2-2＝8m+7， 解得：m＝9或m＝-1， 当m＝9时，，，符合题意， 当m＝-1时，没有意义，故舍去， 综上，m的值为9， 故答案为：9 三．解答题 1.（2025年金山区期中） 已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 考点2：二次根式的运算 一．选择题 1.（2025年奉贤区期中）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，掌握知识点是解题的关键． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：，∴B错误． 对于选项C：，，，∴C正确． 对于选项D：，∴ D错误．故选C． 2.（2025年七宝中学期中）的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键． 求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 【详解】解：倒数为，分子、分母同乘得： 则的倒数为． 故选：A． 3.（2025年金山区期中） 当时，化简（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式和绝对值的非负性，结合取值范围简化表达式．将根号内的表达式化为完全平方形式，再根据x的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∵，∴，∴， ∴原式， 故选：B． 4.（2025年浦东区期中） 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 5.（2025年金山区期中） 的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式． 有理化因式的定义是两个含有根式的式子相乘后结果为有理式．对于形如的根式，其有理化因式通常为本身，因为，结果不含根号． 根据有理化因式的定义作答即可． 【详解】解：的一个有理化因式是． 故选： D． 6.（2025年建平中学期中） 下列代数式中，二次根式的有理化因式可以是（ ） A. B. ； C. D. ． 【答案】C 【分析】利用二次根式的乘法，用分别乘以四个选项，结果是一个有理（数）式即为正确结果． 【详解】A选项， 不是有理式，故A选项错误； B选项， 不是有理式，故B选项错误； C选项， 是有理式，故C选项正确； D选项， 不是有理式，故D选项错误． 故选C． 7.（2025年七宝中学期中） 下列结论中正确的个数是（ ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，解不等式，求一个数的近似数等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据二次根式的性质，判断①，最简二次根式的定义，判断②，同类二次根式的定义，判断③，分母有理化，判断④，解不等式，分母有理化判断⑤，求一个数的近似数，判断⑥． 【详解】解：① ，错误； ② 被开方数无平方因子，是最简二次根式，正确； ③，，被开方数不同，不是同类二次根式，正确； ④，有理化因式是 ，不是 ，错误； ⑤，不等式两边除以负数需变号：，解集应为 ，结论错误； ⑥，小数点后第一个非零数字是1，之间有4个0，结论错误． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：A． 二．填空题 1.（2025年静安田家炳中学期中）的有理化因式可以是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的有理化、平方差公式等知识点，灵活运用平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式确定的有理化因式即可． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式可以是． 故答案为：． 2.（2025年奉贤区期中） 如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是_____．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 要使二次根式与 相乘的积不含有根号，需使它们的乘积为一个有理式，且为完全平方数即可满足条件． 【详解】解：，不含有根号． 故答案为：（答案不唯一）． 3.（2025年青浦区实验中学期中） 写出的一个有理化因式：________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 4.（2025年浦东区期中） 计算：__________. 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5.（2025年建平中学期中） 计算：_______. 【答案】 【分析】先把除法化成倒数的乘法，再根据二次根式的运算法则进行计算即可. 【详解】 故填：. 6.（2025年金山区期中） 若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 7.（2025年静安田家炳中学期中） 不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 通过移项和合并同类项将不等式化为标准形式，注意到系数为负数时不等号方向改变，并通过分母有理化简化表达式即可． 【详解】解： ∴ 故答案为：． 8.（2025年金山区期中） 已知是4的算术平方根，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，算术平方根，分母有理化．先根据算术平方根的定义求出，然后代入不等式，通过移项和合并同类项，得到关于 的不等式，由于系数，除以负数时不等号方向改变，最后有理化分母并化简得到解集，即可作答． 【详解】解：∵是 4的算术平方根， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ， 则， ∴， 故答案为：． 9.（2025年建平中学期中） 不等式：x＜2x+1的解集是_____． 【答案】 【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 整理，得 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年七宝中学期中） 计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键． 先化简二次根式，计算括号内减法，将除法变形为乘法，分母有理化，再计算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 2.（2025年奉贤区期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； 根据二次根式的混合运算法则解答即可． 【详解】解： ． 3.（2025年建平中学期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，包括乘法、分母有理化和绝对值的处理．解题时需分别计算各部分，再合并同类项． 【详解】解： ． 4.（2025年浦东区期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握法则． 先分母有理化和计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 5.（2025年浦东区期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握最简二次根式和二次根式的加减运算法则． 由题意可得，，先将每个式子化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 则， ， ， ． 6.（2025年七宝中学期中） 化简 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再利用二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解： = = = =． 7.（2025年建平中学期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．在运算时要明确运算符号和运算顺序．  根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【详解】解： ． 8.（2025年金山区期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ． 9.（2025年静安田家炳中学期中） 计算：×． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算进而得出答案． 【详解】解：原式 10.（2025年青浦区实验中学期中） 计算：． 【答案】4 【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果． 【详解】解：原式＝12a÷3b2 ＝ ＝ ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，掌握计算时先乘除，后化简，运算顺序是解题关键． 11.（2025年青浦区实验中学期中） 计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 12.（2025年静安田家炳中学期中） 先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 13.（2025年建平中学期中） 化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则和对分子进行因式分解． 先对分子进行因式分解，再约分，合并即可化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 14.（2025年青浦区实验中学期中） 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，分式的求值，先对进行分母有理化，得到，再利用完全平方公式把原式转化为，然后代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴原式 ． 15.（2025年金山区期中） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】0，0 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把整理得，以及把整理得，再运算，即可作答． 【详解】解：， ， 则， 当，时，则． 16.（2025年浦东区期中） 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】本题考查了分式、二次根式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 把代入： ． 17.（2025年静安田家炳中学期中） 已知求代数式的值． 【答案】5 【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18.（2025年七宝中学期中） 先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 19.（2025年建平中学期中） 已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 20.（2025年静安田家炳中学期中） 已知 ，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则把化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， ． 21.（2025年金山区期中） 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，分母有理化，先去括号再移项，合并同类项，系数化1，最后进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 22.（2025年金山区期中） 解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握有理化是解题的关键． 先解不等式可得，然后再分母有理化即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 23.（2025年青浦区实验中学期中） 解不等式：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了分母有理数，解不等式，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解： ， 又， ， 解得． 24.（2025年建平中学期中） 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： （1）如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． （2）如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】（1）2， （2） 【分析】本题考查了无理数与有理数、二元一次方程组的应用，熟练掌握无理数的运算是解题关键． （1）根据无理数的运算可得，由此即可得； （2）将已知等式可得，从而可得，解方程组即可得． 【小问1详解】 解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴． 25.（2025年奉贤区期中） 【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简： ，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”． 【完成任务】 （1）如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个A的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简； （2）用“二次根式的因式分解法”化简（其中、）． 【答案】（1）（答案不唯一），化简结果为 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）取，再根据二次根式的因式分解法进行化简即可； （2）根据二次根式的因式分解法进行化简即可． 【小问1详解】 解：当时， ； 【小问2详解】 ． 26.（2025年浦东区期中） 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：， 又，， 无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义． （3）． 【分析】（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴2a=4，a2+b=-1， ∴a=2，b=-5， ∴ab= （2）略 （3）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法． 27.（2025年青浦区实验中学期中） 材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）_______；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1） （2）9 （3） （4） 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $