专题06 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，北京专用）九年级数学上学期

**基本信息** 汇编北京多所重点中学九上期中试题，聚焦直线与圆位置关系三大考点，融合文化情境（如抖空竹非遗）与创新定义（如“相关对称点”“倍关联点”），梯度覆盖基础判断到综合证明应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约5题/20分|正多边形性质、切线角度计算|结合地球回归线模型考查切线应用| |填空|约10题/30分|直线与圆位置关系、切线长定理|设计“外切四边形周长”等中档题| |解答|约15题/50分|切线判定与性质、尺规作图|含“过圆外一点作切线”作图证明及新定义综合题|

专题06 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．【答案】相交 【分析】 此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 2．【答案】相离 【分析】 在中，，因此点A到直线的距离等于，比较点A到直线的距离与的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 3．【答案】（1）（1）①，；②     （2）或      【分析】 （1）先求出的轨迹；①求出，然后比较，，，找出与相等的点即可； ②得出轨迹的范围，求出直线与圆弧相切以及经过下端点时的值，从而得到的取值范围； （2）根据（1）得出的轨迹范围，从而得到点的位置范围，进而求得的取值范围． (1) 小问详解： 解：点关于直线的对称点为， ， 在以为圆心，为半径轴右侧的圆弧上， （1）①，， ， ，，，， ，是关于的“相关对称点”； 故答案为：，； ②取点关于的对称点， 在上， 如图： 当直线过点时，， 当直线在第一象限与相切时，设切点为，直线与轴交点为， ， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：设的轨迹为， ， 由（1）知，， ， 当在上时，， ， 当在或上时，如图： ， ， ， ，， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了动点轨迹，圆的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识点，根据新定义求出要求的点的轨迹是本题解题的关键． 考点02 圆的切线 1．D 2．B 3．B 4．C 5．【答案】43 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 根据切线长定理，进行求解即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴四边形的周长， ． 【点睛】 本题考查切线长定理．熟练掌握切线长定理，是解题的关键． 7．【答案】70° F度 【分析】 连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：70°． 【点睛】 本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】 解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， ， 的周长： ， 故答案为：14． 9．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】（1）如下图即为所求；         （2）；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 11．【答案】50 【分析】 连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD． 【详解】 解：连接OC、OD，如图， ∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D， ∴OC⊥CP，OD⊥DP， ∵OP=OP，OC=OD， ∴△POC≌△POD(HL)， ∴∠CPO=∠DPO， ∵∠CPA=40°， ∴∠CPD=80°， ∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°， ∵∠CAD=∠COD=50°， 故答案为：50． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 12．【答案】①；② ；③ 直径所对的圆周角是直角；④ ；⑤ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】 本题考查了圆的切线的证明，连接．证明是的直径即可．理解题意是解题关键； 【详解】 证明：连接． ∵， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴．（直径所对的圆周角是直角；） ∴ ∵是的半径， ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 13．【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．【答案】（1） 图形如图所示：      （2）；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查切线的判定，熟练掌握连半径证垂直判定切线是解题的关键； （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 16．【答案】（1） 补全图形如下：      （2）90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得； （2）先根据圆周角定理可得，再根据圆的切线的判定定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） 如图，、为所作；      （2） 90；直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．      【分析】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1） 证明：∵C，A，D，F在上，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定与性质． （1）由题意证明半径，即可根据切线的判定定理证明是的切线； （2）根据题意连接，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形是矩形，最后结合图形求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵直径于E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 19．【答案】（1） 证明：连接 ∵是的直径， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理，求出，利用等腰直角三角形的性质求得，过点B作于F，利用30角的直角三角形的性质得，得，即得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过B作于F， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 20．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ， ∵ 平分， ， ， ， ， ， ∴是的切线；     （2）5；      【分析】 本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质． （1）连接，根据已知条件及各角之间的关系证明即可解决问题； （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长是 21．【答案】 【分析】 本题考查了圆与菱形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，圆切线性质，勾股定理，是解题的关键． 根据菱形性质和得是等边三角形，得，根据直径和中点性质，得，，根据切线性质和勾股定理可得． 【详解】 解：连接， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图所示：、即为所求．      （2），垂直，      【分析】 本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． (1) 小问详解： 解：（1）略； (2) 小问详解： 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ， ． 故答案为：，垂直，． 23．【答案】（1）证明：∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC， ∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB． ∵OA为半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）． 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论； （2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝， ∴OP＝2． 设AB＝x，则OB＝x＋2． 在Rt△AOB中，， ∴x＝3,即AB＝3． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键． 24．【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵平分 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵于点， ，即 是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，得到，得，根据于点即可得，即可得证． （2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵，    , ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，作出恰当的辅助线是解决问题的关键． 25．【答案】 【分析】 由切线长定理知PA=PB，PO平分∠APB，由切线的性质及锐角三角函数即可求得PA的长，从而得PB的长． 【详解】 ∵PA，PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，且PO平分∠APB ∴∠APO= ∵OA⊥PA ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，掌握切线的性质是关键． 26．【答案】（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作； （2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理． 【分析】 （1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键． 27．【答案】（1） 证明：连接， ， ． ， ． ． 是的直径，是的中点， ，即 ， 为的切线．     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）连接．证明即可； （2）设的半径为，则，在中，， 可得，再根据勾股定理可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接． 设的半径为，则． 在中，， 解得． 是的直径， ， 是的中点， ． 为的中点， ， 又， ， 又是直径，是的中点， 过作交于 则， ， 由勾股定理得． 28．【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）4      【分析】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． （1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）根据勾股定理和含有的直角三角形的边长比，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为4． 29．【答案】（1）①或；②     （2）或      【分析】 （1）① 根据定义可知点M到点P的距离为2，结合点M在x轴上，即可解答； ② 设点M是点P的2倍关联点，则点M在以点P为圆心，半径是2的圆上，进而可推出当直线与相切时，b分别取得最大值和最小值，然后根据切线的性质、一次函数的性质以及勾股定理求得点P到直线与x轴的交点的距离，从而得到直线与x轴交点的坐标，即可求得对应的b值； （2）根据可推出线段上所有的点都在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上）时，满足题意，同（1）② 可知，，然后求得当点A、B在分别在y轴的正半轴、x轴的负半轴，且在半径为3的上时，b的值；当直线与半径为1的相切于第二象限，切点为点C时，设此时直线与x轴、y轴的交点为、，连接，同（1）② 可求得此时的b的值，再根据圆的对称性即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① ∵点P的坐标为， ∴点P到原点的距离为1， ∴点M是点P的2倍关联点， ∴点M到点P的距离为2， 又∵点M在x轴上， ∴点M的横坐标为或， ∴点M的坐标为或； ② 设点M是点P的2倍关联点， ∵点M到点P的距离是2， ∴点M在以点P为圆心，半径为2的圆上，如图， 则当直线与相切时，b分别取得最大值和最小值， 设切点分别为点A、B，直线分别交x轴于点C、D，交y轴于点E，连接、， 则， 对于直线，当时，；当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C坐标代入直线， 得， 解得； 同理可得，， ∴点D的坐标为， 把D的坐标代入直线， 得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点P到原点O的距离为2，即点P在以O为圆心，半径为2的圆上， ∴不妨设设点M是点P的倍关联点， ∴点M到点P的距离是1， ∴点M在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上），如图， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段上所有的点都是点P的倍关联点， ∴线段上所有的点都在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上）时，满足题意， 同（1）② 可知，， ∴当点A、B在分别在y轴的正半轴、x轴的负半轴，且在半径为3的上时，如图， 此时点B的坐标为，代入直线，得， 当直线与半径为1的相切于第二象限，切点为点C时， 设此时直线与x轴、y轴的交点为、，连接，如图， 同（1）② 可知，，， ∴， ∴点的坐标为，代入直线，得 ∴当时，满足题意； 由圆的对称性可知，当，也满足题意， 综上所述，b的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了“k倍关联点”的定义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，理解新定义，灵活利用以上知识点，采用数形结合的思想方法是解题的关键． 30．【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接．利用角的平分线，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，证明正三角形，作于，得矩形，根据勾股定理解答即可． 本题考查了切线的判定，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 为中点， ， ， 得正三角形， ， 作于， 得矩形， ， ， ． 31．【答案】（1）①，          ②     （2）或      【分析】 本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、一次函数综合、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握上述知识点并能分类讨论对应情况是解题的关键． （1）① 根据“倍及点”的定义验证即可； ② 根据题意作出两个正方形，在满足条件的点中找到离原点最远的点； （2）分两种情况讨论，作出对应矩形，可证明满足条件的点的轨迹为一个圆，找出直线的临界位置，即可求出的最值． (1) 小问详解： ① 由题意知，， 设交轴于点，连接，可知， ，， 且，， 则有，， ∴、是弦的“倍及点”． ② 如图：以为边分别向左和向右作正方形和正方形，可知正方形边长为， 由题意知，线段和线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 其中点和点距离点最远，且， ∴的最大值为． (2) 小问详解： ① 当线段在如下图所示位置时， 以为边向上作矩形，其中， 连接、， ∵，，， 易得且，为等边三角形， 同理， ∴点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； ② 当线段在如下图所示位置时， 同理可得点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 过点作延长线于点，则有 ，， 又∵， ∴， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； 当线段与轴垂直于点时，为临界位置， 直线经过点时，有最小值， 此时， ∴； 则有：； 综上所述，或． 32．【答案】（1）①，，②或     （2）或或      【分析】 本题考查了新定义，点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的张角点且其与的张角值大于，进而根据切线的性质，解，即可求得，即可求解． ②根据张角点不能是圆上的点可以得出，点B满足条件，由此即可求解； （3）由（1）可得，当线段在内，线段上的点与的张角值等于，符合题意，然后分别算出E、F在上临界位置，当E在上时，或，当F在上时，，然后分：，，，，讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：设的半径为， 根据定义可得：当在上，即时，不存在都有， 当在内部，即时，如图1，是过点的任意弦，此时，故，即此时的张角值为， 当在的外部时，为的切线时，如图2，此时最大，故； 当时，连接、，设的半径为， ∵、是的切线， ∴，， ∴当时，四边形是正方形， ∴当时，， ∴当时，， 当时，， ① ∵点，，， ∴，∴点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值， ∵点，即， ∴， ∴点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值， ∵、为的切线， ∴， ∴ ∴，即与的张角值为， ∵点，，∴，∴点不是⊙O的张角点， 综上所述：点，，中，点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值大于90°，该点与⊙O的张角值为； ② ∵点B在直线上，点B的横坐标m， ∴点B坐标为，， ∵任意长度小于1的线段，上所有的点都是⊙O的张角点， 当点B在圆内时，∵，∴此时没有满足条件的点B． 当点B在圆外时，若，则以点B为圆心，半径为1的圆与相切或相离，此时点B满足条件， 即，解得或 (2) 小问详解： 解：当线段上所有点在内部时，此时线段上所有点均为的张角点，且张角值等于，符合题意， 当E在上时，， 解得或， 当F在上时，， 解得， ∴当时，线段在内部，符合题意； 当或时，线段与相交，不符合题意，舍去； 当时，此时到T越近的点，存在张角点，且张角值更大，则当F与的张角值即可， 此时临界状态（与相切），则， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，此时E与的张角值即可， 此时临界状态（与相切），则， ∴， ∴（正值舍去）， ∴ 综上所述，或或． 考点03 正多边形与圆 1．D 2．A 3．C 4．【答案】 【详解】 连接OA，作OM⊥AB于点M， ∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm ∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm 在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°， ∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm) 故答案为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是　　　　　　　　（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【分析】 此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是　　　　　． 【答案】相离 【分析】 在中，，因此点A到直线的距离等于，比较点A到直线的距离与的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）对于等边，给出如下定义：为边上动点，点关于直线的对称点为，称为关于的“相关对称点”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，若，，． ①中是关于的“相关对称点”的有_____． ②若直线上存在关于的“相关对称点”，求的取值范围． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，，，的半径为,在上，，若上存在关于的“相关对称点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）（1）①，；②     （2）或      【分析】 （1）先求出的轨迹；①求出，然后比较，，，找出与相等的点即可； ②得出轨迹的范围，求出直线与圆弧相切以及经过下端点时的值，从而得到的取值范围； （2）根据（1）得出的轨迹范围，从而得到点的位置范围，进而求得的取值范围． (1) 小问详解： 解：点关于直线的对称点为， ， 在以为圆心，为半径轴右侧的圆弧上， （1）①，， ， ，，，， ，是关于的“相关对称点”； 故答案为：，； ②取点关于的对称点， 在上， 如图： 当直线过点时，， 当直线在第一象限与相切时，设切点为，直线与轴交点为， ， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：设的轨迹为， ， 由（1）知，， ， 当在上时，， ， 当在或上时，如图： ， ， ， ，， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了动点轨迹，圆的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识点，根据新定义求出要求的点的轨迹是本题解题的关键． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】 解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（     ） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】 解：∵与分别相切， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故选：B． 3．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（     ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 【答案】B 【分析】 连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】 连接OC、OD， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， 故选：B 【点睛】 此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 4．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是的直径，切于点P，交于点B，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定及性质等，掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，结合等腰三角形的判定及性质即可求解． 【详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 切于点P， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　　　　　　　°． 【答案】43 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据切线长定理，进行求解即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴四边形的周长， ． 【点睛】 本题考查切线长定理．熟练掌握切线长定理，是解题的关键． 7．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】70° F度 【分析】 连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：70°． 【点睛】 本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键． 8．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，则的周长为　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】 解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， ， 的周长： ， 故答案为：14． 9．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．    作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴            （            ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（             ）（填推理的依据）． 【答案】（1）如下图即为所求；         （2）；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 11．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为　　　　　　°． 【答案】50 【分析】 连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD． 【详解】 解：连接OC、OD，如图， ∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D， ∴OC⊥CP，OD⊥DP， ∵OP=OP，OC=OD， ∴△POC≌△POD(HL)， ∴∠CPO=∠DPO， ∵∠CPA=40°， ∴∠CPD=80°， ∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°， ∵∠CAD=∠COD=50°， 故答案为：50． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点A． 求作：直线，使得为的切线，A为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点C； ②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧， 两弧交于点D（点D在直线上方）； ③以点D为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点B，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵______， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴______．（                                                              ） ∴                 ． ∵是的半径， ∴是的切线．（                                                    ）． 【答案】①；② ；③ 直径所对的圆周角是直角；④ ；⑤ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】 本题考查了圆的切线的证明，连接．证明是的直径即可．理解题意是解题关键； 【详解】 证明：连接． ∵， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴．（直径所对的圆周角是直角；） ∴ ∵是的半径， ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 13．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程 已知：为外一点．求作：经过点的的切线．作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于、两点； ③作直线，， 所以直线，就是所求作的切线． 根据小飞设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：连接， ∵为的直径， ∴________（____________________） ∴、， ∴、为切线（_________________________） 【答案】（1） 图形如图所示：      （2）；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查切线的判定，熟练掌握连半径证垂直判定切线是解题的关键； （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 16．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知：如图1，点，在上，点在外． 求作：的切线，且切点在劣弧上． 作法：如图2， ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点； ④画直线．直线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴________（__________）（填推理的依据）． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线（____________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 补全图形如下：      （2）90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得； （2）先根据圆周角定理可得，再根据圆的切线的判定定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．    作法： ①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T： ②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B； ③作直线，． 所以直线，就是所求作的的切线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明． 证明：连接． 是的直径，              °（             ）（填推理的依据）． ． 又OA为的半径， 直线是的切线（               ）（填推理的依据）． 同理可证，直线也是的切线． 【答案】（1） 如图，、为所作；      （2） 90；直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．      【分析】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵C，A，D，F在上，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定与性质． （1）由题意证明半径，即可根据切线的判定定理证明是的切线； （2）根据题意连接，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形是矩形，最后结合图形求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵直径于E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∵是的直径， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理，求出，利用等腰直角三角形的性质求得，过点B作于F，利用30角的直角三角形的性质得，得，即得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过B作于F， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 20．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E． （1）求证∶是的切线 （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ， ∵ 平分， ， ， ， ， ， ∴是的切线；     （2）5；      【分析】 本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质． （1）连接，根据已知条件及各角之间的关系证明即可解决问题； （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长是 21．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，菱形的边长是4，，是对角线的中点，以为直径作、是上的点，连接，若是的切线，则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆与菱形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，圆切线性质，勾股定理，是解题的关键． 根据菱形性质和得是等边三角形，得，根据直径和中点性质，得，，根据切线性质和勾股定理可得． 【详解】 解：连接， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径，              ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且             于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （             ）（填推理的依据）， ． 【答案】（1） 如图所示：、即为所求．      （2），垂直，      【分析】 本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． (1) 小问详解： 解：（1）略； (2) 小问详解： 证明：连接，，如图． 为的直径， ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ， ． 故答案为：，垂直，． 23．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）（多选）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 【答案】（1）证明：∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC， ∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB． ∵OA为半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）． 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论； （2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝， ∴OP＝2． 设AB＝x，则OB＝x＋2． 在Rt△AOB中，， ∴x＝3,即AB＝3． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键． 24．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，点在上．平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵平分 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵于点， ，即 是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，得到，得，根据于点即可得，即可得证． （2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵，    , ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，作出恰当的辅助线是解决问题的关键． 25．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由切线长定理知PA=PB，PO平分∠APB，由切线的性质及锐角三角函数即可求得PA的长，从而得PB的长． 【详解】 ∵PA，PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，且PO平分∠APB ∴∠APO= ∵OA⊥PA ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，掌握切线的性质是关键． 26．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知：如图，A为上的一点． 求作：过点A且与相切的一条直线． 作法：①连接OA； ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB； ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）； ④作直线PA． 直线PA即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA． 由作法可知． ∴点A在以OP为直径的圆上． ∴（       ）（填推理的依据）． ∵OA是的半径， ∴直线PA与相切（       ）（填推理的依据）． 【答案】（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作； （2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理． 【分析】 （1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键． 27．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点G，连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ． ， ． ． 是的直径，是的中点， ，即 ， 为的切线．     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）连接．证明即可； （2）设的半径为，则，在中，， 可得，再根据勾股定理可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接． 设的半径为，则． 在中，， 解得． 是的直径， ， 是的中点， ． 为的中点， ， 又， ， 又是直径，是的中点， 过作交于 则， ， 由勾股定理得． 28．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，中，，以为直径作交于点D，作交于点E，延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若为等边三角形，，求半径的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）4      【分析】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． （1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）根据勾股定理和含有的直角三角形的边长比，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为4． 29．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍，那么点M就是点P的k倍关联点． （1）当点P的坐标为时， ① 如果点P的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是                ； ② 如果直线上存在点P的2倍关联点，求b的取值范围； （2）如果点P到原点O的距离为2，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段上所有的点都是点P的倍关联点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①或；②     （2）或      【分析】 （1）① 根据定义可知点M到点P的距离为2，结合点M在x轴上，即可解答； ② 设点M是点P的2倍关联点，则点M在以点P为圆心，半径是2的圆上，进而可推出当直线与相切时，b分别取得最大值和最小值，然后根据切线的性质、一次函数的性质以及勾股定理求得点P到直线与x轴的交点的距离，从而得到直线与x轴交点的坐标，即可求得对应的b值； （2）根据可推出线段上所有的点都在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上）时，满足题意，同（1）② 可知，，然后求得当点A、B在分别在y轴的正半轴、x轴的负半轴，且在半径为3的上时，b的值；当直线与半径为1的相切于第二象限，切点为点C时，设此时直线与x轴、y轴的交点为、，连接，同（1）② 可求得此时的b的值，再根据圆的对称性即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① ∵点P的坐标为， ∴点P到原点的距离为1， ∴点M是点P的2倍关联点， ∴点M到点P的距离为2， 又∵点M在x轴上， ∴点M的横坐标为或， ∴点M的坐标为或； ② 设点M是点P的2倍关联点， ∵点M到点P的距离是2， ∴点M在以点P为圆心，半径为2的圆上，如图， 则当直线与相切时，b分别取得最大值和最小值， 设切点分别为点A、B，直线分别交x轴于点C、D，交y轴于点E，连接、， 则， 对于直线，当时，；当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C坐标代入直线， 得， 解得； 同理可得，， ∴点D的坐标为， 把D的坐标代入直线， 得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点P到原点O的距离为2，即点P在以O为圆心，半径为2的圆上， ∴不妨设设点M是点P的倍关联点， ∴点M到点P的距离是1， ∴点M在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上），如图， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段上所有的点都是点P的倍关联点， ∴线段上所有的点都在半径为1的和半径为3的之间（包括圆上）时，满足题意， 同（1）② 可知，， ∴当点A、B在分别在y轴的正半轴、x轴的负半轴，且在半径为3的上时，如图， 此时点B的坐标为，代入直线，得， 当直线与半径为1的相切于第二象限，切点为点C时， 设此时直线与x轴、y轴的交点为、，连接，如图， 同（1）② 可知，，， ∴， ∴点的坐标为，代入直线，得 ∴当时，满足题意； 由圆的对称性可知，当，也满足题意， 综上所述，b的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了“k倍关联点”的定义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，理解新定义，灵活利用以上知识点，采用数形结合的思想方法是解题的关键． 30．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，为的直径，为上一点，于点，交于点，直线与直线交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）延长交于，若为的中点，，求长． 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接．利用角的平分线，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，证明正三角形，作于，得矩形，根据勾股定理解答即可． 本题考查了切线的判定，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 为中点， ， ， 得正三角形， ， 作于， 得矩形， ， ， ． 31．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． （1）如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是             ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为             ； （2）弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，          ②     （2）或      【分析】 本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、一次函数综合、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握上述知识点并能分类讨论对应情况是解题的关键． （1）① 根据“倍及点”的定义验证即可； ② 根据题意作出两个正方形，在满足条件的点中找到离原点最远的点； （2）分两种情况讨论，作出对应矩形，可证明满足条件的点的轨迹为一个圆，找出直线的临界位置，即可求出的最值． (1) 小问详解： ① 由题意知，， 设交轴于点，连接，可知， ，， 且，， 则有，， ∴、是弦的“倍及点”． ② 如图：以为边分别向左和向右作正方形和正方形，可知正方形边长为， 由题意知，线段和线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 其中点和点距离点最远，且， ∴的最大值为． (2) 小问详解： ① 当线段在如下图所示位置时， 以为边向上作矩形，其中， 连接、， ∵，，， 易得且，为等边三角形， 同理， ∴点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； ② 当线段在如下图所示位置时， 同理可得点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 过点作延长线于点，则有 ，， 又∵， ∴， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； 当线段与轴垂直于点时，为临界位置， 直线经过点时，有最小值， 此时， ∴； 则有：； 综上所述，或． 32．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若⊙O上存在两个不同的点，，对于⊙O上任意满足的两个不同的点P，Q，都有，则称点是的张角点，称的大小为点与的张角值．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点，，中，点______是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值大于90°，该点与⊙O的张角值为______°； ②点B在直线上，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是⊙O的张角点，则点B的横坐标m取值范围______； （2）已知点，⊙T的半径是2，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，线段上所有的点都是⊙T的张角点，记这些点与⊙T的张角值的最大值为．若，直接写出t的取值范围______． 【答案】（1）①，，②或     （2）或或      【分析】 本题考查了新定义，点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的张角点且其与的张角值大于，进而根据切线的性质，解，即可求得，即可求解． ②根据张角点不能是圆上的点可以得出，点B满足条件，由此即可求解； （3）由（1）可得，当线段在内，线段上的点与的张角值等于，符合题意，然后分别算出E、F在上临界位置，当E在上时，或，当F在上时，，然后分：，，，，讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：设的半径为， 根据定义可得：当在上，即时，不存在都有， 当在内部，即时，如图1，是过点的任意弦，此时，故，即此时的张角值为， 当在的外部时，为的切线时，如图2，此时最大，故； 当时，连接、，设的半径为， ∵、是的切线， ∴，， ∴当时，四边形是正方形， ∴当时，， ∴当时，， 当时，， ① ∵点，，， ∴，∴点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值， ∵点，即， ∴， ∴点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值， ∵、为的切线， ∴， ∴ ∴，即与的张角值为， ∵点，，∴，∴点不是⊙O的张角点， 综上所述：点，，中，点是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值大于90°，该点与⊙O的张角值为； ② ∵点B在直线上，点B的横坐标m， ∴点B坐标为，， ∵任意长度小于1的线段，上所有的点都是⊙O的张角点， 当点B在圆内时，∵，∴此时没有满足条件的点B． 当点B在圆外时，若，则以点B为圆心，半径为1的圆与相切或相离，此时点B满足条件， 即，解得或 (2) 小问详解： 解：当线段上所有点在内部时，此时线段上所有点均为的张角点，且张角值等于，符合题意， 当E在上时，， 解得或， 当F在上时，， 解得， ∴当时，线段在内部，符合题意； 当或时，线段与相交，不符合题意，舍去； 当时，此时到T越近的点，存在张角点，且张角值更大，则当F与的张角值即可， 此时临界状态（与相切），则， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，此时E与的张角值即可， 此时临界状态（与相切），则， ∴， ∴（正值舍去）， ∴ 综上所述，或或． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，以及特殊的多边形的性质，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形， 故选：D． 2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（       ） A.  B.  C. 24 D.  【答案】A 【分析】 正六边形的外接圆半径等于边长，可将正六边形分割为六个全等的等边三角形，利用等边三角形面积公式计算单个三角形面积，再乘以6得到总面积． 本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ 正六边形的半径（外接圆半径）， ∴ 边长 每个等边三角形的面积：， ∴ 正六边形的面积：， 故选：A． 3．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论：①圆O的直径为4；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A. ①③④ B. ①② C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了圆与正多边形，勾股定理，等边三角形的判定及性质，圆的基本性质等；连接、、，交于，由圆与正多边形的关系，，，结合等边三角形的判定及性质和勾股定理等逐一判断，即可求解． 【详解】 解：连接、、，交于， ，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边， ，，，， 是等边三角形，， ， ， 故① ② 正确； ∵，， ， ， ， ， ， 故③ 错误； ∵， ， ， ∴， 故④ 正确； ① ② ④ 正确； 故选：C． 4．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是　　　　　　　　　　cm． 【答案】 【详解】 连接OA，作OM⊥AB于点M， ∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm ∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm 在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°， ∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm) 故答案为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是　　　　　　　　（填“相交”、“相切”或“相离”）． 2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是　　　　　． 3．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）对于等边，给出如下定义：为边上动点，点关于直线的对称点为，称为关于的“相关对称点”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，若，，． ①中是关于的“相关对称点”的有_____． ②若直线上存在关于的“相关对称点”，求的取值范围． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，，，的半径为,在上，，若上存在关于的“相关对称点”，直接写出的取值范围． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（     ） A.  B. 2 C. 3 D.  3．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（     ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 4．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是的直径，切于点P，交于点B，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为　　　　　　　°． 6．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，则的周长为　　． 9．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．    作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴            （            ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（             ）（填推理的依据）． 11．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为　　　　　　°． 12．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点A． 求作：直线，使得为的切线，A为切点． 作法：如图， ①连接并延长到点C； ②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧， 两弧交于点D（点D在直线上方）； ③以点D为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点B，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． ∵______， ∴点C在上， ∴是的直径． ∴______．（                                                              ） ∴                 ． ∵是的半径， ∴是的切线．（                                                    ）． 13．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为　　　　　． 14．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程 已知：为外一点．求作：经过点的的切线．作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于、两点； ③作直线，， 所以直线，就是所求作的切线． 根据小飞设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：连接， ∵为的直径， ∴________（____________________） ∴、， ∴、为切线（_________________________） 15．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 16．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）已知：如图1，点，在上，点在外． 求作：的切线，且切点在劣弧上． 作法：如图2， ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点； ④画直线．直线即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴________（__________）（填推理的依据）． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线（____________）（填推理的依据）． 17．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．    作法： ①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T： ②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B； ③作直线，． 所以直线，就是所求作的的切线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明． 证明：连接． 是的直径，              °（             ）（填推理的依据）． ． 又OA为的半径， 直线是的切线（               ）（填推理的依据）． 同理可证，直线也是的切线． 18．（25-26学年九上·北京朝阳区东方德才学校·期中）如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 19．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E． （1）求证∶是的切线 （2）若，求的半径和的长． 21．（25-26学年九上·北京十一学校·期中）如图，菱形的边长是4，，是对角线的中点，以为直径作、是上的点，连接，若是的切线，则线段的长为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径，              ； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且             于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （             ）（填推理的依据）， ． 23．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）（多选）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 24．（25-26学年九上·北京第五十五中学·期中）如图，是的直径，点在上．平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 25．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）已知：如图，A为上的一点． 求作：过点A且与相切的一条直线． 作法：①连接OA； ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB； ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）； ④作直线PA． 直线PA即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA． 由作法可知． ∴点A在以OP为直径的圆上． ∴（       ）（填推理的依据）． ∵OA是的半径， ∴直线PA与相切（       ）（填推理的依据）． 27．（25-26学年九上·北京东直门中学·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点G，连接．若，求的长． 28．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）如图，中，，以为直径作交于点D，作交于点E，延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若为等边三角形，，求半径的长． 29．（25-26学年九上·北京西城外国语学校·期中）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍，那么点M就是点P的k倍关联点． （1）当点P的坐标为时， ① 如果点P的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是                ； ② 如果直线上存在点P的2倍关联点，求b的取值范围； （2）如果点P到原点O的距离为2，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段上所有的点都是点P的倍关联点，直接写出b的取值范围． 30．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）如图，为的直径，为上一点，于点，交于点，直线与直线交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）延长交于，若为的中点，，求长． 31．（25-26学年九上·北京第二十一中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． （1）如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是             ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为             ； （2）弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 32．（25-26学年九上·北京第二中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若⊙O上存在两个不同的点，，对于⊙O上任意满足的两个不同的点P，Q，都有，则称点是的张角点，称的大小为点与的张角值．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点，，中，点______是⊙O的张角点且其与⊙O的张角值大于90°，该点与⊙O的张角值为______°； ②点B在直线上，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是⊙O的张角点，则点B的横坐标m取值范围______； （2）已知点，⊙T的半径是2，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，线段上所有的点都是⊙T的张角点，记这些点与⊙T的张角值的最大值为．若，直接写出t的取值范围______． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·北京一六一中学·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若正六边形的半径是4，则正六边形的面积为（       ） A.  B.  C. 24 D.  3．（25-26学年九上·北京第五中学·期中）如图，，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论：①圆O的直径为4；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A. ①③④ B. ①② C. ①②④ D. ②③④ 4．（25-26学年九上·北京第十三中学·期中）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是　　　　　　　　　　cm． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $