第19章实数期中专题复习一 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 聚焦实数核心概念与运算，以期中高频考点为载体，构建从概念辨析到几何应用的递进式训练体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根与立方根|选择7+填空7+解答1|概念辨析、几何面积应用、规律探究|从算术平方根定义到平方根性质，延伸至立方根运算，结合正方形面积等几何情境深化理解| |实数|选择16+填空16+解答4|无理数识别、数轴表示、大小比较、科学计数法|从有理数与无理数分类切入，通过数轴建立实数与几何的联系，强化运算能力与应用意识|

第19章 实数 专题一：平方根与立方根 考点1：算术平方根，平方根 一．选择题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）的平方根是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故选：C． 2.（2025年青浦一中第一学期期中）下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用算术平方根的性质逐项计算判断即可． 【详解】解： A：，故等式成立． B：∵，故错误． C：∵ ，故错误． D：∵，故错误．故选：A． 3. (2025年松江区八上期中)下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 的平方根是 C. 4是2的算术平方根 D. 的算术平方根是2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 4.（2025年崇明区九校联考期中）下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解： A：，9 的平方根是 ，故 A 错误，不符合题意； B：16的平方根是，故 B 正确，符合题意； C：，9的算术平方根是 3，而非 9，故 C 错误，不符合题意； D：，而非 3，故 D 错误，不符合题意．故选： B． 5.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴；故选D． 6.（2025年崇明区九校联考期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 7.（2025年虹口区八上期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 3.（2025年虹口区八上期中） 的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：解：的平方根是．故答案为：． 4. (2025年松江区八上期中)如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是，故答案为：． 5.(2025年松江区八上期中)若， 则________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，故答案为：． 6.（2025年虹口区八上期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 7.（2025年黄浦区八上期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 考点2：立方根 一．选择题 1.（2025年黄浦区八上期中）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键． 根据算术平方根及立方根的性质求解即可． 【详解】解：．，无意义，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意；故选：C． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 0的平方根是0 D. 的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；        B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意；        D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；故选：C． 3.（2025年虹口区八上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意；故选：C． 4.（2025年黄浦区八上期中） 有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A. 甲说的对，x的值就是1 B. 乙说的对，x的另一个值是2 C. 乙说的对，x的另一个值是 D. 两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对； 故选：D． 二．填空题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）计算：_______． 【答案】0.4 【分析】本题考查了求一个数的立方根，计算一个数的立方等于 0.064，得出立方根的值． 【详解】解：因为 ，所以 ． 故答案为 0.4． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 计算：=___． 【答案】﹣2 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴，故答案为：-2 3.(2025年松江区八上期中) 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 4.（2025年崇明区九校联考期中）已知，，则__________． 【答案】7.937 【解析】 【分析】根据立方根的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：7.937． 5.（2025年崇明区九校联考期中）若，则的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负性以及立方根的定义，根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再求解立方根即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， 的立方根是， 故答案为：． 6.（2025年虹口区八上期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年黄浦区八上期中） 已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． （1）求乙正方体纸盒的体积． （2）求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【小问1详解】 解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． 【小问2详解】 解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 专题二：实数 考点1：有理数的小数形式 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列说法正确的有（ ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年虹口区八上期中）将化成分数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过设循环小数为未知数，利用倍数相减消去循环部分，解方程得到分数形式，再约分简化即可，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：设，则, 两式相减得， 即， 所以，故答案为：． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）将循环小数化成分数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数，运用一元一次方程解实际问题的应用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 设循环小数为 ，通过乘法将循环部分对齐，再相减消除循环部分，解方程得到分数形式． 【详解】解：设， ∴ ， ∴两式相减得：， ∴．故答案为：． 3.（2025年黄浦区八上期中）利用方程可以将无限循环小数化成分数，例如：将化成分数，可以先设，由可知，，所以，解方程得，于是得．仿此方法，用分数表示为__________． 【答案】 【分析】设，由，可得，进而可列方程，计算求解即可． 【详解】解：设 ∵ ∴ ∴ 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为：． 考点2：无理数 1． 选择题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，，，中，只有是无理数，其余均为有理数，故选A． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。选项A是分数，B和D是整数，均为有理数；选项C是5的平方根，5不是完全平方数，故为无理数。 【详解】∵ A. 是分数，属于有理数； B. ，是整数，属于有理数； C. ，5不是完全平方数，故为无理数； D. ，是整数，属于有理数。 ∴ 无理数是C。 3.（2025年虹口区八上期中）下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.23 D. 0.1010010001 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、属于无理数，故符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、0.23是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 4.（2025年青浦一中第一学期期中）在2.3，，，，0.3，0.0102030405060708…（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0）中无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的知识，理解并掌握无理数的定义和常见形式是解题关键．无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数． 【详解】解：在2.3，，，，0.3，（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0）中无理数有，，，（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0），共有4个．故选：D． 5. (2025年松江区八上期中)在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数．逐一判断给定实数中哪些是无理数即可．掌握无理数的定义是关键，注意区分有限小数、循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有 、、（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”），共3个．故选：B． 6.（2025年崇明区九校联考期中）在，，，，1.212212221这些数中无理数的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵， ∴是有理数，（无限循环小数）和1.212212221（有限小数）是有理数，不是无理数， 和是无限不循环小数，是无理数，共2个．故选：B． 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 【答案】5.1 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据刘徽的近似公式，将26表示为最大平方数25与1的和，即，，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 考点3：数轴与实数 一．选择题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）下列说法正确的是（ ） A. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B. 1的平方根等于它的立方根 C. 负数没有立方根 D. 是13的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查数轴、平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系、平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 数轴上的点与实数一一对应， ∴ 选项A错误； ∵ 1的平方根是，立方根是1，两者不相等， ∴ 选项B错误； ∵ 负数有立方根，且为负数， ∴ 选项C错误； ∵ 13的平方根是， ∴ 是13的一个平方根，选项D正确． 故选：D． 2.（2025年黄浦区八上期中）下列说法正确的是（ ） A. 实数可分为有理数和无理数 B. 的平方根是 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意．故选：A． 3.（2025年崇明区九校联考期中）如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项． 【详解】解：点表示的数是：， 故答案选：． 4.（2025年黄浦区八上期中） 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H 【答案】B 【分析】本题考查实数和数轴，无理数的估算，夹逼法估算无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴数轴上表示的点可能是点F，故选：B． 二．填空题 1.（2025年黄浦区八上期中） 如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若，则数轴上点A表示的数是________． 【答案】## 【分析】本题考查了实数与数轴．根据题意得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点B，C在数轴上表示的数分别是4，， ∴， ∴点A对应的数是：， 故答案为：． 2.（2025年青浦一中第一学期期中）如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及中点的性质，清楚数轴上两点间的距离计算方法是解题关键．首先结合数轴，利用已知条件求出线段的长度，然后根据中点的性质即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示，的对应点分别为、， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为，故答案为：． 3. (2025年松江区八上期中)如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】## 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 4.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】  【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为，故答案为： ． 5.（2025年虹口区八上期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【答案】## 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 6.（2025年虹口区八上期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． （1）正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； （2）如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； （3）在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】（1）2，3 （2） （3） 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； 【小问2详解】 解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； 【小问3详解】解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）已知实数a、b在数轴上对应的点为A、B，它们的位置如图所示． （1）直接写出：a的值为_______；b的值为_______； （2）求出线段的长； （3）若实数m、n在数轴上对应的点为M、N，且，，在数轴上的点P对应的实数为p，已知P在M、N两点之间，且，求实数p的值． 【答案】（1） （2）5 （3） 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握两点间的距离是解题的关键： （1）根据点在数轴上的位置，直接作答即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）由题意，得到点为的中点，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由数轴可知：； 故答案为：； 【小问2详解】 由数轴可知：； 【小问3详解】 由题意，点为的中点，∴． 考点4：实数的绝对值和大小比较 一．选择题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得． 【详解】解：， ，故选：C． 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)的相反数是______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）比较大小：2___________．（横线上填＞、＜、=） 【答案】> 【分析】根据立方根的定义可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即，故答案为：>． 3.（2025年青浦一中第一学期期中） 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 4.（2025年虹口区八上期中）的整数部分是________________ ． 【答案】4 【分析】看在哪两个整数之间即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵＜＜， ∴4＜＜5， ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查估算无理数的大小的知识；用“夹逼法”得到无理数的范围是解决本题的关键． 5.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）定义：不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作．例如，．按此规定，________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、无理数的估算，估算是解题的关键． 【详解】解：∵不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作， ， ∴， ∴，故答案为：． 三．解答题 1.（2025年黄浦区八上期中） 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． （1）无理数的“行知区间”是_____， （2）若，求的“行知区间”． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 考点5：实数的运算 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式和二次根式的除法法则进行计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 3. (2025年松江区八上期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 4. (2025年松江区八上期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 5. (2025年松江区八上期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 6. (2025年松江区八上期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 7.（2025年虹口区八上期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 8.（2025年黄浦区八上期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先化简二次根式以及分母有理化，再计算加减运算即可． 【详解】解： ； 考点6：科学计数法 一．选择题 1.（2025年黄浦区八上期中）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）用科学记数法表示：_______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025年崇明区九校联考期中）数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2025年虹口区八上期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：，故答案为：． 4.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 5. (2025年松江区八上期中)水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 【答案】25 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零．故答案为：25． 6.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个．故答案为：7． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 实数 专题一：平方根与立方根 考点1：算术平方根，平方根 一．选择题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）的平方根是（　　） A. B. 3 C. D. 2.（2025年青浦一中第一学期期中）下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. (2025年松江区八上期中)下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 的平方根是 C. 4是2的算术平方根 D. 的算术平方根是2 4.（2025年崇明区九校联考期中）下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D. 5.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（ ） A. B. C. D. 6.（2025年崇明区九校联考期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7.（2025年虹口区八上期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)的平方根是_____． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）的平方根是_______． 3.（2025年虹口区八上期中） 的平方根是________． 4. (2025年松江区八上期中)如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 5.(2025年松江区八上期中)若， 则________________ ． 6.（2025年虹口区八上期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 7.（2025年黄浦区八上期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 考点2：立方根 一．选择题 1.（2025年黄浦区八上期中）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 0的平方根是0 D. 的立方根是 3.（2025年虹口区八上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4.（2025年黄浦区八上期中） 有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A. 甲说的对，x的值就是1 B. 乙说的对，x的另一个值是2 C. 乙说的对，x的另一个值是 D. 两人都不对，x应有3个不同值 二．填空题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）计算：_______． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 计算：=___． 3.(2025年松江区八上期中) 的立方根是__________． 4.（2025年崇明区九校联考期中）已知，，则__________． 5.（2025年崇明区九校联考期中）若，则的立方根是______． 6.（2025年虹口区八上期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 三．解答题 1.（2025年黄浦区八上期中） 已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． （1）求乙正方体纸盒的体积． （2）求丙正方体纸盒的棱长． 专题二：实数 考点1：有理数的小数形式 一．选择题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列说法正确的有（ ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题 1.（2025年虹口区八上期中）将化成分数是______． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）将循环小数化成分数是_______． 3.（2025年黄浦区八上期中）利用方程可以将无限循环小数化成分数，例如：将化成分数，可以先设，由可知，，所以，解方程得，于是得．仿此方法，用分数表示为__________． 考点2：无理数 1． 选择题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年虹口区八上期中）下列各数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0.23 D. 0.1010010001 4.（2025年青浦一中第一学期期中）在2.3，，，，0.3，0.0102030405060708…（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0）中无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. (2025年松江区八上期中)在实数，，，，、，（位数无限且相邻两个“2”之间依次增加1个“7”）中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.（2025年崇明区九校联考期中）在，，，，1.212212221这些数中无理数的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 考点3：数轴与实数 一．选择题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）下列说法正确的是（ ） A. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B. 1的平方根等于它的立方根 C. 负数没有立方根 D. 是13的一个平方根 2.（2025年黄浦区八上期中）下列说法正确的是（ ） A. 实数可分为有理数和无理数 B. 的平方根是 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 无理数与无理数的和一定是无理数 3.（2025年崇明区九校联考期中）如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（ ） A. B. C. D. 1 4.（2025年黄浦区八上期中） 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H 二．填空题 1.（2025年黄浦区八上期中） 如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若，则数轴上点A表示的数是________． 2.（2025年青浦一中第一学期期中）如图所示，数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是______ ． 3. (2025年松江区八上期中)如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 4.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 5.（2025年虹口区八上期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 6.（2025年虹口区八上期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． （1）正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； （2）如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； （3）在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 三．解答题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）已知实数a、b在数轴上对应的点为A、B，它们的位置如图所示． （1）直接写出：a的值为_______；b的值为_______； （2）求出线段的长； （3）若实数m、n在数轴上对应的点为M、N，且，，在数轴上的点P对应的实数为p，已知P在M、N两点之间，且，求实数p的值． 考点4：实数的绝对值和大小比较 一．选择题 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 二．填空题 1. (2025年松江区八上期中)的相反数是______． 2.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）比较大小：2___________．（横线上填＞、＜、=） 3.（2025年青浦一中第一学期期中） 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 4.（2025年虹口区八上期中）的整数部分是________________ ． 5.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）定义：不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作．例如，．按此规定，________． 三．解答题 1.（2025年黄浦区八上期中） 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． （1）无理数的“行知区间”是_____， （2）若，求的“行知区间”． 考点5：实数的运算 1.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中） 计算：． 2.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）计算：． 3. (2025年松江区八上期中)计算： 4. (2025年松江区八上期中)计算： 5. (2025年松江区八上期中)计算：． 6. (2025年松江区八上期中)计算： 7.（2025年虹口区八上期中）计算：． 8.（2025年黄浦区八上期中） 计算：． 考点6：科学计数法 一．选择题 1.（2025年黄浦区八上期中）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年青浦一中第一学期期中）用科学记数法表示：_______． 2.（2025年崇明区九校联考期中）数据用科学记数法表示为__________． 3.（2025年虹口区八上期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 4.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 5. (2025年松江区八上期中)水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 6.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $