专题05 圆（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 圆专题汇编，覆盖5大高频考点，精选北京多所名校期中试题，基础题与综合题结合，注重情境应用与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|圆的有关概念（点与圆位置关系）、圆周角（内接四边形）|结合北京名校真题，基础概念辨析| |填空|约10题|垂直于弦的直径（拱高计算）、弧长公式|动态问题（动点中点轨迹）| |解答|约15题|新定义“倍点”、石拱桥/门洞半径计算、切线证明|真实情境应用，综合考查推理与建模|

专题05 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．B 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】 解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．【答案】6<r<8 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=8，AD=BC=6， ∵点D在⊙A内，点B在⊙A外， ∴6 6．【答案】（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π 【分析】 （1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可； （2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和 分别讨论即可求解； （3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可. 【详解】 （1）① 圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2， 故答案为：2；                                                      ② 由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”； 故答案为：； （2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为． 依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即； 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即． 当时，显然不符合题意． 综上，t的值为3或．                   （3）MN上d=2，2d=4， 当线段MN在内部时，EM=4, TM=1, , ∴小圆的半径是 , 同理，当线段MN在外部时， ∴大圆的半径是 , ， 故点T所构成的图形的面积为. 【点睛】 此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 考点02 垂直于弦的直径 1．B 2．B 3．B 4．A 5．【答案】（1）证明：在⊙O中， ∵ OD⊥BC于D， ∴ BD=CD， ∴ AD垂直平分BC， ∴ AB=AC； （2） 【分析】 （1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论； （2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 （1）略； （2）连接OB，如图所示： ∵BC=8，由（1）得BD=CD， ∴ ， ∵ ， ∴ ，                                       ∴ ， ∴ △ABC的面积：， ∴ △ABC的面积为32． 【点睛】 题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键． 6．【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】 解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 7．【答案】米 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，由题意得平分，得出．设圆的半径是x米，则，根据即可求解； 【详解】 解：为高，且过圆心， 平分， ， ． 设圆的半径是x米，则， 在中，， 即：，解得： 即此门洞的半径OC的长度是米． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设圆心为，连接,，设，由得，计算即可得到答案． 【详解】 解：设所在圆的圆心为，半径为 ，连接，， ∵，是的垂直平分线， ∴点在直线上． ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：此圆形桌面的半径为． 9．【答案】17 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， 半径于点，， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 的半径的长为． 10．【答案】 【分析】 连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案. 【详解】 解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：r＝． 【点睛】 本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键. 11．【答案】5 【分析】 过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 12．【答案】5米 【详解】试题分析： 设半径OD=r，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE⊥CD，根据“垂径定理”可得DF=CD=4，这样在Rt△ODF中由勾股定理建立方程就可解得r. 试题解析： 设⊙O的半径为r米，则OF=(r-2)米, ∵OE⊥CD ∴ DF=CD=4 在Rt△OFD中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r2， 解得：r=5， ∴ CD所在⊙O的半径DO为5米. 13．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点是的中点，推出是的中位线，得出当最大时，线段取得最大，此时为的直径；即可求解； 【详解】 解：∵为的弦，且， ∴点是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径； 如图所示： ∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分， ∴； ∵点M是的中点， ∴； ∵点D是的中点，，； ∴， 故答案为： 14．【答案】分米 【分析】 本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】 解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 考点03 圆心角 1．B 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D 11．C 12．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2．； （2） 【分析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】 （1）略 （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 13．【答案】55 【分析】 本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】 解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 14．【答案】80° 【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠C=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 15．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，正确理解定理，作出辅助线是关键．根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】 ∵ 是的直径， ， 又 ∵， ． 故答案为：． 16．【答案】度 【分析】 连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 17．【答案】（1） 证明：连接，    ∵为直径 ∴，                                      ∴，                                    ∵， ∴，                                            ∴，                                       ∴，                                                          ∵，                                       ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                                    再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                                       对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，    ∵， ∴，                             ∴，                                                               ∵为直径，， ∴，                                                                在中，，                       ∴，                                                                设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 18．【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】（1）作图如下： （2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【分析】 （1）按照作法的提示，逐步作图即可； （2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键． 20．【答案】（1）证明：连接，交于点S， ∵为的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论； （2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点O作于F，延长交于M， ∵B为的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵半径为， ∴． 【点睛】 本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键． 21．【答案】 【分析】 过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 22．【答案】（1） 解：如图，点P即为的三条高线的交点．      （2）；直径所对的圆周角是直角      【分析】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． （1）根据作图过程即可完成作图； （2）根据圆周角定理即可完成证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】140 【分析】 本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】 解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：140 24．【答案】（1）点O到的距离为     （2）弦所对的圆周角的度数为或      【分析】 （1）过点O作于点E，利用勾股定理求解即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形的性质求出即可． (1) 小问详解： 解：过点O作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点O到的距离为； (2) 小问详解： 解：连接， 由（1）知，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴弦所对的圆周角的度数为或． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 25．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断① ；由即可判断② ；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③ ，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④ ． 【详解】 解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故① 结论正确， ∵，， ∴，故② 结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③ 正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④ 正确； 综上所述：① ③ ④ 结论正确， 故答案为：① ③ ④ ． 26．【答案】（1） 如图，点G即为所求， ；      （2） 证明：∵是的弦，点D是的中点， ∴．（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） ∴所在直线是的垂直平分线． ∴． ∵（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等） 又∵， ∴， ∴． 故答案为：；；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）按照小芸作图步骤补图即可； （2）根据垂径定理的推论，圆周角定理等补充证明过程即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略． 27．【答案】 【分析】 本题考查圆的性质（垂径定理）、等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接，利用垂径定理和圆周角定理求出相关角度，进而结合等腰直角三角形的性质求解半径． 连接，根据垂径定理求出的长度，再由圆周角定理得出的度数，最后利用等腰直角三角形的性质求出半径． 【详解】 解：连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，即的半径长为． 故答案为：． 28．【答案】（1） 证明：∵为的直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理. （1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解； （2）根据勾股定理计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵点E是弦的中点， ∴ 设半径为， 在中，由勾股定理得， 解得． 29．【答案】或140或40 【分析】 利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】 如图所示：       ∵是的外心，， ∴， ∴， ∴的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】 此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是解题的关键． 30．【答案】 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质；连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出，根据中位线的性质可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可． 【详解】 解：连接，，    ∵是⊙的直径， ∴， ∵为的中点，为的中点，则， ∴ ∴， 取中点，连接， ∴在以为直径的圆上， ∴当过点重合时，最大， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 31．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意作出图形，根据圆周角定理以及等边三角形的性质即可求解； （2）① 过点作于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解； ② 证明，可得共圆，过点作于点，取的外心点，连接，勾股定理求得，当三点共线时，最小，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， ∵是等边三角形 ∴ ∵， ∴在以为半径，为圆心的圆上运动， ∴； (2) 小问详解： ① 如图， 过点作于点， ∵ ∴，, ∵为的中点，, ∴, ∴, ∴, 即, 即； ② ∵ ∴ ∵ ∴ ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 由① 可得 ∴ ∴共圆 如图，过点作于点，取的外心点，连接 ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，； 当三点共线时，最小， 此时． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 32．【答案】（1） 补全图形如下： ，     （2） ，证明如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， 即， ∵， ∴；     （3）      【分析】 （）根据题意补全图形，再根据旋转的性质证明即可求解； （）连接，由等腰三角形的性质可得，即得点四点共圆，得到，再根据三线合一即可求证； （）由（）可知，点四点共圆，是该圆的直径，设的中点为，则点在半圆上运动，当点三点共线时，可知线段取最大值，如图，过点作于，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由（）可知，点四点共圆，是该圆的直径， 设的中点为，则点在半圆上运动，如图， 当点三点共线时，可知线段取最大值，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最大值为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．D 2．【答案】（1） 解：如图所示：即为所求      （2） 解：如图所示：即为所求      （3）      【分析】 本题考查了旋转和对称作图，确定对称点是作图关键． （1）确定各顶点关于原点O的中心对称点即可作图； （2）确定各顶点绕着点A逆时针方向旋转得到的对称点即可作图； （3）计算即可求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：， ∴点B走过的弧长 3．【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】 解：半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 4．【答案】厘米 【分析】 题目主要考查圆锥的侧面积的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． 根据圆锥的侧面积公式 ，其中 是侧面积， 是底面半径， 是母线长，代入已知数值求解即可 【详解】 解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 5．【答案】（1）旋转后的如图所示：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了旋转的性质，弧长公式，三角形外接圆，正确画出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可解答； （2）利用直角所对的弦为直径即可解答； （3）根据弧长公式即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据旋转的性质可得，， 外接圆的直径为， 外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：根据旋转的性质可得， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九·北京东城）半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（     ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且点D在⊙A内，点B在⊙A外，则⊙A半径r的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________； ②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 4．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：； （2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 6．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）（多选）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 7．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径． 8．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，其次测量出，，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径． 9．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 10．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 11．（25-26学年九·北京东城）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为　　　　　　　　 12．（25-26学年九·北京东城）如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO． 13．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知和是同圆的两段弧，且，则和的之间的关系为（ ） A.  B.  C.  D. 不能确定 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，内接于，连结接，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，点、、在上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是上的四点，若，则的度数为（     ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九·北京东城）如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 12．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 13．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九·北京东城）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=　　． 15．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，是的直径，是弦，，则　　　　　　　　　°． 16．（25-26学年九上·北京密云·期中）如图，四边形内接于，为直径，，，则　　　　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 18．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP=            ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 20．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 21．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·北京密云·期中）下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：的三条高线的交点P． 作法： ①分别以点B、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于D、E两点（点D在直线上方，点E在直线下方），作直线交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径作圆，分别交于点M、N； ③连接交于点P． 所以点P就是所求作的锐角的三条高线的交点． 根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①可得：且               ， ∵以点O为圆心，的长为半径作圆， ∴ 点C在上， ∴为的直径， ∴（____________________），（填推理的依据） ∴， ∴分别为的边上的高线， ∵锐角的三条高线交于三角形内部一点， ∴的交点P即为的三条高线的交点． 23．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图，在中，弦相交于点，则的度数为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，四边形内接于． （1）求点O到的距离； （2）直接写出弦所对的圆周角的度数． 25．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是　　　　　　　　．（填写序号） 26．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）问题：如图，是的弦，点D是的中点，点C是在上一点，请仅用无刻度的直尺在上画点G，使． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形全等的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①连接并延长交于点E， ②连接并延长交于点G； ③连接，则，点G即为所求． （1）根据小芸的作法，补全图形； （2）完成下面的证明． 证明：∵是的弦，点D是的中点， ∴________________．（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） ∴所在直线是的垂直平分线． ∴． ∵________________（________________）（填推理的依据） 又∵， ∴， ∴． 27．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，求的半径． 29．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）点是的外心，若，则　　　　　°． 30．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，等边，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数． （2）取的中点，连接并延长，交的延长线于点 ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若等边的边长为，点在边上且，直接写出线段的最小值． 32．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，等腰中，，点在内部且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）补全图形，并求的大小； （2）延长交于，用等式表示和的数量关系，并证明； （3）当，时，直接写出线段的最大值． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）画出与关于原点O中心对称的，点的坐标是______； （2）画出绕着点A逆时针方向旋转得到的． （3）在（2）的条件下，求点B走过的弧长． 3．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是　　　　　． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O为旋转中心，把顺时针旋转 （1）画出旋转后的； （2）连接，直接写出外接圆的圆心坐标为______； （3）点B经过的路径的长度为______（结果保留）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九·北京东城）半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 【答案】B 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点P到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点与圆的位置关系即可． 【详解】 解：∵， ， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴ 点P在上． 故选：B． 2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（     ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求出点到圆心的距离，再与圆的半径比较． 先根据两点间距离公式求出点到圆心的距离，再将该距离与圆的半径2比较，从而确定点与圆的位置关系． 【详解】 解：∵点，点， ∴==， ∵的半径为2，且， ∴点A在内． 故选：B． 3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【点睛】 本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 4．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】 解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且点D在⊙A内，点B在⊙A外，则⊙A半径r的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】6<r<8 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=8，AD=BC=6， ∵点D在⊙A内，点B在⊙A外， ∴6 6．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________； ②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积． 【答案】（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π 【分析】 （1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可； （2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和 分别讨论即可求解； （3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可. 【详解】 （1）① 圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2， 故答案为：2；                                                      ② 由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”； 故答案为：； （2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为． 依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即； 当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即． 当时，显然不符合题意． 综上，t的值为3或．                   （3）MN上d=2，2d=4， 当线段MN在内部时，EM=4, TM=1, , ∴小圆的半径是 , 同理，当线段MN在外部时， ∴大圆的半径是 , ， 故点T所构成的图形的面积为. 【点睛】 此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】 解：是的弦，且于点， ，， ， 故选：B． 2．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答． 连接，过点O作于点E，交于点D，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点O作于点E，交于点D， 由折叠的性质得：， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B 3．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】B 【分析】 根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】 解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 4．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作交于点C交于D，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】 解：连接，过点O作交于点C交于D， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为． 故选：A． 5．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：； （2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明：在⊙O中， ∵ OD⊥BC于D， ∴ BD=CD， ∴ AD垂直平分BC， ∴ AB=AC； （2） 【分析】 （1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论； （2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 （1）略； （2）连接OB，如图所示： ∵BC=8，由（1）得BD=CD， ∴ ， ∵ ， ∴ ，                                       ∴ ， ∴ △ABC的面积：， ∴ △ABC的面积为32． 【点睛】 题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键． 6．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）（多选）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】 解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 7．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．长沙一公园计划建一个圆拱形的门洞，如图，要求门洞高，地面入口宽，求门洞的半径． 【答案】米 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，由题意得平分，得出．设圆的半径是x米，则，根据即可求解； 【详解】 解：为高，且过圆心， 平分， ， ． 设圆的半径是x米，则， 在中，， 即：，解得： 即此门洞的半径OC的长度是米． 8．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，其次测量出，，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设圆心为，连接,，设，由得，计算即可得到答案． 【详解】 解：设所在圆的圆心为，半径为 ，连接，， ∵，是的垂直平分线， ∴点在直线上． ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：此圆形桌面的半径为． 9．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 【答案】17 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， 半径于点，， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 的半径的长为． 10．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 【答案】 【分析】 连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案. 【详解】 解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：r＝． 【点睛】 本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键. 11．（25-26学年九·北京东城）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为　　　　　　　　 【答案】5 【分析】 过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 12．（25-26学年九·北京东城）如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO． 【答案】5米 【详解】试题分析： 设半径OD=r，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE⊥CD，根据“垂径定理”可得DF=CD=4，这样在Rt△ODF中由勾股定理建立方程就可解得r. 试题解析： 设⊙O的半径为r米，则OF=(r-2)米, ∵OE⊥CD ∴ DF=CD=4 在Rt△OFD中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r2， 解得：r=5， ∴ CD所在⊙O的半径DO为5米. 13．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点是的中点，推出是的中位线，得出当最大时，线段取得最大，此时为的直径；即可求解； 【详解】 解：∵为的弦，且， ∴点是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径； 如图所示： ∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分， ∴； ∵点M是的中点， ∴； ∵点D是的中点，，； ∴， 故答案为： 14．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【分析】 本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】 解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知和是同圆的两段弧，且，则和的之间的关系为（ ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想． 作的中点，连接、，则，根据题意，得出，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出，再根据三角形的三边关系，得出，即可得出结果． 【详解】 解：如图，作的中点，连接、，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选B． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 2．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】 解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】 本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 3．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】 解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，内接于，连结接，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查圆周角定理．根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答． 【详解】 解：∵内接于， ， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：C 5．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得． 【详解】 解：∵， ， 又， ， 故选：D． 6．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，点、、在上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】 解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 7．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，正方形的判定和性质．根据作图可知，，再根据圆周角定理可得，可证四边形是正方形，进而得解． 【详解】 解：连接，如图， 由题意可知，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形， ， 故选：． 8．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆的内接四边形对角互补，得到，根据圆周角定理，得，根据直角三角形性质，得，解答即可． 本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【详解】 解：根据圆的内接四边形对角互补，， 得到， 根据圆周角定理，得， 根据直角三角形性质，得， 故选：B． 9．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是上的四点，若，则的度数为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】 解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26学年九·北京东城）如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长. 【详解】 解：∵是圆O的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又在圆上且平分弧， ∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形. 在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2. ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴CD==. 故选:D. 【点睛】 此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【分析】 根据圆的“半径三角形”的概念判断① ② ；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③ ；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④ ． 【详解】 如图，，即的长度等于半径， ，即的长度等于半径， 以为边的圆的内接三角形有无数个，故① 结论正确； 为等边三角形， ， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 当点在圆上移动时，可能是， 一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故② 正确； 由以上可知，可以是或， 当，时， ， 当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或， 故③ 正确； 过作于， ， ， 当点为优弧的中点时，的面积最大， ， 故④ 错误； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键． 12．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2．； （2） 【分析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】 （1）略 （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 13．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么　　　　　　　　　　． 【答案】55 【分析】 本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】 解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 14．（25-26学年九·北京东城）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=　　． 【答案】80° 【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠C=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 15．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，是的直径，是弦，，则　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，正确理解定理，作出辅助线是关键．根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】 ∵ 是的直径， ， 又 ∵， ． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·北京密云·期中）如图，四边形内接于，为直径，，，则　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 17．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接，    ∵为直径 ∴，                                      ∴，                                    ∵， ∴，                                            ∴，                                       ∴，                                                          ∵，                                       ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                                    再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                                       对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，    ∵， ∴，                             ∴，                                                               ∵为直径，， ∴，                                                                在中，，                       ∴，                                                                设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 18．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP=            ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 【答案】（1）作图如下： （2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【分析】 （1）按照作法的提示，逐步作图即可； （2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键． 20．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点S， ∵为的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论； （2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点O作于F，延长交于M， ∵B为的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵半径为， ∴． 【点睛】 本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键． 21．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 22．（25-26学年九上·北京密云·期中）下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：的三条高线的交点P． 作法： ①分别以点B、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于D、E两点（点D在直线上方，点E在直线下方），作直线交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径作圆，分别交于点M、N； ③连接交于点P． 所以点P就是所求作的锐角的三条高线的交点． 根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①可得：且               ， ∵以点O为圆心，的长为半径作圆， ∴ 点C在上， ∴为的直径， ∴（____________________），（填推理的依据） ∴， ∴分别为的边上的高线， ∵锐角的三条高线交于三角形内部一点， ∴的交点P即为的三条高线的交点． 【答案】（1） 解：如图，点P即为的三条高线的交点．      （2）；直径所对的圆周角是直角      【分析】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． （1）根据作图过程即可完成作图； （2）根据圆周角定理即可完成证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图，在中，弦相交于点，则的度数为　　　　　　． 【答案】140 【分析】 本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】 解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：140 24．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，四边形内接于． （1）求点O到的距离； （2）直接写出弦所对的圆周角的度数． 【答案】（1）点O到的距离为     （2）弦所对的圆周角的度数为或      【分析】 （1）过点O作于点E，利用勾股定理求解即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形的性质求出即可． (1) 小问详解： 解：过点O作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点O到的距离为； (2) 小问详解： 解：连接， 由（1）知，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴弦所对的圆周角的度数为或． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 25．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是　　　　　　　　．（填写序号） 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断① ；由即可判断② ；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③ ，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④ ． 【详解】 解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故① 结论正确， ∵，， ∴，故② 结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③ 正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④ 正确； 综上所述：① ③ ④ 结论正确， 故答案为：① ③ ④ ． 26．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）问题：如图，是的弦，点D是的中点，点C是在上一点，请仅用无刻度的直尺在上画点G，使． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形全等的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①连接并延长交于点E， ②连接并延长交于点G； ③连接，则，点G即为所求． （1）根据小芸的作法，补全图形； （2）完成下面的证明． 证明：∵是的弦，点D是的中点， ∴________________．（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） ∴所在直线是的垂直平分线． ∴． ∵________________（________________）（填推理的依据） 又∵， ∴， ∴． 【答案】（1） 如图，点G即为所求， ；      （2） 证明：∵是的弦，点D是的中点， ∴．（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） ∴所在直线是的垂直平分线． ∴． ∵（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等） 又∵， ∴， ∴． 故答案为：；；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．      【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）按照小芸作图步骤补图即可； （2）根据垂径定理的推论，圆周角定理等补充证明过程即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略． 27．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查圆的性质（垂径定理）、等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接，利用垂径定理和圆周角定理求出相关角度，进而结合等腰直角三角形的性质求解半径． 连接，根据垂径定理求出的长度，再由圆周角定理得出的度数，最后利用等腰直角三角形的性质求出半径． 【详解】 解：连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，即的半径长为． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理. （1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解； （2）根据勾股定理计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵点E是弦的中点， ∴ 设半径为， 在中，由勾股定理得， 解得． 29．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）点是的外心，若，则　　　　　°． 【答案】或140或40 【分析】 利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】 如图所示：       ∵是的外心，， ∴， ∴， ∴的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】 此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是解题的关键． 30．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质；连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出，根据中位线的性质可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可． 【详解】 解：连接，，    ∵是⊙的直径， ∴， ∵为的中点，为的中点，则， ∴ ∴， 取中点，连接， ∴在以为直径的圆上， ∴当过点重合时，最大， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 31．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，等边，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数． （2）取的中点，连接并延长，交的延长线于点 ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若等边的边长为，点在边上且，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意作出图形，根据圆周角定理以及等边三角形的性质即可求解； （2）① 过点作于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解； ② 证明，可得共圆，过点作于点，取的外心点，连接，勾股定理求得，当三点共线时，最小，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， ∵是等边三角形 ∴ ∵， ∴在以为半径，为圆心的圆上运动， ∴； (2) 小问详解： ① 如图， 过点作于点， ∵ ∴，, ∵为的中点，, ∴, ∴, ∴, 即, 即； ② ∵ ∴ ∵ ∴ ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 由① 可得 ∴ ∴共圆 如图，过点作于点，取的外心点，连接 ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，； 当三点共线时，最小， 此时． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 32．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，等腰中，，点在内部且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）补全图形，并求的大小； （2）延长交于，用等式表示和的数量关系，并证明； （3）当，时，直接写出线段的最大值． 【答案】（1） 补全图形如下： ，     （2） ，证明如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∴， 即， ∵， ∴；     （3）      【分析】 （）根据题意补全图形，再根据旋转的性质证明即可求解； （）连接，由等腰三角形的性质可得，即得点四点共圆，得到，再根据三线合一即可求证； （）由（）可知，点四点共圆，是该圆的直径，设的中点为，则点在半圆上运动，当点三点共线时，可知线段取最大值，如图，过点作于，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：由（）可知，点四点共圆，是该圆的直径， 设的中点为，则点在半圆上运动，如图， 当点三点共线时，可知线段取最大值，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最大值为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：D． 2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）画出与关于原点O中心对称的，点的坐标是______； （2）画出绕着点A逆时针方向旋转得到的． （3）在（2）的条件下，求点B走过的弧长． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求      （2） 解：如图所示：即为所求      （3）      【分析】 本题考查了旋转和对称作图，确定对称点是作图关键． （1）确定各顶点关于原点O的中心对称点即可作图； （2）确定各顶点绕着点A逆时针方向旋转得到的对称点即可作图； （3）计算即可求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知：， ∴点B走过的弧长 3．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】 解：半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 题目主要考查圆锥的侧面积的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． 根据圆锥的侧面积公式 ，其中 是侧面积， 是底面半径， 是母线长，代入已知数值求解即可 【详解】 解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O为旋转中心，把顺时针旋转 （1）画出旋转后的； （2）连接，直接写出外接圆的圆心坐标为______； （3）点B经过的路径的长度为______（结果保留）． 【答案】（1）旋转后的如图所示：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了旋转的性质，弧长公式，三角形外接圆，正确画出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可解答； （2）利用直角所对的弦为直径即可解答； （3）根据弧长公式即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据旋转的性质可得，， 外接圆的直径为， 外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：根据旋转的性质可得， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $