专题29.2 解直角三角形 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，从锐角三角函数定义、特殊角值入手，系统梳理解直角三角形的五种类型，通过作高转化非直角三角形和等腰三角形问题，最终应用于仰角俯角、坡度坡角、方向角等实际场景，构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料以思维导图总览知识结构，助力学生形成几何直观与空间观念。典型例题分类解析，如已知锐角和邻边用正切求边，培养推理意识。实际应用问题如无人机测建筑高度，发展模型观念与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习和复习建议帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

专题29.2 解直角三角形（精讲+典例+练习） 优等生讲义 新沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中准确计算。 · 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能灵活运用。 · 掌握解直角三角形的基本方法（已知两边或一边一角求其余元素）。 · 应用解直角三角形解决实际问题：仰角俯角、坡度坡角、方向角等。 · 培养建模能力，将实际问题转化为直角三角形模型并求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 解直角三角形 知识点① 解直角三角形的概念和方法 1. 解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角。在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 提醒：在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 2. 直角三角形的边角关系 3. 解直角三角形的五种基本类型与解法 提醒 （1）解直角三角形时，应求出所有的未知元素。 （2）解直角三角形时，为了厘清各边、各角，一般先画出一个直角三角形示意图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，再将直角三角形的边和角的正弦、余弦、正切联系起来，从而迅速求解。 【典型例题1】 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，∠A = 36°，解这个直角三角形。（结果保留一位小数） 解： ∵ ∠A = 36°，∠C = 90°， ∴ ∠B = 90° - ∠A = 54°。 ∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 提示 （1）本题是类型③（已知锐角和邻边）。求边 的长，尽量利用正切，把 放在分子上，变形得 ，通过乘法求解。 （2）求边 的长，可以利用勾股定理，但会使用近似值 ，误差累积。因此应尽量使用题中所给数据，本题用 求 ， 和 ∠A 均为原始数据。 总结 解直角三角形求边长时，如果求直角边用切（正切或余切），把所求直角边放在分子上；如果求斜边用弦（正弦或余弦），斜边只能放在分母位置。 知识点② 解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 角和已知长度的边为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角三角形，使问题转化为解直角三角形。 方法：常见解非直角三角形的两种模型，如图1、图2。 【典型例题2】 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠ACB = 75°，AC = 2，求 BC 的长。 破题思路：由内角和得 ∠A = 60°，∠A、∠B均为特殊角，可构造分别以∠A、∠B为内角的直角三角形。 解： 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。 因为 ∠B = 45°，∠ACB = 75°， 所以 ∠A = 180° - 75° - 45° = 60°。 在 Rt△ACD 中，∠A = 60°，AC = 2， 所以 。 在 Rt△BCD 中，∠B = 45°， 所以 。 知识点③ 解等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，对它的边、角求解问题可以转化为解直角三角形。 【典型例题3】 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 15，BC = 24，求它的顶角和面积。（参考数据：） 解： 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 ∵ AB = AC，AD⊥BC，BC = 24， ∴ 。 在 Rt△ABD 中，AB = 15， ∴ 。 （后续求顶角：在 Rt△ABD 中，， ∴ ∠BAD ≈ 53°（由 可得 ，故 ∠BAD ≈ 53°）， 顶角 ∠BAC = 2∠BAD ≈ 106°。 面积 。） 方法总结：解等腰三角形，常常作底边上的高，由“三线合一”性质，底边被高平分，得到两个全等的直角三角形，将问题转化为解直角三角形（如本例转化为解直角三角形的类型②求解）。 ☆2. 解直角三角形的应用 知识点④ 仰角、俯角问题 【典型例题4】 如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ______。（用“∠1”“∠2”“∠3”或“∠4”表示） 解析：在点 A 处测得点 B 处的仰角与在点 B 处测得点 A 处的俯角是水平线间的一对内错角。 答案：∠4 例2 如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 的仰角为 45°，测得该建筑底部 C 的俯角为 17°。若无人机的飞行高度 AD 为 62 m，该建筑的高度 BC 约为多少米？（参考数据：，，） 解： 如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴ EC = AD = 62 m。 在 Rt△AEC 中，， 则 (m)。 在 Rt△AEB 中，， ∴ (m)。 ∴ (m)。 答：该建筑的高度 BC 约为 262 m。 总结：解有关仰角、俯角问题的关键：正确识别仰角、俯角。首先要确认观察点位置，再以观察点为中心，找出水平线和铅垂线，然后看视线方向是在水平线的上方还是下方，向上看是仰角，向下看是俯角。 知识点⑤ 坡度、坡角问题 提醒： （1）坡度通常写成 的形式。 （2）坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡。 （3）在实际问题中，若已知坡比，可求斜坡的坡角；反之，若已知坡角 α，可求出坡度（或坡比）。所依据的关系式为 。 【典型例题5】 如图，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m，背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比），则背水坡 CD 的坡长为 ______ m。 解析： 迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m， ∴ (m)。 背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比）， ∴ ， ∴ ∠C = 30°， ∴ m。 答案：12 知识点⑥ 方向角问题 提醒 （1）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 （2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的。 【典型例题6】 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60° 方向上，一艘轮船从小岛 A 出发，由西向东航行 24 n mile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离约是多少 n mile？（结果保留一位小数，） 解析： 如图，过点 P 作 PD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D。由题意，得 ∠PAB = 30°，∠PBD = 60°，AB = 24 n mile。∴ ∠PAB = ∠APB（∵ 外角等于不相邻两内角和），∴ BP = AB = 24 n mile。在 Rt△PBD 中， (n mile)。 答案：20.8 总结：实际问题中常见的基本图形及相应的关系式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】解直角三角形 （第1—12题） ※ 方法总结： · 知两边求角：用三角函数（sin / cos / tan）的逆运算求角度。 · 知一边一角求边：根据三角函数定义列出比例式，再结合勾股定理。 · 双直角三角形：通过公共边或相等角建立联系，列方程组求解。 · 注意：计算时优先使用已知数据，避免中间误差传递。 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2026•澧县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 【分析】根据同角的余角相等，得到∠BCD＝∠A，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴， 在Rt△CDB中，， ∵CD＝6， ∴BD＝9； 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2026•响水县模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意构造出直角三角形，再结合余弦的定义进行计算即可． 【解答】解：连接AM， 由所给网格可知，AM⊥BC． 因为小正方形的边长为1， 所以AB， BM． 在Rt△ABM中， cosB． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知余弦的定义是解题的关键． 4．（2025秋•路南区校级月考）如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】连接AD，依题意得AC＝BD＝2，AC∥BD，∠ADE＝45°，∠CDE＝45°，由勾股定理得AD＝CD，∠ADO＝90°，证明△AOC和△BOD全等得OC＝ODCD，然后在Rt△AOD中，根据正切函数的定义即可得出tan∠AOD的值． 【解答】解：连接AD，如图所示： ∵正方形网格中，小正方形的边长均为1， ∴AC＝BD＝2，AC∥BD， 由勾股定理得：AD，CD， ∵AD，CD是小正方形的对角线， ∴∠ADE＝45°，∠CDE＝45°， ∴∠ADO＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵AC∥BD， ∴∠OAC＝∠OBD，∠OCA＝∠ODB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ASA）， ∴OC＝ODCD， 在Rt△AOD中，tan∠AOD2． ∴tan∠AOD的值为2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形网格的特点，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理是解决问题的关键． 5．（2026•深圳校级模拟）如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用和分别求出AD、DC长，再利用勾股定理求出BD长，从而求解BC的长． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，， ∴， 解得：AD＝4， ∴， 在Rt△ADC中，， ∴， ∴DC＝8， ∴BC＝BD+CD＝3+8＝11． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2025秋•上海期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，联结BD，，CH⊥BD于H，下列两个说法：①；②．下列说法中正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②一定都正确 D．①②一定都错误 【分析】根据条件能够判断A，B，C，D四点共圆，再根据三角函数以及相似三角形的对应边的比相等判断． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，点A，B，C，D共圆， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠BCH，cos∠ABD， ∴cos∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCH， ∵CH⊥BD ∵∠ABC＝∠CDH＝90°， ∴△ABC～△DHC ∴ 故①正确， 同理可得△BHC∽△ADC， ∴， 故②错误， 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数，四点共圆，相似三角形的判定与性质． 7．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　30°　 ． 【分析】根据特殊角的三角函数值，可以得到∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝18，BC＝9， ∴sinA， ∴∠A＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确特殊角的三角函数值． 8．（2026•罗源县校级模拟）如图，A，B，C均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则cosB的值为　　 ． 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出AB，再根据余弦函数的定义求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AH＝3，BH＝4， ∴AB5， ∴cosB． 故答案为：．． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握三角函数的定义． 9．（2025秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，BC＝5，cotA＝2，，D是AB的中点．E是线段AC延长线上一点，联结BE，如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等，那么AE的长是 　或　 ． 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，解直角三角形求出CF＝3，利用勾股定理求出，解直角三角形求出AF＝6，进而求出AB，AC，AD，DF，CD的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当∠CDB＝∠E时，连接BE，CE，在BF上取点G，使DF＝GF＝1，证明出△ACG∽△ABE，得到，然后代入求解即可；当∠DCE＝∠DBE时，过点D作DH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AB于点M，利用勾股定理求出，，证明出△DHC是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F， ∵，BC＝5， ∴，即， ∴CF＝3， ∴， ∵， ∴， ∴AF＝6， ∴AB＝AF+FB＝6+4＝10，， ∵D是AB的中点， ∴， ∴DF＝AF﹣AD＝6﹣5＝1， ∴， ∵四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等， 当∠CDB＝∠E时，连接BE，CE，在BF上取点G，使DF＝GF＝1， ∴AG＝AF+FG＝6+1＝7， ∵CF⊥AB，DF＝GF＝1， ∴， ∴∠CDG＝∠CGD， ∵∠CDB＝∠E， ∴∠E＝∠CGD， ∵∠A＝∠A， ∴△ACG∽△ABE（两角相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴， ∴； 当∠DCE＝∠DBE时，过点D作DH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AB交AB的延长线于点M， ∴， ∴AH＝2DH， ∵AD＝5，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵， ∴， ∴△DHC是等腰直角三角形， ∴∠HCD＝45°， ∴∠DCE＝∠DBE＝180°﹣∠HCD＝135°， ∴∠EBM＝180°﹣∠DBE＝45°， ∵EM⊥AB， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM＝EM， ∴， ∴BM＝EM＝10， ∴， 综上所述，AE的长是或． 故答案为：或． 【点评】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 10．（2026•浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三角函数可计算出CE＝1，，计算出DE＝3，利用勾股定理计算出AD即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， 在Rt△ACE中，，CE＝AC•cos∠C＝2×cos60°＝1， ∵BC＝8，点D是边BC上的中点， ∴， ∴DE＝CD﹣CE＝3， 在Rt△ADE中，； （2）由（1）可知，，DE＝3， ∴BE＝BD+DE＝7， 在Rt△ABE中，． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025秋•闵行区校级月考）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，tan∠A＝2，E是BC边上的点，联结DE． （1）求BD的长； （2）如果，求tan∠BDE的值． 【分析】（1）由tanA2，令AD＝x，CD＝2x，由勾股定理得到x＝2，求出x＝2，得到CD＝2x＝4，由余角的性质推出∠BCD＝∠A，得到tan∠BCD＝tanA＝2，得到2，即可求出BD的长； （2）过E作EH⊥AB于H，判定△BEH∽△BCD，EH：CD＝BH：BD＝BE：BC＝1：4，得到EH＝1，BH＝2，求出DH＝6，即可求出tan∠BDE的值． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴tanA2， ∴令AD＝x，CD＝2x， ∴ACx＝2， ∴x＝2， ∴CD＝2x＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∴tan∠BCD＝tanA＝2， ∴2， ∴BD＝8； （2）过E作EH⊥AB于H， ∵CD⊥AB， ∴HE∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴EH：CD＝BH：BD＝BE：BC， ∵BE：CE＝1：3， ∴EH：4＝BH：8＝1：4， ∴EH＝1，BH＝2， ∴DH＝BD﹣BH＝8﹣2＝6， ∴tan∠BDE． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握锐角的正切定义，判定△BEH∽△BCD，推出EH：CD＝BH：BD＝BE：BC． 12．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题． （2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中， tan∠ABE． 又∵AB＝5，∠ABE， ∴AH＝3，BH＝4． 又∵AD平分∠BAC， ∴BE＝2BH＝8． （2）∵EF⊥BE，AD⊥BE， ∴AD∥EF． 又∵BH＝EH， ∴DH是△BEF的中位线， ∴EF＝2DH． 同理可得，AD＝2EF， ∴AD＝4DH， 即3+DH＝4DH， ∴DH＝1． 在Rt△BDH中， tan∠EBC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点2】解直角三角形的应用 （第13—21题） ※ 方法总结： · 建立模型：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知量和未知量。 · 选择三角函数：根据已知边和所求边的关系，选择合适的 sin/cos/tan。 · 近似计算：注意题目要求的精确度，合理使用参考数据。 · 检验合理性：计算结果要符合实际情境（如高度为正、角度在范围内）。 13．（2025秋•东台市期末）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　） A．15sin36°米 B．米 C．15tan36°米 D．米 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝15米， ∴BC＝AB•sin36°＝15sin36°（米）， ∴该自动扶梯的高度BC等于15sin36°米， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2026•深圳一模）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴sinA， ∴BC＝50sinA＝50sin24°（米）， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　68　 cm． 【分析】过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为8cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】 解：过A作AE⊥CP于点E，过B作BF⊥DQ于点F， 则Rt△ACE中，， 同理可得，BF＝30cm， 又∵点A与B之间的距离为8cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm）． 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 17．（2026•长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　5米　 ． 【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解． 【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G， ∵AB＝6米，OA：OB＝2：1， ∴OA＝4米， ∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°， ∴∠AOE＝30°， 在Rt△AOG中，AG＝AO•sin30°＝42（米）， ∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米）， 故答案为：5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 18．（2025•洪山区模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　89　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH+AP即可． 【解答】解：如图2，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P， ∵∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，BC＝60cm， ∴AP＝33cm， ∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm）， ∴坐垫C离地面高度约为56.4+33≈89（cm）， 故答案为：89． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 19．（2025秋•青浦区校级期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 【分析】（1）在Rt△ONQ中，利用锐角三角函数的定义求出ON的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在Rt△CON中，根据锐角三角函数的定义可设CN＝4xcm，则OC＝5xcm，从而利用勾股定理进行计算可求出CN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm， ∴， ∵光线从空气进入水中时的折射率为， ∴， ∴， 即∠POM的正弦值为； （2）∵∠POM＝∠CON， ∴， 在Rt△CON中，， ∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm， ∴， ∴3x＝16， 解得：， ∴， ∴， 答：CQ的长约为9.3cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2026•宝山区二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）． 【分析】（1）根据∠BAC的正切值可得AB的长； （2）作HP⊥BC于点P．根据水面EF在容器高度一半，可得CP，HP的长度，进而可得PG的长度，利用勾股定理可得HG的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角∠AHQ＝∠BAC，那么可得入射角的正弦值，即可求得n的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得CG′和GG′的比值；根据水平面也是平行的，可得AE和EE′的比值．即可求得EE′的值． 【解答】解：（1）∵tan∠BAC，BC＝32cm，tan53°， ∴AB3224（cm）． （2）作HP⊥BC于点P． ∴∠HPG＝90°． 由题意得：HPAB＝12 cm，CPBC＝16 cm，∠AHQ＝∠BAC＝53°． ∵CG＝7 cm， ∴PG＝CP﹣CG＝9 cm． ∴HG15 cm． ∴sin∠PHG． ∵sin∠AHQ＝sin∠BAC． ∴n． （3）∵CG′CB， ∴CG′ cm． ∴GG′＝CG′﹣CG． 由题意得：HG∥H′G′， ∴． 由题意得：E′F′∥EF，AH＝CH． ∴． 即：． 解得：EE′6.3（cm）． 【点评】本题综合考查了解直角三角形及平行线分线段成比例定理的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【分析】任务一：依据题意得，∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OBE＝37°，结合BE⊥AB，可得∠BOP＝∠OAB＝37°，由BP＝1.8米，故OP2.4（米），从而AP3.2（米），即可得解； 任务二：依据题意得，旋转后镜子MN∥AB，由任务一，AP＝3.2米，从而BP＝AP＝3.2米，故平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米），进而得解． 【解答】解：任务一：由题意得，∠AOB＝90°， ∠CBE＝∠OBE＝37°， ∵BE⊥AB， ∴∠BOP＝∠OAB＝37°， ∵BP＝1.8米， ∴OP2.4（米）， ∴AP3.2（米）． 答：邻居A到墙角P的距离为3.2米； 任务二：向左平移1.4米，理由如下： 由题意得，旋转后镜子MN∥AB， 由任务一，AP＝3.2米， ∴BP＝AP＝3.2米， ∴平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米）． 答：水盆B应向左平移，平移1.4米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平移的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【考点3】坡度坡角问题 （第22—26题） ※ 方法总结： · 坡比定义：i = h / l = tan α，其中 α 为坡角。 · 已知坡比求三角函数：设垂直高度为 kx，水平距离为 mx，利用勾股定理求斜边。 · 实际问题：注意坡面长度、水平距离、垂直高度三者的关系。 · 易错点：坡比是比值，不是角度；注意单位统一。 22．（2025秋•芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　20　 米． 【分析】设汽车竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设汽车竖直方向上升的高度为x米， ∵斜坡的坡度i＝1：2， ∴汽车前进的水平宽度为2x米， 有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002， 解得：x＝20（负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为20米， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 23．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　5.8　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，AC＝6m，∠CAB＝75°， ∴BC＝AC•sin75°≈6×0.97≈5.8（m）， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度约为5.8m， 故答案为：5.8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 24．（2026•永宁县一模）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC、BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为50cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 　18.3　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73） 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△AE′M中，AE′＝50cm，∠E′AM＝180°﹣120°＝60°，如图，过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N，点M， ∴， 由勾股定理得：， 在Rt△AEN中，AE＝50cm，∠EAN＝180°﹣150°＝30°， ∴， ∴， 即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约18.3（cm）． 故答案为：18.3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 25．（2026•合肥模拟）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠EDN＝∠B＝26.5°，根据正切的定义求出EN，根据余弦的定义求出DN，进而求出NH，再根据正弦的定义求出BN，计算即可； （2）根据正弦的定义求出D′N，进而求出D′H，比较大小得出结论． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠DNE＝∠BNH， ∴∠EDN＝∠B＝26.5°， 在Rt△EDN中，∠EDN＝26.5°，DE＝1.8米， 则EN＝DE•tan∠EDN≈1.8×0.50＝0.9（米），MN2（米）， ∴NH＝DH﹣DN＝5﹣2＝3（米）， ∴BN6.67（米）， ∴BE＝EN+BN＝0.9+6.67≈7.6（米）， 答：BE的长约为7.6米； （2）不能继续利用该传送带运输， 当正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍时，D′E′＝3.6米， 则D′N4（米）， ∴D′H＝4+3＝7（米）， ∵7＞6.8， ∴正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（2025秋•重庆期中）如图1是重庆文德中学校车库门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm，过点C作CM平行于水平面，垂足为M，若CD与水平地面所成的角的度数为35°．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700） （1）求显示屏所在部分的宽度CM（结果保留一位小数）； （2）求镜头A到地面的距离（结果保留一位小数）． 【分析】（1）依题意得∠DCM＝35°，CM⊥DM，在Rt△CDM中，根据CD＝15cm，cos∠DCM得CM＝CD•cos∠DCM≈12.3cm； （2）连接AC，过点A作AH⊥MC交MC的延长线于点H，依题意得OA＝OB＝10cm，再根据CE＝2ED，CD＝15cm得CE＝10cm，由此得OA＝CE＝10cm，则四边形AOEC是平行四边形，再根据OE⊥AB得平行四边形AOEC是矩形，据此得AC＝OE＝10cm，∠ACE＝90°，再求出∠HAC＝35°，在Rt△ACH中根据cos∠HAC得AH＝AC•cos∠HAC≈8.2cm，然后再根据点C到地面的距离为60cm即可得出镜头A到地面的距离． 【解答】解：（1）∵CD与水平地面所成的角的度数为35°，CM平行于水平面， ∴∠DCM＝35°，CM⊥DM， 在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，CD＝15cm， ∴cos∠DCM， ∴CM＝CD•cos∠DCM＝15×cos35°≈15×0.819＝12.285≈12.3（cm）． 答：显示屏所在部分的宽度CM约为12.3cm． （2）连接AC，过点A作AH⊥MC交MC的延长线于点H，如图所示： ∵AB＝20cm，O为AB的中点， ∴OA＝OBAB＝10（cm）， ∵CE＝2ED，CD＝15cm， ∵CD＝CE+DE＝3DE＝15（cm）， ∴DE＝5（cm）， ∴CE＝2DE＝10（cm）， ∴OA＝CE＝10cm， ∵CD与AB平行， ∴四边形AOEC是平行四边形， 又∵OE⊥AB，OE＝10cm， ∴平行四边形AOEC是矩形， ∴AC＝OE＝10cm，∠ACE＝90°， ∴∠ACH＝90°﹣∠DCM＝90°﹣35°＝55°， 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°， ∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝90°﹣55°＝35°， ∵cos∠HAC， ∴AH＝AC•cos∠HAC＝10×cos35°≈10×0.819＝8.19≈8.2（cm）， 又∵点C到地面的距离为60cm， ∴镜头A到地面的距离为：AH+60＝8.2+60＝68.2（cm）， 答：镜头A到地面的距离为68.2cm． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键，正确地添加辅助线构矩形及造直角三角形是解决问题的难点． 【考点4】仰角俯角问题 （第27—31题） ※ 方法总结： · 识别仰角/俯角：仰角是向上看，俯角是向下看，均在水平线上方/下方。 · 构造直角三角形：过观测点作水平线，将视线与水平线的夹角作为锐角。 · 常用关系：高度 = 水平距离 × tan(仰角)（或俯角）。 · 多角度问题：通过两个观测点建立方程组，求解高度或距离。 27．（2026•建昌县模拟）港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”寓意“扬帆起航”，某校兴趣小组同学为了测量该桥主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是　米　 ．（结果保留根号） 【分析】过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，列出方程求解即可． 【解答】解：站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，如图所示，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D， 设AD＝x， ∵∠ABD＝60°，∠ACD＝30°， ∴， ∴， 解得， ∴该主塔的高度是米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 28．（2026•浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　89.28　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【分析】作AD⊥BC，分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD，BD的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【解答】解：作AD⊥BC，由题意，AD＝36米，∠CAD＝37°，∠DAB＝60°， 在Rt△ADC中，CD＝AD•tan37°≈36×0.75＝27（米）， 在Rt△ADB中，（米）， ∴BC＝BD+CD＝89.28； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 29．（2026•大连模拟）宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒AB的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面200m的C点，测得风电塔筒顶端A的俯角为21°，再将无人机沿水平方向飞行40m到达点D，测得风电塔筒底端B的俯角为45°，则风电塔筒AB的高度约为 　109　 m． （结果精确到1m，参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 【分析】延长BA交CD的延长线于点E，在Rt△BED中，根据∠BDE＝45°，得出△BED为等腰直角三角形，说明DE＝BE＝200m，在Rt△CEA中根据∠ECA＝21°，，进而求出结果即可． 【解答】解：如图2，延长BA交CD的延长线于点E，则∠BED＝90°， ∵无人机垂直上升至距水平地面200m的C点， ∴BE＝200m． 在Rt△BED中，∠BDE＝45°， ∴△BED为等腰直角三角形， ∴DE＝BE＝200m， ∴CE＝CD+DE＝200+40＝240（m）， 在Rt△CEA中，∠ECA＝21°，， ∴EA＝CE•tan∠ECA＝240×tan21°≈240×0.38≈91.2（m）， ∴AB＝BE﹣EA＝200﹣91.2≈109（m）， 故答案为：109． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确构造直角三角形是解题的关键． 30．（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可； （2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°， ∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠PBQ＝53°， ∵tan∠PBQ＝tan53°， ∴BQ12（米）， 答：路段BQ的长约为12米； （2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D， 则四边形ACQD是矩形， ∴AD＝CQ，DQ＝AC， ∵引桥坡度i＝1：3， ∴， 设AC＝x米，则BC＝3x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米）， ∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米， ∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°， ∴∠APD＝90°﹣27°＝63°， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PAD＝27°， ∵tan∠PAD＝tan27°， ∴AD（32﹣2x）（米）， ∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米， ∴3x+12＝32﹣2x， 解得：x＝4， ∴ABx≈12.8（米）， ∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h， ∵23.04km/h＜30km/h， ∴小汽车没有超速． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 31．（2026•响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：OD⊥DE， 在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米， ∴OD＝DE•tan37°≈0.75×200＝150（米）， ∴塔干OD的长度约为150米； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， 设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米， 在Rt△AOG中，AG＝OG•tan30°x（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF＝59°， ∴AF＝EF•tan59°≈1.7（200﹣x）米， ∵AF﹣AG＝FG， ∴1.7（200﹣x）x＝150， 解得：x≈82.6， ∴OG≈82.6米， 在Rt△AOG中，AO97（米）， ∴风叶OA的长度约为97米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点5】方向角问题 （第32—37题） ※ 方法总结： · 画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向。 · 转化为角度：方向角"北偏东 x°"即从正北向东转 x°。 · 构造直角三角形：通过方位角关系，找出直角三角形中的锐角。 · 注意：多个方向角时，常需利用平行线性质或三角形内角和求角度。 32．（2026春•息县月考）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【分析】由题意可知OA＝6，OB＝8，由勾股定理逆定理可知∠AOB＝90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【解答】解：如图： ， 由题意得：OB＝16×0.5＝8，OA＝12×0.5＝6， ∵AB＝10， ∴OA2+OB2＝62+82＝100＝102＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是南偏东60°， 故选：C． 【点评】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 33．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C，在得出AD长度，CD＝BD，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出BC的长． 【解答】如图所示：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意得：∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠BAD＝45°+15°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C， ∴CD＝BD，（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 34．（2024春•江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 　141　 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，） 【分析】作BD⊥AC于点D，分别解直角三角形求出AD、DC即可得到答案． 【解答】解：作BD⊥AC于点D， 由题知，∠BAD＝25°+25°＝50°，∠BCD＝70°﹣25°＝45°，AB＝100海里， ∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6海里， AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3海里， ∴货轮与A港口的距离为76.6+64.3＝140.9≈141海里． 故答案为：141． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形性质，方向角，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 35．（2026春•城区校级期末）教学楼P的南偏东60°方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东30°方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为　150　 米． 【分析】如图，过点A作AC∥PE交BP于C，利用平行线的性质以及方位角说明∠PAB＝90°，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AC∥PE交BP于C， 根据题意得AB＝120米，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝90 米， ∴∠PAB＝∠CAP+∠CAB＝90°， 在Rt△PAB中，根据勾股定理得， （米）， 即此时与教学楼P的距离为150米． 故答案为：150． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2025•浦东新区校级模拟）已知货船B在观测站A的北偏西30°的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西60°方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西15°方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据）． 【分析】作CH⊥AB，垂足为点H．在Rt△ACH中，求出CH，AH，在Rt△BCH中，求出BH，即可得出结果． 【解答】解：如图所示，作CH⊥AB，垂足为点H． 在Rt△ACH中， ∵∠AHC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝20海里， ∴海里，海里． 在Rt△BCH中， ∵∠BHC＝90°，∠ABC＝45°， ∴BH＝CH＝10． ∴（海里）． 答：距离为27.3海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣方位角的应用，关键是根据解直角三角形的解法解答． 37．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用AB＝6及方向角求出AD的长，即为最短距离． （2）在Rt△ADC中，利用∠ACD＝53°和AD＝3求出AC的长，再计算骑行所需时间与20分钟比较即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵监测员从B处沿正南方向骑行到C处， ∴BC为正南方向，AD为东西方向， ∵AB＝6km，从A到B沿北偏西30°方向， ∴∠ABD＝30°， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin30°， ∴（km）， ∴他与湿地监测站A之间的最短距离为3km． （2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，， ∵点C位于A的南偏西53°方向， ∴∠ACD＝53°， ∴， ∵骑行速度为20km/h， ∴所需时间． ∵0.1875h＝0.1875×60＝11.25分钟， ∴从C骑行回A需要11.25分钟， ∵11：00出发，经过11.25分钟后为11：11：15， ∴能在上午11：20前到达． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•安徽模拟）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【解答】解：如图，设小正方形边长为1，AE⊥CE， ∵AC5， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键． 【练习2】（2026•安阳县一模）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解． 【解答】解：如图，连接DE， ∵DE，AD＝2，AE， ∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2， ∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 【练习3】（2026•绵阳校级模拟）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为28米的小楼房AB，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物CD的高为（　　） A． B． C． D．42m 【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，列方程即可求出CD． 【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：米． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 【练习4】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【分析】过点B作BC垂直地面于点C，设BC＝x米，则AC＝2.4x米，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，过点B作BC垂直地面于点C， 由题意可得：， 设BC＝x米，则AC＝2.4x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即x2+（2.4x）2＝262， 解得：x＝10， ∴物体离地面的高度为10米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，知道坡比的定义是解题的关键． 【练习5】（2026•扶沟县模拟）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠BAC＝46°，则小河宽AB为多少米？（　　） A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44° 【分析】在Rt△ABC中，根据∠BCA的正切函数可求小河宽AB的长度． 【解答】解：∵AB⊥PB， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝50米，∠BCA＝90°﹣∠BCA＝44°，∠BCA＝46°，tan∠BCA， ∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50•tan44°（米）． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【练习6】（2024•西安校级一模）如图，在坡度为i＝3：4的山坡上种树，已知∠C＝90°，相邻两树A、B的坡面距离为10米，则两树的水平距离AC为 　8　 米． 【分析】根据坡度比可得，设AC＝4xm，BC＝3xm，由勾股定理得102＝（3x）2+（4x）2，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意得，， 设AC＝4xm，BC＝3xm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2， ∴102＝（3x）2+（4x）2， 解得x＝2， ∴AC＝4x＝8米， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习7】（2026•德阳一模）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距　（2424）　 海里．（结果保留根号） 【分析】过Q作QD⊥AP于点D，则∠QDP＝∠QDA＝90°，由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里，再推出∠QPD＝30°，△ADQ是等腰直角三角形，得PQ＝2DQ，DQ＝DA，设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里，进而由锐角三角函数定义求出PDDQx海里，然后由PD+DA＝AP列出方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：如图，过Q作QD⊥AP于点D， 则∠QDP＝∠QDA＝90°， 由题意可知，∠BPA＝60°，∠PAQ＝45°，AP＝24海里， ∴∠QPD＝90°﹣60°＝30°，△ADQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝2DQ，DQ＝DA， 设DQ＝DA＝x海里，则PQ＝2x海里， ∵tan∠QPDtan30°， ∴PDDQx（海里）， ∵PD+DA＝AP， ∴x+x＝24， 解得：x＝1212， ∴2x＝2424， 即小岛Q与港口P相距（2424）海里， 故答案为：（2424）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【练习8】（2026•武汉一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为 　107　 cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm， ∴AC＝AB•tan65°≈10×2.14＝21.4（cm）， ∴原直角三角形玻璃的面积AB•AC10×21.4＝107（cm2）， 故答案为：107． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【练习9】（2025秋•松江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，，点D在边BC上，且∠ADC＝120°． （1）求BD的长； （2）求∠CAD的余弦值． 【分析】（1）如图，过点A作AH⊥BD于点H．解直角三角形求出BH，DH可得结论； （2）过点D作DJ⊥AC于点J．想办法求出AJ可得结论． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BD于点H． ∵∠B＝45°，∠AHB＝90°， ∴AH＝BHAB， ∵∠ADC＝120°， ∴∠ADH＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∴DHAH＝1， ∴BD＝BH+DH＝1； （2）过点D作DJ⊥AC于点J． ∵∠AHD＝90°，∠DAH＝30°， ∴AD＝2DH＝2， ∵AC， ∴CH2， ∴CD＝CH﹣DH＝1， ∵•AC•DJ•CD•AH， ∴DJ， ∴AJ， ∴cos∠CAD． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【练习10】（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠ACB的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长． 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出CF，AF，再根据正切的定义可得答案； （2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出CD，再证明△ABD∽△ECD，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴， ∴在Rt△ACF中，， ∴； （2）∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△ACF中，， ∴在Rt△BDC中，， ∴， ∴， 又∵∠BAD＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴，即， ∴EC． 【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 【练习11】（2026•汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5米，GQ＝HR＝12米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L， 由题意得：OL⊥PK， ∴∠OLP＝90°， ∵∠POD＝α， ∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α， ∴β＝90°﹣α； （2）延长GQ交EF于点M， 由题意得：GQ＝HR＝12m，GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5m， 设EM＝x米， 在Rt△EGM中，∠GEM＝60°， ∴（米）， 在Rt△EQM中，∠QEM＝45°， ∴QM＝EM•tan45°＝x（米）， ∵GM﹣QM＝GQ， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这是快速解题的基石。 规范画图：解应用题时，先画出直角三角形示意图，标注已知量和未知量，避免混淆。 方法归类：将题目按"知两边求角""知一边一角求边""双直角三角形"等类型归类，总结通法。 关注实际背景：仰角俯角、坡度坡角、方向角是中考热点，多联系生活场景理解概念。 限时训练：每道题控制在 5~8 分钟，提升计算速度和准确性，注意近似计算的要求。 【作业1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义，设AC＝12x，BC＝5x，勾股定理得到AB＝13x，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴设AC＝12x，BC＝5x， ∴， ∴； 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 【作业2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据点A的坐标求出OB、AB，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B， ∵点A的坐标是（8，12）， ∴OB＝8，AB＝12， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，关键是坐标与图形性质的熟练掌握． 【作业3】（2024秋•闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 【分析】过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念计算即可． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形BEDC为矩形， ∴BE＝CD＝2米， 由题意得：AE＝7﹣2﹣1＝4（米）， ∴斜坡AB的坡比是：BE：AE＝2：4＝1：2， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【作业4】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解． 【作业5】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为　1　 ． 【分析】如图标记格点E，连接AD，BD，则，由此可得∠DAB＝∠CDE，所以∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，根据外角定理可得∠AOC＝∠ADE＝45°即可解答． 【解答】解： 方法一：如图标记格点E，连接AD，BD， 设小正方形的边长均为1， ∴，， ∵∠ADB＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴， ∵， ∴∠DAB＝∠CDE， ∴∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC， ∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∠ADE＝∠CDE+∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝∠ADE＝45°， ∴tan∠AOC＝1． 方法二：如图可得，Rt△AHB为等腰三角形， ∴∠HAB＝45°， ∵AC∥HD，AC＝HD， ∴四边形ACDH是平行四边形， ∴AH∥DC， ∴tan∠AOC＝tan∠HAB＝tan45°＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键． 【作业6】（2026•武昌区一模）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解． 【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝90m， ∴∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键． 【作业7】（2026•通许县一模）从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内． （1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） （2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【分析】（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，根据三角函数求出CQ，根据DE＝CP＝CQ+PQ即可得解； （2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时AD，比较AD与AM大小关系，即可得解． 【解答】解：（1）如图2，过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，则∠ABQ＝∠BQC＝90°， 由题意得：四边形CDEP，ABQP都是矩形， ∵∠ABC＝143°， ∴∠CBQ＝143°﹣90°＝53°， 在Rt△BCQ中，BC＝70cm， ∴CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56（cm）， ∵CD∥l，PQ＝AB＝50cm， ∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106（cm）， 答：手臂端点D离操作台l的高度DE约为106cm； （2）手臂端点D能碰到点M．理由如下： 如图3， 当B、C、D三点共线时，BD＝60+70＝130（cm），AB＝50cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD120（cm）， ∵120cm＞110cm， ∴手臂端点D能碰到点M． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业8】（2026•惠东县模拟）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图． 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1： （1）某一时刻测得AD＝0.8米， ①请直接写出tan∠ADE＝　　 ； ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？说明理由． 【分析】任务1：①由DF＝4DE＝2可得答案；如图，过E作EI⊥AD于I，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，再求出GJ＝DF＝2，从而结合，可证sin∠α＝sin∠IDE，最后利用三角函数即可得出GH的长度； 任务2：如图，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，在Rt△IDE中，米，米，可得BD＝2.5﹣0.5＝2米，在Rt△DBG中，米，在Rt△GHJ中，米，在Rt△PQH中，当PQ＝1时，米，进一步求解即可． 【解答】解：任务1：①∵悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍， ∴DF＝4DE＝2（米）； 如图，过E作EI⊥AD于I，而AE＝DE＝0.5，AD＝0.8， ∴AI＝DI＝0.4， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J， 结合题意可得：四边形DGJF为矩形， ∴∠FDG＝∠DGJ＝90°， ∵∠IDE+∠BDG＝90°，∠BDG+∠BGD＝90°， ∠BGD+∠JGH＝90°，∠JGH+α＝90°， ∴∠ADE＝α， ∴sinα＝sin∠IDE， 由条件可知GJ＝DF＝2米． 在Rt△GJH中，， 又∵， ∴， 解得：米， ∴此时影子GH的长度为米； 任务2：小明会被照射到． 理由如下：如图，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P． 由条件可知∠IDE＝∠α＝∠DGB， 由条件可知△IDE是等边三角形， ， ∴米， ∴BD＝2.5﹣0.5＝2（米）． 米， 米， 当PQ＝1时，米， ∴小明刚好被照射到时离B点的距离为， ∴小明会被照射到． 【点评】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． 【作业9】（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【分析】（1）作MN垂直车身于点N，求得点M到车库边BC的安全距离，与260比较即可判断能够顺畅地从车中出来； （2）设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，求得FG的长度，与270比较即可判断汽车是否占用到人行道． 【解答】解：（1）驾驶员能够顺畅地从车中出来． 理由：如图，作MN垂直车身于点N，则∠MNP＝90°， 由题意得：∠MPN＝25°，MP＝100cm， ∴MN＝100×sin25°≈42（cm）， ∴驾驶员那的车门打开需要的距离为：42+10185＝252cm， ∵252＜260， ∴驾驶员能够顺畅地从车中出来； （2）汽车不会占用到人行道． 理由：如图，设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，则∠DNM＝∠MPQ＝∠QMD＝90°，四边形DFPN是矩形，MQ为点Q到DE的最短距离， ∴FP＝DN，NP＝DF， ∵FC＝10185＝210cm， ∴DF＝260﹣210＝50cm， ∴NP＝50cm， ∵∠ADM＝143°， ∴∠DMN＝53°， ∴∠PMQ＝90°﹣53°＝37°， ∴∠MQP＝90°﹣37°＝53°， 由题意得：MQ＝100cm， ∴PQ＝100×cos53°≈60cm，MP＝100×sin53°≈80cm， ∴MN＝MP﹣NP＝30cm， ∴DN＝30×tan53°≈40cm， ∴FP＝40cm， ∴FG＝FP+PQ+QG＝40+60+160＝260cm， ∵260＜270， ∴汽车不会占用到人行道． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2 解直角三角形（精讲+典例+练习） 优等生讲义 新沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中准确计算。 · 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能灵活运用。 · 掌握解直角三角形的基本方法（已知两边或一边一角求其余元素）。 · 应用解直角三角形解决实际问题：仰角俯角、坡度坡角、方向角等。 · 培养建模能力，将实际问题转化为直角三角形模型并求解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1. 解直角三角形 知识点① 解直角三角形的概念和方法 1. 解直角三角形的概念 对于直角三角形，除了已知其中一个直角以外共有五个元素，即三条边和两个锐角。在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 提醒：在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 2. 直角三角形的边角关系 3. 解直角三角形的五种基本类型与解法 提醒 （1）解直角三角形时，应求出所有的未知元素。 （2）解直角三角形时，为了厘清各边、各角，一般先画出一个直角三角形示意图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，再将直角三角形的边和角的正弦、余弦、正切联系起来，从而迅速求解。 【典型例题1】 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，∠A = 36°，解这个直角三角形。（结果保留一位小数） 解： ∵ ∠A = 36°，∠C = 90°， ∴ ∠B = 90° - ∠A = 54°。 ∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 提示 （1）本题是类型③（已知锐角和邻边）。求边 的长，尽量利用正切，把 放在分子上，变形得 ，通过乘法求解。 （2）求边 的长，可以利用勾股定理，但会使用近似值 ，误差累积。因此应尽量使用题中所给数据，本题用 求 ， 和 ∠A 均为原始数据。 总结 解直角三角形求边长时，如果求直角边用切（正切或余切），把所求直角边放在分子上；如果求斜边用弦（正弦或余弦），斜边只能放在分母位置。 知识点② 解非直角三角形 在解非直角三角形时，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决。作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 角和已知长度的边为原则。 对于复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角三角形，使问题转化为解直角三角形。 方法：常见解非直角三角形的两种模型，如图1、图2。 【典型例题2】 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠ACB = 75°，AC = 2，求 BC 的长。 破题思路：由内角和得 ∠A = 60°，∠A、∠B均为特殊角，可构造分别以∠A、∠B为内角的直角三角形。 解： 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。 因为 ∠B = 45°，∠ACB = 75°， 所以 ∠A = 180° - 75° - 45° = 60°。 在 Rt△ACD 中，∠A = 60°，AC = 2， 所以 。 在 Rt△BCD 中，∠B = 45°， 所以 。 知识点③ 解等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，对它的边、角求解问题可以转化为解直角三角形。 【典型例题3】 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 15，BC = 24，求它的顶角和面积。（参考数据：） 解： 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 ∵ AB = AC，AD⊥BC，BC = 24， ∴ 。 在 Rt△ABD 中，AB = 15， ∴ 。 （后续求顶角：在 Rt△ABD 中，， ∴ ∠BAD ≈ 53°（由 可得 ，故 ∠BAD ≈ 53°）， 顶角 ∠BAC = 2∠BAD ≈ 106°。 面积 。） 方法总结：解等腰三角形，常常作底边上的高，由“三线合一”性质，底边被高平分，得到两个全等的直角三角形，将问题转化为解直角三角形（如本例转化为解直角三角形的类型②求解）。 ☆2. 解直角三角形的应用 知识点④ 仰角、俯角问题 【典型例题4】 如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ______。（用“∠1”“∠2”“∠3”或“∠4”表示） 解析：在点 A 处测得点 B 处的仰角与在点 B 处测得点 A 处的俯角是水平线间的一对内错角。 答案：∠4 例2 如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 的仰角为 45°，测得该建筑底部 C 的俯角为 17°。若无人机的飞行高度 AD 为 62 m，该建筑的高度 BC 约为多少米？（参考数据：，，） 解： 如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴ EC = AD = 62 m。 在 Rt△AEC 中，， 则 (m)。 在 Rt△AEB 中，， ∴ (m)。 ∴ (m)。 答：该建筑的高度 BC 约为 262 m。 总结：解有关仰角、俯角问题的关键：正确识别仰角、俯角。首先要确认观察点位置，再以观察点为中心，找出水平线和铅垂线，然后看视线方向是在水平线的上方还是下方，向上看是仰角，向下看是俯角。 知识点⑤ 坡度、坡角问题 提醒： （1）坡度通常写成 的形式。 （2）坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡。 （3）在实际问题中，若已知坡比，可求斜坡的坡角；反之，若已知坡角 α，可求出坡度（或坡比）。所依据的关系式为 。 【典型例题5】 如图，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m，背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比），则背水坡 CD 的坡长为 ______ m。 解析： 迎水坡 AB 的坡角 α = 45°，坡长 m， ∴ (m)。 背水坡 CD 的坡度 （i 为 DF 与 FC 的比）， ∴ ， ∴ ∠C = 30°， ∴ m。 答案：12 知识点⑥ 方向角问题 提醒 （1）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形。 （2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的。 【典型例题6】 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60° 方向上，一艘轮船从小岛 A 出发，由西向东航行 24 n mile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离约是多少 n mile？（结果保留一位小数，） 解析： 如图，过点 P 作 PD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D。由题意，得 ∠PAB = 30°，∠PBD = 60°，AB = 24 n mile。∴ ∠PAB = ∠APB（∵ 外角等于不相邻两内角和），∴ BP = AB = 24 n mile。在 Rt△PBD 中， (n mile)。 答案：20.8 总结：实际问题中常见的基本图形及相应的关系式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】解直角三角形 （第1—12题） ※ 方法总结： · 知两边求角：用三角函数（sin / cos / tan）的逆运算求角度。 · 知一边一角求边：根据三角函数定义列出比例式，再结合勾股定理。 · 双直角三角形：通过公共边或相等角建立联系，列方程组求解。 · 注意：计算时优先使用已知数据，避免中间误差传递。 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 2．（2026•澧县一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 3．（2026•响水县模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•路南区校级月考）如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 5．（2026•深圳校级模拟）如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 6．（2025秋•上海期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，联结BD，，CH⊥BD于H，下列两个说法：①；②．下列说法中正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②一定都正确 D．①②一定都错误 7．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　 　 ． 8．（2026•罗源县校级模拟）如图，A，B，C均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则cosB的值为　 　 ． 9．（2025秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，BC＝5，cotA＝2，，D是AB的中点．E是线段AC延长线上一点，联结BE，如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等，那么AE的长是 　 　 ． 10．（2026•浙江模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 11．（2025秋•闵行区校级月考）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，tan∠A＝2，E是BC边上的点，联结DE． （1）求BD的长； （2）如果，求tan∠BDE的值． 12．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【考点2】解直角三角形的应用 （第13—21题） ※ 方法总结： · 建立模型：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知量和未知量。 · 选择三角函数：根据已知边和所求边的关系，选择合适的 sin/cos/tan。 · 近似计算：注意题目要求的精确度，合理使用参考数据。 · 检验合理性：计算结果要符合实际情境（如高度为正、角度在范围内）。 13．（2025秋•东台市期末）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　） A．15sin36°米 B．米 C．15tan36°米 D．米 14．（2026•深圳一模）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 15．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 16．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　 　 cm． 17．（2026•长沙模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 　 　 ． 18．（2025•洪山区模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　 　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 19．（2025秋•青浦区校级期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 20．（2026•宝山区二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为α，折射角为β，我们把n称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，ABCD为一圆柱形敞口容器的纵切面，BC＝32cm，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点O，A，C恰好共线，此时∠BAC＝53°．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG＝7cm．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求容器的高度AB． （2）求水的折射率n． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G′移动到BC的三等分点处（CG′CB），求水面上升的高度EE′（结果精确到0.1cm）． 21．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【考点3】坡度坡角问题 （第22—26题） ※ 方法总结： · 坡比定义：i = h / l = tan α，其中 α 为坡角。 · 已知坡比求三角函数：设垂直高度为 kx，水平距离为 mx，利用勾股定理求斜边。 · 实际问题：注意坡面长度、水平距离、垂直高度三者的关系。 · 易错点：坡比是比值，不是角度；注意单位统一。 22．（2025秋•芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　 　 米． 23．（2026•武汉模拟）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是　 　 m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）． 24．（2026•永宁县一模）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC、BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为50cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 　 　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73） 25．（2026•合肥模拟）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 26．（2025秋•重庆期中）如图1是重庆文德中学校车库门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm，过点C作CM平行于水平面，垂足为M，若CD与水平地面所成的角的度数为35°．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700） （1）求显示屏所在部分的宽度CM（结果保留一位小数）； （2）求镜头A到地面的距离（结果保留一位小数）． 【考点4】仰角俯角问题 （第27—31题） ※ 方法总结： · 识别仰角/俯角：仰角是向上看，俯角是向下看，均在水平线上方/下方。 · 构造直角三角形：过观测点作水平线，将视线与水平线的夹角作为锐角。 · 常用关系：高度 = 水平距离 × tan(仰角)（或俯角）。 · 多角度问题：通过两个观测点建立方程组，求解高度或距离。 27．（2026•建昌县模拟）港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”寓意“扬帆起航”，某校兴趣小组同学为了测量该桥主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是　 　 ．（结果保留根号） 28．（2026•浙江一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　 　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 29．（2026•大连模拟）宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒AB的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面200m的C点，测得风电塔筒顶端A的俯角为21°，再将无人机沿水平方向飞行40m到达点D，测得风电塔筒底端B的俯角为45°，则风电塔筒AB的高度约为 　 　 m． （结果精确到1m，参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 30．（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 31．（2026•响水县模拟）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【考点5】方向角问题 （第32—37题） ※ 方法总结： · 画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向。 · 转化为角度：方向角"北偏东 x°"即从正北向东转 x°。 · 构造直角三角形：通过方位角关系，找出直角三角形中的锐角。 · 注意：多个方向角时，常需利用平行线性质或三角形内角和求角度。 32．（2026春•息县月考）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 33．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 34．（2024春•江岸区校级月考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距A港口100海里处，一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向上，B港口在货轮的北偏西70°方向，则此时货轮与A港口的距离为 　 　 海里．（结果取整数）（sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，） 35．（2026春•城区校级期末）教学楼P的南偏东60°方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东30°方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为　 　 米． 36．（2025•浦东新区校级模拟）已知货船B在观测站A的北偏西30°的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西60°方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西15°方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据）． 37．（2026•包河区校级模拟）某环保监测员上午9：00从湿地监测站A出发，沿北偏西30°方向骑行6km到达鸟类观测点B，观测50分钟后从B处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站A南偏西53°方向的水文监测点C处，此时为上午10：30，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点B骑行到水文监测点C的途中，他与湿地监测站A之间的最短距离； （2）上午11：00，监测员完成工作后，若以20km/h的平均速度从水文监测点C骑行回湿地监测站A，他能否在上午11：20前到达？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026•安徽模拟）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2026•安阳县一模）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习3】（2026•绵阳校级模拟）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为28米的小楼房AB，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物CD的高为（　　） A． B． C． D．42m 【练习4】（2025秋•浦东新区期末）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【练习5】（2026•扶沟县模拟）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠BAC＝46°，则小河宽AB为多少米？（　　） A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44° 【练习6】（2024•西安校级一模）如图，在坡度为i＝3：4的山坡上种树，已知∠C＝90°，相邻两树A、B的坡面距离为10米，则两树的水平距离AC为 　 　 米． 【练习7】（2026•德阳一模）如图，在港口P的南偏东60°方向有一座小岛Q，一艘船从港口P出发沿正东方向行驶24海里后到达A处，在A处测得小岛Q恰在其西南方向，那么小岛Q与港口P相距　 　 海里．（结果保留根号） 【练习8】（2026•武汉一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，则原直角三角形玻璃的面积为 　 　 cm2．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【练习9】（2025秋•松江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，，点D在边BC上，且∠ADC＝120°． （1）求BD的长； （2）求∠CAD的余弦值． 【练习10】（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠ACB的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长． 【练习11】（2026•汝南县三模）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这是快速解题的基石。 规范画图：解应用题时，先画出直角三角形示意图，标注已知量和未知量，避免混淆。 方法归类：将题目按"知两边求角""知一边一角求边""双直角三角形"等类型归类，总结通法。 关注实际背景：仰角俯角、坡度坡角、方向角是中考热点，多联系生活场景理解概念。 限时训练：每道题控制在 5~8 分钟，提升计算速度和准确性，注意近似计算的要求。 【作业1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2024秋•闵行区期末）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 【作业4】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【作业5】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为　 　 ． 【作业6】（2026•武昌区一模）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 【作业7】（2026•通许县一模）从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内． （1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） （2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【作业8】（2026•惠东县模拟）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图． 已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1： （1）某一时刻测得AD＝0.8米， ①请直接写出tan∠ADE＝　 　 ； ②请求出此时影子GH的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？说明理由． 【作业9】（2026•海门区校级模拟）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $