专题02 二次函数（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数6大高频考点，汇编北京多校期中真题，基础与综合题梯度分布，融入运动轨迹、利润计算等真实情境，适配期中复习与能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约35题|二次函数概念、图象性质、平移变换|多校期中真题，基础辨析与性质应用结合| |填空题|约15题|顶点坐标、最值、对称关系|融入开放题（如写满足条件的函数解析式）| |解答题|约50分|函数建模、方程综合、实际应用|真实情境问题（如羽毛球飞行轨迹、拱桥设计），强调数学建模与运算推理|

专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，因式分解法解方程，根据二次函数的定义，得出x的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．D 2．B 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．D 9．B 10．D 11．C 12．A 13．D 14．D 15．A 16．B 17．A 18．C 19．D 20．C 21．C 22．A 23．A 24．D 25．D 26．D 27．A 28．B 29．C 30．D 31．B 32．A 33．D 34．A 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】 解：二次函数 顶点坐标为． 故答案为 ：． 36．【答案】< 【分析】 本题考查了二次函数的性质，通过代入点A和点B的横坐标到二次函数解析式中，计算对应的纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】 对于二次函数， 当时，． 当 时，． 由于， 因此． 故答案为：<． 37．【答案】7 【分析】 本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 由二次函数的顶点式可知，当二次项系数为负数时，函数有最大值，且最大值为顶点纵坐标． 【详解】 解：二次函数 的顶点坐标为 ， 由于二次项系数 ，抛物线开口向下， 因此函数有最大值，最大值为 ． 故答案为 7． 38．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【详解】 解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 39．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律，向右平移时自变量x减去平移单位，向上平移时函数值加上平移单位. 【详解】 解：原抛物线为，向右平移1个单位，得； 再向上平移3个单位，得. 故答案为：. 40．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键．根据题意，只要二次函数的解析式满足：二次项系数为负，将点看作二次函数的顶点，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下，二次函数经过点， ∴，二次函数与轴交于点， 即的值可以是， 当，点是二次函数的顶点时，二次函数解析式为． 经验证，二次函数，满足开口向下且过点． 故答案为：（答案不唯一）． 41．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据上加下减，左加右减的规律求解即可． 【详解】 解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：． 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， ． 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入抛物线方程，计算对应的纵坐标值，再比较大小即可 【详解】 解：对于点 ，代入抛物线方程 ， 得， 对于点 ，代入抛物线方程， 得， ， ， 故答案为： 44．【答案】4（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 45．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查抛物线的顶点式与开口方向的关系，涉及的知识点是抛物线的顶点式解析式．解题中用到的方法是顶点式法，即根据顶点坐标设出顶点式，再结合开口方向确定二次项系数的符号．解题关键是掌握顶点式的结构，明确a的符号与开口方向的对应关系．易错点是混淆顶点式的结构，或错误选择a的符号导致开口方向不符合要求．根据二次函数的顶点式，直接写出满足开口向上且顶点坐标为的抛物线的解析式即可． 【详解】 解：∵抛物线     开口向上，所以二次项系数 ； 又∵顶点坐标为， ∴解析式可设为 ． 取 ，得 ． 故答案为：（答案不唯一） 46．【答案】 【分析】 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∵，， ∴点A离直线远，点B离直线较近， ∴， 故答案是：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 47．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数顶点式，由对称轴是 可得 ，由开口向上可知 ，所以取后代入解析式即可． 【详解】 解：设抛物线的解析式为 （）． ∵ 开口向上， ∴ ． ∵ 对称轴是 ， ∴ ． 取 ， ， 得 ． 故答案为： （答案不唯一） 48．【答案】（1）顶点坐标为、对称轴是直线     （2） ， ∴由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线或抛物线先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线．      【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴拋物线的顶点坐标为、对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：略． 49．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可． 【详解】 解：，当时，y随x的增大而增大， ， 故答案为：． 50．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】 解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．C 12．D 13．C 14．A 15．C 16．【答案】（答案不唯一） 【分析】 首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案． 【详解】 解：二次函数， ①开口向下， ； ②当时，随着的增大而增大，，即； ∴只要满足以上两个条件就行， 如时，二次函数的解析式是． 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目． 17．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零，据此列不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得， 故答案为：． 19．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．当时，y随x的增大而减小，则抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边，据此求解即可． 【详解】 解：当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边， 此函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，直接设顶点坐标是的抛物线表达式为，再由开口向上得到即可解题． 【详解】 解：根据图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 21．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 【详解】 解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 22．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关系；也可直接代入计算函数值进行比较． 【详解】 解：对于抛物线，其对称轴为直线， 且抛物线开口向下（因为）， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下， ． 23．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标公式． 抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，且二次项系数不为零，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得，， 解得 故答案为：． 24．【答案】（1）     （2） 解：不能达到，理由如下： ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先将关系式配方，再根据最大值判断． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ． ； (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）     （2） 图象如下： ．     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）结合函数图象，找出当时，的最大值与最小值即可得． (1) 小问详解： 解：将二次函数化成顶点式为， 所以这个二次函数图象的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：当时，，解得或， 当时，，解得或 (3) 小问详解： 解：结合函数图象可知，当时，． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．通过计算二次函数在给定点的函数值，比较纵坐标大小即可． 【详解】 解：对于点， 将代入二次函数，得：， 对于点， 将代入二次函数，得： ， ． 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】 解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 28．【答案】（1）     （2） 解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如下： 从函数图象看，当时，x的取值范围．      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）从表格选出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）根据表格数据描点连线绘制函数即可；观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，设表达式为， 把代入得， ∴，即； (2) 小问详解： 略 29．【答案】（答案不唯一） 【分析】 该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】 解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 30．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】 解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 将代入函数的解析式，令即可求得的取值范围． 【详解】 解：二次函数的图象是一条开口向上的抛物线， （1）当抛物线的对称轴时，即， 要使二次函数解析式的值时恒大于1，只要，， 解得：， ， （2）当抛物线的对称轴时，即时， 要使二次函数解析式的值时恒大于1，只要即可； （3）当抛物线的对称轴在区间时， ， ， 综上所述：的取值范围是：． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 32．【答案】 【分析】 本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】 ∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】 解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最大值，可得，计算求解即可． 【详解】 解：∵抛物线有最大值， ∴， 解得，， 故答案为：． 36．【答案】（﹣2，0） 【详解】 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 37．【答案】 【分析】 利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴ ，解得 ， ∴此二次函数的解析式为． 38．【答案】（1）2.50     （2）     （3）能击球成功，理由： 当时，代入函数表达式： ， 因，故能击球成功．      【分析】 本题考查了二次函数的对称性、待定系数法求解析式及函数值的计算，解题的关键是利用抛物线的对称性确定顶点位置，再用待定系数法求出函数表达式． （1）利用抛物线对称性确定对称轴与顶点，得到最大高度； （2）设二次函数一般式，代入表格数据联立方程，求出解析式； （3）将代入解析式计算值，与2.4比较判断击球是否成功． (1) 小问详解： 解：由表格数据可知，抛物线的对称轴为（因和时值相等），故顶点在处，此时，即最大高度为． (2) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式为，代入表格数据： 当时，，得； 当时，，得，即； 当时，，得，即． 联立方程解得：，， 故函数表达式为：； (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）把代入函数解析式，求出二次函数解析式，再令得一元二次方程，求出方程的解即可解答问题； （2）根据题意求出，再分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为， 令，则， 解得：，， 抛物线与x轴的交点坐标为，； (2) 小问详解： 解：由可知，抛物线的对称轴为， 抛物线与x轴交点为，． ， ． ． ① 若，如图，抛物线开口向上，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ，， ，， 应有，解得， 又， 在对称轴右侧，且在x轴上方，应有，解得， ； ② 若，如图，抛物线开口向下，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ， 必有， 则有， ，解得， 又， ． 综上所述：m的取值范围是或． 40．【答案】（1）；     （2） … … … …      （3）如：向左平移1个单位（答案不唯一）．      【分析】 （1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与其它交点的坐标，列表、描点，画出图象； （3）通过顶点式的平移的性质，可解出答案，注意答案不唯一． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①如果将二次函数上下平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ∴将二次函数向下平移个单位长度； ②如果将二次函数左右平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ，， ∴将二次函数向左平移个或个单位长度． 故答案不唯一． 【点睛】 本题主要考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法、二次函数顶点式的平移规律，熟知二次函数的顶点式和二次函数平移的性质是解答此题的关键． 41．【答案】（1）     （2）或     （3）；      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数图象，直接可以得出结论； （3）根据函数的性质和图象即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 根据题意得： ， 解得： ， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 二次函数图象经过点，对称轴为直线， 二次函数图象还经过点， 由图象得：当或时，， (3) 小问详解： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值为 当时，最小值为 ∴当时，函数y的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 42．【答案】 【分析】 本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标． 【详解】 解：抛物线（）的对称轴为， 点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变， 故点的坐标为， 故答案为：． 43．【答案】（1） 函数图象如下图;      （2）①；②或；③      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）① 根据二次函数图象的对称性求解即可； ② 结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③ 设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ② 由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③ 设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 44．【答案】①     ② 【分析】 题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）将点代入解析式求解即可； （2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可． 【详解】 解：（1）将点代入解析式可得： ， 解得：， 故答案是：5； （2）将代入抛物线， 可得，则， ∵抛物线与线段有交点， ∴在对称轴上，在对称轴右侧． 当时，如图所示：    ， 此不等式无解； 当时，如图所示：    ， 解得：， 故答案为：． 45．【答案】（1），     （2） 解：列表： 描点、连线，画出图象，如图所示：      （3）      【分析】 （1）根据二次函数图象与轴交于点，，得出，即，解出即可得出，两点的坐标； （2）列表、描点、连线，画出图象即可； （3）根据（2）的图象，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边）， ∴，即， 解得：，， ∴，； 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：观察图象，可得：当时，的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、用描点法画二次函数图象、二次函数的图象与性质，解本题的关键在正确画出二次函数的图象． 46．【答案】（1） 的值为，的值为．     （2） 当时，求的长为． 若的长随的增大而增大，的取值范围为或．      【分析】 本题考查求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数的图象和性质． （1）把代入，可得的值，从而可得点的坐标，代入，即可得的值； （2）当时，点、的横坐标为，代入对应解析式，可得点、的纵坐标，即可得的长；由已知可得，，分段讨论，当时，写出长度的表达式，由二次函数的性质，可得的取值范围，由图象可知，当时，不符合题意，当时，符合题意，从而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为，的值为． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 当时，点、的横坐标为， 在中，令，得， 在中，令，得， ∴，， ∴， ∴当时，求的长为． 由已知可得，， 由 得 ， ， ∵点，不重合， ∴，且， 当时，的长随的增大而减小，不符合题意， 当时，， ∵的长随的增大而增大， ∴ ， ∴， 当时，的长随的增大而增大，符合题意， ∴若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 47．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法，正方形的性质等知识． 连接交y轴于点D，先求出,根据正方形性质求出点A坐标为，代入即可求出． 【详解】 解：如图，连接交y轴于点D． 由抛物线解析式为得顶点B坐标为 ∴, ∵四边形为正方形， ∴， ∴点A坐标为，代入 ∵点A在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 48．【答案】（1）     （2） 二次函数图象如图： ；      （3）>     （4）      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，画二次函数图象，比较函数值大小，二次函数与方程不等式关系等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据表格描点，连线，即可画出二次函数图象； （3）分别求出，，即可比较大小； （4）根据表格得到由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为，即可得到当图象位于x轴上方时，问题得解． (1) 小问详解： 解：设二次函数解析式为， 把代入得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：> (4) 小问详解： 解：由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为， ∴当时，． 故答案为：． 49．【答案】（1）     （2）最大高度为      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系， 则抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为．利用待定系数法求出抛物线解析式，再令时，求出x的值，即可求出． （2）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系，已知，，都在抛物线上，故设抛物线的解析式为：，利用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 则抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 即， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴． (2) 小问详解： 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 已知，，都在抛物线上， 故设抛物线的解析式为：， 则 解得： ， ∴抛物线的解析式为：， 将抛物线化成顶点式， 则抛物线的顶点坐标为， 即最大高度为． 50．【答案】（1）     （2）1，3，     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； (3) 小问详解： ∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 51．【答案】（1）,     （2）①；② 5      【分析】 本题考查了二次函数与图象的综合知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，解题时注意运用数形结合的思想解决问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得直线的表达式为，求出当时的点E、F坐标，进而可求解； ② 由题意，，，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，由得，， ∴； (2) 小问详解： 解：①， ∴顶点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 由题意，，则，， ∴； ② 由题意，，， 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为4； 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为； ∵， ∴线段长度的最大值为5． 52．【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 53．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减。根据条件“当时，y随x的增大而减小”，要求整个区间位于对称轴左侧，因此必须小于或等于对称轴的位置． 【详解】 二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，函数递减；当时，函数递增， 由题意，当时函数递减， 故需； 故答案为 ． 54．【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 55．【答案】（1）且     （2）， 画出该函数的图象如下： 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由二次函数与轴有两个交点可知，， 从而可求得的取值范围； （2）先求得的最大整数值，从而可求得二次函数的解析式，将二次函数的解析式化成顶点式，再利用描点法画出函数图象即可． (1) 小问详解： 解：二次函数与轴有两个交点， ，， 解得且； (2) 小问详解： 解：由（1）知，且， 取最大整数， ，此时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，即， 当时，即，解得 56．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的对称轴和顶点坐标，则可设顶点式，然后把点代入求出即可； （2）根据函数的开口方向和当时，；当时，，即可得解． (1) 小问详解： 解：由表可知，当和时，， 对称轴为，顶点为， 设二次函数的表达式为， 将点代入得：，即，解得， ； (2) 小问详解： 解：， 抛物线开口向下， 当时，；当时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 57．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】 解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 58．【答案】（1）     （2）米     （3）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． (1) 小问详解： 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； (3) 小问详解： 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 59．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线的对称性可判断①；由开口方向和增减性可判断②；由与y轴交点范围可判断③；由对称轴和点A坐标得到c与a的关系，结合c范围求a范围可判断④． 【详解】 解：抛物线对称轴为直线，且与轴交于点，根据对称性，另一交点坐标为，故①正确； 抛物线与轴交点在和之间（包含端点），故的取值范围是，故③正确； 由对称轴，得，点在抛物线上，代入得，即，代入得，即，又，故，解得，故④正确； 由④知，抛物线开口向下，对称轴为，当时，随增大而增大，故当时，有，故②错误． 综上，正确结论的序号是① ③ ④． 故答案为：① ③ ④ ． 60．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）把A点和B点坐标代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标，观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得 ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 当时，，则； 当时，， 解得， ∵， ∴； 由图象得，当或时，． 61．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，根据二次函数的对称轴判断① ；根据二次函数的最值判断② ；利用二次函数的对称性判断③ ④ 解答即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴是直线，即，故① 正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，y有最大值为k， ∴当时，，故② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线与轴的另一交点为， 即当时，，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， 点关于对称轴的对称点坐标为， 即当时，或， ∴是关于x的一元二次方程 的一个根，故④ 正确， 正确的结论有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 62．【答案】（1）；     （2）；     （3） 如图， 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求二次函数图象与y轴的交点，令x=0代入函数解析式即可； （）利用二次函数顶点坐标公式计算； （）根据列表，描点、连线即可画出图象． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由二次函数， ∴函数图象的顶点坐标； (3) 小问详解： 解：列表： 63．【答案】（1）二次函数的表达式为     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，对称轴公式，根据对称性求函数值的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称轴的公式表示出系数的关系，然后利用待定系数法求函数表达式即可； （2）根据自变量的值求出三个函数值，利用函数的对称性求函数值的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：根据对称轴得，， ∴， ∴， 将点和点代入解析式得， 解得 ∴， ∴此二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：由得，， ∴抛物线开口向上， 当时，； 当时，； 当时，； ∴． 64．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图象和性质； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，写出位于x轴下方的函数图象对应的自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把和代入得： ，解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当或时，． 65．【答案】（1）     （2）的值为或      【分析】 本题考查了一次函数的性质和二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． （1）根据二次函数的性质求出点A和点B，设直线为，进行代入求解即可； （2）根据题意将点M和点N表达出来，再根据的长为3进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点B坐标为， 当时， 解得， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴点A为， 设直线为， 将点A和点B代入得， ， 解得 ， ∴直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵过点作轴的垂线，交抛物线于点， ∴点为， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴点为， ∴为 ， ∵的长为3， ∴， ∴， ∴当时， 解得或， 当时，（无实数解）． ∴的值为或． 66．【答案】（1）；     （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ；     （3）．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： 图象略； x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 (3) 小问详解： 解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 67．【答案】（1），     （2） 图象如下，      （3）当时，函数值的取值范围      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，求出的值即可得图象与轴交点B 的坐标； （2）先利用对称性列表，注意，要取整数，然后描点连线即可画出图象； （3）根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． (1) 小问详解： 解：化为顶点式得， 顶点的坐标为， 令，则， 点B 的坐标为； (2) 小问详解： 先利用对称性列表： 然后描点连线，得到的图象； … … … … (3) 小问详解： 二次函数， 当时，； 当时，； 二次函数的对称轴为直线，且， 当时，有最小值，， 当时，函数值的取值范围． 68．【答案】（1）①；②；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 对于（1），根据题意得到二次函数解析式，从而得到二次函数的对称轴；再结合函数图象，当，对称轴左侧的图象随的增大而减小，从而得到，的大小； 对于（2），由题意分时，根据抛物线的开口方向及对称轴可知抛物线的增减性，再结合自变量和函数值的大小关系得出不等式，求出解集即可；当时，仿照上述解答过程解答即可． (1) 小问详解： 解：① 当时，， 抛物线的对称轴是． 它的对称轴为直线； ② ∵抛物线的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 和， ，两点位于对称轴的左侧， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，抛物线的对称轴是， ∴对称轴右侧函数值y随着x的增大增大， ∵点和是抛物线上的两点，，， 当时，都有， 解得； 当时，抛物线的对称轴是， ∵点和是抛物线上的两点，，， ∴点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的左侧， 点N关于对称轴对称的自变量取值范围是， 此时，不符合题意， 所以a的取值范围是. 69．【答案】（1）二次函数的解析式为     （2）二次函数的图象如图所示：      （3）k的取值范围      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 (1) 小问详解： 点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 70．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，① 根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ② 根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③ 当时，，即，根据,可得，即可判断；④ 根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】 解：① 根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴① 错误； ② ∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故② 正确； ③ 由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③ 正确； ④ ∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④ 正确． 故答案为：② ③ ④ ． 71．【答案】（1），顶点坐标是     （2）见详解     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可． (1) 小问详解： 解： ． 顶点坐标是． (2) 小问详解： 解：列表如下： 如图， x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (3) 小问详解： 解：由图象知：当时，或． 72．【答案】（1）     （2）和     （3） 如图：      （4）      【分析】 （1）由配方可求解； （2）令可求得与x轴交点坐标； （3）先求出该函数图像上五个点的坐标，再用描点法画出图象即可； （4）由图象可求解． (1) 小问详解： 由题意可得：； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意得，令，可得， 解得， ∴图象与x轴的交点坐标为和； 故答案为：和； (3) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为，对称轴为， 由（2）可得，图象与x轴的交点坐标为和， 令，得， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∵对称轴为， ∴当时，， ∴该函数经过，，，，； (4) 小问详解： 由图象可得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 73．【答案】（1）对称轴为直线     （2）或      【分析】 （1）根据对称轴表达式，直接代入系数计算或者根据配方法配成顶点式，即可求解； （2）由题意可分当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵ ， ∴对称轴为直线． (2) 小问详解： 解：① 当时，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② 当时，点P在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵ ， ∴ 点P在点右侧， ∴ ， ∴， 综上，或． 【点睛】 本题考查抛物线的对称轴与二次函数的最值问题，涉及的知识点是抛物线对称轴公式、二次函数的增减性与最值．解题中用到的思想是分类讨论思想，根据开口方向分析区间内的最值位置；方法技巧是利用对称轴与区间的位置关系，简化最值的计算．解题关键是准确判断区间内的最值点，避免因开口方向或区间位置分析错误导致不等式列错．易错点是忽略区间与对称轴的位置关系，直接取区间端点计算最值，导致结果偏差． 74．【答案】（1） 或      （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是： （1）根据二次函数的对称性求出对称轴，进而可求出当时，对应的x的另一个值，即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴直线与二次函数交点的横坐标为和4， ∴的解为 或 ； (2) 小问详解： 解：设， 把，代入，得， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 75．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由二次函数的增减性得当时，y随x的增大而增大，从而可得，求取的取值范围，在取值范围内取一个值即可；理解增减性，并能得到是解题的关键． 【详解】 解： 当时， y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大， ， 可取； 故答案：（答案不唯一）． 76．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）利用二次函数的图象和性质判断即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴点，关于直线对称. ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴； ① 当时，随着的增大而减小， ∵当时，都有， ∴， ∴， ∴； ② 当时，随着的增大而增大， ∴点关于直线的对称点的坐标是. ∵当时，都有， ∴， ∴. 综上，的取值范围是或. 77．【答案】（1）     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 78．【答案】（1）     （2）① 2， ②描点、连线画出函数图象如图： ； ③④      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，求二次函数的解析式，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）设该函数解析式为，由表格知点，，在该函数图象上，利用待定系数法即可求得该函数解析式； （2）① 抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性求解即可；② 根据表格里的数据描点连线画出函数图象；③ 根据图象即可求解；④ 根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：设该函数解析式为， 点，，在该函数图象上， ， 解得 ， 该二次函数的解析式为． 故答案为：； (2) 小问详解： ①， 对称轴为直线， 的对称点是，的对称点是， ，， 故答案为：2，； ② 略 ③ 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； ④ 当时，的取值范围是． 故答案为：． 79．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据待定系数法和二次函数的图象和性质可判断① ② ③，由待定系数法可得，再根据a的范围求h的范围即可． 【详解】 解：二次函数的图象过点，， ， 解得：， 二次函数有最大值， 故①符合题意； ， ③符合题意； 二次函数的图象过点，， ， 解得：， 对称轴为直线， 开口向上， 当时，函数随增大而减小， 故②不符合题意； 二次函数的图象过点， ， 可得， ， ， 解得：， 故④符合题意． 故答案为：① ③ ④． 80．【答案】（1） 如图，画出这个二次函数的图象如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了画函数图象，求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围． （1）利用描点法画函数图象，根据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可确定对称轴，进而确定开口方向，再结合函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数经过，， ∴， ∵二次函数经过， ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵当和当的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵函数开口向上，在对称轴处有最小值， ∴结合函数图象可知，当时，． 故答案为：． 81．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可； 【详解】 ∵二次函数开口向下， ∴， 设二次函数解析式为， ∵过点（0，－1）， ∴， ∴二次函数解析式为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键． 82．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得抛物线的顶点坐标； （2）由题意得抛物线解析式为，由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，分，，三种情况讨论，利用二次函数的性质结合，即可解答； （3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，联立 ，则，求出，根据时，总有，进而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由题意得抛物线解析式为， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的图象开口向上，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 当时，即， 则，即， ∵，即， ∴； 当时，即， 则，即， ∵，即， ∴； 当时，即， 则或，即或， ∵，即或， ∴或； ∵， ∴此时，没有符合题意得值； 综上，m的值为或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：将代入，得， ∴， 将代入，解得， ∴， 联立 ， 则， ∴， ∵是抛物线上的任意一点，且不与点重合， ∴， ∴， ∵时，总有， ∴时，总有， ∴，总有， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 83．【答案】（1）     （2）的最大值为：，．      【分析】 （1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可． （2）求解，可得，证明，可得，求解直线为，设，则，可得，进一步利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得： ， 抛物线的表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，的最大值为：， ∴． 【点睛】 本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，平行线的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，熟练的建立二次函数模型是解本题的关键． 84．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意建立方程或不等式组模型解题是关键． 对于① ② ③ 都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于④ 先利用函数过，可得函数解析式为再结合题意建立不等式组模型即可解决问题． 【详解】 解：设过，两点的直线为， ∴ 解得： ∴直线为： 当时， ∴函数经过 故① 符合题意； 此函数的图象为抛物线 且经过，，， 则 解得： ∴抛物线为： ∴抛物线的开口向上，故② 不符合题意； 当函数的解析式为，且经过，，， 同理设抛物线 则 解得： ∴抛物线为： ∴对称轴为直线 而 故③ 符合题意， 二次函数过，，则 解得： 所以抛物线为： ∴开口向下，且，而 ∴，而 即 ∴ 即 故④ 符合题意； 故答案为：① ③ ④ 85．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．通过求二次函数的对称轴，比较各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小． 【详解】 解：二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下． 对称轴为． 点和点到对称轴的距离均为和，关于对称轴对称， 故． 点到对称轴的距离为，距离最大，由于开口向下，函数值最小， 故． 因此，． 故答案为：． 86．【答案】（1），     （2）①；②或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）① 当，抛物线表达式为，直线表达式为，则，，即可求解； ② 可求，，则，将问题转化为关于的二次函数求解，分和两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； (2) 小问详解： 解：① 如图， 当，抛物线表达式为，直线表达式为 ∵点作x轴的垂线，， ∴，， ∴； ② 当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧， 如图： 当时，则，其图象开口向上，对称轴为直线，此时始终符合的长随的长的增大而增大； 当时，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 函数的对称轴为直线， 当时，图象开口向下，， 要使得的长随的长的增大而增大 ∴， ∴， ∴； 当或均不符合题意， 综上所述，a的取值范围为或． 87．【答案】（1）直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再计算顶点坐标即可； （2）可求出直线与抛物线的一个交点坐标为，则利用待定系数法可求出抛物线解析式，进而求出两函数的另一个交点坐标；表示出点N和点M的坐标，根据点M在点N的下方可得m的取值范围，再由，求出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的增减性求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴直线与抛物线的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线的另一个交点坐标为； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∵点M在点N的下方， ∴此时一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴； ∴ ； ∴ ， ∵，， ∴当时，随m的增大而减小，即此时的面积随m的增大而减少． 88．【答案】或3 或 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ② 分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 89．【答案】（1）     （2）①6；②且.      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）① 结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；② 首先设点，，确定，再分和两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入，抛物线， 可得，解得； (2) 小问详解： ① 解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． 当时，则，如下图： 将代入，可得，即 将代入，可得，即 ∴ ② 解：设点， 则， ∴ (i) 当时，有， 当时，． ∵函数的图象开口向下，对称轴为 当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 时符合题意，时不符合题意 ． (ii)当时，有． 当时，． 函数的图象开口向上，对称轴为 当时，y随x的增大而减小 当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而增大． ∴符合题意 综上所述，的取值范围是且. 90．【答案】（1）函数与，在上为“相邻函数”． ∵， ∴为相邻函数． （2）； （3）的最大值为，的最小值为． 【详解】 （1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1,进而判断即可； （2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-1，当x=0，或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a,进而判断即可； （3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2≤y≤,进而判断即可． 解：（）略 （） ． ∴． ① 当，即时． ， ∴无解． ②，即时， ∴． ③即时． ． ∴无解． ④ 当即时． ， ∴，无解． 综上所得：． （）∵当时． 时，． ∴ ， ∴． 当时， 时． ∴ ， ∴． 综上所得：与在上， 是“相邻函数”时． 的最大值为． 的最小值为． “点睛”此题主要考查了函数的综合以及函数增减性和新定义，根据题意正确理解“相邻函数”的定义是解题关键． 91．【答案】（1）     （2）隧道顶的抛物线表达式为     （3）卡车载物后的限高约为米      【分析】 本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用自变量的值求出函数值即可． (1) 小问详解： 解：根据所建坐标系， ∵，， ∴点M的坐标是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴设抛物线的表达式为． ∵它经过点， ∴． ∴． ∴隧道顶的抛物线表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴． 根据实际情况，当大于时，点E到隧道顶面对应的点D的距离小于， ∴精确到，取值为， ∴卡车载物后的限高约为米． 92．【答案】（1）     （2）h的最小值为16．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求得对称轴为直线，再分当时，当时，两种情况讨论，根据抛物线的开口方向，进而求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 93．【答案】（1）     （2）①；②或      【分析】 题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）① 根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ② 根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． (1) 小问详解： 解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ② ∵与轴有两个不同的交点， 由① 得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 94．【答案】（1），     （2）．      【分析】 （）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （）根据，中横坐标与对称轴的距离结合即可求解； 此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵经过点， ∴，整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 由（）得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的左侧且距离为，在对称轴的右侧且距离为， 当时，， ∵， ∴根据图象可知，点到对称轴的距离比到对称轴距离大， ∴ ， 解得：， ∴的取值范围为． 95．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，通过讨论二次方程根的情况，结合区间端点确定参数范围即可． 【详解】 解：令，即， 当，即时，有两个相等的实数根为，满足题意； 当，即时： ∵二次函数（为参数）与正比例函数的图象在时有且只有一个公共交点， ∴ ，解得； 综上：或． 96．【答案】（1）     （2）的最大值为      【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得 ，解得 ，可得二次函数解析式为，对称轴为直线，进而分，，，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出，得出，代入得，进而得，化为顶点式即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 对称轴为，，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 由题意得，， 方程无解； 当时， 最大值为， 最小值为， ，故不符合题，舍去； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； (2) 小问详解： ∵和是方程的根， ∴ ， 把代入① 得， 由得， 即， ∵二次函数与轴交于两个不同的点，故， ∴，， 代入② 得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 97．【答案】或 【分析】 利用待定系数法求出直线解析式，则可求出点C的坐标，进而求出点D的坐标，再分和两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】 解：设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵将点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴； 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式得 ， ∴， ∴抛物线解析式为； 如图所示，当时， 在中，当时，， ∴点C一定在点的下方， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴抛物线在处的函数值一定要小于5， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 在中，当时，， ∴点C一定在点的上方， 当时，， ∴点D一定在点的上方， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴只能是抛物线的顶点在线段上， ∴， ∴， 解得或， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 98．【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 本题考查了平面直角坐标系、二次函数： （1）将代入求得，代入求得； （2）①当时，则，得到此时的解析式，过作垂线也就是当时，求得此时与交点的纵坐标，再相减； ② 将四边形的面积拆成两个三角形的面积来求函数解析式，再分情况讨论即可； (1) 小问详解： 解：将代入， 得：， 将代入， 得：， 解得：， (2) 小问详解： ① 当时，则， 则：，， 点，， 过点作轴的垂线就是， 交抛物线于点，交抛物线于点， ， ； ②点是轴上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， 设， ，， 四边形的面积， 当时，， 当时，， 四边形的面积随长的增大而增大， 当时，是开口向下的抛物线，顶点是， 时，递增，时，递减， 当时，是开口向上的抛物线，顶点是（不在范围内）， 时，递增， 若要求点从原点向右运动到点的过程中，四边形的面积随长的增大而增大， 即在时，一直递增， 则， 所以． 99．【答案】（1）     （2）     （3）①；②或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． ()分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()① 结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ② 由()及已知得点的坐标为，点的坐标为，再分当时和 当时，两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线； (3) 小问详解： 解：① 当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得， ∴， 把代入直线中， 可得， ∴， ∴的长为； ② 由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ① 当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大． 100．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式计算即可； （2）由图象知抛物线过， 分别找出P点和关于对称轴的对称点坐标，然后分类讨论Q点在对称轴的左侧或右侧，利用二次函数的增减性根据得到各点横坐标的大小关系，列出不等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：对称轴为：； (2) 小问详解： 解∶ 在对称轴左侧，随增大而增大；在对称轴右侧，随增大而减小． ， 点在轴的左侧， 则关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 由抛物线解析式知抛物线过点，此点在对称轴右侧， 则关于对称轴的对称点在抛物线对称轴的左侧， 考虑总有 若在轴左侧， 则， 即； 若在轴右侧， 则， 即． 综上所述：或． 101．【答案】（1），     （2）①；②或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）把代入，求出的值，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）① 根据两点间的距离公式，写出函数关系式即可；② 求出函数解析式，画出函数图象，数形结合进行求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴． (2) 小问详解： ① 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 当时，； ② 函数的大致图象如下：    ∴当l随n的增大而增大时，或． 102．【答案】（1）①，②，．     （2）且     （3）或．      【分析】 （1）① 根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；② 根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． (1) 小问详解： 解：① 如图， ∴线段罩域的一个特征点． ② 如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． (2) 小问详解： 解：设点为的罩域特征点．依题意得： ， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． (3) 小问详解： 解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】 本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D 11．C 12．【答案】 【分析】 根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 13．【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】 解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】 函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）补全的图象如图：      （3）①；②      【分析】 （1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）① 观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， (1) 小问详解： 解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （3）① 观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ② 结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 17．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】 解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 19．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式和二次函数与轴的交点个数判断．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， ∴二次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 令，则， 解得， ∴此二次函数与轴的交点坐标为， ∴此二次函数图象与x轴有个交点. 20．【答案】2 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意可知，m和n是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可知，结合和，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线经过不同的两点， ∴m和n是方程的两个根， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：2． 21．【答案】（1）函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，；     （2） 如图，      （3）或．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把二次函数配成顶点式即可求出该函数图象的顶点坐标，然后当时，；当时，解得，，从而求出与坐标轴的交点坐标； （）根据列表、描点、连线即可画出图象； （）根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由得，当时，； 当时，，解得，， ∴函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，； (2) 小问详解： 解：列表： 描点： 连线： (3) 小问详解： 解：根据图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 22．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出 解方程组即可； （2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可． 【详解】 解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得： ， 解得 ， 所求抛物线的解析式是． (2) 当y=0时，， 因式分解得：， ∴， ∴， 当y＜0时，函数图像在x轴下方， ∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1． 【点睛】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键． 23．【答案】或 【分析】 本题主要考查一元二次不等式及其解法 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元二次不等式，结合图象分析即可求解． 【详解】 解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 24．【答案】（1）不是     （2），     （3） 如图，                             （4）      【分析】 本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． (2) 小问详解： 解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． (3) 小问详解： 解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： 画函数的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ x ⋯     1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ (4) 小问详解： 解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 25．【答案】（1）二次函数解析式为：；一次函数解析式为：     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，再根据二次函数解析式求出点的坐标，然后求出点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）根据函数图象点以及点右边的部分，点以及点左边的部分的自变量的取值范围即为不等式的解集． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为， 点坐标， 对称轴，、关于对称轴对称， 点坐标， 经过点、， ， 解得 ， 一次函数解析式为； (2) 小问详解： 由图象可知，满足的的取值范围为或． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 【详解】 解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．【答案】（1）方程的两个根为，     （2）当时，     （3）当时，随的增大而减小      【分析】 （1）找到二次函数与轴的交点坐标即可得到答案； （2）找到二次函数在轴上方时的取值范围即可； （3）结合图象即可写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (1) 小问详解： 解：由图象可得： 二次函数与轴的交点坐标为和， 方程的两个根为，； (2) 小问详解： 解：由图象可得： 当时，； (3) 小问详解： 解：由图象可得： 二次函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象确定相应的方程的根的情况，采用数形结合的思想是解此题的关键． 28．【答案】（1）①；② ＞     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）① 利用对称轴公式求得即可； ② 利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到 ，进而可以得解． (1) 小问详解： 解：（1）① 由题意，∵， ∴． ② ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点，点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：>． (2) 小问详解： 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵，都有， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴ ， ∴． ∴t的取值范围是． 29．【答案】（1）     （2）；，     （3） 图象如图所示： 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）直接运用配方法求解即可； （2）将代入，得，则可得二次函数的图象与y轴的交点坐标是．令，求出x的值，可得二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）按照列表、描点、连线的步骤即可法画出图象即可． (1) 小问详解： 解：，即． (2) 小问详解： 解：将代入，得， ∴与y轴的交点坐标是． 令，则，解得：， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为：；． (3) 小问详解： 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 30．【答案】（1）5     （2）     （3）     （4），      （5） 函数图象如图，      （6）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，运用数形结合思想； （1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出m的值即可； （2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可； （3）利用图象法，求自变量的取值范围即可； （4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解； （5）描点，连线画图即可； （6）先找到符合题意的四个整点，再数形结合即可得解． (1) 小问详解： 解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ； 故答案为：5． (2) 小问详解： 解：由表格可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ； 故答案为：． (3) 小问详解： 解：由表格可知：当时，或， ∴当时，x的取值范围是； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：由表格可知，当时，或， ∴一元二次方程的解为， ． 故答案为：， ． (5) 小问详解： 略 (6) 小问详解： 解：如图， 由图象可知，4个整点为A，B，C，D， ． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 关于x的方程可化为，然后根据二次函数与一次函数的交点坐标直接写出不等式的解集即可． 【详解】 解：∵关于x的不等式可化为，抛物线与直线 的两个交点坐标分别为， ∴抛物线在直线图象下方所对应的x的取值范围，即为不等式的解集． 故填． 【点睛】 本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，理解二次函数与一次函数的交点与不等式解集的关系成为解答本题的关键． 32．【答案】①     ② 或或 【分析】 （1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】 解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 33．【答案】（1）对称轴为     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 34．【答案】（1）     （2）抛物线与x轴的交点坐标是与     （3）当时，m的取值范围是      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，利用图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）二次函数的解析式化成顶点式，进行求顶点坐标即可； （2）当函数值为0时，解一元二次方程即可； （3）求出图象交点坐标，然后结合图象交点求出不等式的解集即可． (1) 小问详解： 解：由得， ， ∴点A的坐标是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令， ∴． ∴， ∵， ∴，． ∴抛物线与x轴的交点坐标是与； (3) 小问详解： 解：由题意得，，． 当时，或者． 结合函数图象，当时，m的取值范围是． 35．【答案】①     ② 1 【分析】 本题依托涟漪函数考查对整数的理解和二次函数与方程的转化，解题的关键是熟悉二次函数与一元二次方程之间的关系， （1）由条件得，根据取整函数定义求解； （2）根据已知得到函数为，令，将方程化为，结合求解n的取值，从而确定公共点个数． 【详解】 解：（1）当时，函数为， ∵ ∴， ∵， ∴． 根据取整函数定义，表示不超过x的最大整数为1， 因此x的取值范围是， 故答案为：． （2）当时，函数为． 令，得． 设，则n为整数，且． 则方程化为，即． 由于，故，即． 那么，解得， ∴． 解不等式，即，故． 此时，满足．因此函数与x轴有一个公共点． 故答案为：1． 36．【答案】（1）所有实数     （2）①； ②补图如下： ；     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质，求函数值，画函数图象等知识，解题的关键是： （1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是任意实数； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）根据配方法可求出，则当，即时，有最小值为，然后利用函数图象求解即可． (1) 小问详解： 解：函数的自变量的取值范围是所有实数， 故答案为：所有实数； (2) 小问详解： 解：①当时，， 故答案为：； ② 略 (3) 小问详解： 解：令，如下图所示： 方程最小的解接近， ∵当时，； 当时，； 当时，， ∴由图象可知：方程最小的解的近似值， 故答案为：； (4) 小问详解： 解： ， ∴当，即时，有最小值为， 如图， 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 故答案为：或． 考点06 实际问题与二次函数 1．【答案】（1）     （2）当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元      【分析】 （1）设y与x之间的函数解析式为，根据“当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶．”可求出 ，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数解析式为，根据题意得： ，解得： ， ∴y与x之间的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：根据题意得： ∵， ∴当时，w最大，最大值为500， 答：当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元． 【点睛】 本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】 解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴喷水的最大高度为4米， 故答案为：． 3．【答案】（1）     （2）能达到优秀      【分析】 （1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可； （2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点的坐标为（，）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式． 4．【答案】（1）     （2）小丽的判断是正确的，计算过程如下： 把代入抛物线解析式， 得， ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的．     （3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功      【分析】 （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．【答案】（1）0.88     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． (1) 小问详解： 由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； (2) 小问详解： 解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴ ，解得 ， ∴， 与之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 6．【答案】（1）①； ② 能；理由： 当时，， ∵， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树；     （2）A、C      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，运用待定系数法求出函数解析式以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）① 由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；② 把代入① 中解析式求出y的值与比较即可； （2）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断． (1) 小问详解： 解：① 根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ，解得 ， ∴抛物线解析式为； ② 略 (2) 小问详解： 解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当时，，即，故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意； 抛物线对称轴为， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴，故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 7．【答案】（1）①；；②；③2     （2）      【分析】 本题考查了一次函数关系式的求解，二次函数解析式的求解，二次函数的实际应用，解决本题的关键是在于根据图形的性质建立函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据，，可得点A与点B的坐标，由此可求解直线的函数关系式，由此可得； ② 根据点C的坐标，可得与，再根据矩形面积公式代入求解即可； ③ 将矩形面积S的表达式整理为顶点式，由此可求解． （2）根据，（），可表示直线的函数关系式，再根据面积表达式求解最大面积即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得 ， 解得 ， ∴直线的函数关系式为， ∵点为线段上一动点， ∴C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式， 且x的取值范围为， 故答案为：；； ② 由① 知，点， ∴，， ∴矩形面积； 故答案为：； ③， ∴当时，矩形的面积最大． 故答案为：2． (2) 小问详解： 解：∵，（）， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得 ， 解得 ， ∴直线的函数关系式为， ∴点， ∴，， ∴矩形面积， 将该表达式转化为顶点式， 即， ∴当时，面积最大为． 故答案为：． 8．【答案】（1）10元，4000元     （2），     （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元      【分析】 本题考查了二次函数的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘数量，进行计算，即可作答． （2）总利润等于单件利润乘数量，进行化简，得，又因为销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，故； （3）先得，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（元）， 则， ∴（元）， 即当时，每件的利润是10元，总利润为4000元． (2) 小问详解： 解：依题意，， 整理得， ∵规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得设总利润为元，则与的函数表达式是， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 在时，有最大值，越靠近对称轴时，函数值越大， ∵， ∴把代入， 得， 即销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元． 9．【答案】（1），     （2）第一次      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）令，求出y的值；令，计算出y的值，即可得到答案； （2）分别令，计算出x的值，进行估算，并进行比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解∶根据题意得∶ 当时，， 当时，． 小明同学第一次投篮的出手点高度为，竖直高度为． 故答案为∶；． (2) 小问详解： 解：在中， 令，则， 解得∶， 在中， 令，则， 解得∶，． ，，且当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离， 第一次投中． 10．【答案】（1）如图所示； （2） ； （3）汽车已超速行驶． 【分析】 （1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当x=100时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【详解】 （1）略 （2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式． （3）∵当x=100时，y=21<40，    ∴汽车已超速行驶． 【点睛】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 11．【答案】（1）；     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质可得函数的顶点坐标为，再将代入即可解答； （2）根据题意得到竖直高度，再代入函数解析式即可求得水平高度； （3）将分别代入两个函数解析式即可求得，，即可解答． (1) 小问详解： 解：根据表中数据可得函数的顶点坐标为，则可得， 把代入函数解析式可得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 把代入可得， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：由题意，把代入函数解析式可得， ， 解得， 所以呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米或米， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：把代入， 可得， 解得， ， 把代入， 可得， 解得， ， ， 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2） 判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ． ∴当时，y的最大值是600． ∴苗圃的面积不能达到 ．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用． （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到． (1) 小问详解： 由题意，． 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）的长为     （3）当为时，小花园的面积最大，最大面积是      【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，关键是根据函数的性质求最值． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 答：的长为； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 14．【答案】（1） 将以上坐标在如下图中找出并连接成光滑的曲线： ；     （2）     （3）;     （4）      【分析】 本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． （1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可； （2）根据图像及表中数据可知本题答案； （3）根据图像得知二次函数对称轴为，写出二次函数顶点式，再用待定系数法代入图上一点即可求得未知参数即为本题答案再根据实际问题意义，即可确定自变量的取值范围； （4）将代入抛物线解析式求出的值即为本题答案． (1) 小问详解： 解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：， (2) 小问详解： 解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米， (3) 小问详解： 解：设二次函数解析式为， 由（2）知，对称轴为，最高点为， ∴顶点坐标为， ∴， ∴把代入中得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：; (4) 小问详解： 解：根据题意把代入中得： ， ∵， ∴大理石雕塑的高度约为m． 15．【答案】（1）40，     （2）是      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． (1) 小问详解： 解：解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴可设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由题意，令， 解得，（舍去）， 又令， 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 故答案为：是． 16．【答案】（1）     （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） 补全表格如下：     （2） 根据表格数据描点，连线，画图如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53      （3）① 0.7；②．      (1) 小问详解： 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 故答案为：2.70 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ② 由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 18．【答案】（1）     （2）这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元      【分析】 （1）设售价为x元，降价元，盈利元，每天可售出件，即可得答案． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设售价为x元，则降价元，盈利元， 根据题意，得每天可售出件， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，得． 当时，． 这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元． 19．【答案】（1）①；② 不能     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用； （1）① 根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ② 将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ② 石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． (2) 小问详解： 解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 20．【答案】（1）3.84，2.52     （2）     （3），理由如下： 当时，， 解得（舍去），， ∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为； “间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线， 由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线，根据对称性即可求得的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解; （2）根据题意设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解; （3）令，即，得出，设抛物线解析式为，将点代入，得出，令，即，得出，即可求解． (1) 小问详解： 由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：； 在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设这条直线的解析式为，把代入， 得 ，解得： ， ∴这条直线的解析式为， 当时，， 表格2中，； 故答案为：3.84，2.52； (2) 小问详解： 由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知： “直发式“模式下，抛物线的顶点为， ∴设此抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 21．【答案】（1）     （2） 解：根据题意，画图如下：      （3），      【分析】 （1）令时，求得值即可； （2）按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可； （3）设直线为，把，和，代入解析式，联立方程组，解出即可得出直线的解析式为，然后再把代入，求得，进而得出抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线解析式为，把代入解析式，确定，得到抛物线解析式，再令，求得的值即可． (1) 小问详解： 解：令时，得， 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设直线为， 把，和，代入，可得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，可得：， ∴水流的最高点到地面的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式，可得：， 解得：， ∴， 令，可得：， 解得：或（舍去）， 且， ∴此时水流的射程约为． 故答案为：， 【点睛】 本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解析式、一元二次方程的解法、 二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A. 3 B. 2 C.  D. 5 2．（25-26学年九·北京东城）下列函数是关于x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知是关于的二次函数，则值是　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）下列关于二次函数的说法正确的是(   ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）下列关于抛物线的说法正确的是（     ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 有最高点 D. 随的增大而增大 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·北京东城）抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 2．（2026·北京房山·调研）抛物线的顶点坐标是（       ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 3．（2026·北京房山·调研）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京通州·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）二次函数的最大值为（　　）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·北京密云·期中）将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为       （       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 13．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）二次函数的最小值是（       ） A. 1 B.  C. 4 D.  14．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 17．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　） A. y=2(x+2)2+3 B. y=2(x-2)2+3 C. y=2(x+2)2-3 D. y=2(x-2)2-3 18．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图像的对称轴为直线 B. 图像的顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 19．（25-26学年九上·北京大兴·期中）将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）由二次函数，可知（       ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 22．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·北京延庆·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）函数的最小值是（） A. 1 B.  C. 2 D.  25．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知点、是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点的横坐标是，则点的横坐标为（     ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 26．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（     ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 27．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移正确的是（） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 29．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）对于二次函数，下列说法错误的是（       ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 32．（25-26学年九上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 33．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　． 36．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则　　　　　(填“>”或“<”)． 37．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的最大值是　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则　　　　　　　　　　　（填“”“”或“”）． 39．（25-26学年九上·北京通州·期中）抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）一个二次函数满足：①开口向下；②经过点．此二次函数的解析式可以是　　　　　　． 41．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是　　　　　　． 42．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是　　　　　　（填“”、“”或“”）． 43．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）点，在抛物线上，则，的大小关系是　　　　　　． 44．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是　　　　　　　　（写出一个即可）. 45．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）开口向上，顶点坐标的抛物线的解析式 　　　　　　　　　　　（写一个即可）． 46．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知点，在二次函数的图象上，与的大小关系为　　　　　　（填“”“”或“”） 47．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）写出一个开口向上，并且对称轴是的抛物线的解析式　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知抛物线． （1）求拋物线的顶点坐标、对称轴； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 49．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 　　　　　． 50．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）当时，二次函数的最大值为8，则　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京密云·期中）二次函数的最小值是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（     ） A. 3 B. －3 C. 1 D. 0 4．（25-26学年九·北京东城）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③当时，若，则；所有正确推断的个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，过点．有以下结论：①；②；③，④．其中正确结论的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．（25-26学年九上·北京通州·期中）函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … … … … 给出下面三个结论：①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． 0 4 6 6 4 ．．． 给出下面四个结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与y轴的交点坐标是； ③抛物线的对称轴是直线； ④关于x的一元二次方程的根是和； 其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，其中．结合图象给出下列结论： ①；②；③当时，随增大而增大； ④当； ⑤关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是． 其中正确结论的个数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（     ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 13．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 15．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）二次函数与一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·北京密云·期中）写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 18．（2026·北京房山·调研）若二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是　　　　　　　　． 19．（2026·北京房山·调研）写出一个二次函数表达式，满足：当时，y随x的增大而减小，则此函数表达式可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 20．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式　　　　　　． 21．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式　　　　　　． 22．（25-26学年九上·北京通州·期中）抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是　　　　　　．（用“＜”连接） 23．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）若抛物线的顶点在轴上，则的值为　　　　　． 24．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 26．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）若点，在二次函数的图象上，则　　　　　（填，或）． 27．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式　　　　　　． 28．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象直接写出当x取何值时，． 29．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么　　． 31．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知当﹣1＜x＜0时，二次函数y＝x2﹣3mx+2的值恒大于1，则m的取值范围为　　　　　． 32．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）若，则的最大值是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：　　　　　　　　　　　　（填“”、“”或“”）． 34．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知抛物线有最大值，那么a的取值范围是　　　　　　　　． 36．（25-26学年九·北京东城）如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 　　　　 . 37．（25-26学年九·北京东城）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是　　　　　　　　　　　　　． 38．（2026·北京房山·调研）某学生在打羽毛球时、发现羽毛球在空中的飞行路线可看作抛物线的一部分（不考虑空气阻力等因素），建立如图所示的平面直角坐标系，从点A处发球，羽毛球飞行过程中距离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下表： 0 3 6 9 0.70 2.05 2.50 2.05 （1）根据上述数据，羽毛球飞行过程中距离地面高度的最大值为________m； （2）求y关于x的函数表达式（不必求自变量x的取值范围）； （3）当对面另一名学生位于羽毛球正下方，羽毛球距离地面高度不大于他的最大击球高度2.4m时，视为击球成功．若对面这名学生位于羽毛球正下方时，，请问他能否击球成功？试通过计算说明． 39．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若对于任意的，，总有，求m的取值范围． 40．（2026·北京房山·调研）已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点，连线）； （3）这个二次函数图象经过怎样的平移运动，可以过原点． … … … … 41．（2026·北京房山·调研）已知二次函数图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当________时，大于； （3）当时，函数的最大值为________，最小值为________． 42．（2026·北京房山·调研）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： （2）结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 44．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知抛物线 ，其中为实数． （1）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　　　； （2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），则，两点的坐标为________； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）当时，的取值范围是________． 46．（25-26学年九上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 47．（25-26学年九上·北京大兴·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a的值为　　　　　　． 48．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 … y … 0 1 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若该二次函数图象经过点，则          ；（填“>”，“=”或“<”） （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围：          ． 49．（25-26学年九上·北京大兴·期中）实心球是北京中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看做是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点A到地面的竖直高度是． （1）如图1，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为B，求小明该次投掷的距离． （2）为提高训练成绩，如图2，他在距离点O的处垂直地面竖起一根长为的竹竿，竹竿的一个端点C在上，当球的运动路线恰好经过竹竿的另一个端点D时，测得投掷距离为，求小明该次投掷实心球的最大高度． 50．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式：___________； （2）补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … （3）若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 51．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F． ①若，直接写出的长； ②若，求线段长度的最大值． 52．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 53．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　　　． 54．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 55．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 56．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是____． 57．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）投壶   投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 59．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知抛物线与x轴交于点，对称轴为x=1，与y轴的交点B在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论： ①抛物线与x轴的另一个交点是； ②点在抛物线上，且满足，则； ③常数项c的取值范围是； ④系数a的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若一条直线经过C、D两点，请利用图象直接写出时，x的取值范围． 61．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，，其部分图象如图所示，给出下面四个结论：①；②；③当时，；④是关于x的一元二次方程 的一个根；其中正确的结论有　　　　　　　　　　　　　　　（填序号）． 62．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． （1）点的坐标是               ； （2）求函数图象的顶点坐标； （3）画出此函数的图象． 63．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，且它的对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围. 64．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过和两点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 65．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知抛物线与轴正半轴交于点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，当的长为3时，直接写出的值． 66．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 67．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． … … … … 68．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 69．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 70．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　　　　　　． 71．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 72．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知二次函数． （1）将其化成 的形式__________； （2）图象与x轴的交点坐标为_______； （3）用五点法画出二次函数的图象； （4）当时，函数值的范围是             ． 73．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 74．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 12 5 0 0 （1）关于x的一元二次方程的根为________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当时，y的取值范围为________． 75．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为　　　　　　． 76．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． （1）当时，有，求的值； （2）若，当时，都有，求的取值范围． 77．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． … 0 1 2 3 … … 0 0 … 78．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知，二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表． ．．． －1 0 1 m 3 ．．． ．．． n 0 1 0 －3 ．．． 根据题意完成下列各问： （1）该二次函数的解析式_____ （2）画图并填空， ①_____，_____； ②根据上表描点画出函数图象； ③当时，的取值范围是_____； ④当时，的取值范围是_____． 79．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点两点，下面有四个判断： ①若该二次函数图象过点，则该二次函数有最大值； ②若该二次函数图象过点，则当时，函数随增大而增大； ③若该二次函数图象过点，则； ④若该二次函数图象开口向上，且，则． 所有合理推论的序号是　　　　　． 80．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围______． 81．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：　　　　　　　　　　． 82．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当，时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当时，直接写出m的值______； （3）若对于时，总有，求a的取值范围． 83．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的一动点，且在直线上方．过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求长的最大值及此时点的坐标． 84．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是　　　　　　． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 85．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　． 86．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 87．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． （1）写出该抛物线的对称轴为_______，顶点坐标为______； （2）若直线与抛物线交于两点A、B，其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当的面积随m的增大而减少时，求m的取值范围． 88．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为　　　　　　　　　　． 89．（25-26学年九上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 90．（25-26学年九上·北京密云·期中）如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值得范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”． （）判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由． （）若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围． （）若函数与在上是“相邻函数”，直接写出的最大值与最小值． 91．（25-26学年九上·北京延庆·期中）小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）     小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    （1）点M的坐标是                       ； （2）求隧道顶的抛物线表达式； （3）求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 92．（25-26学年九上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 93．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． （1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则            ，                 ； （2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 94．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上，若，求的取值范围． 95．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如果二次函数（为参数）与正比例函数的图象在时有且只有一个公共交点，那么参数的取值范围是　　　　　． 96．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）二次函数的图象与轴交于两个不同的点和 （1）若，，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求的最大值． 97．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）二次函数的图象经过点和．直线上有一点，将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 98．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，，抛物线，两抛物线均经过点，． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①当时，求线段的长度； ②当点从原点向右运动到点的过程中，四边形的面积随长的增大而增大，求的取值范围． 99．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 100．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）对于抛物线上两点，总有，求的取值范围． 101．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．    （1）求的值及抛物线的解析式； （2）设线段的长为． ①当时，求与的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 102．（25-26学年九上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九·北京东城）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 2．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.75 5．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，那么（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 11．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 13．（2026·北京房山·调研）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于　　　　　　　　（结果保留小数点后一位）． 14．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京海淀·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … （1）表格中______； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 17．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是　　　　　　　． 19．（2026·北京房山·调研）已知二次函数的图像经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）此二次函数图像与x轴有________个交点． 20．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知抛物线经过不同的两点，且，则b的值为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______． 22．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 23．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·北京密云·期中）阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： （1）             方程的根；（填“是”或“不是”） （2）方程的根可以看作是函数                            与函数                      的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （4）观察图象可得：方程的实数根约为                            ．（结果精确到0.1） x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ x ⋯     1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ 25．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 26．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，？ （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 28．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 29．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）与y轴的交点坐标是             ，与x轴的交点坐标是             ； （3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 30．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）m的值为________； （2）点、在函数图象上，________（填、、）； （3）当时，x的取值范围是________； （4）关于x的一元二次方程的解为________； （5）根据表格画出此函数图象； （6）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________． 31．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　． 32．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为　　　　　　　　；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 34．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点． （1）点A的坐标是                 (用含a的式子表示)； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点C，交直线于点D，若点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，当时，求m的取值范围． 35．（25-26学年九上·北京海淀·期中）对任意实数，可用表示不超过的最大整数，如．称函数为“涟漪函数”． （1）当时，若，则的取值范围是　　　　　　　　　　　； （2）当时，“涟漪函数”与轴共有　　　　　　　　　　　个公共点． 36．（25-26学年九上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量的取值范围是___________； （2）小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； （4）过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九·北京东城）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天的销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系 （其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液的售价为多少元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 4．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 5．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； （2）求y与x之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 6．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是          ．（填上所有正确的选项） 7．（25-26学年九上·北京大兴·期中）在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． （1）若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式          ，并写出x的取值范围          ； ②图2中矩形面积          （用含x的式子表示）； ③当          时，矩形的面积最大． （2）若，（），则矩形的最大面积可表示为          （用含a，b的式子表示）． 8．（25-26学年九上·北京通州·期中）某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． （1）当时，每件的利润是______，总利润为______． （2）若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； （3）销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 4.1 …… 竖直高度（保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 …… 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为______，当篮球的水平距离为时，竖直高度为______； （2）已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则______投中．（填写“第一次”或“第二次”）（参考数据如下：，） 10．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表： 刹车时车速(千米/时) 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离(米) 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1 （1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 11．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； （2）在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； （3）第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 12．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． （1）苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 13．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 14．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为距地面的竖直高度为，获得数据如下： x（米） 0 0.5 2.0 3.5 5 y（米） 1.67 2.25 3.00 2.25 0 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图像； （2）直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米； （3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （4）结合函数图像，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为_______m．（结果精确到） 15．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 （1）根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． （2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内：          （填“是”，“否”）． 16．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 17．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 18．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）某商店销售一种T恤衫，已知成本价为每件30元，现售价为每件60元，每天售出100件，为提高利润并减少库存，商店决定将该T恤衫降价出售，经市场调查发现，每件售价降价1元，则多售出5件，问这种T恤衫售价应定为多少元，能使销售利润最大?设售价为元/件，总利润为元，完成下列问题． （1）每天售出_____件； （2）求最大利润是多少元？ 19．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 20．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 21．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： （单位：） 0 1 2 3 4 … （单位：） 2 3 4 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为________； （2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图象； （3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到，参考数据）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A. 3 B. 2 C.  D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的定义，根据二次函数的一般形式为，其中是二次项系数解答即可． 【详解】 函数的二次项系数为， 故选：A． 2．（25-26学年九·北京东城）下列函数是关于x的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】 解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知是关于的二次函数，则值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，因式分解法解方程，根据二次函数的定义，得出x的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）下列关于二次函数的说法正确的是(   ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】 解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）下列关于抛物线的说法正确的是（     ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 有最高点 D. 随的增大而增大 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】 解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·北京东城）抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 【答案】C 【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C． 考点：二次函数的图象与几何变换． 2．（2026·北京房山·调研）抛物线的顶点坐标是（       ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 【答案】B 【分析】 根据二次函数顶点式的特征计算即可； 【详解】 ∵抛物线， ∴顶点坐标为（－1，－2）； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键． 3．（2026·北京房山·调研）将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查抛物线的平移规律，理解和掌握抛物线平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“上加下减（抛物线与轴的截距即二次函数中的常数项），左加右减（抛物线的横轴）”即可求解． 【详解】 解：抛物线向上平移个单位长度， ∴． 故选：A． 4．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 5．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】 解：抛物线， 抛物线顶点为， 故选：C． 6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选B． 7．（25-26学年九上·北京通州·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】 解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 8．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）二次函数的最大值为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向下，在对称轴上取得最大值． 【详解】 二次函数， ，则二次函数图象开口向下， 所以当时，二次函数取得最大值． 故选：D． 9．（25-26学年九上·北京密云·期中）将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为       （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查抛物线的平移．根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】 解：将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为； 故选B． 10．（25-26学年九上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”，按照题意求出表达式即可得到答案，熟练掌握求函数图象平移的方法是解决问题的关键． 【详解】 解：将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为． 故选：D 11．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】 解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 12．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】 解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 13．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）二次函数的最小值是（       ） A. 1 B.  C. 4 D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数顶点式求最值．根据题意可知二次函数开口向上有最小值，最小值为即为本题答案． 【详解】 解：∵中， ∴开口向上，函数有最小值， ∴通过顶点式即可知最小值为， 故选：D． 14．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，先处理水平平移，再处理垂直平移． 【详解】 解：∵向左平移1个单位， ∴解析式变为 ； ∵向上平移3个单位， ∴解析式变为 ． ∴平移后抛物线的解析式为 ． 故选：D． 15．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】 解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 16．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【分析】 因为顶点式，对称轴是直线，所以抛物线的对称轴是直线． 【详解】 解：，对称轴是直线， 抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【点睛】 本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 17．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　） A. y=2(x+2)2+3 B. y=2(x-2)2+3 C. y=2(x+2)2-3 D. y=2(x-2)2-3 【答案】A 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】 解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 18．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图像的对称轴为直线 B. 图像的顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】 解：A、图像的对称轴为直线，则错误，故不符合题意； B、图像的顶点坐标为，则错误，故不符合题意； C、函数的最大值是，则正确，故符合题意； D、因为抛物线的开口向下，所以二次函数没有最小值，则错误，故不符合题意； 故选C． 19．（25-26学年九上·北京大兴·期中）将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】 解：将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是 故选：D． 20．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是抛物线的平移．抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是， 故选：C． 21．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）由二次函数，可知（       ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的解析式，分别判断其开口方向、对称轴、最值和增减性即可得． 【详解】 解：在二次函数中，， ∴这个二次函数图象的开口向上，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，选项D错误； ∴当时，取得最小值，最小值为1，选项C正确； 故选：C． 22．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 23．（25-26学年九上·北京延庆·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题关键． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移1个单位，x变为；向上平移2个单位，y值增加2． 【详解】 解：∵抛物线向右平移1个单位， ∴x替换为，得； ∵再向上平移2个单位， ∴y值增加2，得． 故选A． 24．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）函数的最小值是（） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解题关键．利用二次函数顶点式求函数的最小值即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，y的最小值是， 故选：D． 25．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知点、是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点的横坐标是，则点的横坐标为（     ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，解题关键是掌握二次函数的对称性． 根据题意利用二次函数对称性即可得到本题答案． 【详解】 解：∵是抛物线上关于对称轴对称的两点，抛物线对称轴为， ∵点的横坐标是， ∴点横坐标为：2， 故选：D． 26．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（     ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到抛物线． 故选：D． 27．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质，记住顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 28．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移正确的是（） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】 此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 故选：B． 29．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 30．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】 解：∵抛物线解析式为 ， ∴ 其顶点坐标为(3，1)， 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键． 31．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）对于二次函数，下列说法错误的是（       ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 32．（25-26学年九上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线对称轴为直线，因此原抛物线与平移后的抛物线与轴的交点横坐标之和均等于，即，当时，抛物线开口向上，向上平移后与轴的交点距离对称轴更近，因此根差减小，即；当时，抛物线开口向下，向上平移后与轴的交点距离对称轴更远，因此根差增大，即，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴ 原抛物线与轴交点和关于对称，即， 同理，向上平移后抛物线与轴交点和也关于对称，即， ∴， 当时，抛物线开口向上，向上平移后，与轴交点向对称轴靠近， ∴ 根差减小，即； 当时，抛物线开口向下，向上平移后，与轴交点远离对称轴， ∴ 根差增大，即， 综上，只有选项符合题意， 故选：． 33．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由解析式，顶点坐标，故 求解； 【详解】 解：， 由题意， ，解得； 故选：D 【点睛】 本题考查二次函数顶点式解析式，根据题意构建不等式组是解题的关键． 34．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：． 35．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】 解：二次函数 顶点坐标为． 故答案为 ：． 36．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则　　　　　(填“>”或“<”)． 【答案】< 【分析】 本题考查了二次函数的性质，通过代入点A和点B的横坐标到二次函数解析式中，计算对应的纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】 对于二次函数， 当时，． 当 时，． 由于， 因此． 故答案为：<． 37．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的最大值是　　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 由二次函数的顶点式可知，当二次项系数为负数时，函数有最大值，且最大值为顶点纵坐标． 【详解】 解：二次函数 的顶点坐标为 ， 由于二次项系数 ，抛物线开口向下， 因此函数有最大值，最大值为 ． 故答案为 7． 38．（25-26学年九上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则　　　　　　　　　　　（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【详解】 解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 39．（25-26学年九上·北京通州·期中）抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律，向右平移时自变量x减去平移单位，向上平移时函数值加上平移单位. 【详解】 解：原抛物线为，向右平移1个单位，得； 再向上平移3个单位，得. 故答案为：. 40．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）一个二次函数满足：①开口向下；②经过点．此二次函数的解析式可以是　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是关键．根据题意，只要二次函数的解析式满足：二次项系数为负，将点看作二次函数的顶点，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下，二次函数经过点， ∴，二次函数与轴交于点， 即的值可以是， 当，点是二次函数的顶点时，二次函数解析式为． 经验证，二次函数，满足开口向下且过点． 故答案为：（答案不唯一）． 41．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据上加下减，左加右减的规律求解即可． 【详解】 解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：． 故答案为：． 42．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是　　　　　　（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， ． 故答案为：． 43．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）点，在抛物线上，则，的大小关系是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入抛物线方程，计算对应的纵坐标值，再比较大小即可 【详解】 解：对于点 ，代入抛物线方程 ， 得， 对于点 ，代入抛物线方程， 得， ， ， 故答案为： 44．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是　　　　　　　　（写出一个即可）. 【答案】4（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 45．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）开口向上，顶点坐标的抛物线的解析式 　　　　　　　　　　　（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查抛物线的顶点式与开口方向的关系，涉及的知识点是抛物线的顶点式解析式．解题中用到的方法是顶点式法，即根据顶点坐标设出顶点式，再结合开口方向确定二次项系数的符号．解题关键是掌握顶点式的结构，明确a的符号与开口方向的对应关系．易错点是混淆顶点式的结构，或错误选择a的符号导致开口方向不符合要求．根据二次函数的顶点式，直接写出满足开口向上且顶点坐标为的抛物线的解析式即可． 【详解】 解：∵抛物线     开口向上，所以二次项系数 ； 又∵顶点坐标为， ∴解析式可设为 ． 取 ，得 ． 故答案为：（答案不唯一） 46．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知点，在二次函数的图象上，与的大小关系为　　　　　　（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∵，， ∴点A离直线远，点B离直线较近， ∴， 故答案是：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 47．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）写出一个开口向上，并且对称轴是的抛物线的解析式　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数顶点式，由对称轴是 可得 ，由开口向上可知 ，所以取后代入解析式即可． 【详解】 解：设抛物线的解析式为 （）． ∵ 开口向上， ∴ ． ∵ 对称轴是 ， ∴ ． 取 ， ， 得 ． 故答案为： （答案不唯一） 48．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知抛物线． （1）求拋物线的顶点坐标、对称轴； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 【答案】（1）顶点坐标为、对称轴是直线     （2） ， ∴由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线或抛物线先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线．      【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴拋物线的顶点坐标为、对称轴是直线； (2) 小问详解： 解：略． 49．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可． 【详解】 解：，当时，y随x的增大而增大， ， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）当时，二次函数的最大值为8，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】 解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】 解：， 所以； 故选：C． 2．（25-26学年九上·北京密云·期中）二次函数的最小值是（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，直接由顶点坐标确定最值即可． 【详解】 解：∵函数是顶点形式，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，顶点处取得最小值， ∴最小值为， 故选：D． 3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（     ） A. 3 B. －3 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的最值与二次项系数的关系． 根据二次函数的二次项系数判断抛物线的开口方向，再结合函数的常数项确定其最大值． 【详解】 解：∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 代入得， ∴函数最大值为． 故选：B． 4．（25-26学年九·北京东城）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】 解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 5．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，掌握函数图象与x轴交点坐标的求法是解题的关键． 令，分别求出二次函数图象与一次函数图象与x轴的交点坐标，可知都经过点，即可求解． 【详解】 解：令二次函数，得，解得，， 二次函数与x轴交点坐标为和， 令一次函数，得，解得， 一次函数与x轴交点坐标为， 二次函数与一次函数的一个交点为， 根据各选项图象，可知选项A符合题目要求． 故选：A． 6．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③当时，若，则；所有正确推断的个数是（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 利用二次函数的对称性和点的坐标关系进行判断． 【详解】 推断①：若，则点和点关于对称轴对称， 且对称轴， 又点和点的中点为， 点和点也关于对称轴对称， ，故①正确，符合题意． 推断②：，，，， 又， ， ，即， ， ，故②正确，符合题意． 推断③：当时，对称轴为， ，， ， ， 若，则，即， ，， ； 若，则，即， ，， ；故③正确，符合题意． 综上，推断正确的有① ② ③ ，正确推断的个数是3个， 故选：D． 7．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，过点．有以下结论：①；②；③，④．其中正确结论的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系. 由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可确定，，再根据对称轴是直线，即，可确定，从而可判断① 正确，④ 错误；根据图象可知二次函数与轴有两个交点，进而可判断② 正确，由图像可知当时，，即可判断③ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， 故① 正确，④ 错误； ∵图象可知二次函数与轴有两个交点， ∴，即， 故② 正确， ∵当时，， ∴，故③ 正确， 综上可知，正确结论的个数是3个． 故选：C． 8．（25-26学年九上·北京通州·期中）函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与y轴交点位置，二次项系数与一次项系数决定对称轴位置，具体是左同右异. 【详解】当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误； 当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与x轴的交点，解答关键是熟练掌握以上内容. 9．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … … … … 给出下面三个结论：①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．根据表格数据，当时，可知是方程的一个根；当时，且当时，由对称性可得对称轴为，从而另一个根为；由时代入解析式可得；由时代入解析式可得． 【详解】 解：当时，， 是方程的一个根； 当时，，当时，， 点和点关于对称轴对称， 对称轴为； 对称轴为，且是根， 另一个根为，故结论③正确； 设， 当时，， ，故结论①错误； 当时，， ， ，故结论②正确； ∴正确结论为② ③． 故选：B． 10．（25-26学年九上·北京延庆·期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． 0 4 6 6 4 ．．． 给出下面四个结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与y轴的交点坐标是； ③抛物线的对称轴是直线； ④关于x的一元二次方程的根是和； 其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过表格数据确定二次函数的对称轴、开口方向、与y轴交点及方程根，逐一判断各结论． 【详解】 解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为 ，故③正确； ∵对称轴为，根据表格可知时为最大值，随增大，减小（如时 ，时）， ∴ 抛物线开口向下，故①错误； ∵ 当 时，， ∴ 抛物线与 轴交点为 ，故②正确； ∵ 当 时，，即 是方程 的根， 又∵ 对称轴为 ， ∴ 另一根为 ，故④正确； 综上，正确结论为② ③ ④，共3个． 故选C 11．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，其中．结合图象给出下列结论： ①；②；③当时，随增大而增大； ④当； ⑤关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是． 其中正确结论的个数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，由图象可得，， 即得，即可判定① ；把代入函数解析式得，即可判定② ；由及二次函数的性质即可判定③ ；由图象可判定④ ；设方程的另一个根为，由根和系数的关系得，进而由得，即可判定⑤ ，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：由图象知，，， ∴， ∴，故① 错误； ∵二次函数的图象与轴交于， ∴， ∴，故② 正确； 由图象可知，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ∵二次函数的图象与轴交于，，其中, ∴， ∴当时，先随的增大而减小，再随的增大而增大，故③ 错误； 由图象可知，当时，，故④ 正确； ∵， ∴， 设方程的另一个根为，则， ∴， ∴，故⑤ 正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（     ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断① ② ，对称性，增减性判断③ ，根据时，取得最大值，判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故② 错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故① 正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③ 正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④ 正确； 故答案为：① ③ ④ 共3个， 故选：D． 13．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 14．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：① ② ③ ④ ⑤正确， 故选：A． 15．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）二次函数与一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数图象分布，图象交点位置，图象与坐标轴的交点，二次函数的对称轴的位置，解答即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得 ，且， 解得 ， 故两个函数的交点为， 与x轴的交点为， 由抛物线得抛物线的对称轴为直线， 故A， B，D不符合题意；C 一致，符合题意， 故选：C. 16．（25-26学年九上·北京密云·期中）写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案． 【详解】 解：二次函数， ①开口向下， ； ②当时，随着的增大而增大，，即； ∴只要满足以上两个条件就行， 如时，二次函数的解析式是． 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目． 17．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 18．（2026·北京房山·调研）若二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零，据此列不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得， 故答案为：． 19．（2026·北京房山·调研）写出一个二次函数表达式，满足：当时，y随x的增大而减小，则此函数表达式可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．当时，y随x的增大而减小，则抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边，据此求解即可． 【详解】 解：当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在轴上或者轴左边， 此函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 20．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，直接设顶点坐标是的抛物线表达式为，再由开口向上得到即可解题． 【详解】 解：根据图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 21．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 【详解】 解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 22．（25-26学年九上·北京通州·期中）抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是　　　　　　．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关系；也可直接代入计算函数值进行比较． 【详解】 解：对于抛物线，其对称轴为直线， 且抛物线开口向下（因为）， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下， ． 23．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）若抛物线的顶点在轴上，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标公式． 抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，且二次项系数不为零，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得，， 解得 故答案为：． 24．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：不能达到，理由如下： ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先将关系式配方，再根据最大值判断． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ． ； (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）     （2） 图象如下： ．     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）结合函数图象，找出当时，的最大值与最小值即可得． (1) 小问详解： 解：将二次函数化成顶点式为， 所以这个二次函数图象的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：当时，，解得或， 当时，，解得或 (3) 小问详解： 解：结合函数图象可知，当时，． 26．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）若点，在二次函数的图象上，则　　　　　（填，或）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．通过计算二次函数在给定点的函数值，比较纵坐标大小即可． 【详解】 解：对于点， 将代入二次函数，得：， 对于点， 将代入二次函数，得： ， ． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】 解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 28．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … （1）求此二次函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象直接写出当x取何值时，． 【答案】（1）     （2） 解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如下： 从函数图象看，当时，x的取值范围．      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）从表格选出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）根据表格数据描点连线绘制函数即可；观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，设表达式为， 把代入得， ∴，即； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】 解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 30．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】 解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 31．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知当﹣1＜x＜0时，二次函数y＝x2﹣3mx+2的值恒大于1，则m的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 将代入函数的解析式，令即可求得的取值范围． 【详解】 解：二次函数的图象是一条开口向上的抛物线， （1）当抛物线的对称轴时，即， 要使二次函数解析式的值时恒大于1，只要，， 解得：， ， （2）当抛物线的对称轴时，即时， 要使二次函数解析式的值时恒大于1，只要即可； （3）当抛物线的对称轴在区间时， ， ， 综上所述：的取值范围是：． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 32．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）若，则的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 33．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：　　　　　　　　　　　　（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】 ∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】 解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知抛物线有最大值，那么a的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最大值，可得，计算求解即可． 【详解】 解：∵抛物线有最大值， ∴， 解得，， 故答案为：． 36．（25-26学年九·北京东城）如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 　　　　 . 【答案】（﹣2，0） 【详解】 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 37．（25-26学年九·北京东城）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴ ，解得 ， ∴此二次函数的解析式为． 38．（2026·北京房山·调研）某学生在打羽毛球时、发现羽毛球在空中的飞行路线可看作抛物线的一部分（不考虑空气阻力等因素），建立如图所示的平面直角坐标系，从点A处发球，羽毛球飞行过程中距离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下表： 0 3 6 9 0.70 2.05 2.50 2.05 （1）根据上述数据，羽毛球飞行过程中距离地面高度的最大值为________m； （2）求y关于x的函数表达式（不必求自变量x的取值范围）； （3）当对面另一名学生位于羽毛球正下方，羽毛球距离地面高度不大于他的最大击球高度2.4m时，视为击球成功．若对面这名学生位于羽毛球正下方时，，请问他能否击球成功？试通过计算说明． 【答案】（1）2.50     （2）     （3）能击球成功，理由： 当时，代入函数表达式： ， 因，故能击球成功．      【分析】 本题考查了二次函数的对称性、待定系数法求解析式及函数值的计算，解题的关键是利用抛物线的对称性确定顶点位置，再用待定系数法求出函数表达式． （1）利用抛物线对称性确定对称轴与顶点，得到最大高度； （2）设二次函数一般式，代入表格数据联立方程，求出解析式； （3）将代入解析式计算值，与2.4比较判断击球是否成功． (1) 小问详解： 解：由表格数据可知，抛物线的对称轴为（因和时值相等），故顶点在处，此时，即最大高度为． (2) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式为，代入表格数据： 当时，，得； 当时，，得，即； 当时，，得，即． 联立方程解得：，， 故函数表达式为：； (3) 小问详解： 略 39．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若对于任意的，，总有，求m的取值范围． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）把代入函数解析式，求出二次函数解析式，再令得一元二次方程，求出方程的解即可解答问题； （2）根据题意求出，再分和两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为， 令，则， 解得：，， 抛物线与x轴的交点坐标为，； (2) 小问详解： 解：由可知，抛物线的对称轴为， 抛物线与x轴交点为，． ， ． ． ① 若，如图，抛物线开口向上，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ，， ，， 应有，解得， 又， 在对称轴右侧，且在x轴上方，应有，解得， ； ② 若，如图，抛物线开口向下，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ， 必有， 则有， ，解得， 又， ． 综上所述：m的取值范围是或． 40．（2026·北京房山·调研）已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点，连线）； （3）这个二次函数图象经过怎样的平移运动，可以过原点． 【答案】（1）；     （2） … … … …      （3）如：向左平移1个单位（答案不唯一）．      【分析】 （1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与其它交点的坐标，列表、描点，画出图象； （3）通过顶点式的平移的性质，可解出答案，注意答案不唯一． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①如果将二次函数上下平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ∴将二次函数向下平移个单位长度； ②如果将二次函数左右平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ，， ∴将二次函数向左平移个或个单位长度． 故答案不唯一． 【点睛】 本题主要考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法、二次函数顶点式的平移规律，熟知二次函数的顶点式和二次函数平移的性质是解答此题的关键． 41．（2026·北京房山·调研）已知二次函数图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当________时，大于； （3）当时，函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】（1）     （2）或     （3）；      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数图象，直接可以得出结论； （3）根据函数的性质和图象即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 根据题意得： ， 解得： ， 二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 二次函数图象经过点，对称轴为直线， 二次函数图象还经过点， 由图象得：当或时，， (3) 小问详解： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值为 当时，最小值为 ∴当时，函数y的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 42．（2026·北京房山·调研）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标． 【详解】 解：抛物线（）的对称轴为， 点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变， 故点的坐标为， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： （2）结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） 函数图象如下图;      （2）①；②或；③      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）① 根据二次函数图象的对称性求解即可； ② 结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③ 设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ② 由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③ 设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 44．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知抛物线 ，其中为实数． （1）若抛物线经过点，则　　　　　　　　　　　　　； （2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）将点代入解析式求解即可； （2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可． 【详解】 解：（1）将点代入解析式可得： ， 解得：， 故答案是：5； （2）将代入抛物线， 可得，则， ∵抛物线与线段有交点， ∴在对称轴上，在对称轴右侧． 当时，如图所示：    ， 此不等式无解； 当时，如图所示：    ， 解得：， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边），则，两点的坐标为________； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1），     （2） 解：列表： 描点、连线，画出图象，如图所示：      （3）      【分析】 （1）根据二次函数图象与轴交于点，，得出，即，解出即可得出，两点的坐标； （2）列表、描点、连线，画出图象即可； （3）根据（2）的图象，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与轴交于点，（点在点左边）， ∴，即， 解得：，， ∴，； 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：观察图象，可得：当时，的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、用描点法画二次函数图象、二次函数的图象与性质，解本题的关键在正确画出二次函数的图象． 46．（25-26学年九上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） 的值为，的值为．     （2） 当时，求的长为． 若的长随的增大而增大，的取值范围为或．      【分析】 本题考查求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数的图象和性质． （1）把代入，可得的值，从而可得点的坐标，代入，即可得的值； （2）当时，点、的横坐标为，代入对应解析式，可得点、的纵坐标，即可得的长；由已知可得，，分段讨论，当时，写出长度的表达式，由二次函数的性质，可得的取值范围，由图象可知，当时，不符合题意，当时，符合题意，从而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为，的值为． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 当时，点、的横坐标为， 在中，令，得， 在中，令，得， ∴，， ∴， ∴当时，求的长为． 由已知可得，， 由 得 ， ， ∵点，不重合， ∴，且， 当时，的长随的增大而减小，不符合题意， 当时，， ∵的长随的增大而增大， ∴ ， ∴， 当时，的长随的增大而增大，符合题意， ∴若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 47．（25-26学年九上·北京大兴·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则a的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法，正方形的性质等知识． 连接交y轴于点D，先求出,根据正方形性质求出点A坐标为，代入即可求出． 【详解】 解：如图，连接交y轴于点D． 由抛物线解析式为得顶点B坐标为 ∴, ∵四边形为正方形， ∴， ∴点A坐标为，代入 ∵点A在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 … y … 0 1 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）若该二次函数图象经过点，则          ；（填“>”，“=”或“<”） （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围：          ． 【答案】（1）     （2） 二次函数图象如图： ；      （3）>     （4）      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，画二次函数图象，比较函数值大小，二次函数与方程不等式关系等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据表格描点，连线，即可画出二次函数图象； （3）分别求出，，即可比较大小； （4）根据表格得到由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为，即可得到当图象位于x轴上方时，问题得解． (1) 小问详解： 解：设二次函数解析式为， 把代入得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，， 当时，， ∴． 故答案为：> (4) 小问详解： 解：由图象和表格可得，二次函数与x轴交点为， ∴当时，． 故答案为：． 49．（25-26学年九上·北京大兴·期中）实心球是北京中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看做是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点A到地面的竖直高度是． （1）如图1，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为B，求小明该次投掷的距离． （2）为提高训练成绩，如图2，他在距离点O的处垂直地面竖起一根长为的竹竿，竹竿的一个端点C在上，当球的运动路线恰好经过竹竿的另一个端点D时，测得投掷距离为，求小明该次投掷实心球的最大高度． 【答案】（1）     （2）最大高度为      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系， 则抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为．利用待定系数法求出抛物线解析式，再令时，求出x的值，即可求出． （2）以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系，已知，，都在抛物线上，故设抛物线的解析式为：，利用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 则抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 即， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴． (2) 小问详解： 解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 已知，，都在抛物线上， 故设抛物线的解析式为：， 则 解得： ， ∴抛物线的解析式为：， 将抛物线化成顶点式， 则抛物线的顶点坐标为， 即最大高度为． 50．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式：___________； （2）补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … （3）若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【答案】（1）     （2）1，3，     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； (3) 小问详解： ∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F． ①若，直接写出的长； ②若，求线段长度的最大值． 【答案】（1）,     （2）①；② 5      【分析】 本题考查了二次函数与图象的综合知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，解题时注意运用数形结合的思想解决问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得直线的表达式为，求出当时的点E、F坐标，进而可求解； ② 由题意，，，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，由得，， ∴； (2) 小问详解： 解：①， ∴顶点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 由题意，，则，， ∴； ② 由题意，，， 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为4； 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为； ∵， ∴线段长度的最大值为5． 52．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． (1) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点并连线： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 53．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减。根据条件“当时，y随x的增大而减小”，要求整个区间位于对称轴左侧，因此必须小于或等于对称轴的位置． 【详解】 二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，函数递减；当时，函数递增， 由题意，当时函数递减， 故需； 故答案为 ． 54．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】（1）     （2）①7；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）① 求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；② 可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ② 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 55．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 【答案】（1）且     （2）， 画出该函数的图象如下： 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由二次函数与轴有两个交点可知，， 从而可求得的取值范围； （2）先求得的最大整数值，从而可求得二次函数的解析式，将二次函数的解析式化成顶点式，再利用描点法画出函数图象即可． (1) 小问详解： 解：二次函数与轴有两个交点， ，， 解得且； (2) 小问详解： 解：由（1）知，且， 取最大整数， ，此时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，即， 当时，即，解得 56．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是____． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的对称轴和顶点坐标，则可设顶点式，然后把点代入求出即可； （2）根据函数的开口方向和当时，；当时，，即可得解． (1) 小问详解： 解：由表可知，当和时，， 对称轴为，顶点为， 设二次函数的表达式为， 将点代入得：，即，解得， ； (2) 小问详解： 解：， 抛物线开口向下， 当时，；当时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 57．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】 解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 58．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）投壶   投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）米     （3）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． (1) 小问详解： 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； (3) 小问详解： 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 59．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知抛物线与x轴交于点，对称轴为x=1，与y轴的交点B在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论： ①抛物线与x轴的另一个交点是； ②点在抛物线上，且满足，则； ③常数项c的取值范围是； ④系数a的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线的对称性可判断①；由开口方向和增减性可判断②；由与y轴交点范围可判断③；由对称轴和点A坐标得到c与a的关系，结合c范围求a范围可判断④． 【详解】 解：抛物线对称轴为直线，且与轴交于点，根据对称性，另一交点坐标为，故①正确； 抛物线与轴交点在和之间（包含端点），故的取值范围是，故③正确； 由对称轴，得，点在抛物线上，代入得，即，代入得，即，又，故，解得，故④正确； 由④知，抛物线开口向下，对称轴为，当时，随增大而增大，故当时，有，故②错误． 综上，正确结论的序号是① ③ ④． 故答案为：① ③ ④ ． 60．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若一条直线经过C、D两点，请利用图象直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）把A点和B点坐标代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标，观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得 ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 当时，，则； 当时，， 解得， ∵， ∴； 由图象得，当或时，． 61．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，，其部分图象如图所示，给出下面四个结论：①；②；③当时，；④是关于x的一元二次方程 的一个根；其中正确的结论有　　　　　　　　　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，根据二次函数的对称轴判断① ；根据二次函数的最值判断② ；利用二次函数的对称性判断③ ④ 解答即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴是直线，即，故① 正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，y有最大值为k， ∴当时，，故② 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线与轴的另一交点为， 即当时，，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， 点关于对称轴的对称点坐标为， 即当时，或， ∴是关于x的一元二次方程 的一个根，故④ 正确， 正确的结论有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 62．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． （1）点的坐标是               ； （2）求函数图象的顶点坐标； （3）画出此函数的图象． 【答案】（1）；     （2）；     （3） 如图， 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求二次函数图象与y轴的交点，令x=0代入函数解析式即可； （）利用二次函数顶点坐标公式计算； （）根据列表，描点、连线即可画出图象． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由二次函数， ∴函数图象的顶点坐标； (3) 小问详解： 解：列表： 63．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，且它的对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围. 【答案】（1）二次函数的表达式为     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，对称轴公式，根据对称性求函数值的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称轴的公式表示出系数的关系，然后利用待定系数法求函数表达式即可； （2）根据自变量的值求出三个函数值，利用函数的对称性求函数值的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：根据对称轴得，， ∴， ∴， 将点和点代入解析式得， 解得 ∴， ∴此二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：由得，， ∴抛物线开口向上， 当时，； 当时，； 当时，； ∴． 64．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过和两点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图象和性质； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，写出位于x轴下方的函数图象对应的自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把和代入得： ，解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当或时，． 65．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知抛物线与轴正半轴交于点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，当的长为3时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）的值为或      【分析】 本题考查了一次函数的性质和二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． （1）根据二次函数的性质求出点A和点B，设直线为，进行代入求解即可； （2）根据题意将点M和点N表达出来，再根据的长为3进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点B坐标为， 当时， 解得， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴点A为， 设直线为， 将点A和点B代入得， ， 解得 ， ∴直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵过点作轴的垂线，交抛物线于点， ∴点为， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴点为， ∴为 ， ∵的长为3， ∴， ∴， ∴当时， 解得或， 当时，（无实数解）． ∴的值为或． 66．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；     （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ；     （3）．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： 图象略； x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 (3) 小问详解： 解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 67．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1），     （2） 图象如下，      （3）当时，函数值的取值范围      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，求出的值即可得图象与轴交点B 的坐标； （2）先利用对称性列表，注意，要取整数，然后描点连线即可画出图象； （3）根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． (1) 小问详解： 解：化为顶点式得， 顶点的坐标为， 令，则， 点B 的坐标为； (2) 小问详解： 先利用对称性列表： 然后描点连线，得到的图象； … … … … (3) 小问详解： 二次函数， 当时，； 当时，； 二次函数的对称轴为直线，且， 当时，有最小值，， 当时，函数值的取值范围． 68．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质， 对于（1），根据题意得到二次函数解析式，从而得到二次函数的对称轴；再结合函数图象，当，对称轴左侧的图象随的增大而减小，从而得到，的大小； 对于（2），由题意分时，根据抛物线的开口方向及对称轴可知抛物线的增减性，再结合自变量和函数值的大小关系得出不等式，求出解集即可；当时，仿照上述解答过程解答即可． (1) 小问详解： 解：① 当时，， 抛物线的对称轴是． 它的对称轴为直线； ② ∵抛物线的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 和， ，两点位于对称轴的左侧， ， ； (2) 小问详解： 解：当时，抛物线的对称轴是， ∴对称轴右侧函数值y随着x的增大增大， ∵点和是抛物线上的两点，，， 当时，都有， 解得； 当时，抛物线的对称轴是， ∵点和是抛物线上的两点，，， ∴点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的左侧， 点N关于对称轴对称的自变量取值范围是， 此时，不符合题意， 所以a的取值范围是. 69．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）用描点法画出该二次函数的图象； （3）当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为     （2）二次函数的图象如图所示：      （3）k的取值范围      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 (1) 小问详解： 点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … (3) 小问详解： 当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 70．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，① 根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ② 根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③ 当时，，即，根据,可得，即可判断；④ 根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】 解：① 根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴① 错误； ② ∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故② 正确； ③ 由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③ 正确； ④ ∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④ 正确． 故答案为：② ③ ④ ． 71．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标是     （2）见详解     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可． (1) 小问详解： 解： ． 顶点坐标是． (2) 小问详解： 解：列表如下： 如图， x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … (3) 小问详解： 解：由图象知：当时，或． 72．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知二次函数． （1）将其化成 的形式__________； （2）图象与x轴的交点坐标为_______； （3）用五点法画出二次函数的图象； （4）当时，函数值的范围是             ． 【答案】（1）     （2）和     （3） 如图：      （4）      【分析】 （1）由配方可求解； （2）令可求得与x轴交点坐标； （3）先求出该函数图像上五个点的坐标，再用描点法画出图象即可； （4）由图象可求解． (1) 小问详解： 由题意可得：； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意得，令，可得， 解得， ∴图象与x轴的交点坐标为和； 故答案为：和； (3) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为，对称轴为， 由（2）可得，图象与x轴的交点坐标为和， 令，得， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∵对称轴为， ∴当时，， ∴该函数经过，，，，； (4) 小问详解： 由图象可得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 73．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线     （2）或      【分析】 （1）根据对称轴表达式，直接代入系数计算或者根据配方法配成顶点式，即可求解； （2）由题意可分当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵ ， ∴对称轴为直线． (2) 小问详解： 解：① 当时，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② 当时，点P在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵ ， ∴ 点P在点右侧， ∴ ， ∴， 综上，或． 【点睛】 本题考查抛物线的对称轴与二次函数的最值问题，涉及的知识点是抛物线对称轴公式、二次函数的增减性与最值．解题中用到的思想是分类讨论思想，根据开口方向分析区间内的最值位置；方法技巧是利用对称轴与区间的位置关系，简化最值的计算．解题关键是准确判断区间内的最值点，避免因开口方向或区间位置分析错误导致不等式列错．易错点是忽略区间与对称轴的位置关系，直接取区间端点计算最值，导致结果偏差． 74．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 12 5 0 0 （1）关于x的一元二次方程的根为________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当时，y的取值范围为________． 【答案】（1） 或      （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是： （1）根据二次函数的对称性求出对称轴，进而可求出当时，对应的x的另一个值，即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴直线与二次函数交点的横坐标为和4， ∴的解为 或 ； (2) 小问详解： 解：设， 把，代入，得， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解： ， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． 75．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由二次函数的增减性得当时，y随x的增大而增大，从而可得，求取的取值范围，在取值范围内取一个值即可；理解增减性，并能得到是解题的关键． 【详解】 解： 当时， y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大， ， 可取； 故答案：（答案不唯一）． 76．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． （1）当时，有，求的值； （2）若，当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）利用二次函数的图象和性质判断即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴点，关于直线对称. ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴； ① 当时，随着的增大而减小， ∵当时，都有， ∴， ∴， ∴； ② 当时，随着的增大而增大， ∴点关于直线的对称点的坐标是. ∵当时，都有， ∴， ∴. 综上，的取值范围是或. 77．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 78．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知，二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表． ．．． －1 0 1 m 3 ．．． ．．． n 0 1 0 －3 ．．． 根据题意完成下列各问： （1）该二次函数的解析式_____ （2）画图并填空， ①_____，_____； ②根据上表描点画出函数图象； ③当时，的取值范围是_____； ④当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）     （2）① 2， ②描点、连线画出函数图象如图： ； ③④      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，求二次函数的解析式，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）设该函数解析式为，由表格知点，，在该函数图象上，利用待定系数法即可求得该函数解析式； （2）① 抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性求解即可；② 根据表格里的数据描点连线画出函数图象；③ 根据图象即可求解；④ 根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：设该函数解析式为， 点，，在该函数图象上， ， 解得 ， 该二次函数的解析式为． 故答案为：； (2) 小问详解： ①， 对称轴为直线， 的对称点是，的对称点是， ，， 故答案为：2，； ② 略 ③ 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； ④ 当时，的取值范围是． 故答案为：． 79．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点两点，下面有四个判断： ①若该二次函数图象过点，则该二次函数有最大值； ②若该二次函数图象过点，则当时，函数随增大而增大； ③若该二次函数图象过点，则； ④若该二次函数图象开口向上，且，则． 所有合理推论的序号是　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据待定系数法和二次函数的图象和性质可判断① ② ③，由待定系数法可得，再根据a的范围求h的范围即可． 【详解】 解：二次函数的图象过点，， ， 解得：， 二次函数有最大值， 故①符合题意； ， ③符合题意； 二次函数的图象过点，， ， 解得：， 对称轴为直线， 开口向上， 当时，函数随增大而减小， 故②不符合题意； 二次函数的图象过点， ， 可得， ， ， 解得：， 故④符合题意． 故答案为：① ③ ④． 80．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围______． 【答案】（1） 如图，画出这个二次函数的图象如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了画函数图象，求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围． （1）利用描点法画函数图象，根据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可确定对称轴，进而确定开口方向，再结合函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数经过，， ∴， ∵二次函数经过， ∴， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵当和当的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵函数开口向上，在对称轴处有最小值， ∴结合函数图象可知，当时，． 故答案为：． 81．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可； 【详解】 ∵二次函数开口向下， ∴， 设二次函数解析式为， ∵过点（0，－1）， ∴， ∴二次函数解析式为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键． 82．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当，时，函数的最大值记为s，函数的最小值记为t，当时，直接写出m的值______； （3）若对于时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得抛物线的顶点坐标； （2）由题意得抛物线解析式为，由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，分，，三种情况讨论，利用二次函数的性质结合，即可解答； （3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，联立 ，则，求出，根据时，总有，进而可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由题意得抛物线解析式为， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的图象开口向上，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 当时，即， 则，即， ∵，即， ∴； 当时，即， 则，即， ∵，即， ∴； 当时，即， 则或，即或， ∵，即或， ∴或； ∵， ∴此时，没有符合题意得值； 综上，m的值为或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：将代入，得， ∴， 将代入，解得， ∴， 联立 ， 则， ∴， ∵是抛物线上的任意一点，且不与点重合， ∴， ∴， ∵时，总有， ∴时，总有， ∴，总有， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 83．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的一动点，且在直线上方．过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求长的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）     （2）的最大值为：，．      【分析】 （1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可． （2）求解，可得，证明，可得，求解直线为，设，则，可得，进一步利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得： ， 抛物线的表达式为：． (2) 小问详解： 解：∵， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，的最大值为：， ∴． 【点睛】 本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，平行线的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，熟练的建立二次函数模型是解本题的关键． 84．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是　　　　　　． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意建立方程或不等式组模型解题是关键． 对于① ② ③ 都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于④ 先利用函数过，可得函数解析式为再结合题意建立不等式组模型即可解决问题． 【详解】 解：设过，两点的直线为， ∴ 解得： ∴直线为： 当时， ∴函数经过 故① 符合题意； 此函数的图象为抛物线 且经过，，， 则 解得： ∴抛物线为： ∴抛物线的开口向上，故② 不符合题意； 当函数的解析式为，且经过，，， 同理设抛物线 则 解得： ∴抛物线为： ∴对称轴为直线 而 故③ 符合题意， 二次函数过，，则 解得： 所以抛物线为： ∴开口向下，且，而 ∴，而 即 ∴ 即 故④ 符合题意； 故答案为：① ③ ④ 85．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．通过求二次函数的对称轴，比较各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小． 【详解】 解：二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下． 对称轴为． 点和点到对称轴的距离均为和，关于对称轴对称， 故． 点到对称轴的距离为，距离最大，由于开口向下，函数值最小， 故． 因此，． 故答案为：． 86．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1），     （2）①；②或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）① 当，抛物线表达式为，直线表达式为，则，，即可求解； ② 可求，，则，将问题转化为关于的二次函数求解，分和两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； (2) 小问详解： 解：① 如图， 当，抛物线表达式为，直线表达式为 ∵点作x轴的垂线，， ∴，， ∴； ② 当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧， 如图： 当时，则，其图象开口向上，对称轴为直线，此时始终符合的长随的长的增大而增大； 当时，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 函数的对称轴为直线， 当时，图象开口向下，， 要使得的长随的长的增大而增大 ∴， ∴， ∴； 当或均不符合题意， 综上所述，a的取值范围为或． 87．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． （1）写出该抛物线的对称轴为_______，顶点坐标为______； （2）若直线与抛物线交于两点A、B，其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当的面积随m的增大而减少时，求m的取值范围． 【答案】（1）直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再计算顶点坐标即可； （2）可求出直线与抛物线的一个交点坐标为，则利用待定系数法可求出抛物线解析式，进而求出两函数的另一个交点坐标；表示出点N和点M的坐标，根据点M在点N的下方可得m的取值范围，再由，求出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的增减性求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴直线与抛物线的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴直线与抛物线的另一个交点坐标为； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∵点M在点N的下方， ∴此时一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴； ∴ ； ∴ ， ∵，， ∴当时，随m的增大而减小，即此时的面积随m的增大而减少． 88．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】或3 或 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ② 分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 89．（25-26学年九上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）①6；②且.      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）① 结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；② 首先设点，，确定，再分和两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入，抛物线， 可得，解得； (2) 小问详解： ① 解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． 当时，则，如下图： 将代入，可得，即 将代入，可得，即 ∴ ② 解：设点， 则， ∴ (i) 当时，有， 当时，． ∵函数的图象开口向下，对称轴为 当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 时符合题意，时不符合题意 ． (ii)当时，有． 当时，． 函数的图象开口向上，对称轴为 当时，y随x的增大而减小 当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而增大． ∴符合题意 综上所述，的取值范围是且. 90．（25-26学年九上·北京密云·期中）如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值得范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”． （）判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由． （）若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围． （）若函数与在上是“相邻函数”，直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）函数与，在上为“相邻函数”． ∵， ∴为相邻函数． （2）； （3）的最大值为，的最小值为． 【详解】 （1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1,进而判断即可； （2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-1，当x=0，或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a,进而判断即可； （3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2≤y≤,进而判断即可． 解：（）略 （） ． ∴． ① 当，即时． ， ∴无解． ②，即时， ∴． ③即时． ． ∴无解． ④ 当即时． ， ∴，无解． 综上所得：． （）∵当时． 时，． ∴ ， ∴． 当时， 时． ∴ ， ∴． 综上所得：与在上， 是“相邻函数”时． 的最大值为． 的最小值为． “点睛”此题主要考查了函数的综合以及函数增减性和新定义，根据题意正确理解“相邻函数”的定义是解题关键． 91．（25-26学年九上·北京延庆·期中）小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）     小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    （1）点M的坐标是                       ； （2）求隧道顶的抛物线表达式； （3）求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 【答案】（1）     （2）隧道顶的抛物线表达式为     （3）卡车载物后的限高约为米      【分析】 本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用自变量的值求出函数值即可． (1) 小问详解： 解：根据所建坐标系， ∵，， ∴点M的坐标是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴设抛物线的表达式为． ∵它经过点， ∴． ∴． ∴隧道顶的抛物线表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴． 根据实际情况，当大于时，点E到隧道顶面对应的点D的距离小于， ∴精确到，取值为， ∴卡车载物后的限高约为米． 92．（25-26学年九上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】（1）     （2）h的最小值为16．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求得对称轴为直线，再分当时，当时，两种情况讨论，根据抛物线的开口方向，进而求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 93．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． （1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则            ，                 ； （2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②或      【分析】 题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）① 根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ② 根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． (1) 小问详解： 解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ② ∵与轴有两个不同的交点， 由① 得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 94．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）．      【分析】 （）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （）根据，中横坐标与对称轴的距离结合即可求解； 此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵经过点， ∴，整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 由（）得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的左侧且距离为，在对称轴的右侧且距离为， 当时，， ∵， ∴根据图象可知，点到对称轴的距离比到对称轴距离大， ∴ ， 解得：， ∴的取值范围为． 95．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如果二次函数（为参数）与正比例函数的图象在时有且只有一个公共交点，那么参数的取值范围是　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，通过讨论二次方程根的情况，结合区间端点确定参数范围即可． 【详解】 解：令，即， 当，即时，有两个相等的实数根为，满足题意； 当，即时： ∵二次函数（为参数）与正比例函数的图象在时有且只有一个公共交点， ∴ ，解得； 综上：或． 96．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）二次函数的图象与轴交于两个不同的点和 （1）若，，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）     （2）的最大值为      【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得 ，解得 ，可得二次函数解析式为，对称轴为直线，进而分，，，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出，得出，代入得，进而得，化为顶点式即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 对称轴为，，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 由题意得，， 方程无解； 当时， 最大值为， 最小值为， ，故不符合题，舍去； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； (2) 小问详解： ∵和是方程的根， ∴ ， 把代入① 得， 由得， 即， ∵二次函数与轴交于两个不同的点，故， ∴，， 代入② 得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 97．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）二次函数的图象经过点和．直线上有一点，将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】 利用待定系数法求出直线解析式，则可求出点C的坐标，进而求出点D的坐标，再分和两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】 解：设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵将点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴； 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式得 ， ∴， ∴抛物线解析式为； 如图所示，当时， 在中，当时，， ∴点C一定在点的下方， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴抛物线在处的函数值一定要小于5， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 在中，当时，， ∴点C一定在点的上方， 当时，， ∴点D一定在点的上方， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴只能是抛物线的顶点在线段上， ∴， ∴， 解得或， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 98．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，，抛物线，两抛物线均经过点，． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①当时，求线段的长度； ②当点从原点向右运动到点的过程中，四边形的面积随长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 本题考查了平面直角坐标系、二次函数： （1）将代入求得，代入求得； （2）①当时，则，得到此时的解析式，过作垂线也就是当时，求得此时与交点的纵坐标，再相减； ② 将四边形的面积拆成两个三角形的面积来求函数解析式，再分情况讨论即可； (1) 小问详解： 解：将代入， 得：， 将代入， 得：， 解得：， (2) 小问详解： ① 当时，则， 则：，， 点，， 过点作轴的垂线就是， 交抛物线于点，交抛物线于点， ， ； ②点是轴上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， 设， ，， 四边形的面积， 当时，， 当时，， 四边形的面积随长的增大而增大， 当时，是开口向下的抛物线，顶点是， 时，递增，时，递减， 当时，是开口向上的抛物线，顶点是（不在范围内）， 时，递增， 若要求点从原点向右运动到点的过程中，四边形的面积随长的增大而增大， 即在时，一直递增， 则， 所以． 99．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． ()分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()① 结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ② 由()及已知得点的坐标为，点的坐标为，再分当时和 当时，两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：； (2) 小问详解： 解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线； (3) 小问详解： 解：① 当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得， ∴， 把代入直线中， 可得， ∴， ∴的长为； ② 由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ① 当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大． 100．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）对于抛物线上两点，总有，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式计算即可； （2）由图象知抛物线过， 分别找出P点和关于对称轴的对称点坐标，然后分类讨论Q点在对称轴的左侧或右侧，利用二次函数的增减性根据得到各点横坐标的大小关系，列出不等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：对称轴为：； (2) 小问详解： 解∶ 在对称轴左侧，随增大而增大；在对称轴右侧，随增大而减小． ， 点在轴的左侧， 则关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 由抛物线解析式知抛物线过点，此点在对称轴右侧， 则关于对称轴的对称点在抛物线对称轴的左侧， 考虑总有 若在轴左侧， 则， 即； 若在轴右侧， 则， 即． 综上所述：或． 101．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．    （1）求的值及抛物线的解析式； （2）设线段的长为． ①当时，求与的函数解析式； ②当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），     （2）①；②或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）把代入，求出的值，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）① 根据两点间的距离公式，写出函数关系式即可；② 求出函数解析式，画出函数图象，数形结合进行求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴． (2) 小问详解： ① 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 当时，； ② 函数的大致图象如下：    ∴当l随n的增大而增大时，或． 102．（25-26学年九上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）①，②，．     （2）且     （3）或．      【分析】 （1）① 根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；② 根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． (1) 小问详解： 解：① 如图， ∴线段罩域的一个特征点． ② 如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． (2) 小问详解： 解：设点为的罩域特征点．依题意得： ， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． (3) 小问详解： 解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】 本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九·北京东城）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 2．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称． 根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴交于点， ∴， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是． 故选：B． 3．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 【详解】 解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 4．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.75 【答案】C 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，抛物线经过点．下面有四个结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得① 错误；根据对称轴可判断② 正确；由时，，即可判断③ 正确；利用二次函数与一次函数的图像位置关系可判断④ 正确． 【详解】 解：① ∵抛物线开口向下， ∴， 则① 错误． ② ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且与x轴的交点一个为另外一个在2到3之间， ∴， ∵ ∴， ∴， 则② 正确． ③ 由图象可知，当时，， ∴， 则③ 正确． ④，可变式为， 令， ∵一次函数，过点和，则一次函数与抛物线图象如图， 的解集为． 则④ 正确． 故选：D． 6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合． 根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断． 【详解】 解：∵， ∴ 当时，， ∴抛物线过点， 故正确； ∵ 对称轴， 由和，得，， ∴， ∴， ∴， 故错误； 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线经过点，， ∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1， ∴关于x的一元二次方程必有一根大于1， 故正确； 方程 的判别式 ， 代入 ，得 ， 若 ，则 ，，但 即 ，矛盾， ∴ ， ∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 故正确， 综上，正确结论为． 故选：B． 7．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，那么（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的取值范围，再根据抛物线与x轴交点的个数判断的取值范围，解答即可． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴位于y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故选：C． 8．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 根据抛物线对称轴、函数的最值、抛物线与直线交点个数、等边三角形边与高的关系等知识点逐一判断即可． 【详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，即：① 正确； ∵图象有最低点， ∴当时，最小； 当时，； ∴， 即：，即：② 错误； ∵图象开口向上，与轴有两个交点， ∴直线与图象有两个交点即：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，③ 正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴即：， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∵在的右侧， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴，即：④ 正确； 综上：① ③ ④ 正确； 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，关键是知识点的灵活应用． 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】 解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 10．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当时，，从而抛物线与轴的交点坐标为，从而判断① 正确；弦分别求出抛物线与轴的两个交点坐标分别为，设对称轴与轴交于点，连接，由顶点为，得，从而得，进而得是等腰直角三角形，故② 正确；当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，由对称轴，得另一个交点坐标为，故③ 错误；由抛物线的性质可判断④ 正确． 【详解】 解：① ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴，故① 正确； ② 当时，， ∴对称轴为，顶点为， 令得，， 解得：或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 设对称轴与轴交于点，连接，如图， ∵顶点为， ， ∵轴， ， ， ∴是等腰直角三角形，故② 正确； ③ 当时，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵对称轴， ∴另一个交点坐标为， ∴，故③ 错误； ④ ∵抛物线上有两点和，若，且， ，即， ∴到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴．故④ 正确． 故选：D． 11．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断② ；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断① ；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③ ；根据和时，，可判定④ ，进而可得出答案． 【详解】 解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故② 错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故① 正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③ 正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④ 正确； 综上所述，正确的是① ③ ④ ，共3个， 故选：C． 12．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 13．（2026·北京房山·调研）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于　　　　　　　　（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】 解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】 函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 15．（25-26学年九上·北京海淀·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】 解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … （1）表格中______； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】（1）     （2）补全的图象如图：      （3）①；②      【分析】 （1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）① 观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， (1) 小问详解： 解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （3）① 观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ② 结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 17．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】 解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 19．（2026·北京房山·调研）已知二次函数的图像经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）此二次函数图像与x轴有________个交点． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式和二次函数与轴的交点个数判断．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到关于的方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， ∴二次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 令，则， 解得， ∴此二次函数与轴的交点坐标为， ∴此二次函数图象与x轴有个交点. 20．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知抛物线经过不同的两点，且，则b的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意可知，m和n是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可知，结合和，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线经过不同的两点， ∴m和n是方程的两个根， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：2． 21．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1）函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，；     （2） 如图，      （3）或．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把二次函数配成顶点式即可求出该函数图象的顶点坐标，然后当时，；当时，解得，，从而求出与坐标轴的交点坐标； （）根据列表、描点、连线即可画出图象； （）根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由得，当时，； 当时，，解得，， ∴函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，； (2) 小问详解： 解：列表： 描点： 连线： (3) 小问详解： 解：根据图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 22．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出 解方程组即可； （2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可． 【详解】 解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得： ， 解得 ， 所求抛物线的解析式是． (2) 当y=0时，， 因式分解得：， ∴， ∴， 当y＜0时，函数图像在x轴下方， ∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1． 【点睛】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键． 23．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查一元二次不等式及其解法 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元二次不等式，结合图象分析即可求解． 【详解】 解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 24．（25-26学年九上·北京密云·期中）阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： （1）             方程的根；（填“是”或“不是”） （2）方程的根可以看作是函数                            与函数                      的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （4）观察图象可得：方程的实数根约为                            ．（结果精确到0.1） 【答案】（1）不是     （2），     （3） 如图，                             （4）      【分析】 本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． (2) 小问详解： 解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． (3) 小问详解： 解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： 画函数的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ x ⋯     1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ (4) 小问详解： 解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）二次函数解析式为：；一次函数解析式为：     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，再根据二次函数解析式求出点的坐标，然后求出点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）根据函数图象点以及点右边的部分，点以及点左边的部分的自变量的取值范围即为不等式的解集． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为， 点坐标， 对称轴，、关于对称轴对称， 点坐标， 经过点、， ， 解得 ， 一次函数解析式为； (2) 小问详解： 由图象可知，满足的的取值范围为或． 26．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 【详解】 解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，？ （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围． 【答案】（1）方程的两个根为，     （2）当时，     （3）当时，随的增大而减小      【分析】 （1）找到二次函数与轴的交点坐标即可得到答案； （2）找到二次函数在轴上方时的取值范围即可； （3）结合图象即可写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (1) 小问详解： 解：由图象可得： 二次函数与轴的交点坐标为和， 方程的两个根为，； (2) 小问详解： 解：由图象可得： 当时，； (3) 小问详解： 解：由图象可得： 二次函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象确定相应的方程的根的情况，采用数形结合的思想是解此题的关键． 28．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）①；② ＞     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）① 利用对称轴公式求得即可； ② 利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到 ，进而可以得解． (1) 小问详解： 解：（1）① 由题意，∵， ∴． ② ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点，点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：>． (2) 小问详解： 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵，都有， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴ ， ∴． ∴t的取值范围是． 29．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）与y轴的交点坐标是             ，与x轴的交点坐标是             ； （3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … 【答案】（1）     （2）；，     （3） 图象如图所示： 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）直接运用配方法求解即可； （2）将代入，得，则可得二次函数的图象与y轴的交点坐标是．令，求出x的值，可得二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）按照列表、描点、连线的步骤即可法画出图象即可． (1) 小问详解： 解：，即． (2) 小问详解： 解：将代入，得， ∴与y轴的交点坐标是． 令，则，解得：， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为：；． (3) 小问详解： 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 30．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）m的值为________； （2）点、在函数图象上，________（填、、）； （3）当时，x的取值范围是________； （4）关于x的一元二次方程的解为________； （5）根据表格画出此函数图象； （6）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________． 【答案】（1）5     （2）     （3）     （4），      （5） 函数图象如图，      （6）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，运用数形结合思想； （1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出m的值即可； （2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可； （3）利用图象法，求自变量的取值范围即可； （4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解； （5）描点，连线画图即可； （6）先找到符合题意的四个整点，再数形结合即可得解． (1) 小问详解： 解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ； 故答案为：5． (2) 小问详解： 解：由表格可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ； 故答案为：． (3) 小问详解： 解：由表格可知：当时，或， ∴当时，x的取值范围是； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：由表格可知，当时，或， ∴一元二次方程的解为， ． 故答案为：， ． (5) 小问详解： 略 (6) 小问详解： 解：如图， 由图象可知，4个整点为A，B，C，D， ． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 关于x的方程可化为，然后根据二次函数与一次函数的交点坐标直接写出不等式的解集即可． 【详解】 解：∵关于x的不等式可化为，抛物线与直线 的两个交点坐标分别为， ∴抛物线在直线图象下方所对应的x的取值范围，即为不等式的解集． 故填． 【点睛】 本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，理解二次函数与一次函数的交点与不等式解集的关系成为解答本题的关键． 32．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为　　　　　　　　；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 或或 【分析】 （1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】 解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得 ， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 33．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 34．（25-26学年九上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点． （1）点A的坐标是                 (用含a的式子表示)； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点C，交直线于点D，若点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2）抛物线与x轴的交点坐标是与     （3）当时，m的取值范围是      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，利用图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）二次函数的解析式化成顶点式，进行求顶点坐标即可； （2）当函数值为0时，解一元二次方程即可； （3）求出图象交点坐标，然后结合图象交点求出不等式的解集即可． (1) 小问详解： 解：由得， ， ∴点A的坐标是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令， ∴． ∴， ∵， ∴，． ∴抛物线与x轴的交点坐标是与； (3) 小问详解： 解：由题意得，，． 当时，或者． 结合函数图象，当时，m的取值范围是． 35．（25-26学年九上·北京海淀·期中）对任意实数，可用表示不超过的最大整数，如．称函数为“涟漪函数”． （1）当时，若，则的取值范围是　　　　　　　　　　　； （2）当时，“涟漪函数”与轴共有　　　　　　　　　　　个公共点． 【答案】①     ② 1 【分析】 本题依托涟漪函数考查对整数的理解和二次函数与方程的转化，解题的关键是熟悉二次函数与一元二次方程之间的关系， （1）由条件得，根据取整函数定义求解； （2）根据已知得到函数为，令，将方程化为，结合求解n的取值，从而确定公共点个数． 【详解】 解：（1）当时，函数为， ∵ ∴， ∵， ∴． 根据取整函数定义，表示不超过x的最大整数为1， 因此x的取值范围是， 故答案为：． （2）当时，函数为． 令，得． 设，则n为整数，且． 则方程化为，即． 由于，故，即． 那么，解得， ∴． 解不等式，即，故． 此时，满足．因此函数与x轴有一个公共点． 故答案为：1． 36．（25-26学年九上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量的取值范围是___________； （2）小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； （4）过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】（1）所有实数     （2）①； ②补图如下： ；     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质，求函数值，画函数图象等知识，解题的关键是： （1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是任意实数； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）根据配方法可求出，则当，即时，有最小值为，然后利用函数图象求解即可． (1) 小问详解： 解：函数的自变量的取值范围是所有实数， 故答案为：所有实数； (2) 小问详解： 解：①当时，， 故答案为：； ② 略 (3) 小问详解： 解：令，如下图所示： 方程最小的解接近， ∵当时，； 当时，； 当时，， ∴由图象可知：方程最小的解的近似值， 故答案为：； (4) 小问详解： 解： ， ∴当，即时，有最小值为， 如图， 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 故答案为：或． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九·北京东城）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天的销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系 （其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液的售价为多少元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元      【分析】 （1）设y与x之间的函数解析式为，根据“当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶．”可求出 ，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数解析式为，根据题意得： ，解得： ， ∴y与x之间的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：根据题意得： ∵， ∴当时，w最大，最大值为500， 答：当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元． 【点睛】 本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】 解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴喷水的最大高度为4米， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 【答案】（1）     （2）能达到优秀      【分析】 （1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可； （2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点的坐标为（，）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式． 4．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】（1）     （2）小丽的判断是正确的，计算过程如下： 把代入抛物线解析式， 得， ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的．     （3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功      【分析】 （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； （2）求y与x之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 【答案】（1）0.88     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． (1) 小问详解： 由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； (2) 小问详解： 解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴ ，解得 ， ∴， 与之间的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是          ．（填上所有正确的选项） 【答案】（1）①； ② 能；理由： 当时，， ∵， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树；     （2）A、C      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，运用待定系数法求出函数解析式以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）① 由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；② 把代入① 中解析式求出y的值与比较即可； （2）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断． (1) 小问详解： 解：① 根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ，解得 ， ∴抛物线解析式为； ② 略 (2) 小问详解： 解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当时，，即，故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意； 抛物线对称轴为， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴，故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 7．（25-26学年九上·北京大兴·期中）在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． （1）若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式          ，并写出x的取值范围          ； ②图2中矩形面积          （用含x的式子表示）； ③当          时，矩形的面积最大． （2）若，（），则矩形的最大面积可表示为          （用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）①；；②；③2     （2）      【分析】 本题考查了一次函数关系式的求解，二次函数解析式的求解，二次函数的实际应用，解决本题的关键是在于根据图形的性质建立函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据，，可得点A与点B的坐标，由此可求解直线的函数关系式，由此可得； ② 根据点C的坐标，可得与，再根据矩形面积公式代入求解即可； ③ 将矩形面积S的表达式整理为顶点式，由此可求解． （2）根据，（），可表示直线的函数关系式，再根据面积表达式求解最大面积即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得 ， 解得 ， ∴直线的函数关系式为， ∵点为线段上一动点， ∴C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式， 且x的取值范围为， 故答案为：；； ② 由① 知，点， ∴，， ∴矩形面积； 故答案为：； ③， ∴当时，矩形的面积最大． 故答案为：2． (2) 小问详解： 解：∵，（）， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得 ， 解得 ， ∴直线的函数关系式为， ∴点， ∴，， ∴矩形面积， 将该表达式转化为顶点式， 即， ∴当时，面积最大为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·北京通州·期中）某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． （1）当时，每件的利润是______，总利润为______． （2）若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； （3）销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）10元，4000元     （2），     （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元      【分析】 本题考查了二次函数的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘数量，进行计算，即可作答． （2）总利润等于单件利润乘数量，进行化简，得，又因为销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，故； （3）先得，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（元）， 则， ∴（元）， 即当时，每件的利润是10元，总利润为4000元． (2) 小问详解： 解：依题意，， 整理得， ∵规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得设总利润为元，则与的函数表达式是， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 在时，有最大值，越靠近对称轴时，函数值越大， ∵， ∴把代入， 得， 即销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元． 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 4.1 …… 竖直高度（保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 …… 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为______，当篮球的水平距离为时，竖直高度为______； （2）已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则______投中．（填写“第一次”或“第二次”）（参考数据如下：，） 【答案】（1），     （2）第一次      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）令，求出y的值；令，计算出y的值，即可得到答案； （2）分别令，计算出x的值，进行估算，并进行比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解∶根据题意得∶ 当时，， 当时，． 小明同学第一次投篮的出手点高度为，竖直高度为． 故答案为∶；． (2) 小问详解： 解：在中， 令，则， 解得∶， 在中， 令，则， 解得∶，． ，，且当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离， 第一次投中． 10．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表： 刹车时车速(千米/时) 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离(米) 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1 （1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】（1）如图所示； （2） ； （3）汽车已超速行驶． 【分析】 （1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当x=100时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【详解】 （1）略 （2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式． （3）∵当x=100时，y=21<40，    ∴汽车已超速行驶． 【点睛】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 11．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”，如图1所示，是北京动物园的海洋馆中，海豚从水面跳出的一个瞬间，如图2所示，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）第一次跳跃时，海豚的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 1 2 4 6 7 竖直高度 1.75 3 4 m 1.75 根据表中数据，直接写出m的值为______，a的值为______； （2）在（1）的条件下，海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过，已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75米，直接写出呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为______米； （3）第二次跳跃时，海豚的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：．记海豚第一次跳跃时入水点的水平距离为，记第二次跳跃时入水点的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】（1）；     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质可得函数的顶点坐标为，再将代入即可解答； （2）根据题意得到竖直高度，再代入函数解析式即可求得水平高度； （3）将分别代入两个函数解析式即可求得，，即可解答． (1) 小问详解： 解：根据表中数据可得函数的顶点坐标为，则可得， 把代入函数解析式可得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 把代入可得， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：由题意，把代入函数解析式可得， ， 解得， 所以呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米或米， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：把代入， 可得， 解得， ， 把代入， 可得， 解得， ， ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． （1）苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ． ∴当时，y的最大值是600． ∴苗圃的面积不能达到 ．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用． （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到． (1) 小问详解： 由题意，． 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． （3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）     （2）的长为     （3）当为时，小花园的面积最大，最大面积是      【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，关键是根据函数的性质求最值． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 答：的长为； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 14．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为距地面的竖直高度为，获得数据如下： x（米） 0 0.5 2.0 3.5 5 y（米） 1.67 2.25 3.00 2.25 0 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图像； （2）直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米； （3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （4）结合函数图像，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为_______m．（结果精确到） 【答案】（1） 将以上坐标在如下图中找出并连接成光滑的曲线： ；     （2）     （3）;     （4）      【分析】 本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． （1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可； （2）根据图像及表中数据可知本题答案； （3）根据图像得知二次函数对称轴为，写出二次函数顶点式，再用待定系数法代入图上一点即可求得未知参数即为本题答案再根据实际问题意义，即可确定自变量的取值范围； （4）将代入抛物线解析式求出的值即为本题答案． (1) 小问详解： 解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：， (2) 小问详解： 解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米， (3) 小问详解： 解：设二次函数解析式为， 由（2）知，对称轴为，最高点为， ∴顶点坐标为， ∴， ∴把代入中得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：; (4) 小问详解： 解：根据题意把代入中得： ， ∵， ∴大理石雕塑的高度约为m． 15．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 （1）根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． （2）小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内：          （填“是”，“否”）． 【答案】（1）40，     （2）是      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． (1) 小问详解： 解：解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴可设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由题意，令， 解得，（舍去）， 又令， 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 故答案为：是． 16．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1）     （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】（1） 补全表格如下：     （2） 根据表格数据描点，连线，画图如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53      （3）① 0.7；②．      (1) 小问详解： 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 故答案为：2.70 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ② 由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 18．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）某商店销售一种T恤衫，已知成本价为每件30元，现售价为每件60元，每天售出100件，为提高利润并减少库存，商店决定将该T恤衫降价出售，经市场调查发现，每件售价降价1元，则多售出5件，问这种T恤衫售价应定为多少元，能使销售利润最大?设售价为元/件，总利润为元，完成下列问题． （1）每天售出_____件； （2）求最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元      【分析】 （1）设售价为x元，降价元，盈利元，每天可售出件，即可得答案． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设售价为x元，则降价元，盈利元， 根据题意，得每天可售出件， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，得． 当时，． 这种T恤衫售价定为55元时，销售利润最大为3125元． 19．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② 不能     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用； （1）① 根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ② 将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ② 石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． (2) 小问详解： 解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 20．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）3.84，2.52     （2）     （3），理由如下： 当时，， 解得（舍去），， ∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为； “间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线， 由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线，根据对称性即可求得的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解; （2）根据题意设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解; （3）令，即，得出，设抛物线解析式为，将点代入，得出，令，即，得出，即可求解． (1) 小问详解： 由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：； 在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设这条直线的解析式为，把代入， 得 ，解得： ， ∴这条直线的解析式为， 当时，， 表格2中，； 故答案为：3.84，2.52； (2) 小问详解： 由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知： “直发式“模式下，抛物线的顶点为， ∴设此抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 21．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： （单位：） 0 1 2 3 4 … （单位：） 2 3 4 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为________； （2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图象； （3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到，参考数据）． 【答案】（1）     （2） 解：根据题意，画图如下：      （3），      【分析】 （1）令时，求得值即可； （2）按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可； （3）设直线为，把，和，代入解析式，联立方程组，解出即可得出直线的解析式为，然后再把代入，求得，进而得出抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线解析式为，把代入解析式，确定，得到抛物线解析式，再令，求得的值即可． (1) 小问详解： 解：令时，得， 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设直线为， 把，和，代入，可得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，可得：， ∴水流的最高点到地面的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式，可得：， 解得：， ∴， 令，可得：， 解得：或（舍去）， 且， ∴此时水流的射程约为． 故答案为：， 【点睛】 本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解析式、一元二次方程的解法、 二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $