专题01 一元二次方程（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 北京多校期中试题汇编，聚焦一元二次方程6大高频考点，题型全面，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|20+题|概念（根的代入）、解法（配方/公式/因式分解）、根与系数关系|结合北京名校期中真题，基础题占比60%| |解答题|15+题|根的判别式证明、实际问题（增长率/面积）|融入新能源汽车、人工智能等时代情境，综合题占比40%|

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·北京东城）如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（   ） A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ±4 2．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A. 2027 B. 2026 C. 2024 D. 2023 3．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A.  B.  C. 3 D. 15 4．（25-26学年九上·北京海淀·期中）一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，1，3 B. 2，1，﹣3 C. 2，﹣1，3 D. 2，﹣1，﹣3 5．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）关于x的一元二次方程，有一个根是0，则　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九·北京东城）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·北京大兴·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）若m是方程的根，则式子的值为　　　　　　　　 10．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知是关于的方程的一个根，则　　　　　　． 13．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知是方程的一个根，则代数式 等于 　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 17．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 18．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·北京东城）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）解方程：． 6．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程可以配方成，则m的值为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·北京密云·期中）解方程x2﹣4x+1=0． 8．（25-26学年九上·北京海淀·期中）请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数　　　． 9．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）解方程． 10．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）方程的根为　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）解方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 3．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 4．（25-26学年九上·北京密云·期中）下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 5．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）若方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）要关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 7．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 8．（25-26学年九上·北京海淀·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）解方程：． 10．（25-26学年九上·北京大兴·期中）解方程：． 11．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a的值． 13．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 19．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 20．（25-26学年九上·北京大兴·期中）解方程：． 21．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 22．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 23．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 24．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 25．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知：关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）当时，求方程的根． 26．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 27．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求的取值范围． 28．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，满足且，求m的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·北京大兴·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·北京密云·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）解方程：． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）解方程：． 6．（25-26学年九上·北京海淀·期中）解方程：． 7．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）解方程：． 8．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）解方程：. 9．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）解方程：． 10．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）解方程：． 11．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）解方程：． 12．（25-26学年九·北京东城）用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 13．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知关于的方程（为实数，）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值． 14．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）解方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 16．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 17．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的一元二次方程：． （1）判断该方程的根的情况，并说明理由； （2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则和另一个根分别是（     ） A. －1，2 B. －1，－2 C. 1，2 D.  2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知一元二次方程的两个根分别是，，则　　　　　． 4．（25-26学年九上·北京密云·期中）设一元二次方程的两个实数根分别是和，则　　　　　　，　　　　　　． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 6．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知，且，则化简　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京大兴·期中）人均国内生产总值是衡量经济繁荣程度、生活水平的重要指标．据统计，2022年我国人均国内生产总值是85698元，2024年人均国内生产总值是95749元，设这两年人均国内生产总值的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京海淀·期中）随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为，根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 9．（25-26学年九·北京东城）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是　　　　　　　　　　　 11．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率． 12．（25-26学年九上·北京密云·期中）目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 13．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为        步； （2）中间小正方形的面积为          平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为            ； （4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 14．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）年月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为米． （1） ______ 米（用含的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽． 16．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 17．（25-26学年九上·北京海淀·期中）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 18．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）某校为提升学生读书热情，加强了对校图书馆的经费投入，2023年投入约300万元，2025年投入约363万元．求图书投入经费的年平均增长率． 19．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）某村计划建造了如图所示的矩形蔬菜温室，温室的长是宽的4倍，左侧是3米宽的空地，其它三侧各有1米宽的通道，矩形蔬菜种植区域的面积为288平方米．求温室的长与宽各为多少米？ 20．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，正方形的边长是6，是上一点，是延长线上的一点，四边形是矩形，，矩形的面积为，设，则根据题意列一元二次方程为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·北京东城）如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（   ） A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ±4 【答案】C 【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解. 【详解】把x＝4代入方程 可得16-12=， 解得a=±2， 故选C． 考点：一元二次方程的根． 2．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A. 2027 B. 2026 C. 2024 D. 2023 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A.  B.  C. 3 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】 解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 4．（25-26学年九上·北京海淀·期中）一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，1，3 B. 2，1，﹣3 C. 2，﹣1，3 D. 2，﹣1，﹣3 【答案】D 【详解】根据一元二次方程的一般式：，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故选D. 5．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）关于x的一元二次方程，有一个根是0，则　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 将代入，再解出m即可． 【详解】 将代入，得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解得定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 6．（25-26学年九·北京东城）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解． 【详解】 解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1 则其和为2+4-1=5； 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和出算式是解题关键． 7．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 ：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【详解】 把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（25-26学年九上·北京大兴·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程，解题的关键是能根据题意得出一个关于的方程．把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：．把代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）若m是方程的根，则式子的值为　　　　　　　　 【答案】2029 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的应用，难度中等，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 利用整体思想解答即可． 【详解】 解：∵m是方程的根， 把代入，得， 则． 所以． 故答案为：2029． 10．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 该题考查了一元二次方程的解，由方程根的定义可得，将代数式变形为，再代入求值． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即． 代数式． 代入，得． 故答案为：4． 12．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知是关于的方程的一个根，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】 解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）已知是方程的一个根，则代数式 等于 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的定义可得，整体代入，即可求解． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 14．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】 解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 15．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·北京大兴·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】 本题考查了方程的根，整式化简求值；由方程的根得，化简整式后，整体代值计算，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， ， ． 17．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】12 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解、整式的混合运算，由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 18．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先将6除以2，得到b的取值，再添加b²，为了保持式子大小不变，后面再减去b²，则等式左边变成了完全平方，剩余的常数移到等式右边即可． 【详解】 解： 故选B 【点睛】 本题考查配方法，掌握如何配方是本题关键． 2．（25-26学年九·北京东城）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】 解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故选：B ． 3．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 5．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】 解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 6．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程可以配方成，则m的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式和配方法，将一元二次方程化为一般形式，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴化为一般形式得：， ∵关于x的一元二次方程可以配方成， ∴， 故答案为：1． 7．（25-26学年九上·北京密云·期中）解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【分析】 根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】 解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 8．（25-26学年九上·北京海淀·期中）请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数　　　． 【答案】答案不唯一．如：． 【分析】 由题意知：一个能直接开平方的式子就可以完成本题． 【详解】 解：， ， ∴， 故答案为等． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解，掌握直角开平方法及互为相反数的定义是解题的关键． 9．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）解方程． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】 解：， ， ， ， ． ． 10．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】 解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 11．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）方程的根为　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解： 移项得 开平方得 解得，． 12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ 故选：B． 2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】 关于x的一元二次方程有两个实数根 且， 且 故选：C． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0． 4．（25-26学年九上·北京密云·期中）下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】 解：∵方程 中，, , ， ∴， ∴方程有两个相等的实数根。 故选：B． 5．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）若方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】A 【分析】 分两种情况讨论：当时，方程为，再解方程即可，当时，方程为一元二次方程，再利用根的判别式可得结论． 【详解】 解：当时，方程为， 解得：，方程有实数根， 当时，方程为一元二次方程，而方程有实数根，则 ， 解得：， 综上：方程有实数根，则的取值范围是 故选A． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的含义与根的判别式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6．（25-26学年九上·北京大兴·期中）要关于x的一元二次方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=22-4m＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得m≠0且△＝22﹣4m＞0， 解得m＜1且m≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题时注意二次项系数不能为零. 根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，需满足判别式大于零且二次项系数不为零. 【详解】 解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， ∴， ∴， 即 ， 又 ∵， ∴ 且 . 故选：B. 8．（25-26学年九上·北京海淀·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的解法是解题的关键．先求出，再由求根公式，即可求解． 【详解】 解：，，， ， ， 故，． 10．（25-26学年九上·北京大兴·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】 解：原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 11．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 12．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ． ∴该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的含义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）把代入，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程有一个根为2， ∴， 解得：． 13．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是　　　　　　． 【答案】4 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 14．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】 解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 16．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式确定实数根的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，进行计算求解即可． 【详解】 解：由于方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据判别式求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 18．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】（1） 证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根．     （2）或      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 19．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 20．（25-26学年九上·北京大兴·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∴ 21．（25-26学年九上·北京日坛中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 22．（25-26学年九上·北京海淀·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论a取任何实数，此方程总有实数根．     （2）．      【分析】 （1）利用根的判别式证明即可； （2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a＜－2． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于3， ∴，解得：a＜－2． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程． 23．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据因式分解法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 证明：， 所以方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， 所以， ∵此方程恰有一个根小于， ， ． 24．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 25．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）已知：关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）当时，求方程的根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根．     （2），      【分析】 （1）求出该方程根的判别式，即可进行证明； （2）把带入原方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 26．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【分析】 （1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】 （1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】 考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 27．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根小于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：． ∵， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）计算方程的判别式并化简，证明判别式始终大于等于零； （2）将方程因式分解得到两个根，根据其中一个根小于2的条件列出不等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程可因式分解为 ∴ 或 ， 解得：，． ∵方程有一个实数根小于2， ∴， 解得：． 28．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，满足且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ 一元二次方程为， ∴ 判别式， ∵， ∴ 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2）3      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）通过计算判别式恒为正，证明方程总有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系和给定条件列方程求解，并根据根的大小关系确定参数的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 和是方程的实数根， ∴， ∵， ∴， 即 ， ∴ ， ∴ ， 代入 ， 得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∵ ，且， ∴ ， 当时，，符合条件； 当 时，，不符合条件， ∴ ． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 2．（25-26学年九上·北京大兴·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 3．（25-26学年九上·北京密云·期中）一元二次方程的根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】 解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 4．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 观察到，可移项因式分解解方程． 【详解】 ∵ ∴，即 ∴或 ∴，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据题意选择适当的方法是解题的关键． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】 解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 6．（25-26学年九上·北京海淀·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或， 7．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】 利用十字相乘因式分解，进而即可求解． 【详解】 ， ， ∴或， 解得：或． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键． 8．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）解方程：. 【答案】， 【详解】试题分析：运用配方法求解即可． 试题解析： 故：， 考点：解一元二次方程-配方法． 9．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】 解：， ， ， 或， 所以，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 10．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】 利用因式分解法求出的值即可． 【详解】 解： ， ， 或， ，． 11．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 12．（25-26学年九·北京东城）用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，； (3) 小问详解： 解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 13．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）已知关于的方程（为实数，）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得， ∴方程总有两个实数根；     （2）或      【分析】 本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是负整数，且m是整数求出m的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，． ∵方程的两个实数根都是负整数，且是整数， ∴或． 14．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为 ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为 ∴ ∴或 ∴，． 15．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根     （2）1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 16．（25-26学年九上·北京密云·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； (2) 小问详解： 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 17．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的一元二次方程：． （1）判断该方程的根的情况，并说明理由； （2）若该方程有一个根小于3，求的取值范围． 【答案】（1） 原方程有两个实数根，当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根． 理由：根据题意，得， ∵， ∴， ∴原方程有两个实数根， 当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 （1）根据方程的根的判别式，计算判断即可． （2）解方程后解答即可 本题考查了根的判别式应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为， 解得：； 由方程有一个根小于3， ． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则和另一个根分别是（     ） A. －1，2 B. －1，－2 C. 1，2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 先将已知根代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出另一个根． 【详解】 解： ∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， 此时方程为， 设另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， 已知一个根是1，则， 解得． 故选：D． 2．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】 解：关于的一元二次方程有一个根为，设另一个根为， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）已知一元二次方程的两个根分别是，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程中，，，； ∵，分别是一元二次方程的两个根， 故，； ； 将，代入，原式． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·北京密云·期中）设一元二次方程的两个实数根分别是和，则　　　　　　，　　　　　　． 【答案】① 5    ② 3 【分析】 本题考查了根与系数的关系，若，是方程的两根时，则，，先根据一元二次方程的两个实数根分别是和，求出，，即可． 【详解】 解：一元二次方程的两个实数根分别是和， ，； 故答案为：5,3． 5．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴无论k取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系得到 ，由此建立关于的方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根分别为， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 解得， 6．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）已知，且，则化简　　　　　． 【答案】 【分析】 由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】 解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】 主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】 解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 2．（25-26学年九上·北京大兴·期中）人均国内生产总值是衡量经济繁荣程度、生活水平的重要指标．据统计，2022年我国人均国内生产总值是85698元，2024年人均国内生产总值是95749元，设这两年人均国内生产总值的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），熟练掌握年平均增长率下的复合增长公式是解题的关键． 根据年平均增长率的概念，明确从2022年到2024年经过两年增长，利用复合增长的思路来列方程． 【详解】 解：因为年平均增长率为， 所以2023年人均国内生产总值为，2024年人均国内生产总值为， 又因为2024年人均国内生产总值是元， 所以． 故选：． 3．（25-26学年九上·北京海淀·期中）随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，每年增长相同的比例，故2024年的保有量等于2022年的保有量乘以． 【详解】 解：设年平均增长率为x， ∵ 2022年保有量为万辆， ∴ 2023年保有量为万辆， ∴2024年保有量为万辆， 又∵2024年保有量为万辆， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即，因此列出方程即可． 【详解】 解：设周平均增长率为，则第二周的游客人数为，第三周的游客人数为第二周人数再乘以，即． 根据题意，第三周人数为8470，因此方程为： 故选：A． 5．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，关键是正确理解增长率公式． 根据年平均增长率模型，增长后的量等于增长前的量乘以增长率的次方，其中为年数． 【详解】 解：∵从2022年到2024年，经过2年， ∴2024年投入年投入增长率， 即， ∴方程是． 故选：C． 6．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为，根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．解题思路是根据“增长率问题”的规律，利用“初始量最终量”（为增长次数）的公式，结合首周到第三周增长了次的条件，列出方程．解题关键是确定增长次数（首周到第三周增长次），避免将增长次数误算为．易错点是混淆“单次增长”与“连续增长”的表达式，错误选择含的选项． 【详解】 ∵首周累计票房为亿元，每周增长率为， ∴第二周累计票房为亿元， 第三周累计票房为亿元． 又∵第三周累计票房为亿元， ． 故选． 7．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】 解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 8．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【分析】 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】 解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 9．（25-26学年九·北京东城）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可． 【详解】 第一次降价后的价格为：25×(1-x)； 第二次降价后的价格为：25×(1-x)2； ∵两次降价后的价格为16元， ∴25(1-x)2=16． 故选：D． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b． 10．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】 解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，由题意，得； 故答案为： 11．（25-26学年九上·北京朝阳·期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率． 【答案】全天包车数的月平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全天包车数的月平均增长率为，利用十月份的全天包车数八月份的全天包车数（全天包车数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为． 12．（25-26学年九上·北京密云·期中）目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设共享单车投放量的月平均增长率为x，根据2月、4月份的共享单车投放量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设月至月共享单车投放量的月平均增长率为x， ，(不符合题意舍去) 答：2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为． 13．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为        步； （2）中间小正方形的面积为          平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为            ； （4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 【答案】（1）60     （2）144     （3）     （4）；矩形田地的宽为24步      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由② ③ 求得小正方形的面积相等即可得出方程． (1) 小问详解： 解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 (2) 小问详解： 解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 (3) 小问详解： 解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； (4) 小问详解： 解：由② ③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴    答：矩形田地的宽为24步． 14．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程． 【详解】 解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）年月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为米． （1） ______ 米（用含的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽． 【答案】（1）     （2）当围成的菜地面积为平方米时，宽为米．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， 长为米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当围成的菜地面积为平方米时，宽为米． 16．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为     （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·北京海淀·期中）某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】64个 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可． 【详解】 解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 18．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）某校为提升学生读书热情，加强了对校图书馆的经费投入，2023年投入约300万元，2025年投入约363万元．求图书投入经费的年平均增长率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设图书投入经费的年平均增长率为x，根据等量关系式：2023年的投入2025年投入，列出方程求解即可． 【详解】 解∶ 设图书投入经费的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去） 答：图书投入经费的年平均增长率为． 19．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）某村计划建造了如图所示的矩形蔬菜温室，温室的长是宽的4倍，左侧是3米宽的空地，其它三侧各有1米宽的通道，矩形蔬菜种植区域的面积为288平方米．求温室的长与宽各为多少米？ 【答案】温室的长为40米，宽为10米 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设温室的宽是x米，则温室的长是米，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解． 【详解】 解：设温室的宽是x米，则温室的长是米， 得， 整理，得， 解得或（不合题意舍去）． 则． 答：温室的长为40米，宽为10米． 20．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，正方形的边长是6，是上一点，是延长线上的一点，四边形是矩形，，矩形的面积为，设，则根据题意列一元二次方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则，，根据矩形的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设，则，， 根据题意得：． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．D 3．C 4．D 5．【答案】2 【分析】 将代入，再解出m即可． 【详解】 将代入，得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解得定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 6．【答案】5 【分析】 确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解． 【详解】 解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1 则其和为2+4-1=5； 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和出算式是解题关键． 7．【答案】5 【分析】 ：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【详解】 把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程，解题的关键是能根据题意得出一个关于的方程．把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：．把代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 9．【答案】2029 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义以及整体代入思想的应用，难度中等，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 利用整体思想解答即可． 【详解】 解：∵m是方程的根， 把代入，得， 则． 所以． 故答案为：2029． 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 11．【答案】4 【分析】 该题考查了一元二次方程的解，由方程根的定义可得，将代数式变形为，再代入求值． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即． 代数式． 代入，得． 故答案为：4． 12．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】 解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的定义可得，整体代入，即可求解． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 14．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】 解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．【答案】11 【分析】 本题考查了方程的根，整式化简求值；由方程的根得，化简整式后，整体代值计算，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， ， ． 17．【答案】12 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解、整式的混合运算，由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 18．【答案】7 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 考点02 配方法 1．B 2．B 3．D 4．A 5．【答案】， 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】 解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 6．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式和配方法，将一元二次方程化为一般形式，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴化为一般形式得：， ∵关于x的一元二次方程可以配方成， ∴， 故答案为：1． 7．【答案】x1=2+，x2=2-. 【分析】 根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】 解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 8．【答案】答案不唯一．如：． 【分析】 由题意知：一个能直接开平方的式子就可以完成本题． 【详解】 解：， ， ∴， 故答案为等． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解，掌握直角开平方法及互为相反数的定义是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】 解：， ， ， ， ． ． 10．【答案】10 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】 解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 11．【答案】， 【详解】 解： 移项得 开平方得 解得，． 12．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ，． 考点03 公式法 1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 9．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的解法是解题的关键．先求出，再由求根公式，即可求解． 【详解】 解：，，， ， ， 故，． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】 解：原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 11．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 12．【答案】（1） 证明：∵， ， ． ∴该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的含义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）把代入，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程有一个根为2， ∴， 解得：． 13．【答案】4 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 14．【答案】 【分析】 本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】 解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 15．【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式确定实数根的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，进行计算求解即可． 【详解】 解：由于方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 根据判别式求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 18．【答案】（1） 证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根．     （2）或      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 19．【答案】（1） ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 20．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∴ 21．【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 22．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论a取任何实数，此方程总有实数根．     （2）．      【分析】 （1）利用根的判别式证明即可； （2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a＜－2． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于3， ∴，解得：a＜－2． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程． 23．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据因式分解法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 证明：， 所以方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， 所以， ∵此方程恰有一个根小于， ， ． 24．【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 25．【答案】（1） 证明：∵， ∴方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根．     （2），      【分析】 （1）求出该方程根的判别式，即可进行证明； （2）把带入原方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 26．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【分析】 （1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】 （1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】 考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 27．【答案】（1） 证明：． ∵， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）计算方程的判别式并化简，证明判别式始终大于等于零； （2）将方程因式分解得到两个根，根据其中一个根小于2的条件列出不等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：方程可因式分解为 ∴ 或 ， 解得：，． ∵方程有一个实数根小于2， ∴， 解得：． 28．【答案】（1） 证明：∵ 一元二次方程为， ∴ 判别式， ∵， ∴ 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2）3      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）通过计算判别式恒为正，证明方程总有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系和给定条件列方程求解，并根据根的大小关系确定参数的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 和是方程的实数根， ∴， ∵， ∴， 即 ， ∴ ， ∴ ， 代入 ， 得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∵ ，且， ∴ ， 当时，，符合条件； 当 时，，不符合条件， ∴ ． 考点04 因式分解法 1．【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 2．【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】 解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 4．【答案】， 【分析】 观察到，可移项因式分解解方程． 【详解】 ∵ ∴，即 ∴或 ∴，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据题意选择适当的方法是解题的关键． 5．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】 解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或， 7．【答案】或 【分析】 利用十字相乘因式分解，进而即可求解． 【详解】 ， ， ∴或， 解得：或． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键． 8．【答案】， 【详解】试题分析：运用配方法求解即可． 试题解析： 故：， 考点：解一元二次方程-配方法． 9．【答案】， 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】 解：， ， ， 或， 所以，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 10．【答案】，． 【分析】 利用因式分解法求出的值即可． 【详解】 解： ， ， 或， ，． 11．【答案】， 【详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 12．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，； (3) 小问详解： 解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 13．【答案】（1） 证明：依题意，得， ∴方程总有两个实数根；     （2）或      【分析】 本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是负整数，且m是整数求出m的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，． ∵方程的两个实数根都是负整数，且是整数， ∴或． 14．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为 ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为 ∴ ∴或 ∴，． 15．【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根     （2）1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； (2) 小问详解： 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 17．【答案】（1） 原方程有两个实数根，当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根． 理由：根据题意，得， ∵， ∴， ∴原方程有两个实数根， 当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 （1）根据方程的根的判别式，计算判断即可． （2）解方程后解答即可 本题考查了根的判别式应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为， 解得：； 由方程有一个根小于3， ． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】 解：关于的一元二次方程有一个根为，设另一个根为， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程中，，，； ∵，分别是一元二次方程的两个根， 故，； ； 将，代入，原式． 故答案为：． 4．【答案】① 5    ② 3 【分析】 本题考查了根与系数的关系，若，是方程的两根时，则，，先根据一元二次方程的两个实数根分别是和，求出，，即可． 【详解】 解：一元二次方程的两个实数根分别是和， ，； 故答案为：5,3． 5．【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴无论k取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系得到 ，由此建立关于的方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根分别为， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 解得， 6．【答案】 【分析】 由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】 解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】 主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】 解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，由题意，得； 故答案为： 11．【答案】全天包车数的月平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全天包车数的月平均增长率为，利用十月份的全天包车数八月份的全天包车数（全天包车数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为． 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设共享单车投放量的月平均增长率为x，根据2月、4月份的共享单车投放量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设月至月共享单车投放量的月平均增长率为x， ，(不符合题意舍去) 答：2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为． 13．【答案】（1）60     （2）144     （3）     （4）；矩形田地的宽为24步      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由② ③ 求得小正方形的面积相等即可得出方程． (1) 小问详解： 解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 (2) 小问详解： 解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 (3) 小问详解： 解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； (4) 小问详解： 解：由② ③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴    答：矩形田地的宽为24步． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程． 【详解】 解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：． 故答案为：． 15．【答案】（1）     （2）当围成的菜地面积为平方米时，宽为米．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， 长为米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当围成的菜地面积为平方米时，宽为米． 16．【答案】（1）电动车车棚的长为     （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； (2) 小问详解： 略 17．【答案】64个 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可． 【详解】 解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设图书投入经费的年平均增长率为x，根据等量关系式：2023年的投入2025年投入，列出方程求解即可． 【详解】 解∶ 设图书投入经费的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去） 答：图书投入经费的年平均增长率为． 19．【答案】温室的长为40米，宽为10米 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设温室的宽是x米，则温室的长是米，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解． 【详解】 解：设温室的宽是x米，则温室的长是米， 得， 整理，得， 解得或（不合题意舍去）． 则． 答：温室的长为40米，宽为10米． 20．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则，，根据矩形的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设，则，， 根据题意得：． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $