专题09 随机事件的概率（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦随机事件的概率专题，汇编北京多所中学期中试题，涵盖4大高频考点，情境融合科技（天宫课堂）、社会热点（防汛救灾）与文化（二十四节气），注重真实问题的概率建模。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题|随机事件判断（如不在同一直线三点确定圆）、概率计算（摸球概率）|结合交通信号灯、掷骰子等生活场景，基础巩固性强| |填空题|5题|频率估计概率（林业移植成活率）、简单随机事件概率（硬币正反面）|数据表格呈现频率稳定性，培养数据意识| |解答题|5题|列举法求概率（志愿者分组、邮票抽取）、综合应用（转盘游戏、抽签选志愿者）|通过树状图/列表解决航天模块选择、二十四节气邮票抽取等问题，体现模型思想与文化传承|

专题09 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．【答案】随机 【分析】 本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】 解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件， 故答案为随机． 考点02 概率 1．A 考点03 用列举法求概率 1．D 2．C 3．【答案】 【分析】 蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可． 【详解】 解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画树状图如下：    ∵颜色恰好都发生变化的是取到的情况有两种，共有12种等可能情况， ∴颜色恰好都发生变化的概率是， 故答案为： 【点睛】 此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到有两枚硬币全部反面向上的概率. 【详解】 画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部反面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部反面向上的概率=． 故答案为． 【点睛】 本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性. 5．【答案】（1）随机；     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式 （1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，小东被分配到组是随机事件． 小东被分配到组的概率是． 故答案为：随机；． (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种， 小东和小北被分配到同一组的概率为． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率， （1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可； （2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可； 熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵从、、三个模块中随机选择一个， ∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下：    共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种， ∴小明和小亮选择相同模块的概率． 7．【答案】（1）随机     （2）      【分析】 本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． (1) 小问详解： 解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 8．【答案】 【分析】 先画出树状图，则可得两次摸出的小球标号的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球标号之和等于5的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球标号共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球标号之和等于5的结果有4种， 所以两次摸出的小球标号之和等于5的概率为． 9．【答案】（1） 列表如下： 共有9种等可能的情况数；     （2）① 小明获胜的可能性大， 理由如下： 当时，，，， ∴的情况有4种，概率为， 的情况有5种，概率为， ∵，则小红获胜；若，则小明获胜，， ∴小明获胜的可能性大； ②      m 1 m 1 【分析】 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可； （2）① 根据概率公式求出小明和小红获胜的概率，再进行比较，即可得出答案； ② 如果小红获胜的可能性比小明大，则，解不等式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的情况数； m 1 m 1 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵由（1）可得9种情况中，，，满足，满足， ∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足， ∴，， 解得， 即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． (1) 小问详解： 解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意画树状图如下：     由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，， 故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为． 11．【答案】（1）不可能；随机；；（2） 【分析】 （1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率； （2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得． 【详解】 （1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件， “小悦被抽中”是随机事件， 第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为， 故答案为不可能， 随机， ； （2）画树状图如下： 由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能， 所以“小惠被抽中”的概率是: ． 【点睛】 本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点04 用频率估计概率 1．B 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）下列事件中，为必然事件的是（       ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 2．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 3．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（       ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 4．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上 5．（25-26学年九·北京东城）下列事件中，是不可能事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中9环 C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是360° 6．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是　　　　　　　　　　事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 考点02 概率 1．（25-26学年九·北京东城）一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（   ） A.  B.  C.  D.  考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面向上的概率是　　　　　　． 5．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组． （1）小东被分配到组是                      事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)； 小东被分配到组的概率是                       ． （2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率． 6．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习． （1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________； （2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 7．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 8．（25-26学年九·北京东城）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 9．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号． （1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围． m 1 m 1 m 1 m 1 10．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______； （2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 11．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加. 抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）该班男生“小刚被抽中”是                      事件，“小悦被抽中”是                       事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为               ； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率(精确到)                                                         下列说法正确的是（　　） A. 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C. 移植的幼树越多，成活率越高 D. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）下列事件中，为必然事件的是（       ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】C 【分析】 本题考查事件的分类，正确掌握各事件的定义即可解题． 【详解】 解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪为随机事件，不符合题意． B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯为随机事件，不符合题意． C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆为必然事件，符合题意． D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7为不可能事件，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：A、属于随机事件，故本选项不符合题意； B、属于随机事件，故本选项不符合题意； C、属于必然事件，故本选项符合题意； D、属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（       ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 【答案】B 【分析】 本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键． 【详解】 解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则 A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意； B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意； C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意； D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上 【答案】A 【分析】 本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可． 【详解】 解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意； B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意； D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意； 故选A． 5．（25-26学年九·北京东城）下列事件中，是不可能事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中9环 C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是360° 【答案】D 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件； B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件； C、明天会下雨，是随机事件； D、因为三角形的内角和是180°，所以度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件． 故选D． 6．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是　　　　　　　　　　事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】 本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】 解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件， 故答案为随机． 考点02 概率 1．（25-26学年九·北京东城）一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 解：由题意知，共有4个球，每次摸到一个一共能摸到4次，而红球有两个， ∴． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率． 【详解】 同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=． 故选：D． 考点：概率的计算． 【点睛】 本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P． 2．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键．从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解． 【详解】 解：由题意知，，两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况， 分别是：直行右转，直行直行，右转右转，右转直行， 因此经过该路口的两辆汽车都右转的概率为． 故选：C． 3．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可． 【详解】 解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画树状图如下：    ∵颜色恰好都发生变化的是取到的情况有两种，共有12种等可能情况， ∴颜色恰好都发生变化的概率是， 故答案为： 【点睛】 此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键． 4．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面向上的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到有两枚硬币全部反面向上的概率. 【详解】 画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部反面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部反面向上的概率=． 故答案为． 【点睛】 本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性. 5．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组． （1）小东被分配到组是                      事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)； 小东被分配到组的概率是                       ． （2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率． 【答案】（1）随机；     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式 （1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，小东被分配到组是随机事件． 小东被分配到组的概率是． 故答案为：随机；． (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种， 小东和小北被分配到同一组的概率为． 6．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从：“梦圆天路”、：“飞天英雄”、：“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习． （1）小明同学选择：“探秘太空”模块的概率是_________； （2）用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的计算、画树状图或列表法求概率， （1）根据题意所有模块数是个，选择的概率，则根据概率的计算公式进行计算即可； （2）根据题意画树状图或列表的方法得出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可； 熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵从、、三个模块中随机选择一个， ∴小明同学选择：“探秘太空”模块的概率． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下：    共有种可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有种， ∴小明和小亮选择相同模块的概率． 7．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）随着中考的临近，为了给即将参加中考的学生加油鼓励，九年级（1）班的班长制作了一个如图所示质地均匀的转盘（转盘被平均分成四等份），再将“中考加油”四个字分别写在每个扇形上，让班上的每个同学自由转动两次转盘，转盘停止后，指针所指扇形区域内的字即为转出的字（若指针指向分割线，则不计次数，重新转动，直至指针指向某一扇形区域为止）． （1）该班的小敏同学转动一次转盘，转出的字为“考”属于______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）该班的小凡同学转动转盘两次，利用列表或画树状图的方法求小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的概率． 【答案】（1）随机     （2）      【分析】 本题主要考查了事件的分类，利用列表或画树状图求概率等知识点，解题的关键是熟练掌握事件的分类和求概率的方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）画树状图进行求概率即可． (1) 小问详解： 解：该事件属于随机事件， 故答案为：随机； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”的结果有4种， ∴P（小凡同学两次转出的字可以组成词语“中考”或“加油”． 8．（25-26学年九·北京东城）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 【答案】 【分析】 先画出树状图，则可得两次摸出的小球标号的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球标号之和等于5的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球标号共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球标号之和等于5的结果有4种， 所以两次摸出的小球标号之和等于5的概率为． 9．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号． （1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 列表如下： 共有9种等可能的情况数；     （2）① 小明获胜的可能性大， 理由如下： 当时，，，， ∴的情况有4种，概率为， 的情况有5种，概率为， ∵，则小红获胜；若，则小明获胜，， ∴小明获胜的可能性大； ②      m 1 m 1 【分析】 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可； （2）① 根据概率公式求出小明和小红获胜的概率，再进行比较，即可得出答案； ② 如果小红获胜的可能性比小明大，则，解不等式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的情况数； m 1 m 1 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵由（1）可得9种情况中，，，满足，满足， ∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足， ∴，， 解得， 即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为． 10．（25-26学年九上·北京第十五中学·期中）二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______； （2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． (1) 小问详解： 解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意画树状图如下：     由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，， 故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为． 11．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加. 抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）该班男生“小刚被抽中”是                      事件，“小悦被抽中”是                       事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为               ； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率． 【答案】（1）不可能；随机；；（2） 【分析】 （1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率； （2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得． 【详解】 （1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件， “小悦被抽中”是随机事件， 第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为， 故答案为不可能， 随机， ； （2）画树状图如下： 由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能， 所以“小惠被抽中”的概率是: ． 【点睛】 本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率(精确到)                                                         下列说法正确的是（　　） A. 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C. 移植的幼树越多，成活率越高 D. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【分析】 本题考查用频率估计概率．根据统计数据，随着移植总数增加，成活频率在0.900附近摆动并趋于稳定，因此可用频率估计概率． 【详解】 解：∵ 从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为，均在左右摆动，显示出稳定性； ∴ 可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，故选项B正确． 选项A错误，因为成活数不一定为90棵，频率具有随机性； 选项C错误，因为成活率并非单调递增，如从3500到7000时频率下降； 选项D错误，因为基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如）． 故选：B． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $