专题07 相似（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦相似专题，整合北京多区期中试题，覆盖5大高频考点，通过黄金分割（如哪吒形象）、小孔成像、祈年殿测量等情境，实现基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|图形相似判定、比例线段|结合房山调研等区考真题，基础概念辨析| |填空|约10题|黄金分割、平行线分线段|融入《哪吒》文化素材，考查计算应用| |解答|约15题|相似判定与性质、实际测量|设计梅涅劳斯定理证明、河宽估算等综合题，适配期中能力评估|

专题07 相似 5大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点01 图形的相似 1．（2026·北京房山·调研）若，则下列比例式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·北京房山·调研）如果，那么的值是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如果 ，则下列各式不成立的是（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京延庆·期中）线段a，b，c，d的长度如下： ①，，，；   ②，，，； ③，，，； ④，，，； 以上4组数据中，能使a，b，c，d构成比例线段的有（     ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6．（25-26学年九上·北京延庆·期中）已知，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·北京通州·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为　　　　　　（结果保留根号）． 10．（25-26学年九上·北京延庆·期中）若点是线段的黄金分割点（），，则　　　　　　． 11．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如果，那么　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知，且，求x，y，m的值． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点D，E，F，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，直线交于点O，．若，，．则的值为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在中，，如果，那么　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… （1）情况①中的依据指：_______． （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． （3）如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 7．（2026·北京房山·调研）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为　　　　　　　　． 8．（2026·北京房山·调研）在中，，，点D是边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明； （2）如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明．    9．（2026·北京房山·调研）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 10．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”． （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； （2）的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； （3）如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 11．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：Q为图形W上一点，直线与图形W交于点（点P，Q，互不重合）．若，则称点P为图形W的“k倍伙伴点” （1）已知点，，． ①在点，，中，________是正方形的“2倍伙伴点”； ②若点P是正方形的“2倍伙伴点”，则的最大值为________． （2）已知点，，，，，，若线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，直接写出t的取值范围． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 2．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（2026·北京房山·调研）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知平行四边形中，点在上，且，与交于点．若，则的长为（       ） A. 2 B. 1 C. 3 D.  6．（2026·北京房山·调研）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，正方形的边长是3．点是延长线上一点，延长至点，使，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．（2026·北京房山·调研）如图，与交于点O，，，，，求的长． 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是　　　　　　．（写出一个条件即可） 10．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，点在边上，，，，求的长． 11．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 12．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比　　　　　 13．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 14．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，，交于点E，，，，则　　　　　　． 15．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 16．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在x轴的负半轴上，且，则点B的坐标为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在矩形中，若，，，则的长为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 19．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． （1）图中有_____对相似三角形； （2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 20．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在中，，，．过点B作，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 21．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，，相交于点O，于点C，于点D，如果，的面积是3，那么的面积是　　　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，．求证：． 请你完成此定理的证明过程． 23．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 24．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是　　　　　． 25．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，，如果，那么的长是　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，在正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）取的中点，连接，用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明． 27．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 28．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知，如图，是等边三角形． （1）如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； （2）如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 29．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求的长度． 30．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）在和中，，点P在上，且．连接交于点Q． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，当A，P，C 三点共线时，求 的值． 31．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． （1）求证：； （2）若是的切线． ①求证：； ②若，，是的中点，则的半径为             ． 32．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在边上，以O为圆心的圆经过A，D两点，交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，当时，求线段的长． 33．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，P是外一点，给出如下的定义：若在上存在一点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在上，则称Q为点P关于的关联点． （1）当点P在直线上时． ①若点，在点，，中，点P关于的关联点是                 ； ②若P关于的关联点Q存在，求点P的横坐标p的取值范围． （2）已知点，动点M满足，若M关于的关联点N存在，直接写出MN的取值范围． 34．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若存在过点P的直线l交于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为的相邻点，直线l为关于点P的相邻线． （1）当的半径为1时， ①分别判断在点，，中，是的相邻点有________． ②直线与x，y轴分别交于点G，H，若线段上所有点是的相邻点，直接写出b的取值范围； （2）已知点，，，经过原点，线段上所有点都是相邻点P，直接写出t的取值范围． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·北京通州·期中）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 2．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·北京房山·调研）如图，中，平分，，，． （1）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）求的长． 4．（2026·北京房山·调研）如图，点M是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点D落在边上，记作点N． （1）求证：； （2）若与的相似比为，，求的长． 5．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 6．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在矩形中，，，点E在上，且，若边上的点F使得以F，A，B为顶点的三角形和以F，D，E为顶点的三角形相似，求的长． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·北京房山·调研）在物理课上同学们曾学过小孔成像（图1）．如图2，如果蜡烛火焰的高度为，倒立的像的高度为，小孔O到火焰的距离为，则小孔O到像的距离为　　　　　　　　，计算依据是　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是　　　　　　． 3．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 4．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是　　　　　　　　里． 5．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为　　　　　米． 6．（2026·北京房山·调研）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． （1）在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； （2）根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 7．（25-26学年九上·北京通州·期中）在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点01 图形的相似 1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ∵点B为的黄金分割点， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 由黄金分割点可知 ，求解即可． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 解得： 故答案为： ． 【点睛】 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 11．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由已知条件，将所求式子拆分为，即，然后代入计算． 【详解】 解：因为， 所以 ， 故答案为：． 12．【答案】，， 【分析】 本题考查了比例的性质，设，，，根据得出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴设，，， ， 解得， ，，. 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．D 3．A 4．【答案】.75 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．【答案】3 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 6．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．     （2） 证明：作交于， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）如图2中，作交于，模仿情况① 的方法解决问题即可； （3）利用梅氏定理即可解决问题． (1) 小问详解： 解：情况① 中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．【答案】（1） ，证明： ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段． ∴ ， ，      （2） ① 补全图形如图： ②，证明：连接，取中点G，连接，， 同理 点G为中点       【分析】 （1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据三角形的外角的性质可得，根据即可求解． （2）① 根据题意画出图形，即可求解； ② 连接，取中点G，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据证明，结合，证明，进而根据平行线分线段成比例，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．【答案】2 【分析】 本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】 解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 10．【答案】（1），     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据新定义即可求解； （2）由题意确定点的位置，再用勾股定理即可求解； （3）连接，过点P作，交x轴于点B，求出点P所在的位置，得到若直线与线段有公共点，则直线与有交点，从而求出b的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据“外倍线”定义可知： ∴，是的“外倍线”， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，由（）得：     如图，点在以为圆心，半径为的圆上，该圆与直线在第一象限的交点的纵坐标为：， 根据对称性可知第四象限的交点的纵坐标为：， ∴； (3) 小问详解： 解：连接，过点P作，交x轴于点B， ∵，点M是的中点，， ∴， ∴点A是中点，， ∵， ∴， ∵， ∴点P在以A为圆心，2为半径的圆上， 若直线与线段有公共点，则直线与有交点， 作直线与只有唯一一个交点P，交x轴于点C， ∴是的切线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点C的坐标为 把代入，得， 得直线的解析式为， 同理可得的解析式为， 若直线与有交点，则b的取值范围是． 【点睛】 本题考查了新定义的概念，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，本题的关键在于理解新定义的概念，从而画出图象解题． 11．【答案】（1）①，；②     （2）或      【分析】 本题考查对新定义的理解，平行线分线段成比例定理，两点之间的距离，点到直线的距离，正方形的性质和判定，解题的关键是正确理解新定义． （1）① 根据“2倍伙伴点”的定义、平行线分线段成比例定理和两点之间的距离，即可求解； ② 若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q，此时，再根据正方形的性质求解即可； （2）分类讨论，找出临界状态：① 当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，交与点；② 当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点；③ 当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，直线交与点；④ 当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点． (1) 小问详解： 解：①如图所示，，当点Q为正方形的边上任意一点（点B除外）时，与交于点， ∵，， ∴，即点总是的中点， ∴ ∴是正方形的“2倍伙伴点”； ，当点Q为正方形的边上且与交于点时 ∵，， ∴， ∴， ∵此时不符合题意，且为最大值了，当点Q为正方形的边上时，更不符合题意了， ∴不是正方形的“2倍伙伴点”； 此点在正方形内部，当点Q在上且点在或者点Q在上且点在时， ∵，且正方形边长为1， ∴， ∴， ∴是正方形的“2倍伙伴点”. 综上：、是正方形的“2倍伙伴点”. ② 如图所示，若点P是正方形的“2倍伙伴点”， 若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q 此时，如图所示， ∵， ∴. (2) 小问详解： 解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵的中点坐标为即，的中点坐标为即， ∴与互相平分， 又∵， ∴四边形是正方形，且正方形的边长为， ∵、，点E、点H的横坐标和纵坐标相等， ∴点E、点H在直线上，即直线解析式为， ∵，，， ∴直线解析式为，直线解析式为， ∵，， 又∵， ∴点N在点M的上方， 线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，我们不妨来寻找临界状态， ① 当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，交与点，如图所示： 过N点作交y轴于点，过点作，与y轴交于点I， ∵直线解析式为， ∴ ∵， ∴直线的解析式为 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴，即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍， ∵正方形的边长为， ∴点Q到的距离为， ∴P到的距离为，P到的距离即为， ∴ 解得： ∴当时，正方形会向右上运动，点N会向左下运动，此时P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ② 当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过M点作，与y轴交于点， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为 ∴， 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ③ 当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过点N作，交y轴于点，过点作， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为， ∴ 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ④ 当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过点M作， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为， ∴， 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， 综上：或． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．D 8．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长． 【详解】 解：，， ， ， ，，， ， ． 9．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长． 【详解】 解：，， ， ，即， 解得：． 11．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据平行线的性质得出，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可． 【详解】 略 12．【答案】 【分析】 根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】 ∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 13．【答案】证明：∵于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点，于点，以及，得出，再结合，则，故，即可作答． 【详解】 略 14．【答案】5 【分析】 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 15．【答案】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点， ∵点A的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 17．【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】 解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．【答案】证明：∵正方形， ∴； ∵， 设，则， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，再结合正方形的性质证明，再进一步求解即可. 【详解】 略 19．【答案】（1）     （2）相似， 如图， ∵、分别为的两条高， ， ∵， ∴， ， ， ∵． ∴．      【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解； （2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证 (1) 小问详解： 解：图中有对相似三角形 ∵、分别为的两条高， ， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴共6对相似三角形， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，然后根据，即可得到两三角形相似； （2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 21．【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．【答案】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】 略 23．【答案】（1） 如图1，即为所求．      （2） 如图2，即为所求． 【分析】 本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：过作交的延长线于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由，可得，根据可知，从而可求，根据可求结果． 【详解】 解：如下图所示，过点作，交于点，交于点， ， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 26．【答案】（1） 补全的图形如图所示；      （2） 证明：由题意得，， ． 四边形是正方形， ， ， ；     （3）， 证明：如图，连接， 四边形是正方形， 且， ． 由题意得，是等腰直角三角形， 且， ， ． ， ． ， ． 点是的中点， ， 即， ， ．      【分析】 本题主要考查了旋转，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意作旋转所得直线并连接即可； （2）利用同角的余角相等即可证明； （3）根据等腰直角三角形的性质得直角边和斜边成比例，结合夹角相等证明三角形相似，利用相似的性质即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．【答案】（1） 证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ；     （2）．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 28．【答案】（1） ① 补全图形如图所示： ②； ③ 结论：． 理由：作交于K，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）①根据要求画出图形即可； ②证明，，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； ③ 结论：．作交于K，连接．证明，即可解决问题； （2）结论：．过点A作，交的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可． (1) 小问详解： 解：①略 ②如图1中， ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，． ∴，， ∴， ∴； ③ 略 (2) 小问详解： 解：结论：． 理由：过点A作，交的延长线于点F（如图3）． ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到和的长，再根据平行线法证得，然后由相似三角形的性质得，结合已知条件，即可求出的长，进而求出的长． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 30．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是等腰三角形；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得到，再证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明，即可求解； （3）显然，而，因为，那么，设，则 ，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， 又∵， 解得； (3) 小问详解： 解：∵， ， ， 又∵， ， 设， 则 ， 解得或 (不符合题意，舍去)， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 31．【答案】（1） 证明：平分， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ；     （2） ① 证明：如下图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由知：， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； ②．      【分析】 （1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似三角形的判定定理解答即可； 连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得，的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略； 解：如下图所示，连接并延长交于点，过点作于点，连接， 由可知， 又， ， ， ， ，， ， ， 由知：， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，切割线定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 32．【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的半径为3， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 33．【答案】（1）①，；②或     （2）      【分析】 （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而 根据相似三角形的判定与性质求出p的最大值为，同理可得p的最小值为 即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， ∵，， ∴连线的中点在的内部， ∴是P关于的关联点， ∵，， ∴的中点的纵坐标为1， ∴点P，关于对称点， ∴是P关于的关联点， ∵，， ∴中点N为，，， ∴， ∴与P关于对称， 设直线解析式为， 则 ，解得 ， ∴， ∴当时， ∴与x轴交于点， 设点O到的距离为h， 根据等面积法知， ∴， ∴不是P关于的关联点， 综上，P关于的关联点是，， 故答案为：，． ②设与交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B， 设上点的坐标为，则， 联立方程组 ， 解得 或 ， 当点P的对称点为M时，点P的横坐标最大， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得p的最小值为， 又P只能在外， ∴或； (2) 小问详解： 解∶依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ∵， 则M在半径为1的上以及圆内，M关于的关联点N， ∴的最大值为， 如图所示，当M在线段上时，取最小值， ∴， 四边形是矩形，则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最 值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．【答案】（1）①，；②或     （2）或      【分析】 （1）由相邻点定义可知：在内的点必为相邻点；在上的点不是相邻点；在外的点必须满足，其中点是的中点且；因此若半径为的有相邻点，则点与的距离应满足或； ① 分别求出点、、到点的距离即可判断； ② 根据一次函数的性质得到，，利用勾股定理求出，设点到线段的距离为，利用三角形的面积公式求出，再根据线段上所有点是的相邻点，列出关于的不等式组，即可求出的取值范围； （2）由题意得的半径为，同理（1）可得：当点与的距离满足或时，点为的相邻点；根据题意分别求出的最小值和最大值，再根据线段上所有点都是相邻点P，列出关于的不等式组，即可求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：当点在内时，由垂径定理可知，点必为的相邻点，此时； 当点在上时，即时，不存在过点P的直线l交于异于点P的A，B两点，所以点不是的相邻点； 当点在外时，设点是的中点，连接交于点，并延长交于点，连接、，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵是的弦， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∵点在外， ∴； ∴当点与的距离满足或时，点为的相邻点； ① ∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴是的相邻点有，； 故答案为：，； ② 对于， 当，则； 当，则，解得； ∴，， ∴，， ∴， 设点到线段的距离为， ∵， ∴， ∵线段上所有点是的相邻点， ∴ 或 ， 解得或； (2) 小问详解： ∵经过原点，， ∴的半径为， 同理（1）中的方法可得，当点与的距离满足或时，点为的相邻点； ∵，，， ∴，，， ∴点与线段上的点的距离最小值为1，最大值为， ∵线段上所有点都是相邻点， ∴或 ， 解得或， ∴t的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了点和圆的位置关系，圆内接四边形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一次函数的图象与性质，解一元二次不等式等知识，解题关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．C 3．【答案】（1） ，证明：， ， 平分， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）由得，由平分得，故，可证； （2）由得，代入，解出的长即可； 本题主要考查了角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ． 4．【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ；     （2）15      【分析】 本题考查图形翻折的性质、矩形的性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等： （1）证明即可； （2）设，根据相似比求出，从而可以表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵矩形性质可知， 由翻折的性质可知， ∵与的相似比为， ，得， ， 在中，， ，解得， ． 5．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ；     （2）12      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．【答案】的长为2或6或 【分析】 本题考查三角形相似性质，设，分为或两种情况，根据对应边成比例列方程解答即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． 当时，． ∴． ∴．                            当时，． ∴． ∴或． ∴的长为2或6或． 考点05 相似三角形的应用 1．【答案】① 10    ② 相似三角形对应高的比等于相似比 【分析】 本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．由相似三角形判定可得利用对应边成比例可得点O到的距离． 【详解】 解：由题意，， ∴， ∴相似比为， ∴两个三角形的对应边的高的比为， ∴点O到的距离， 计算的依据为：相似三角形对应高的比等于相似比 故答案为：10；相似三角形对应高的比等于相似比． 2．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】 解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故答案为： 3．【答案】这条河的宽度是12米 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】 解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米． 4．【答案】8 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 5．【答案】8 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．根据，得出，进而得出比例式求出即可． 【详解】 解：由题意知，米，米，米，， 则米， ∵， ∴， ∴，即， 解得（米）， 即路灯的高为8米． 故答案为：8． 6．【答案】（1） 即为所求：      （2）38米      【分析】 本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． (1) 小问详解： 解：过A作，交于C． (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 7．【答案】旗杆的高是． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形，    所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 5大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点01 图形的相似 1．（2026·北京房山·调研）若，则下列比例式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）． 由已知等式直接推导出比例式，逐一判断即可． 【详解】 解：A．由得，原比例式错误； B．由得，原比例式正确； C．由得，原比例式错误； D．由无法推导出，原比例式错误； 故选：B． 2．（2026·北京房山·调研）如果，那么的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质，由比例的性质得出是解题的关键． 由已知比例关系可得的值，再代入所给代数式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·北京通州·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质．由已知比例式，利用比例的基本性质，进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； C、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； D、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如果 ，则下列各式不成立的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是银题的关键． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果． 【详解】 解：∵ ∴设，， A、，不成立，故此选项符合题意； B、，成立，故此选项不符合题意； C、，成立，故此选项不符合题意； D、，成立，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年九上·北京延庆·期中）线段a，b，c，d的长度如下： ①，，，；   ②，，，； ③，，，； ④，，，； 以上4组数据中，能使a，b，c，d构成比例线段的有（     ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【分析】 本题考查了成比例线段的判断；其方法为：将四条线段的长度从小到大排列，若最大值与最小值的乘积等于中间两个值的乘积，则这四条线段能构成比例线段． 【详解】 解：①，，，， ，即，故成比例． ②，，，， ，即，故成比例． ③，，，； ，即，故成比例． ④，，，； ，即，故不成比例， ∴ 成比例的有3组． 故选C 6．（25-26学年九上·北京延庆·期中）已知，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比例的性质，由已知条件，通过等式变形，验证比例式是否成立． 【详解】 解：∵， ∴， ∴两边同时除以，得，即， ∴ 比例式一定成立， 故选B 7．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】 解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出比例方程，设它的下部的高度应设计为，则上部高为，根据题意得，解题的关键是根据比例关系正确列出等式． 【详解】 解：设它的下部的高度应设计为，则上部高为， 根据题意得， 故选：． 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为　　　　　　（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ∵点B为的黄金分割点， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·北京延庆·期中）若点是线段的黄金分割点（），，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由黄金分割点可知 ，求解即可． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 解得： 故答案为： ． 【点睛】 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 11．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如果，那么　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由已知条件，将所求式子拆分为，即，然后代入计算． 【详解】 解：因为， 所以 ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）已知，且，求x，y，m的值． 【答案】，， 【分析】 本题考查了比例的性质，设，，，根据得出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴设，，， ， 解得， ，，. 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，是解题的关键．先根据平行线分线段成比例定理得出，再将数据代入得出答案即可． 【详解】 解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点D，E，F，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由平行线判断成比例的线段．根据由平行线判断成比例的线段进行解答即可． 【详解】 解：∵直线， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】 解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，直线交于点O，．若，，．则的值为　　　　　　． 【答案】.75 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在中，，如果，那么　　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 6．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… （1）情况①中的依据指：_______． （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． （3）如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．     （2） 证明：作交于， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）如图2中，作交于，模仿情况① 的方法解决问题即可； （3）利用梅氏定理即可解决问题． (1) 小问详解： 解：情况① 中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2026·北京房山·调研）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2026·北京房山·调研）在中，，，点D是边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明； （2）如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明．    【答案】（1） ，证明： ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段． ∴ ， ，      （2） ① 补全图形如图： ②，证明：连接，取中点G，连接，， 同理 点G为中点       【分析】 （1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据三角形的外角的性质可得，根据即可求解． （2）① 根据题意画出图形，即可求解； ② 连接，取中点G，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据证明，结合，证明，进而根据平行线分线段成比例，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2026·北京房山·调研）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【答案】2 【分析】 本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】 解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 10．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”． （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； （2）的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； （3）如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据新定义即可求解； （2）由题意确定点的位置，再用勾股定理即可求解； （3）连接，过点P作，交x轴于点B，求出点P所在的位置，得到若直线与线段有公共点，则直线与有交点，从而求出b的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据“外倍线”定义可知： ∴，是的“外倍线”， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，由（）得：     如图，点在以为圆心，半径为的圆上，该圆与直线在第一象限的交点的纵坐标为：， 根据对称性可知第四象限的交点的纵坐标为：， ∴； (3) 小问详解： 解：连接，过点P作，交x轴于点B， ∵，点M是的中点，， ∴， ∴点A是中点，， ∵， ∴， ∵， ∴点P在以A为圆心，2为半径的圆上， 若直线与线段有公共点，则直线与有交点， 作直线与只有唯一一个交点P，交x轴于点C， ∴是的切线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点C的坐标为 把代入，得， 得直线的解析式为， 同理可得的解析式为， 若直线与有交点，则b的取值范围是． 【点睛】 本题考查了新定义的概念，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，本题的关键在于理解新定义的概念，从而画出图象解题． 11．（2026·北京房山·调研）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：Q为图形W上一点，直线与图形W交于点（点P，Q，互不重合）．若，则称点P为图形W的“k倍伙伴点” （1）已知点，，． ①在点，，中，________是正方形的“2倍伙伴点”； ②若点P是正方形的“2倍伙伴点”，则的最大值为________． （2）已知点，，，，，，若线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；②     （2）或      【分析】 本题考查对新定义的理解，平行线分线段成比例定理，两点之间的距离，点到直线的距离，正方形的性质和判定，解题的关键是正确理解新定义． （1）① 根据“2倍伙伴点”的定义、平行线分线段成比例定理和两点之间的距离，即可求解； ② 若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q，此时，再根据正方形的性质求解即可； （2）分类讨论，找出临界状态：① 当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，交与点；② 当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点；③ 当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q与在边上，直线交与点；④ 当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q与在边上，直线交与点． (1) 小问详解： 解：①如图所示，，当点Q为正方形的边上任意一点（点B除外）时，与交于点， ∵，， ∴，即点总是的中点， ∴ ∴是正方形的“2倍伙伴点”； ，当点Q为正方形的边上且与交于点时 ∵，， ∴， ∴， ∵此时不符合题意，且为最大值了，当点Q为正方形的边上时，更不符合题意了， ∴不是正方形的“2倍伙伴点”； 此点在正方形内部，当点Q在上且点在或者点Q在上且点在时， ∵，且正方形边长为1， ∴， ∴， ∴是正方形的“2倍伙伴点”. 综上：、是正方形的“2倍伙伴点”. ② 如图所示，若点P是正方形的“2倍伙伴点”， 若要取最大值，则点在正方形上离点O最远，即为点B，此时点O即为点Q 此时，如图所示， ∵， ∴. (2) 小问详解： 解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵的中点坐标为即，的中点坐标为即， ∴与互相平分， 又∵， ∴四边形是正方形，且正方形的边长为， ∵、，点E、点H的横坐标和纵坐标相等， ∴点E、点H在直线上，即直线解析式为， ∵，，， ∴直线解析式为，直线解析式为， ∵，， 又∵， ∴点N在点M的上方， 线段上存在点P是四边形的“3倍伙伴点”，我们不妨来寻找临界状态， ① 当线段在正方形的左下方，第一个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，交与点，如图所示： 过N点作交y轴于点，过点作，与y轴交于点I， ∵直线解析式为， ∴ ∵， ∴直线的解析式为 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴，即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍， ∵正方形的边长为， ∴点Q到的距离为， ∴P到的距离为，P到的距离即为， ∴ 解得： ∴当时，正方形会向右上运动，点N会向左下运动，此时P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ② 当线段在正方形的内部，第二个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过M点作，与y轴交于点， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为 ∴， 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ③ 当线段在正方形的内部，第三个临界状态是：当点P与点N重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过点N作，交y轴于点，过点作， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的4倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为， ∴ 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得N点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， ④ 当线段在正方形的右上方，第四个临界状态是：当点P与点M重合，点Q在边上，直线交与点，如图所示： 过点M作， 同理可得：， ， 此时若点P是四边形的“3倍伙伴点”，则， ∴即点Q到的距离等于点P到的距离的2倍， ∵点Q到的距离为， ∴点P到的距离为，点P到的距离即为， ∴， 解得：， ∴当时，点P到的距离大于，此时在上不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”，Q在上时Q到的距离小于，更不存在Q点，使得M点成为四边形的“3倍伙伴点”， ∴， 综上：或． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【分析】 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】 A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意； D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法，并能熟练运用是解题的关键． 2．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（2026·北京房山·调研）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故A能判定与相似，不符合题意； ∵，， ∴， 故B能判定与相似，不符合题意； ∵，条件未给出， ∴不能判定， 故C不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， 故D能判定与相似，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】 解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知平行四边形中，点在上，且，与交于点．若，则的长为（       ） A. 2 B. 1 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键． 根据平行四边形性质，易得，再由相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，即， ． ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 6．（2026·北京房山·调研）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．根据中位线的性质可得，进而证明得出，，设，则，，进而表示出的面积，即可求解． 【详解】 解：∵是的中位线， ∴， ∴ ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴ 故选：D． 7．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，正方形的边长是3．点是延长线上一点，延长至点，使，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明得到，进而可判断① ；证明得到，进而可判断② ；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③ 正确；根据相似三角形的性质得到，求得，进而可求出的值，故④ 正确． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴ ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴=， 即． 故② 正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③ 正确； ∵， ∴． ∵， ∴==， ∴， ∴． ∴，故④ 正确． 故选D． 8．（2026·北京房山·调研）如图，与交于点O，，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长． 【详解】 解：，， ， ， ，，， ， ． 9．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是　　　　　　．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，点在边上，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长． 【详解】 解：，， ， ，即， 解得：． 11．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据平行线的性质得出，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可． 【详解】 略 12．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比　　　　　 【答案】 【分析】 根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】 ∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 13．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 【答案】证明：∵于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点，于点，以及，得出，再结合，则，故，即可作答． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，，交于点E，，，，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 15．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】 略 16．（2026·北京房山·调研）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在x轴的负半轴上，且，则点B的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线交的延长线于点， ∵点A的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 17．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在矩形中，若，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】 解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 【答案】证明：∵正方形， ∴； ∵， 设，则， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，再结合正方形的性质证明，再进一步求解即可. 【详解】 略 19．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． （1）图中有_____对相似三角形； （2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 【答案】（1）     （2）相似， 如图， ∵、分别为的两条高， ， ∵， ∴， ， ， ∵． ∴．      【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解； （2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证 (1) 小问详解： 解：图中有对相似三角形 ∵、分别为的两条高， ， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴共6对相似三角形， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在中，，，．过点B作，过点D作于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，然后根据，即可得到两三角形相似； （2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 21．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，，相交于点O，于点C，于点D，如果，的面积是3，那么的面积是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，．求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】 略 23．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【答案】（1） 如图1，即为所求．      （2） 如图2，即为所求． 【分析】 本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：过作交的延长线于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，，如果，那么的长是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由，可得，根据可知，从而可求，根据可求结果． 【详解】 解：如下图所示，过点作，交于点，交于点， ， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 26．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，在正方形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）取的中点，连接，用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示；      （2） 证明：由题意得，， ． 四边形是正方形， ， ， ；     （3）， 证明：如图，连接， 四边形是正方形， 且， ． 由题意得，是等腰直角三角形， 且， ， ． ， ． ， ． 点是的中点， ， 即， ， ．      【分析】 本题主要考查了旋转，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意作旋转所得直线并连接即可； （2）利用同角的余角相等即可证明； （3）根据等腰直角三角形的性质得直角边和斜边成比例，结合夹角相等证明三角形相似，利用相似的性质即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·北京通州·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ；     （2）．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 28．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）已知，如图，是等边三角形． （1）如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； （2）如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 【答案】（1） ① 补全图形如图所示： ②； ③ 结论：． 理由：作交于K，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）①根据要求画出图形即可； ②证明，，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； ③ 结论：．作交于K，连接．证明，即可解决问题； （2）结论：．过点A作，交的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可． (1) 小问详解： 解：①略 ②如图1中， ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，． ∴，， ∴， ∴； ③ 略 (2) 小问详解： 解：结论：． 理由：过点A作，交的延长线于点F（如图3）． ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求的长度． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到和的长，再根据平行线法证得，然后由相似三角形的性质得，结合已知条件，即可求出的长，进而求出的长． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 30．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）在和中，，点P在上，且．连接交于点Q． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，当A，P，C 三点共线时，求 的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是等腰三角形；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得到，再证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明，即可求解； （3）显然，而，因为，那么，设，则 ，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， 又∵， 解得； (3) 小问详解： 解：∵， ， ， 又∵， ， 设， 则 ， 解得或 (不符合题意，舍去)， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 31．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． （1）求证：； （2）若是的切线． ①求证：； ②若，，是的中点，则的半径为             ． 【答案】（1） 证明：平分， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ；     （2） ① 证明：如下图所示，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由知：， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； ②．      【分析】 （1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似三角形的判定定理解答即可； 连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得，的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略； 解：如下图所示，连接并延长交于点，过点作于点，连接， 由可知， 又， ， ， ， ，， ， ， 由知：， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，切割线定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 32．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在边上，以O为圆心的圆经过A，D两点，交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，当时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的半径为3， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 33．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为1，P是外一点，给出如下的定义：若在上存在一点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在上，则称Q为点P关于的关联点． （1）当点P在直线上时． ①若点，在点，，中，点P关于的关联点是                 ； ②若P关于的关联点Q存在，求点P的横坐标p的取值范围． （2）已知点，动点M满足，若M关于的关联点N存在，直接写出MN的取值范围． 【答案】（1）①，；②或     （2）      【分析】 （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而 根据相似三角形的判定与性质求出p的最大值为，同理可得p的最小值为 即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， ∵，， ∴连线的中点在的内部， ∴是P关于的关联点， ∵，， ∴的中点的纵坐标为1， ∴点P，关于对称点， ∴是P关于的关联点， ∵，， ∴中点N为，，， ∴， ∴与P关于对称， 设直线解析式为， 则 ，解得 ， ∴， ∴当时， ∴与x轴交于点， 设点O到的距离为h， 根据等面积法知， ∴， ∴不是P关于的关联点， 综上，P关于的关联点是，， 故答案为：，． ②设与交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B， 设上点的坐标为，则， 联立方程组 ， 解得 或 ， 当点P的对称点为M时，点P的横坐标最大， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得p的最小值为， 又P只能在外， ∴或； (2) 小问详解： 解∶依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ∵， 则M在半径为1的上以及圆内，M关于的关联点N， ∴的最大值为， 如图所示，当M在线段上时，取最小值， ∴， 四边形是矩形，则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最 值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若存在过点P的直线l交于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为的相邻点，直线l为关于点P的相邻线． （1）当的半径为1时， ①分别判断在点，，中，是的相邻点有________． ②直线与x，y轴分别交于点G，H，若线段上所有点是的相邻点，直接写出b的取值范围； （2）已知点，，，经过原点，线段上所有点都是相邻点P，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；②或     （2）或      【分析】 （1）由相邻点定义可知：在内的点必为相邻点；在上的点不是相邻点；在外的点必须满足，其中点是的中点且；因此若半径为的有相邻点，则点与的距离应满足或； ① 分别求出点、、到点的距离即可判断； ② 根据一次函数的性质得到，，利用勾股定理求出，设点到线段的距离为，利用三角形的面积公式求出，再根据线段上所有点是的相邻点，列出关于的不等式组，即可求出的取值范围； （2）由题意得的半径为，同理（1）可得：当点与的距离满足或时，点为的相邻点；根据题意分别求出的最小值和最大值，再根据线段上所有点都是相邻点P，列出关于的不等式组，即可求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：当点在内时，由垂径定理可知，点必为的相邻点，此时； 当点在上时，即时，不存在过点P的直线l交于异于点P的A，B两点，所以点不是的相邻点； 当点在外时，设点是的中点，连接交于点，并延长交于点，连接、，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵是的弦， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∵点在外， ∴； ∴当点与的距离满足或时，点为的相邻点； ① ∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴是的相邻点有，； 故答案为：，； ② 对于， 当，则； 当，则，解得； ∴，， ∴，， ∴， 设点到线段的距离为， ∵， ∴， ∵线段上所有点是的相邻点， ∴ 或 ， 解得或； (2) 小问详解： ∵经过原点，， ∴的半径为， 同理（1）中的方法可得，当点与的距离满足或时，点为的相邻点； ∵，，， ∴，，， ∴点与线段上的点的距离最小值为1，最大值为， ∵线段上所有点都是相邻点， ∴或 ， 解得或， ∴t的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了点和圆的位置关系，圆内接四边形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一次函数的图象与性质，解一元二次不等式等知识，解题关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·北京通州·期中）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据“两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解即可． 【详解】 解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为； 故选C． 2．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】 解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 3．（2026·北京房山·调研）如图，中，平分，，，． （1）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）求的长． 【答案】（1） ，证明：， ， 平分， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）由得，由平分得，故，可证； （2）由得，代入，解出的长即可； 本题主要考查了角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ． 4．（2026·北京房山·调研）如图，点M是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点D落在边上，记作点N． （1）求证：； （2）若与的相似比为，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ；     （2）15      【分析】 本题考查图形翻折的性质、矩形的性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等： （1）证明即可； （2）设，根据相似比求出，从而可以表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵矩形性质可知， 由翻折的性质可知， ∵与的相似比为， ，得， ， 在中，， ，解得， ． 5．（25-26学年九上·北京昌平一中学·期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ；     （2）12      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，在矩形中，，，点E在上，且，若边上的点F使得以F，A，B为顶点的三角形和以F，D，E为顶点的三角形相似，求的长． 【答案】的长为2或6或 【分析】 本题考查三角形相似性质，设，分为或两种情况，根据对应边成比例列方程解答即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． 当时，． ∴． ∴．                            当时，． ∴． ∴或． ∴的长为2或6或． 考点05 相似三角形的应用 1．（2026·北京房山·调研）在物理课上同学们曾学过小孔成像（图1）．如图2，如果蜡烛火焰的高度为，倒立的像的高度为，小孔O到火焰的距离为，则小孔O到像的距离为　　　　　　　　，计算依据是　　　　　　　　． 【答案】① 10    ② 相似三角形对应高的比等于相似比 【分析】 本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．由相似三角形判定可得利用对应边成比例可得点O到的距离． 【详解】 解：由题意，， ∴， ∴相似比为， ∴两个三角形的对应边的高的比为， ∴点O到的距离， 计算的依据为：相似三角形对应高的比等于相似比 故答案为：10；相似三角形对应高的比等于相似比． 2．（25-26学年九上·北京通州·期中）（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】 解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故答案为： 3．（25-26学年九上·北京延庆·期中）如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】 解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米． 4．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是　　　　　　　　里． 【答案】8 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·北京昌平二中教·期中）如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为　　　　　米． 【答案】8 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．根据，得出，进而得出比例式求出即可． 【详解】 解：由题意知，米，米，米，， 则米， ∵， ∴， ∴，即， 解得（米）， 即路灯的高为8米． 故答案为：8． 6．（2026·北京房山·调研）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． （1）在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； （2）根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】（1） 即为所求：      （2）38米      【分析】 本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． (1) 小问详解： 解：过A作，交于C． (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 7．（25-26学年九上·北京通州·期中）在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高是． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形，    所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $