精品解析：吉林榆树市部分学校2026-2027学年度上学期学情入学八年级数学试题

2026-2027学年度上学期开学考试八年级数学 一、单选题（共24分） 1. 若满足方程组的互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解含参数二元一次方程组，由加减消元法求出，再由互为相反数得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①＋②得：， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，根据定义逐一分析各选项即可. 【详解】解：根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断各选项即可， 选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项不符合题意； 选项是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，选项符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意． 3. 解方程组加减消元法消元后，正确的方程为（　　） A. 6x﹣3y＝3 B. y＝﹣1 C. ﹣y＝﹣1 D. ﹣3y＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式性质①﹣②得：﹣y＝﹣1 【详解】解：， ①﹣②得：﹣y＝﹣1， 故选：C． 【点睛】考核知识点：根据等式性质①﹣②是关键. 4. 下列语句：①每一个外角都等于的多边形是六边形；②正五边形可以进行镶嵌；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式等于0的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角，等腰三角形的性质与判定，平面图形镶嵌，分式值为0的条件． 【详解】解：①所以每一个外角都等于的多边形一定是六边形，故正确； ②正五边形不可以进行镶嵌；故错误； ③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确； ④分式值为0的条件是分子为零且分母不为零，故正确； 正确的有3个故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 5. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错误的是乙．故选B． 6. 下列说法：①三角形有3个内角，3个外角；②三角形的三条高交于一点，且该点在此三角形的内；③等腰三角形底边上的中线，高以及底边所对角的平分线分别重合；④在三条线段中，若两条较短的线段的和大于第三条线段，则这三条线段能组成三角形，正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形、等腰三角形及三角形三边关系的有关性质定理分别判断即可得出结果． 【详解】解：①三角形有3个内角，6个外角，故错误，不符合题意； ②三角形的三条高交于一点，且该点在此三角形的内部或三角形上或三角形外部，故错误，不符合题意； ③等腰三角形底边上的中线，高以及底边所对角的平分线分别重合，正确，符合题意； ④在三条线段中，若两条较短的线段的和大于第三条线段，则这三条线段能组成三角形，正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形及等腰三角形的性质，三角形的三边关系等，掌握运用三角形的基本性质是解题关键． 7. 已知线段，下面有四个说法: ①线段长可能为；②线段长可能为;③线段长不可能为；④线段长可能为.所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况： C在线段AB上，C在线段BA的延长线上以及C不在直线AB上结合线段的和差以及三角形三边的关系分别求解即可. 【详解】解：当C在线段AB上时，BC=AB-AC= 8-6=2； 当C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC =8+6=14； 当C不在直线AB上时，AB、AC、BC三边构成三角形，则2＜BC＜14， 综上所述①②④正确 故选：C． 【点睛】本题考查两点间的距离和三角形三边的关系，理解题意，进行正确的分类求解是关键． 8. 小明用17元买了1支笔和某种笔记本3个，已知笔记本的单价比笔的单价的2倍还多1元，设笔每支x元，笔记本每本y元，则所列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设笔每支x元，笔记本每本y元，根据“用17元买了1支笔和某种笔记本3个，笔记本的单价比笔的单价的2倍还多1元”列方程组即可． 【详解】解：由题意得，． 二、填空题（共18分） 9. 二元一次方程的标准形式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，据此写出标准形式． 【详解】解：二元一次方程的标准形式为， 故答案为：． 10. 港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道．港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定， 这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 11. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【解析】 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 12. 如图，在四边形中，M，N分别为边，上的点，将边沿翻折，使点A落在边上的点E处，点D落在点F处．若，则的度数为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由四边形内角和定理并结合题意求出，，由折叠的性质得，再结合四边形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____；   【答案】 【解析】 【分析】如图：过点D分别作于G， 于H，然后根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式，即可得出；利用三角形中线的性质可得，再证明，则，最后根据的面积为即可解答． 【详解】解：如图：过点D分别作于G， 于H， ∵平分， ∴，， ∵，，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 14. 在综合实践课上，小慧把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图①所示．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，连，在平移过程中：（1）四边形的形状始终是________．（2）的最小值为_______． 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； （2）作点C关于DD′的对称点，连接，，当共线时，== 有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点C关于DD′的对称点，连接，， 当共线时，== 有最小值， 此时的最小值=， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C关于DD′的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点C关于DD′的对称点，是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：去括号得， 移项合并得， 解得． 16. 求满足不等式的所有正整数n． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴满足不等式的所有正整数为，． 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）直接写出实数的取值范围： （2）若，求的值及两实根的值． 【答案】（1）或 （2）的值为5，的值为2，的值为3 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，进而建立关于k的不等式组，解出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，推导出，得到，将代入，得到，即，求出，则，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ， ∴或 解得或． 【小问2详解】 解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∵， ∴将代入得 ， 展开并移项整理，得 ， ， ， ， ∵恒成立， ∴，即， 将代入，得 ， ∴， ∵，满足k的取值范围， ∴符合题意． 答：的值为5，的值为2，的值为3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2） （3）时，时，时， 【解析】 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； 【小问3详解】 解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI ， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 19. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． （1）求乙队单独施工多少天完成全部工程？ （2）若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ （3）在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】（1）30 （2）甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 （3）70 【解析】 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【小问1详解】 设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； 【小问2详解】 设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； 【小问3详解】 设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 20. 【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到 E ，使 ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图2： ∵是的中线， ∴， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图3所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题 的关键． 21. 《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】（1）哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元 （2）有3种购买方案；购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个，总费用为W元，先列不等式求出，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； 【小问2详解】 解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个， 根据题意可得不等式组：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个． 设总费用为W元，则 ， ∵， ∴W随m的增大而减小， 所以当时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． 22. 如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，求∠COD的度数． 【答案】∠COD=100° 【解析】 【分析】由于∠A+∠B=200°，根据四边形的内角和定理求出∠ADC+∠DCB的度数，然后根据角平分线的定义得出∠ODC+∠OCD的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠COD的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD中，∠A+∠B=200°， ∴∠ADC+∠DCB=360°﹣200°=160°， ∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O， ∴∠ODC=∠ADC，∠OCD=∠BCD， ∴∠ODC+∠OCD=×160°=80°， ∴∠COD=180°﹣80°=100°． 【点睛】本题主要考查了三角形及四边形的内角和定理．三角形的内角和等于180°；四边形的内角和等于360°． 23. 两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． （1）证明：； （2）如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：， 又，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，列代数式，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． 24. 如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期开学考试八年级数学 一、单选题（共24分） 1. 若满足方程组的互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 解方程组加减消元法消元后，正确的方程为（　　） A. 6x﹣3y＝3 B. y＝﹣1 C. ﹣y＝﹣1 D. ﹣3y＝﹣1 4. 下列语句：①每一个外角都等于的多边形是六边形；②正五边形可以进行镶嵌；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式等于0的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列说法：①三角形有3个内角，3个外角；②三角形的三条高交于一点，且该点在此三角形的内；③等腰三角形底边上的中线，高以及底边所对角的平分线分别重合；④在三条线段中，若两条较短的线段的和大于第三条线段，则这三条线段能组成三角形，正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知线段，下面有四个说法: ①线段长可能为；②线段长可能为;③线段长不可能为；④线段长可能为.所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 8. 小明用17元买了1支笔和某种笔记本3个，已知笔记本的单价比笔的单价的2倍还多1元，设笔每支x元，笔记本每本y元，则所列方程组为( ) A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 9. 二元一次方程的标准形式为_________________． 10. 港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道．港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是______． 11. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 12. 如图，在四边形中，M，N分别为边，上的点，将边沿翻折，使点A落在边上的点E处，点D落在点F处．若，则的度数为________． 13. 如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____；   14. 在综合实践课上，小慧把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图①所示．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，连，在平移过程中：（1）四边形的形状始终是________．（2）的最小值为_______． 三、解答题（共78分） 15. 解方程 （1）； （2）． 16. 求满足不等式的所有正整数n． 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）直接写出实数的取值范围： （2）若，求的值及两实根的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． （1）求乙队单独施工多少天完成全部工程？ （2）若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ （3）在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 20. 【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 21. 《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 22. 如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，求∠COD的度数． 23. 两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． （1）证明：； （2）如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 24. 如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $