专题08 锐角三角函数（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 汇编北京多所重点中学期中真题，聚焦锐角三角函数两大高频考点，基础与综合题梯度分布，适配九年级期中能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|1题|垂径定理与三角函数结合|源于东城期中，考查几何计算| |填空|6题|网格三角函数值、圆中动态线段最值|如海淀交大附中题，结合网格作图考查几何直观| |解答|7题|解直角三角形、坐标系几何综合|如东直门中学题，融合圆与直角三角形定义，考查推理能力|

专题08 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点01 正弦、余弦与正切 1．D 2．【答案】 【分析】 作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】 解：作于，连接．     ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题考查垂径定理、直角三角形30度角的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、圆周角定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．【答案】（1）如图所示，就是所求作的高，         （2） 如图所示，点E就是求作的点， 【分析】 本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点； （2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点． (1) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 略 4．【答案】 【分析】 本题考查求正弦值，根据正弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 作于点，在中根据正弦的定义求解即可． 【详解】 如图，作于点，则是直角三角形， 其中，，由勾股定理得，， ， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 根据切线的性质，特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【详解】 解：∵半径为分别切于， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．【答案】（1）①，；②     （2）的取值范围为或．      【分析】 （1）① 由新定义可得：的关联点在内或外，不为直角顶点， 如图，结合直角的位置进一步分析即可． ② 由点在第一象限，长度小于1的线段在以为圆心，为半径的圆内，不在圆周上，可得上所有的点都是的关联点时，则在外，如图，连接，当与外切时，记直线与轴的交点为，则，再进一步求解即可． （2）由线段上所有的点都是的关联点，可得线段在内或在外，当线段在内时，如图，当为等边三角形时，此时的关联角为，当这些点与的关联角度都小于等于，，当在大圆的外部时，如图，当，，可得，当这些点与的关联角度都小于等于，可得，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：① 由新定义可得：的关联点在内或外，不为直角顶点， 如图， ∵， ∴在中，，，， ∴， ∴， ∴，不符合题意，，符合题意， 在中，，，， ∴， ∴． ∴点是的关联点且其与的关联角度大于，该点与的关联角度为． ② 点在第一象限，任意长度小于1的线段在以为圆心，为半径的圆内，不在圆周上， ∴上所有的点都是的关联点时，则在外， 如图，连接，当与外切时，记直线与轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴的最小值为：． (2) 小问详解： 解：∵线段上所有的点都是的关联点， ∴线段在内或在外， 当线段在内时， 如图，当为等边三角形时， 此时的关联角为， 当这些点与的关联角度都小于等于， ∴， 如图，以为圆心，为半径画圆，则在圆环内（包含小圆圆周上点，不包含大圆圆周上的点），过作坐标轴的平行线，交点为， 当时， ∵在直线上， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴此时， 当大圆过点时，如图， 此时， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时． 当在大圆的外部时，如图，当，， ∴， 当这些点与的关联角度都小于等于， ∴， 如图，当在大圆上时，过作坐标轴的平行线，交点为， 此时， ∴， ∴， 当上的点都满足与的距离都小于等于时，即是临界值， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时． 综上：的取值范围为或． 【点睛】 本题考查的是点圆的位置关系，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 考点02 解直角三角形 1．【答案】（1）     （2）120°     （3）      【分析】 对于（1），先确定抛物线是关于y轴对称可得关系式为，再根据面积相等求出c，进而得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，再根据菱形的性质得出是等边三角形，然后根据“边角边”证明，可得； 对于（3），由（2）知点在射线上，当点D与点O重合时， 求出，再根据勾股定理求出，结合点A的坐标求出，然后根据勾股定理求出；当点D与点B重合时， 求出，进而求出，再根据勾股定理求出，则此题可解． (1) 小问详解： 解：由，可知此抛物线的对称轴是轴，即， ， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴点，， 由， 解得， 抛物线表达式为； (2) 小问详解： 解：由，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ． 连接， 菱形中，，且， 是等边三角形，则， ∴， ∴， ， ； (3) 小问详解： 解：． 由（2）知，点在射线上， 当点沿轴正方向移动到点时， 当点D与点O重合时，， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵点， ∴， ∴． 在中，； 当点D与点B重合时，， ∴． 在中，，， 则． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴长的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数关系式，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线得出点E的运动轨迹是解题的关键． 2．【答案】3 【分析】 设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O,且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，确定m最值即可． 【详解】 设OP=x，设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O,且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小， ∵C（3,4）， ∴OC==5， ∵圆的半径为2， ∴OP=OC-PC=5-2=3， ∵，，， ∴PO是直角三角形PAB斜边上的中线， ∴OP=OA=3， ∴m最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了两点间的距离公式，两点之间线段最短原理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握公式和原理，灵活运用性质是解题的关键． 3．【答案】2或4 【分析】 本题可先根据圆的半径和弦的长求出圆心到弦的距离，再结合，分情况讨论点的位置，进而求出弦的长．本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及等边三角形和直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）以及特殊三角形（等边三角形和直角三角形）的性质是解题的关键．在解题过程中，要注意点位置的讨论，避免遗漏解． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴， ，， ∴ ∴， 情况一：当点在劣弧上时 ∵， ∴ ∴点、、三点共线， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ 情况二：当点在优弧上时， ∵， ∴点、、三点共线， ∴ 综上，弦的长为或 故答案为：2或4． 4．【答案】 【详解】 ∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°． ∴AD=ABcos30°=6×． 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°． ∴△ADE的等边三角形． ∴DE=AD=， 即线段DE的长度为． 5．【答案】（1）①；②     （2）或      【分析】 （1）① 求出的长即可求解； ② 先确定以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点，得出，将代入整理得：，令即可求解； （2）由的半径为t，设点T到的完美点的距离为d，得到，令点K的坐标为,,得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 如图，当时，则， 连接， 则， ∵， ∴， 故点是的完美点； ② 以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点， ∴， 将代入得：， 整理得：， 令，得， 解得：， 所以直线上存在的完美点时，m的取值范围为； (2) 小问详解： 由题意得，的半径为t， 设点T到的完美点的距离为d， 由① 可得，， ∴， ∴， 令在线段上的完美点为点K，并设它的坐标为,, ∵，，， ∴， ∵, ∴或． 【点睛】 本题考查了圆的切线有关的性质，涉及到了新定义问题，解题关键是理解题目意思，将其转化为数学问题，本题计算较麻烦，属于压轴题，考查了学生综合分析与计算的能力． 6．【答案】（1）①D；②     （2）或      【分析】 （1）① 将线段绕点顺时针旋转得到线段，则，将线段关于轴对称，得到线段，则，即可得线段与线段关于直线对称，此时图形与图形关于直线对称，即可求解． ② 若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，即图形与轴负半轴有公共点，即与轴负半轴有交点．根据，得出在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上．要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可，分别确定当落在轴负半轴上时，当落在轴负半轴上时，的值即可解答． （2）将正方形关于直线对称，那么正方形中心对称点为，此时再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，其中，根据直线与轴夹角为，那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴．要使得与有交点即可，确定当时，当时，当时，当时，对应的值，结合图象即可解答， (1) 小问详解： 解：① 线段绕点顺时针旋转得到线段， ∵，， ∴， 将线段关于轴对称，得到线段， 其中， 则线段与线段关于直线对称， ∴此时图形与图形关于直线对称， 故选：D． ② 若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点， 即图形与轴负半轴有公共点， ∵图形是由旋转后的关于对称得到的， ∴将与轴负半轴都关于反对称回去， 即与轴负半轴有交点． ∵， 则在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上． 要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可， 当落在轴负半轴上时，， 当落在轴负半轴上时，， ． (2) 小问详解： 解：如图，直线由直线绕点逆时针旋转得到， 设点坐标为， 则， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， ∴直线解析式为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的中心为点， 将正方形关于直线对称，设正方形中心对称点为， 如图，过点作轴，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为， 再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，设点对应的为点， 则， ∴， ∴， ∴点和点关于轴对称， ∴， ∵如图，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，过点作轴，过点作轴， 则， 令，则，解得：，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与轴夹角为， 那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴． 要使得线段的“变换图形”与正方形有公共点，则与有交点即可，如图， ∵， ∴线段在直线上， 线段在直线上， ∵，， 当时，解得， 当时，解得； 当时，， 当时，， 综上所述，或． 【点睛】 本题属于新定义类问题，主要考查轴对称问题，旋转的性质，正方形的性质，一元一次方程，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形，数形结合是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：如图，设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，， ∴， ∴， ∵等边三角形的边长为7， ∴， ∴，， ∵等边三角形的边长为9， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内切圆半径为． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出的长是解题关键． 8．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）①根据已知条件得出，则，点与点重合，点与点重合，则，过点作轴于点，依题意，则，进而求得，即可求解； ②根据题意可推出点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分，如图1-2所示，点P的运动路径即为线段，据此求出的长即可得到答案； （2）求出，，得到，；同理可得点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分；根据题意可得该等腰直角三角形一定在点P的运动区域内（包括边界），分两种情况：是斜边长为2的等腰直角三角形，且，当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点A为圆心，半径为的圆上和是斜边长为2的等腰直角三角形，且， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点B为圆心，半径为的圆上，求出对应情况下b的值，比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点与点重合，点与点重合， ∴由轴对称的性质可得，， ∴； 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的“翻折点”的坐标为； ②如图1-1所示， ∵点与点关于对称， ∴； 假设点N为定点，点M为动点时， ∴的长为定值， ∴点P在以点N为圆心，半径为的圆上（一段圆弧）运动， 同理当点M为定点，点N为动点时，点P在以点M为圆心，半径为的圆上（一段圆弧）运动， ∴点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分， 又∵点P在线段上， ∴如图1-2所示，点P的运动路径即为线段； ∵， ∴， 又∵， ∴，即； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴； 同理可得点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分， ∵存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”， ∴该等腰直角三角形一定在点P的运动区域内（包括边界）； 如图2-1所示，是斜边长为2的等腰直角三角形，且，阴影部分为点P的运动区域， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点A为圆心，半径为的圆上时，设交于点T，连接， ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-2所示，是斜边长为2的等腰直角三角形，且，阴影部分为点P的运动区域， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点B为圆心，半径为的圆上时，设交于点T，连接， ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∵，， ∴， ∴当时满足题意． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08锐角三角函数 2大高频考点概览 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 》 考点01正弦、余弦与正切 1.(25-26学年九·北京东城)如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点，CD=6cm, 则直径AB的长是( B A.2V▣cm B.3V▣cm c.4/▣cm D.4V▣cm 2.(25-26学年九上·北京第十三中学期中)如图，以G0,1为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C,D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥LAE于F,当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的 长度的最小值为 G E F B D 3.(25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学期中)如图的网格中，△ABC的顶点都在格点 上，每个小正方形的边长均为1.仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图.（保留画图 痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示) 116 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C B 图1 图2 (1)请在图1中画出△ABC的高CD,计算得cosA= (2)请在图2中在线段AB上找一点E,使AE=2 4.(25-26学年九上北京东直门中学·期中)如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A,B,C是网格 线交点，则sin∠ABC= B 5.(25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中)如图，⊙O半径为2，PB,PC分别切⊙O于 B,C,连接BO并延长交PC延长线于A,∠ABC=30,则线段PA的长度为 6.（25-26学年九上北京东直门中学.期中)在平面直角坐标系x0y中，对于点P和⊙C给出如下定义： 若。C上存在点Q使得△CPQ是直角三角形且∠PCQ=ala≠90？则称点p是⊙C的关联点，称。 的大小为点P与⊙C的关联角度. 216 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)如图，⊙O的半径为2. 0.P:g.o.Pa4.0 ①在点P ▣中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度大于45，该点与 ⊙O的关联角度为 ②点Bm,2在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的 最小值为 (2)已知点E1,2,F3,0,Tt,t+1川t>0,⊙T的半径为4，若线段EF上所有的点都是⊙T的关联 点，且这些点与⊙T的关联角度都小于等于60，直接写出t的取值范围. 》 考点02解直角三角形 1.(25-26学年九上北京昌平一中学期中)已知抛物线y=- x+bX+c与X轴交于A,B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作菱形 CDEF,且∠CDE=60°，连结BF.若SAOBC=6T,AC=BC (1)求抛物线的表达式： (2)求∠ABE的度数： (3)当D点沿X轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，请直接写出AE长的取值范围. 2.(25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中)在平面直角坐标系xOy中，A(-m,0),B(m,0)(其 中m>0),点P在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90,则m的最小 值为 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p C 1 A(-m,0) -10 1 B(m.0)x 3.(25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学.期中)在半径为2的⊙O中，弦AB长为2V▣， 点C在OO上，若∠BAC=30,则弦AC的长为 4.(25-26学年九上·北京第十五中学·期中)如图，在等边△ABC中，AB=6,D是BC的中点，将△ABD 绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的长度为 A E D 5.(25-26学年九上·北京第五中学·期中)在平面直角坐标系x0y中，对于点A和⊙O给出如下定义：若 过点A可以作⊙O的两条切线AB,AC(切点分别为B,C),且∠BAC=120,则称点A是⊙O的 完美点 A (1)如图，⊙O的半径为1. 0在A2.0rA侵A2中.点 是。0的完美点： ②直线l:y=x+m.上存在⊙O的完美点，求m的取值范围； (2)已知点M2口'N2阿：T(0,t小：⊙T经过原点，若线段MN上存在。T的完美点，直接写 出t的取值. 6.(25-26学年九上·北京海淀·期中)在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和直线l,给出如下定义： 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将图形M绕点0顺时针旋转al0°<a≤360得到图形M,再将图形M关于直线，对称，得到图形N:则称 图形N为图形M的“Q-l变换图形” 5 4 3的 1 -5-4-3-2-10 1345x 3 5 (1)已知点A2,2,B0,3,图形M为线段AB. ①当直线！为y轴时，图形M的“90-l变换图形”为N,则以下说法正确的是 A.图形M与图形N关于原点中心对称 B.图形M与图形N关于y轴对称 C.图形M与图形N关于直线y=X对称D.图形M与图形N关于直线y=-X对称 ②当直线！为y=X时，若图形M的“Q一变换图形”与x轴负半轴有公共点，直接写出c的取值范围； (2)已知正方形EFGH的顶点坐标分别为E3,3,F3,-3,G-3,-3,H-3,3,长为V叵的线段 1 CD(点C在点D左侧)在直线y=7x+1上，且点C的横坐标为t,直线由直线x=0绕点0，t逆时针旋转 30得到.若线段CD的“120°-I变换图形”与正方形EFGH有公共点，直接写出t的取值范围 7.(25-26学年九上北京十一学校·期中)如图，等边三角形ABC的边长为9，点D、E、F在△ABC边 上，等边三角形DEF的边长为7，则三角形DBE的内切圆半径为 BE 8.(25-26学年九上·北京第十五中学.期中)在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P(不与点O重 合)给出如下定义：若边OA,OB上分别存在点M,点N,使得点O与点P关于直线MN对称，则称点P 为△OAB的“翻折点”. (1)已知A3,0,B0,3▣ ①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标： 516 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②p是线段AB上一动点，当p是△OAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围： (2)直线y=- x+bb>0与x轴，y轴分别交于A,B两点，若存在以直线AB为对称轴，且斜边长为 2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b的取值范围. 616 专题08 锐角三角函数 2大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九·北京东城）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（     ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 4 cm 【答案】D 【分析】 根据垂径定理得DP=CP=3，根据三角函数求出∠ODP=30°，由此得到OP=，即可得到AB的长． 【详解】 解：利用垂径定理可知，DP=CP=3， ∵P是半径OB的中点． ∴OB=2OP，AB=4OP， 连接OD，    ∵sin∠ODP= ∴∠ODP=30°， ∴OP= 即AB=4． 故选D． 【点睛】 此题考查了垂径定理，锐角三角函数，正确掌握各计算法则及定理是解题的关键． 2．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】 解：作于，连接．     ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】 本题考查垂径定理、直角三角形30度角的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、圆周角定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）    （1）请在图1中画出的高，计算得__________． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】（1）如图所示，就是所求作的高，         （2） 如图所示，点E就是求作的点， 【分析】 本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点； （2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点． (1) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查求正弦值，根据正弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 作于点，在中根据正弦的定义求解即可． 【详解】 如图，作于点，则是直角三角形， 其中，，由勾股定理得，， ， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据切线的性质，特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【详解】 解：∵半径为分别切于， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在点，使得是直角三角形且，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度． （1）如图，的半径为2． ①在点中，点_____________是的关联点且其与的关联角度大于，该点与的关联角度为_________________°； ②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为________________； （2）已知点，的半径为4，若线段上所有的点都是的关联点，且这些点与的关联角度都小于等于，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②     （2）的取值范围为或．      【分析】 （1）① 由新定义可得：的关联点在内或外，不为直角顶点， 如图，结合直角的位置进一步分析即可． ② 由点在第一象限，长度小于1的线段在以为圆心，为半径的圆内，不在圆周上，可得上所有的点都是的关联点时，则在外，如图，连接，当与外切时，记直线与轴的交点为，则，再进一步求解即可． （2）由线段上所有的点都是的关联点，可得线段在内或在外，当线段在内时，如图，当为等边三角形时，此时的关联角为，当这些点与的关联角度都小于等于，，当在大圆的外部时，如图，当，，可得，当这些点与的关联角度都小于等于，可得，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：① 由新定义可得：的关联点在内或外，不为直角顶点， 如图， ∵， ∴在中，，，， ∴， ∴， ∴，不符合题意，，符合题意， 在中，，，， ∴， ∴． ∴点是的关联点且其与的关联角度大于，该点与的关联角度为． ② 点在第一象限，任意长度小于1的线段在以为圆心，为半径的圆内，不在圆周上， ∴上所有的点都是的关联点时，则在外， 如图，连接，当与外切时，记直线与轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴的最小值为：． (2) 小问详解： 解：∵线段上所有的点都是的关联点， ∴线段在内或在外， 当线段在内时， 如图，当为等边三角形时， 此时的关联角为， 当这些点与的关联角度都小于等于， ∴， 如图，以为圆心，为半径画圆，则在圆环内（包含小圆圆周上点，不包含大圆圆周上的点），过作坐标轴的平行线，交点为， 当时， ∵在直线上， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴此时， 当大圆过点时，如图， 此时， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时． 当在大圆的外部时，如图，当，， ∴， 当这些点与的关联角度都小于等于， ∴， 如图，当在大圆上时，过作坐标轴的平行线，交点为， 此时， ∴， ∴， 当上的点都满足与的距离都小于等于时，即是临界值， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时． 综上：的取值范围为或． 【点睛】 本题考查的是点圆的位置关系，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知抛物线与轴交于A，B两点（A在的左侧），与轴交于点，连结，D是线段上一动点，以为一边向右侧作菱形，且，连结．若，． （1）求抛物线的表达式； （2）求的度数； （3）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，请直接写出长的取值范围． 【答案】（1）     （2）120°     （3）      【分析】 对于（1），先确定抛物线是关于y轴对称可得关系式为，再根据面积相等求出c，进而得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，再根据菱形的性质得出是等边三角形，然后根据“边角边”证明，可得； 对于（3），由（2）知点在射线上，当点D与点O重合时， 求出，再根据勾股定理求出，结合点A的坐标求出，然后根据勾股定理求出；当点D与点B重合时， 求出，进而求出，再根据勾股定理求出，则此题可解． (1) 小问详解： 解：由，可知此抛物线的对称轴是轴，即， ， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴点，， 由， 解得， 抛物线表达式为； (2) 小问详解： 解：由，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ． 连接， 菱形中，，且， 是等边三角形，则， ∴， ∴， ， ； (3) 小问详解： 解：． 由（2）知，点在射线上， 当点沿轴正方向移动到点时， 当点D与点O重合时，， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵点， ∴， ∴． 在中，； 当点D与点B重合时，， ∴． 在中，，， 则． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴长的取值范围是． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数关系式，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线得出点E的运动轨迹是解题的关键． 2．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，，（其中），点在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点满足，则的最小值为　　　　　． 【答案】3 【分析】 设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O,且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，确定m最值即可． 【详解】 设OP=x，设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O,且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小， ∵C（3,4）， ∴OC==5， ∵圆的半径为2， ∴OP=OC-PC=5-2=3， ∵，，， ∴PO是直角三角形PAB斜边上的中线， ∴OP=OA=3， ∴m最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了两点间的距离公式，两点之间线段最短原理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握公式和原理，灵活运用性质是解题的关键． 3．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）在半径为2的中，弦长为，点C在上，若，则弦的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2或4 【分析】 本题可先根据圆的半径和弦的长求出圆心到弦的距离，再结合，分情况讨论点的位置，进而求出弦的长．本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及等边三角形和直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）以及特殊三角形（等边三角形和直角三角形）的性质是解题的关键．在解题过程中，要注意点位置的讨论，避免遗漏解． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴， ，， ∴ ∴， 情况一：当点在劣弧上时 ∵， ∴ ∴点、、三点共线， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ 情况二：当点在优弧上时， ∵， ∴点、、三点共线， ∴ 综上，弦的长为或 故答案为：2或4． 4．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为　　　　　． 【答案】 【详解】 ∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°． ∴AD=ABcos30°=6×． 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°． ∴△ADE的等边三角形． ∴DE=AD=， 即线段DE的长度为． 5．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若过点A可以作的两条切线，（切点分别为B，C），且，则称点A是的完美点． （1）如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的完美点； ②直线上存在的完美点，求m的取值范围； （2）已知点，，，经过原点，若线段上存在的完美点，直接写出t的取值． 【答案】（1）①；②     （2）或      【分析】 （1）① 求出的长即可求解； ② 先确定以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点，得出，将代入整理得：，令即可求解； （2）由的半径为t，设点T到的完美点的距离为d，得到，令点K的坐标为,,得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：① 如图，当时，则， 连接， 则， ∵， ∴， 故点是的完美点； ② 以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点， ∴， 将代入得：， 整理得：， 令，得， 解得：， 所以直线上存在的完美点时，m的取值范围为； (2) 小问详解： 由题意得，的半径为t， 设点T到的完美点的距离为d， 由① 可得，， ∴， ∴， 令在线段上的完美点为点K，并设它的坐标为,, ∵，，， ∴， ∵, ∴或． 【点睛】 本题考查了圆的切线有关的性质，涉及到了新定义问题，解题关键是理解题目意思，将其转化为数学问题，本题计算较麻烦，属于压轴题，考查了学生综合分析与计算的能力． 6．（25-26学年九上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于图形和直线，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形，则称图形为图形的“变换图形” （1）已知点，，图形为线段． ①当直线为轴时，图形的“变换图形”为，则以下说法正确的是___________； A．图形与图形关于原点中心对称             B．图形与图形关于轴对称 C．图形与图形关于直线对称       D．图形与图形关于直线对称 ②当直线为时，若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知正方形的顶点坐标分别为，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，直线由直线绕点逆时针旋转得到．若线段的“变换图形”与正方形有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①D；②     （2）或      【分析】 （1）① 将线段绕点顺时针旋转得到线段，则，将线段关于轴对称，得到线段，则，即可得线段与线段关于直线对称，此时图形与图形关于直线对称，即可求解． ② 若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，即图形与轴负半轴有公共点，即与轴负半轴有交点．根据，得出在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上．要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可，分别确定当落在轴负半轴上时，当落在轴负半轴上时，的值即可解答． （2）将正方形关于直线对称，那么正方形中心对称点为，此时再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，其中，根据直线与轴夹角为，那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴．要使得与有交点即可，确定当时，当时，当时，当时，对应的值，结合图象即可解答， (1) 小问详解： 解：① 线段绕点顺时针旋转得到线段， ∵，， ∴， 将线段关于轴对称，得到线段， 其中， 则线段与线段关于直线对称， ∴此时图形与图形关于直线对称， 故选：D． ② 若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点， 即图形与轴负半轴有公共点， ∵图形是由旋转后的关于对称得到的， ∴将与轴负半轴都关于反对称回去， 即与轴负半轴有交点． ∵， 则在以为圆心，为半径的上，在以为圆心， 3 为半径的上． 要使得与轴负半轴有交点，即找到临界状态即可， 当落在轴负半轴上时，， 当落在轴负半轴上时，， ． (2) 小问详解： 解：如图，直线由直线绕点逆时针旋转得到， 设点坐标为， 则， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， ∴直线解析式为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的中心为点， 将正方形关于直线对称，设正方形中心对称点为， 如图，过点作轴，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为， 再将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，设点对应的为点， 则， ∴， ∴， ∴点和点关于轴对称， ∴， ∵如图，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，过点作轴，过点作轴， 则， 令，则，解得：，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与轴夹角为， 那么原本水平的，翻折后会与轴形成夹角，那么再绕点旋转，会再次平行于轴． 要使得线段的“变换图形”与正方形有公共点，则与有交点即可，如图， ∵， ∴线段在直线上， 线段在直线上， ∵，， 当时，解得， 当时，解得； 当时，， 当时，， 综上所述，或． 【点睛】 本题属于新定义类问题，主要考查轴对称问题，旋转的性质，正方形的性质，一元一次方程，勾股定理，解直角三角形，坐标与图形，等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形，数形结合是解题的关键． 7．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，等边三角形的边长为9，点D、E、F在边上，等边三角形的边长为7，则三角形的内切圆半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：如图，设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，， ∴， ∴， ∵等边三角形的边长为7， ∴， ∴，， ∵等边三角形的边长为9， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内切圆半径为． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出的长是解题关键． 8．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，对于和点(不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”． （1）已知，． ①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标； ②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围； （2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）①根据已知条件得出，则，点与点重合，点与点重合，则，过点作轴于点，依题意，则，进而求得，即可求解； ②根据题意可推出点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分，如图1-2所示，点P的运动路径即为线段，据此求出的长即可得到答案； （2）求出，，得到，；同理可得点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分；根据题意可得该等腰直角三角形一定在点P的运动区域内（包括边界），分两种情况：是斜边长为2的等腰直角三角形，且，当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点A为圆心，半径为的圆上和是斜边长为2的等腰直角三角形，且， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点B为圆心，半径为的圆上，求出对应情况下b的值，比较即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点与点重合，点与点重合， ∴由轴对称的性质可得，， ∴； 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的“翻折点”的坐标为； ②如图1-1所示， ∵点与点关于对称， ∴； 假设点N为定点，点M为动点时， ∴的长为定值， ∴点P在以点N为圆心，半径为的圆上（一段圆弧）运动， 同理当点M为定点，点N为动点时，点P在以点M为圆心，半径为的圆上（一段圆弧）运动， ∴点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分， 又∵点P在线段上， ∴如图1-2所示，点P的运动路径即为线段； ∵， ∴， 又∵， ∴，即； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴； 同理可得点P的运动区域为以点B为圆心，为半径的圆与以点A为圆心，半径为的圆的重合部分， ∵存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”， ∴该等腰直角三角形一定在点P的运动区域内（包括边界）； 如图2-1所示，是斜边长为2的等腰直角三角形，且，阴影部分为点P的运动区域， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点A为圆心，半径为的圆上时，设交于点T，连接， ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-2所示，是斜边长为2的等腰直角三角形，且，阴影部分为点P的运动区域， 当点C恰好在线段上，点E，点F恰好在以点B为圆心，半径为的圆上时，设交于点T，连接， ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∵，， ∴， ∴当时满足题意． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $