20.1～20.2 二次根式专题训练 2026-2027学年沪教版(五四制)数学八年级上册

**基本信息** 系统构建二次根式"概念-性质-运算-专题"四层训练体系，以方法提炼为核心，通过典例变式培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本运算|10小节（含性质、加减乘除等）|性质1-4应用、运算步骤（化简-合并-求值）、分母有理化技巧|从概念定义到性质推导，再到加减乘除混合运算，形成完整运算体系| |重点专题|11小节（含非负性、比较大小等）|非负性应用、比较大小四法（平方法/化根法等）、双根化简策略|聚焦中考高频专题，从基础应用到综合拓展，强化知识迁移与问题解决能力|

二次根式专题 一、二次根式基本运算 2 01 二次根式基本运算性质1、2 3 02二次根式基本运算性质3、4 7 03二次根式加减运算 17 04二次根式乘法运算 21 05二次根式除法运算 23 06 二次根式混合运算 26 07二次根式先化简,再求值 31 08 二次根式化简(含字母高次、正负类) 37 09分母有理化 43 010 二次根式运算(平方公式类) 51 二、二次根式重点专题 60 01二次根式有意义的条件 61 02二次根式判断和最简二次根式 64 03有理化因式 66 04同类二次根式 69 05二次根式的非负性 71 06二次根式(整数和小数部分) 74 07二次根式化简(去根号) 83 08二次根式比较大小(特殊值、平方法、化根法、取倒数法) 85 09二次根式化简(数轴和三角形) 88 010二次根式(最小整数) 92 011二次根式(化双根) 95 一、二次根式基本运算 1.二次根式的概念：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 二、二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 2.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 4.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 01 二次根式基本运算性质1、2 【例1】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【答案】（1）18；（2）；（3）；（4）0；（5）14；（6）；（7）； （8）；（9）． 【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方． 【总结】考查二次根式的性质2． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式性质，有理数乘法，有理数乘方，积的乘方，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据二次根式的性质进行化简，然后计算乘法即可； （）先进行积的乘方的运算，然后根据二次根式的性质进行化简，最后计算乘法即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后计算乘方即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·单元复习）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）运用二次根式的性质化简； （2）运用二次根式的性质化简； （3）运用二次根式的性质化简； （4）运用二次根式的性质化简； （5）先逆用积的乘方法则和幂的乘方法则，再运用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 02二次根式基本运算性质3、4 问题：与×相等吗?与相等吗?为什么? 分析：当a≥0,b≥0时，根据积的乘方的性质，(·)²=()²·()²=ab, 根据算术平方根的意义，得=·. 当a≥0,b>0时，也可以推出 我们把这两个结论也作为二次根式的性质： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). 二、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 这说明，如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 【例1】(25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6) (7) (8)； 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． （5）原式． （6）原式=， （7）解：． （8）解：． 【变式1-1】化简： (1) (2) (3)（） (4)（，） (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是掌握（，）． （1）根据计算即可； （2）把被开方数分解，然后再开平方即可； （3）把被开方数分解，然后再开平方即可； （4）把被开方数分解，然后再开平方即可； （5）利用平方差分解因式，再开平方即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2） 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解：由二次根式非负性，可得， ∴原式 ； （2）解：由二次根式非负性，结合，可得， ∴ 原式 ； （3）解：原式= ； （4）解：由二次根式非负性，即有，可得， ∴原式 【变式1-4】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可； （2）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可． 【详解】解：（1）==； （2） ==． 【点睛】本题考查二次根式化简，最简二次根式，掌握化简的方法是把被开方式分成偶次方与余下部分乘积是解题关键． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2-1】（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的性质化简成最简根式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)(a,b＞0)； (3)． (4)(a,b＞0) 【答案】(1) (2) (3) （4） 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质(a＞0)a是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． （4） 【变式2-4】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 03二次根式加减运算 二、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【例1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 解：（1）原式； （2）原式． （3）解：原式 ； （4）解：原式． 【变式1-4】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)x7 【分析】根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）原式2 ； （2）原式＝23 ； （3）原式＝3 ； （4）原式＝2x6x ＝x7． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）； （2）解：； （3）解：． 04二次根式乘法运算 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)18；(2)15；(3)；(4)5；(5)4；(6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 【变式1-1】计算：=__________ ．__________． =________.=______ 【详解】解：；；； ； ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： ． 【答案】 【详解】解． 故答案为：． 【变式1-4】(25-26八上·苏州·月考）计算： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为： 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，解得：；故选：B． 【变式1-6】(25-26八上·南京·月考）等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，可得，解不等式组，得 ， 所以，等式成立的条件是．故选：A． 【变式1-7】(25-26八上·江苏·月考）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 05二次根式除法运算 二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 【例1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式1-1】(25-26八上·浦东·月考）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-2】(25-26八上·苏州·月考）计算：(1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式1-3】(25-26八上·常州·期中）计算：＝___．_________． 【详解】解：（1）原式； （2）===x． 06 二次根式混合运算 【例1】计算 (1) ． (2) ． (3) (4)； (5)； (6)． 【详解】 (1)解：原式． (2)解：． （3）；解： ． （4）解： ； （5）解： ； （6）解：• • ． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）计算： （1） （2） （3）解：． （4）．解：． （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分母有理化． (1)； (2)； (3)． (4)； (5) 【详解】（1）解：； （2）； （3）． (4)解： ． (5)解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 【变式1-3】(25-26八上·苏州·月考）计算 (1) (2) ． (3) (1)【详解】解： ． (2) ． (3)解： ． 【变式1-4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)6 (4) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除运算可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的混合运算及立方根可进行求解； （4）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-5】(25-26八上·河南·月考）计算 (1)． (2)． (3)． (4)． (1)原式 ． (2)解： =． (3)． (4)． 07二次根式先化简,再求值 【例1】先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【详解】解： ， ， ． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，则的值． 【答案】 【详解】先根据分母有理化化简x，再把原式变形即可求解． ∵ ∴． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）已知：，，求：的值． 【答案】81 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）已知，，则______． 【答案】 【详解】先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 解：， 将，代入 得：原式=，故答案为：8． 【变式1-4】(25-26八上·上海·校作业）先化简，再求值：已知a＝，求的值． 【答案】，3 【详解】先化简得，再将代入即可得． 解：原式=== 当代入得： ． 【变式1-5】(25-26八上·浦东·月考）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时，原式． 【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，然后对因式分解，然后整体代入求值即可； （2）先对因式分解，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：． 【变式2-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的值，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入即可； （2）先分别求得、的值，再将通分，最后整体代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知，求， 【答案】， 【知识点】分式的求值、平方根的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了分式的求值，利用完全平方公式和平方根进行求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方根求解． 利用完全平方公式和平方根进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ； ∵ ∴ ∴． 【变式2-3】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故选A． 【变式2-4】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-5】(25-26八上·上海·校作业）已知：，，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∴， ，，，． 【变式2-6】(25-26八上·苏州·月考）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵，，∴原式． 08 二次根式化简(含字母高次、正负类) 【例1】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴．故选D．． 【变式1-4】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）化简二次根式号后的结果是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，原式利用二次根式的性质化简，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-5】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 【例2】（22-23八年级下·江西赣州·期中）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵被开方数，分母.∴，∴. ∴原式． 故选D． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川眉山·阶段检测）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（18-19八年级下·全国·单元测试）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式_____． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）•． 故答案为． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式2-3】（2026八年级下·山东·专题练习）化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【变式2-4】（2026八年级下·山东·专题练习）化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【变式2-5】（2025八年级上·全国·专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 09分母有理化 【例1】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）将代数式分母有理化，结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同乘以求解作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： 【答案】 【解析】解： 【变式1-4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知：，则的值为_______． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中） 【答案】 【详解】解： ． 【例2】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化； 先进行分母有理化，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解：， 同理可得：，，…，， ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式2-2】【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 【变式2-3】3-24八年级下·安徽阜阳·阶段检测）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式2-4】（25-26八年级上·四川达州·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：    ． ，即．   , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： (1)计算： (2)计算： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴． ∴， ∴． 【变式2-5】（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 010 二次根式运算(平方公式类) 【例1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-1】计算 (1) (2)； 【详解】 （1）；解： ． （2）解： ； 【变式1-2】（25-26九年级下·山东济宁·阶段检测）计算：_____________． 【答案】/ 【分析】将原式变形成，利用积的乘方的逆运算、平方差公式、二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【变式1-3】（18-19八年级·全国·课后作业）把下列各式分母有理化： (1)(2) (2) (3)； (4). (5) (6) 【详解】(1)解： ； (2)解： ． (3). (4). (5)解：原式 (6)．解： ． 【变式1-4】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知，求， 【答案】， 【知识点】分式的求值、平方根的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了分式的求值，利用完全平方公式和平方根进行求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方根求解． 利用完全平方公式和平方根进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ； ∵ ∴ ∴． 【变式1-5】(1)． (1)解： ． 1． （25-26八年级上·四川达州·阶段检测）计算__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 2． （25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）计算的结果是_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了含乘方的二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，解题关键是利用平方差公式进行分母有理化． 先进行分母有理化，再利用积的乘方的逆应用，进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 3． （25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）化简的结果为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 4． （2022·天津河西·模拟预测）化简______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：原式 5． （22-23八年级下·云南昭通·阶段检测）若，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 6． （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 【答案】34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用好完全平方公式是解决本题的关键． 先对已知条件进行两边平方化简求解得，再对其进行两边平方化简求值即可． 【详解】解：对两边平方得， ， ∴， 再对两边平方得， ， ∴． 7． （2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 二、二次根式重点专题 一、二次根式的概念 1、代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式. 通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式. 注意：表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式. 2、二次根式的特征 （1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；[根指数2一般省略不写] （2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式. 二、二次根式有无意义的条件 1、二次根式有意义：被开方数是非负数，即 二次根式无意义： 被开方数是负数，即 2、若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数; 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零. 三、二次根式的性质 1. 二次根式的双重非负性 具有双重非负性： （1）被开方数是非负数 （2）本身也是非负数 2.二次根式的性质1： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即. 3.二次根式的性质2： （1） 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； （2） 对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以. 注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于. （3）与的区别与联系： 类别 区别 表示的意义 表示非负数的算术平方根的平方 表示数的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 为任意实数 化简结果 ＝ 联系 （1）结果都是非负数 （2）当时，＝ 01二次根式有意义的条件 【例1】设实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）任意实数. 【解析】 （1）由2x-1≥0,得.所以，当时，有意义. （2）由2-x≥0,得.所以，当时，有意义. （3）由以及x≠0,可知x与1得x>0,.所以，当x>0,时，有意义. （4）因为不论x是什么实数，都有x2 ≥0，可知1+x2 >0.所以当x是任何实数时，有意义. 【变式1-1】添加什么条件时，下列式子是二次根式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或． 【解析】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得；（4）由，得或． 【变式1-2】写出使下列式子有意义的x的取值范围． (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)x为任意实数；(4) 【详解】（1）解：，解得： （2）解：，解得： （3）解：，则x为任意实数 （4）解且，解得： 【变式1-3】设实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1） （2） (3)； (4)． 【答案】（1） 【详解】（1）由题意可得：，且 解得，∴ （2）∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且，解得， （3）解：要使有意义，则， 解得： 且 ，∴的取值范围 且 ． （4）解：∵， 又∵，∴， ∵要使有意义，则， ∴为任意实数时，都有意义，∴的取值范围为一切实数． 【变式1-4】（25-26八年级下·江西赣州·期末）若是任意实数，下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，分式的分母不能为，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项，的被开方数为，当时，被开方数为负数，二次根式无意义，故A错误； B选项，的被开方数为，任意实数的平方都满足， 故对任意实数，都有意义，故B正确； C选项，的被开方数为，当时，，被开方数为负数，二次根式无意义，故C错误； D选项，中分母为，当时，分母为，分式无意义，故D错误． 【变式1-5】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）使得式子有意义的x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】专题:二次根式被开方数为非负数,分式中分母不等于0 解：∵有意义， ∴且， 解得， 解得， ∴的取值范围是且． 02二次根式判断和最简二次根式 【例1】下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意；故选：D． 【变式1-1】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：二次根式有（1），（3），故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①当时，不是二次根式；②当时，不是二次根式； ③是二次根式；④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式；⑥是二次根式．故选B． 【变式1-4】(25-26八上·常州·期中）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴，∴，故选A． 【变式1-5】(25-26八上·南京·月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 【答案】﹣6． 【详解】由题意可得：，解得： ∴m+n＝﹣6故答案：﹣6． 03有理化因式 【例1】（24-25八年级下·全国·随堂练习）填空： （1）的有理化因式为 ______； （2）的有理化因式为 ______； （3）的有理化因式为 ______； （4）的有理化因式为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断，掌握分母有理化的应用是解题的关键． 【详解】解：（）的有理化因式为； （）的有理化因式为 ； （）﹣的有理化因式为 ； （）+2的有理化因式为； 故答案为：；；；． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】A. =,不符合题意;     B. =,不符合题意; C. =,符合题意; D. ·=,不符合题意;故选C. 【变式1-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方差公式和完全平方公式． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，分别根据平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为； ∵， 故的一个有理化因式是， 故答案为：，． (25-26八上·上海·校作业）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是．故选：B． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是，故选：C． 【变式1-4】下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得的有理化因式是：，故选：A． 【变式1-5】（17-18八年级下·全国·单元测试）a－的有理化因式是____________． 【答案】a＋ 【详解】解：的有理化因式是．故答案为． 04同类二次根式 【例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】A、，故和不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、和不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】(25-26八上·苏州·月考）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-5】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 05二次根式的非负性 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性和解二元一次方程组等知识点，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．由绝对值和算术平方根的非负性列方程组求解后，代入x，y的值计算即可． 【详解】解：由题意， 解得， 则． 故答案为：． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知、是实数，且 ， 则 的立方根为 ； 【答案】 【详解】解：由题意知，，，解得，， 则 的立方根为，故答案为：． 【变式1-2】（2022·湖南湘潭·模拟预测）若已知，为实数，且，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， ． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）已知，求的值． 【答案】(25-26八上·洛阳·月考）． 【解析】由题意得：， ． ． 【变式1-4】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-5】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】先求出，则，再根据积的乘方的逆运算，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】∵有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 则 ． 06二次根式(整数和小数部分) 【例1】（25-26八年级上·江苏常州·期末）阅读理解 ∵＜＜，即2＜＜3． ∴1＜﹣1＜2 ∴﹣1的整数部分为1． ∴﹣1的小数部分为﹣2． 解决问题： 已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】±4． 【详解】试题分析：首先得出接近的整数，进而得出a，b的值，进而求出答案． 解：∵＜＜， ∴4＜＜5， ∴1＜﹣3＜2， ∴a=1，b=﹣4， ∴（﹣a）3+（b+4）2 =（﹣1）3+（﹣4+4）2 =﹣1+17 =16， ∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4． 专题：估算无理数的大小． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是___________． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】先估算出的大致范围，然后可求出x、y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴． 【变式1-2】若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，即选项C符合题意．故选C． 【变式1-3】(25-26八上·苏州·月考）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【详解】解：∵，即，，即， ，即，∴，即∴，故选：B． 【变式1-4】(25-26八上·常州·期中）若正整数a、b分别满足，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：∵正整数a、b分别满足，， ∴，∴．故选D． 【变式1-5】（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，又， ， ，， ． 故答案为：10． 【例2】（24-25七年级下·北京·阶段检测）我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：熟练掌握估算无理数的大小的方法． （1）根据，得到，即可求解， （2），计算x，y的值，即可求解， （3）把，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，，是因为，由此可以求无理数的整数部分与小数部分：根据上述信息，回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，则的整数部分是______；小数部分可以表示为______； (3)在（2）的基础上，则的小数部分可以表示为______． 【答案】(1)； (2)2； (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法得到的取值范围即可得到答案； （2）根据题意可得的整数部分，进而可得其小数部分； （3）可求出，则可估算出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是． （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 【变式2-2】【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1)，；(2)和；(3)；(4)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∴的整数部分是，小数部分是，故答案为：，； （2）解：∵，∴， ∴，即，即在和之间； （3）解：∵，∴，∴， ∵，其中是整数，且， ∴，，∴的相反数为，故答案为：； （4）解：∵，∴，∴， ∴，， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∵，∴ ∴或，则或． 【变式2-3】（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则的值为___________． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】先估算出的范围，进而得到的范围，确定和的值，代入计算即可． 【详解】解： ， 的整数部分，小数部分 ． 【变式2-4】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、构造二元一次方程组求解 【分析】先估算的取值范围，得出，再代入，整理得，根据题意得到，解二元一次方程组得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别为的整数部分和小数部分， ∴， 把代入得： ， 整理得： ， ∵a，b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-5】（25-26七年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，代入计算即可； （3）根据题意得到，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，是整数，且， ∴，． （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， 又， ， 的整数部分为， ， 将，代入得：， 的平方根为． （3）解：是有理数，且满足， 整理等式得：， 可得方程组， 解得， 将代入得：， 解得或， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 07二次根式化简(去根号) 【例1】若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 【答案】C 【解析】解：∵，∴，∴．故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则＝________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据，可得 ，结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 【变式1-2】若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，， ，解得，故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南常德·期中）如果，则的值为___________． 【分析】此题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质 ，将原式转化为绝对值表达式，再根据 的取值范围化简绝对值． 【详解】解：因为， 所以，则；，则， 因此，， 故答案为：4． 【变式1-4】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-5】（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】先将根号内的多项式整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，根据的大小判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后计算即可得到结果． 【详解】解： ， 根据二次根式的性质化简得：原式 ， ∵， ∴， ， ∴ 原式． 08二次根式比较大小(特殊值、平方法、化根法、取倒数法) 【例1】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： (1) ______（填“”、“”或“”）． (2) （填，或）． (3) _____（填“>”“<”或“=”） 【答案】 ． 【详解】解：(1)∵，又，∴，∴，故答案为：． (2)【详解】解：∵ ∴ ∴故选：． (3)，且， ， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （1） ； （2） ． （3）_________． 【答案】 【详解】解：（1）∵，， ∵，∴，∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵，∴，∴； 故答案为：． （3）∵，， ， ∴，即． 故答案为：． 【变式1-3】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小__________． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 【变式1-4】（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查比较两个数大小的方法，熟练掌握作差法比较两数大小关系是解题的关键：将与进行作差，比较差值与0的大小关系即可判断这两个数的大小． 【详解】， ． 【变式1-5】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 09二次根式化简(数轴和三角形) 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置确定a，b的取值范围，判断a，b及的符号，利用二次根式的性质将原式化简，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】由数轴可知： ，，且 ， ， 原式 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式． 根据数轴可知，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若数 a、b在数轴上的位置如图所示，则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、数轴上数的大小比较及运算以及整式的加减运算．解题的关键是判断出a与b的取值范围． 根据图形可判断，，且，于是可由此判断每个绝对值内的正负，根据正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数进行化简． 【详解】解：由图形可知，，且， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b 【解答】解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0， ∴＝﹣a+a+b＝b，故选：D． 【变式1-4】（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由图可得，且， ∴，， ∴ . 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【解析】解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 【例2】在△中，是三角形的三边，化简． 【答案】． 【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知，， 原式= ． 【变式2-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）分别是三角形三边的长，化简． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，即，可得，原式=； （2）根据三角形三边关系，可知，，， 原式= ． 【变式2-2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系结合二次根式的性质化简即可； （2）由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简计算． 【详解】（1）解：∵ ，，是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ； （2）解：由三边关系得，即， ∴， ∴原式 ． 010二次根式(最小整数) 【例1】（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 【答案】 8 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：8． 【变式1-1】已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【详解】解：， 是整数，是整数， 又∵为正整数，的最小值为21，故选：C． 【变式1-2】（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 【变式1-3】（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据当是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键． 【变式1-4】（2026·江苏泰州·二模）已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 【变式1-5】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式组的整数解、无理数的大小估算 【分析】先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，再对已知不等式变形，得到的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解： ，即 对不等式三边同时加，得 结合可得，且， 解得， 又∵为正整数， ∴． 011二次根式(化双根) 【例1】（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）计算：． 【答案】 【分析】先对两个根号内的多项式配方，将其整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，化简过程去绝对值符号再运算即可． 【详解】解：， ， ∴原式． 【变式1-1】（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 【变式1-3】(25-26八上·河南·月考）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-4】（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【变式1-5】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 第 1 页 共 113 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 一、二次根式基本运算 2 01 二次根式基本运算性质1、2 3 02二次根式基本运算性质3、4 4 03二次根式加减运算 6 04二次根式乘法运算 8 05二次根式除法运算 10 06 二次根式混合运算 10 07二次根式先化简,再求值 12 08 二次根式化简(含字母高次、正负类) 14 09分母有理化 16 010 二次根式运算(平方公式类) 19 二、二次根式重点专题 20 01二次根式有意义的条件 22 02二次根式判断和最简二次根式 23 03有理化因式 24 04同类二次根式 24 05二次根式的非负性 26 06二次根式(整数和小数部分) 27 07去根号化简类 30 08二次根式比较大小(特殊值、平方法、化根法、取倒数法) 30 09二次根式化简(数轴和三角形) 32 010二次根式(最小整数) 34 011二次根式(双根) 34 一、二次根式基本运算 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 2.二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 3.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 4.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 二、二次根式的运算 1.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 2.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 4.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 01 二次根式基本运算性质1、2 【例1】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·单元复习）化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 02二次根式基本运算性质3、4 问题：与×相等吗?与相等吗?为什么? 分析：当a≥0,b≥0时，根据积的乘方的性质，(·)²=()²·()²=ab, 根据算术平方根的意义，得=·. 当a≥0,b>0时，也可以推出 我们把这两个结论也作为二次根式的性质： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). 二、二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 这说明，如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 【例1】(25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6) (7) (8)； 【变式1-1】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2) 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简 （1） （2） 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)(a,b＞0)； (3)． (4)(a,b＞0) 【变式2-4】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）计算 03二次根式加减运算 二、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 【例1】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式1-4】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 04二次根式乘法运算 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式1-1】计算：=__________ ．__________． =________.=______ 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： ． 【变式1-4】(25-26八上·苏州·月考）计算： ． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【变式1-6】(25-26八上·南京·月考）等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-7】(25-26八上·江苏·月考）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 05二次根式除法运算 二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 【例1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式1-1】(25-26八上·浦东·月考）计算：． 【变式1-3】(25-26八上·苏州·月考）计算：(1) (2) (3) (4) 【变式1-4】(25-26八上·常州·期中）计算：＝___．_________． 06 二次根式混合运算 【例1】计算 (1) ． (2) ． (3) (4)； (5)； (6)． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）计算： （1） （2） （3） （4）． （5）． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）把下列各式分母有理化． (1)； (2)； (3)． (4)； (5) 【变式1-3】(25-26八上·苏州·月考）计算 (1) (2) ． (3) 【变式1-4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-5】(25-26八上·河南·月考）计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 07二次根式先化简,再求值 【例1】先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，则的值． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）已知：，，求：的值． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）已知，，则______． 【变式1-4】(25-26八上·上海·校作业）先化简，再求值：已知a＝，求的值． 【变式1-5】(25-26八上·浦东·月考）先化简，后求值：，其中，． 【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式2-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2-2】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知，求， 【变式2-3】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知，则 ． 【变式2-5】(25-26八上·上海·校作业）已知：，，且，求的值． 【变式2-6】(25-26八上·苏州·月考）已知，，求的值． 08 二次根式化简(含字母高次、正负类) 【例1】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为_________． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）化简二次根式号后的结果是_________． 【变式1-5】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·江西赣州·期中）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川眉山·阶段检测）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是__________． 【变式2-2】（18-19八年级下·全国·单元测试）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式_____． 【变式2-3】（2026八年级下·山东·专题练习）化简下列二次根式： (1)． (2)． 【变式2-4】（2026八年级下·山东·专题练习）化简下列二次根式： (1)． (2)． 【变式2-5】（2025八年级上·全国·专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 09分母有理化 【例1】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）将代数式分母有理化，结果是______． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）计算： 【变式1-4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知：，则的值为_______． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中） 【例2】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）______． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【变式2-2】【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【变式2-3】3-24八年级下·安徽阜阳·阶段检测）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【变式2-4】（25-26八年级上·四川达州·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：    ． ，即．   , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： (1)计算： (2)计算： (3)若，求的值． 【变式2-5】（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 010 二次根式运算(平方公式类) 【例1】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1-1】计算 (1) (2)； 【变式1-2】（25-26九年级下·山东济宁·阶段检测）计算：_____________． 【变式1-3】（18-19八年级·全国·课后作业）把下列各式分母有理化： (1)(2) (2) (3)； (4). (5) (6) 【变式1-4】（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知，求， 【变式1-5】(1)． 二、二次根式重点专题 一、二次根式的概念 1、代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式. 通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式. 注意：表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式. 2、二次根式的特征 （1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；[根指数2一般省略不写] （2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式. 二、二次根式有无意义的条件 1、二次根式有意义：被开方数是非负数，即 二次根式无意义： 被开方数是负数，即 2、若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数; 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零. 三、二次根式的性质 1. 二次根式的双重非负性 具有双重非负性： （1）被开方数是非负数 （2）本身也是非负数 2.二次根式的性质1： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即. 3.二次根式的性质2： （1） 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； （2） 对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以. 注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于. （3）与的区别与联系： 类别 区别 表示的意义 表示非负数的算术平方根的平方 表示数的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 为任意实数 化简结果 ＝ 联系 （1）结果都是非负数 （2）当时，＝ 01二次根式有意义的条件 【例1】设实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4） 【变式1-1】添加什么条件时，下列式子是二次根式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-2】写出使下列式子有意义的x的取值范围． (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式1-3】设实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1） （2） (3)； (4)． 【变式1-4】（25-26八年级下·江西赣州·期末）若是任意实数，下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-5】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）使得式子有意义的x的取值范围是（    ） A． 且 B． C．且 D．且 02二次根式判断和最简二次根式 【例1】下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-4】(25-26八上·常州·期中）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式1-5】(25-26八上·南京·月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 03有理化因式 【例1】（24-25八年级下·全国·随堂练习）填空： （1）的有理化因式为 ______； （2）的有理化因式为 ______； （3）的有理化因式为 ______； （4）的有理化因式为 ______． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． (25-26八上·上海·校作业）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 04同类二次根式 【例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】(25-26八上·上海·校作业）有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A． ①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-4】(25-26八上·苏州·月考）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-5】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 05二次根式的非负性 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【变式1-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）已知、是实数，且 ， 则 的立方根为 ； 【变式1-2】（2022·湖南湘潭·模拟预测）若已知，为实数，且，则_____． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）已知，求的值． 【变式1-4】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，求的值． 06二次根式(整数和小数部分) 【例1】（25-26八年级上·江苏常州·期末）阅读理解 ∵＜＜，即2＜＜3． ∴1＜﹣1＜2 ∴﹣1的整数部分为1． ∴﹣1的小数部分为﹣2． 解决问题： 已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是___________． 【变式1-2】若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【变式1-3】(25-26八上·苏州·月考）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式1-4】(25-26八上·常州·期中）若正整数a、b分别满足，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1-5】（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【例2】（24-25七年级下·北京·阶段检测）我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． 根据以上材料请解答： (1)的整数部分是______________，小数部分是_______________． (2)已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________． (3)在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值． 【变式2-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，，是因为，由此可以求无理数的整数部分与小数部分：根据上述信息，回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，则的整数部分是______；小数部分可以表示为______； (3)在（2）的基础上，则的小数部分可以表示为______． 【变式2-2】【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【变式2-3】（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则的值为___________． 【变式2-4】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 【变式2-5】（25-26七年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 07去根号化简类 【例1】若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则＝________． 【变式1-2】若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南常德·期中）如果，则的值为___________． 【变式1-4】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 08二次根式比较大小(特殊值、平方法、化根法、取倒数法) 【例1】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： (1) ______（填“”、“”或“”）． (2) （填，或）． (3) _____（填“>”“<”或“=”） 【变式1-2】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （1） ； （2） ． （3）_________． 【变式1-3】（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小__________． 【变式1-4】（24-25八年级上·全国·单元测试）试比较与的大小． 【变式1-5】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式1-6】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______． 【变式1-8】（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【变式1-9】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 09二次根式化简(数轴和三角形) 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是________． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简_____． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若数 a、b在数轴上的位置如图所示，则_________． 【变式1-3】(25-26八上·浦东·月考）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b 【变式1-4】（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【变式1-5】(25-26八上·常州·期中）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【例2】在△中，是三角形的三边，化简． 【变式2-1】(25-26八上·浙江杭州·周测）分别是三角形三边的长，化简． 【变式2-2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 010二次根式(最小整数) 【例1】（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 【变式1-1】已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【变式1-2】（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【变式1-3】（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为_______． 【变式1-4】（2026·江苏泰州·二模）已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【变式1-5】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为_______． 011二次根式(双根) 【例1】（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）计算：． 【变式1-1】（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【变式1-3】(25-26八上·河南·月考）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【变式1-4】（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【变式1-5】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $