2.1.1倾斜角与斜率同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦倾斜角与斜率核心概念，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|倾斜角定义、斜率计算|单选1-6直接考查方向向量、两点斜率等基础概念，强化运算能力| |能力提升|倾斜角与斜率关系、范围问题|多选9-11辨析斜率随倾斜角变化规律，单选7-8结合线段相交求斜率范围，培养推理意识| |综合应用|几何意义与实际问题|解答题16-17通过方向向量、三角形形状分析等综合情境，提升数学建模与应用能力|

2.1.1 倾斜角与斜率 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 2．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 3．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A．0 B． C． D． 4．过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 5．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 6．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 8．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 10．若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．直线的倾斜角是__________. 13．若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 14．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 四、解答题 15．已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 16．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 17．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2.1.1 倾斜角与斜率 同步练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C B D D BD AD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 2．C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3．D 【详解】直线是垂直于轴的直线， 此时斜率不存在，倾斜角为. 4．C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 5．C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 6．B 【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】设其倾斜角为，则，因为， 则. 故选：B. 7．D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 8．D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 9．BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 10．AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 11．BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 12． 【详解】由于直线的斜率，设其倾斜角为， 则，又，所以. 13． 【分析】利用直线的法向量与方向向量的关系，进而得直线的斜率，最后求得倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 14． 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 15．(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 16．（1）；（2）． 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 17．(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $