专题28.1 成比例的线段 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦成比例的线段核心知识点，系统梳理线段的比、成比例线段、比例性质（基本性质、合比、分比、等比）、黄金分割及平行线分线段成比例定理，构建从基础概念到定理应用的递进式学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，通过典例解析（如比例性质推导、黄金分割实际应用）培养学生抽象能力与推理意识，精选练习覆盖几何与实际问题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

专题28.1 成比例的线段 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握比例的基本性质及变形（合比、分比、等比）。 · 理解比例线段的概念，能判断线段是否成比例。 · 掌握黄金分割的定义与计算，能解决相关几何问题。 · 熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论。 · 能综合运用比例知识解决几何、实际应用问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：线段的比 1．线段的比 两条线段的长度的比叫作两条线段的比. 提醒 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位度量. 例1 求线段a与线段b的比，其中a=3m,b=150dm. 解：a:b=3m:150dm=30dm:150dm=1:5. 2．线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 提醒 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值 总是正数. 例2 已知点B在线段AC上，BC=3A.求下列各组线段的比值. (1)AB:BC; (2)AC:AB; (3)BC:AC. 解：如图，设AB=k，则BC=3k，则AC=4k. (1) (2) (3) ☆知识点:2：线段成比例 1．线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d(或表示为，就说a、b、c、d成比例 a、d是比例外项，b、c是比例内项. 提醒 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d是比例线段，a:b=c:d(或表示为，那么a是第一比例项、b是第二比例项、c是第三比例项、d是第四比例项. 例3 下列各组线段中，成比例的是 . ①5cm、6cm、7cm、8dm; ②3cm、6m、2cm、5m; ③2cm、4cm、6cm、8cm; ④12cm、8cm、15cm、10cm. 解析：8dm=80cm,6m=600cm,5m=500cm 序号 排序 方法 结论 ① 5、6、7、80 不成比例 ② 2、3、500、600 不成比例 ③ 2、4、6、8 不成比例 ④ 8、10、12、15 成比例 答案：④ 注意 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大（或按由大到小）的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 2．比例中项 如果三条线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段b叫作线段a、c的比例中项. 提醒 由比例式求线段长、比例中项时，应为正数. ☆知识点3：比例的性质 1．比例的基本性质 如果，那么ad=bc. 提醒 （1）还可以得到：如果，那么，其中abcd≠0. 比例式 等积式 多个 唯一 （2）如果，那么 2．合比性质 如果，那么合比性质证明如下： 证法1 由已知，不妨设比值为k， 证法2 即，可得a=kb,c=kd. 3．分比性质 如果，那么 提醒 可以根据合比性质的证明思路，证明分比性质. 4．等比性质 如果，那么 等比性质证明如下： 证明：由，可得a=kb,c=kd,∴ 由此可得结论： 等比性质也可推广到任意有限多个相等的比的情形.例如：如果，那么 提醒 在实数范围内，要使等比性质仍然成立，要注意式中的分母不能为零，如b+等. 例4 已知，则下列结论错误的是( ). A. B. D 解析：(1）合、分比性质中，分子、分母相加、减后作分子，分母不变；(2）等比性质中，分子、分母同加后分别作分子、分母. ，故A项正确；，故B项正确；，故C 项正确；设x=2k(k≠0)，则y=3k，故，只有当k=1时，，其余情况均不等于，故D项错误. 答案：D 1．黄金分割 如图，点P将线段AB分割成两段，其中较长一段（AP）为较短一段（BP）和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2．黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为0.618． 黄金数的求解过程： 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，设线段AP的长为x，那么线段PB的长为l-x. 由，得到关于x的方程 即 解得 因为 （舍去）， 所以，线段AP的长是 由，得 例5 已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长线段MP的长是 cm. 解析：答案： 总结 利用黄金分割求线段长的解题技巧 灵活运用黄金分割的定义，根据题目条件和求解线段选择合适的公式求解. 相关公式简记为：长·全 短·长 短＝全-长 ☆知识点4： 平行线分线段成比例定理 1 定理内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例 基本图形 “A”字型 “8”字型 符号表示 定理推导: (1)“A”字型推导思路 如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h, 则 由此得 .① 同理可得 .② 由同底等高的两个三角形面积相等, 得 . ③ 由①②③得 由比例的性质,得 (2)“8”字型推导思路 如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h, 同上可得 . 提醒 (1) 在该定理中, 成比例的对应线段在同一条直线上. 图1 图2 巧记口诀 A 字型或 8 字型， 一条线上找， .(如图1、2所示) (2)在表述成比例的线段时,根据比例性质,也可写为 例 1 如图, 已知 , 求 CE 的长. 解： (平行线分线段成比例定理1). 由 ，得 . 总结 解此类题需要先弄清平行线分线段成比例定理 1 中“对应线段”“成比例”等有关概念,然后直接运用定理进行计算. ☆知识点5 平行线分线段成比例定理 2 定理内容 两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例 基本图形 符号表示 定理推导： 如图, 过点 D 作 DM // EC 分别交直线 FG、BC 干点 N、M. ∵ DE // FG, DM // EC, ∴ 四边形 DEGN 是平行四边形. 同理 NM = GC. 由 ，得 由比例的性质, 得 另一图情形可类似处理. 提醒 (1) 如果直线 与 平行, 结论仍成立. (2)当直线 过线段 DB 的中点, 即 DF = FB 时, 有 EG = GC. 也就是说:两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 例 2 如图, 已知 , 求 DE、EF 的长. 解：∵ , (平行线分线段成比例定理2). 又∵AB=3,AC=10,DF=15, 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】比例的性质（第1–13题） 方法总结： · 将乘积式转化为比例式，或反之，利用交叉相乘。 · 合比、分比、等比性质常用于代数变形。 · 设参数法（如设比值为 k）解决连比问题。 注意分母不为零，以及等比性质中分母和不为零。 1．（2026春•杨浦区校级期中）如果x、y都不为零，且5x＝6y，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的内项积等于外项积将乘积式转化为比例式即可． 【解答】解：∵x，y都不为零，且5x＝6y， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的内项积等于外项积是解题的关键． 2．（2025秋•嘉定区校级月考）如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 【分析】根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【解答】解：如果（其中b＞0，d＞0），根据比例的基本性质对选项进行逐一判断如下： A，如果，那么，选项A式子正确，不符合题意； B，如果，那么，选项B式子正确，不符合题意； C，对于，d（a+c）＝c（b+d），即ad+cd＝bc+cd，ad＝bc，由，可得ad＝bc，则选项C式子正确，不符合题意； D，例如，当a＝1，b＝2，c＝2，d＝4时，， 但是，，，所以选项D式子不一定正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 3．（2026春•青浦区校级月考）已知a：b＝4：9，且a＞3，则下列说法正确的是（　　） A．a＝4，b＝9 B．（a﹣2）：（b﹣3）＝1：3 C．3a：2b＝2：3 D．（a+4）：（b+4）＝4：9 【分析】利用设参法进行判断即可． 【解答】解：∵a：b＝4：9，且a＞3， ∴设a＝4k，b＝9k，则4k＞3，即， ∴3a：2b＝12k：18k＝2：3． 故选：C． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 4．（2026春•长宁区校级期中）下列说法中错误的是（　　） A．若A＝2B，则A：B＝6：1 B．若a：b＝19：14，则a＝19，b＝14 C．写成等积式为ad＝bc D．2，4，4，8能组成比例式 【分析】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A、若，则A：B＝6：1，故A不符合题意； B、若a：b＝19：14，则a≠19，b≠14，故B符合题意； C、写成等积式为ad＝bc，故C不符合题意； D．∵2×8＝4×4， ∴2，4，4，8能组成比例式， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 5．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 【分析】根据a、b、c三个数的和以及这三个数的比例可求出a、c的值，进而可得a+c的值． 【解答】解：∵， ∴a+c＝27+45＝72． 故选：A． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握此知识点是解题的关键． 6．（2026春•杨浦区校级期中）9是45与　　 的比例中项． 【分析】根据比例中项的定义列式求解即可． 【解答】解：设45与x的比例中项是9， ∴45x＝92＝81， ∴x， 故答案为：． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例中项的定义是解题的关键． 7．（2026春•浦东新区校级月考）若，则　　 ． 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式．代入所求代数式化简即可得到结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 8．（2026春•青浦区校级期末）已知，且a﹣3b+2c＝6，那么a＝　4　 ． 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴设， ∴a＝2t，b＝5t，c＝8t， ∴a﹣3b+2c＝2t﹣3×5t+2×8t＝2t﹣15t+16t＝3t＝6， 解得t＝2， ∴a＝2t＝2×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例的基本性质是解题的关键． 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，且b+d+f≠0，则 　　 ． 【分析】根据已知条件得出ab，cd，ef，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2　≥　 （3b）2． 【分析】设3a＝4b＝5c＝k，得，计算比较求解即可； 【解答】解：设3a＝4b＝5c＝k，则， 故， ， 当k＞0时， 由得： ， 故（a+b+c）2＞（3b）2； 当k＜0时，k2＞0， ， 当k＝0时，， 故（a+b+c）2≥（3b）2； 故答案为：≥． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 【分析】设k，则根据比例的性质得到a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k，再用k分别表示a、b、c，接着把它们分别代入a+b+c＝66得到3k+1+4k+2+5k+3＝66，解关于k的方程，从而可求出a、b、c的值． 【解答】解：设k，则a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k， ∴a＝3k+1，b＝4k+2，c＝5k+3， ∵a+b+c＝66， ∴3k+1+4k+2+5k+3＝66， 解得k＝5， ∴a＝3×5+1＝16，b＝4×5+2＝22，c＝5×5+3＝28． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 12．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 【分析】讨论：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质得到k，再化简分式得到k；当a+b+c+d＝0，则b+c+d＝﹣a，所以k，约分得到k＝﹣2． 【解答】解：当a+b+c+d≠0时， ∵k， ∴k， 即k， ∴k； 当a+b+c+d＝0， ∴b+c+d＝﹣a， ∴k， 解得k＝﹣2， 综上所述，k的值为或﹣2． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 13．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【分析】根据比例的性质，利用设参数法进行求解即可． 【解答】解：由题意得， 设，则x＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k， ∴z＝2k，y＝2k， ∴． 【点评】本题考查的是比例的性质，能利用设出比例系数的方法求解是解题的关键． 【考点2】比例线段（第14–21题） 方法总结： · 判断成比例线段：验证最大项与最小项的乘积是否等于另外两项的乘积。 · 比例中项问题：直接应用 b² = ac，注意线段长度为正。 · 结合三角形边长、周长、面积等构建比例式。 14．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据题意得2：3＝x：6，根据比例的基本性质即可求解． 【解答】解：根据题意得2：3＝x：6， 解得x＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解． 15．（2025秋•杨浦区校级期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（　　） A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm 【分析】根据比例中项的定义，求解即可． 【解答】解：∵c是a、b的比例中项， ∴c2＝ab， ∵a＝9cm，b＝4cm， ∴c2＝36， ∵c＞0， ∴c＝6cm． 故选：A． 【点评】本题考查比例线段，比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型． 16．（2025秋•松江区校级月考）如果四条线段a、b、c、d满足，则下列等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：，则，不能得到，故选项A错误，不符合题意； ，则，不能得到，故选项B错误，不符合题意； ，且当b﹣d≠0时，，故选项C错误，不符合题意； ，则，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键． 17．（2025秋•浦东新区期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，2cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，2cm，6cm，3cm 【分析】根据成比例线段的定义对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为1×3≠2×2， 所以A选项不符合题意； 因为2×5≠3×4， 所以B选项不符合题意； 因为2×6＝3×4， 所以C选项不符合题意； 因为2×6≠3×3， 所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知线段成比例的定义是解题的关键． 18．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是　0.00785　 平方厘米．（π取3.14） 【分析】先根据比例尺的定义求出圆形零件的实际半径，再利用圆的面积公式计算实际面积，即可得到结果． 【解答】解：设该圆形零件的实际半径为r厘米， ∵在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米， ∴80：1＝4：r 解得． ∴S＝3.14×（0.05）2＝3.14×0.0025＝0.00785（平方厘米）． 故答案为：0.00785． 【点评】本题考查的是比例线段，圆的面积，有关圆的应用题，熟知以上知识是解题的关键． 19．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为　1、4或9　 ． 【分析】根据比例的基本性质，分三种不同情况讨论计算即可． 【解答】解：当2和x为比例的两个外项时2x＝3×6，解得x＝9； 当3和x为比例的两个外项时3x＝2×6，解得x＝4； 当6和x为比例的两个外项时6x＝2×3，解得x＝1； 故答案为：1、4或9． 【点评】本题考查比例的意义与基本性质，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 20．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 【分析】（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，然根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10． ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10； （2）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，则a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积为ab＝60， ∴5k×12k＝60，解得k（负值舍去）， 所以a＝5． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了勾股定理的逆定理． 21．（2026春•浦东新区校级月考）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【分析】（1）设a＝3k，b＝2k，c＝4k，构建方程求解； （2）根据比例中项的定义构建方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【考点3】黄金分割（第22–28题） 方法总结： · 黄金比 5−12 记牢，常与近似值0.618互换。 · 已知总长求黄金分割点：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 × 0.382。 黄金分割在几何、艺术、建筑中的应用题，注意分清哪一段是较长段。 22．（2026•闵行区校级开学）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可． 【解答】根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99（cm）， 设需要穿的高跟鞋是y， 根据黄金分割的定义得：， 解得：y≈8． ∴为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为8cm． 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2025秋•闵行区校级月考）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm， 所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 24．（2024秋•金山区期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为　　 分米（结果保留根号）． 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xdm，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xdm，则： ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答关键． 25．（2025秋•金山区期末）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高AC为468米，其上球体点B位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果．那么上球体到塔底的距离AB为　（）　 米．（结果保留根号的形式） 【分析】根据黄金分割比求解即可． 【解答】解：∵点B是线段AC上的一个黄金分割点，且AB＞BC，AC＝468米， ∴那么上球体到塔底的距离AB468＝（234234）米， 故答案为：（）． 【点评】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 26．（2025秋•嘉定区校级月考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点C为AB的黄金分割点，且，若AB＝2cm，则AC的长为　　 cm．（结果保留根号） 【分析】将AB＝2cm代入计算即可． 【解答】解：∵，AB＝2cm， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义，二次根式的计算，正确理解黄金分割的定义是解题的关键． 27．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 【分析】先根据黄金矩形宽与长的比值，结合已知的边长求出矩形的宽，再利用矩形周长公式计算即可得到结果． 【解答】解：设该黄金矩形的宽为xcm， 由题意得：， 2x＝10（1）， 解得：， ∴， 即该黄金矩形图片的周长为． 【点评】本题考查黄金分割，二次根式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【分析】（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，由题意，，即，整理得x2+x﹣1＝0，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设△ABC中AB边上的高为h，可得，即，进而可得点D是BC的黄金分割点； ②解：设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s，根据，可得，整理得s2﹣12s+16＝0，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，根据题意可知， ∴， 整理得x2+x﹣1＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． （2）①设△ABC中AB边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴点D是BC的黄金分割点． ②设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s， 由条件可得， 整理得s2﹣12s+16＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴△ACD的面积为． 【点评】本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【考点4】平行线分线段成比例（第29–41题） 方法总结： · 基本图形：三条平行线截两条直线，对应线段成比例。 · 三角形中平行线截边：得到相似三角形或比例线段。 · 常用辅助线：过点作平行线构造基本图形。 · 注意对应线段的顺序，避免比例写反。 29．（2026春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知DE∥BC，AB＝2AD，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，DE∥BC， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 由已知条件，无法判断AB与AE的关系，故B错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 30．（2025秋•虹口区校级月考）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 【分析】分别根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【解答】解：方法1， ∵AC∥BD，BD＝2AC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； 方法2，如图，连接BC，AD， ∵BC∥AD，AD＝2BC， ∴， ∴点P把线段AB分成1：2的两条线段； ∴方法1，2都对． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的应用． 31．（2025秋•黄浦区期末）如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定DE∥BC的是（　　） A．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4 B．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4 C．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4 D．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4 【分析】根据平行线分线段成比例对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：因为DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4， 所以． 因为3≠2， 则， 所以DE与BC不平行， 故A选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4， 所以． 因为， 则， 所以DE与BC不平行， 故B选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4， 所以． 因为， 则， 所以DE与BC不平行， 故C选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4， 所以， 所以， 所以DE∥BC， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 32．（2026春•闵行区校级单元）已知：MN∥PQ，a≠b，c≠x，则满足关系式x的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵MN∥PQ， ∴，则x，故错误； B、∵MN∥PQ， ∴，则x，故正确； C、∵MN∥PQ， ∴，则x，故错误； D、∵MN∥PQ， ∴，则x，故错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，找准对应关系，灵活运用定理是解题的关键． 33．（2025秋•浦东新区月考）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝6，DF＝9，那么下列结论正确的是（　　） A．BC：EF＝1：1 B．BC：AB＝1：2 C．AD：CF＝2：3 D．BE：CF＝2：3 【分析】由平行线分线段成比例定理得出，由比例的性质得出，即可得出结论． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴BC：AB＝1：2； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键． 34．（2026春•浦东新区校级月考）如图，DC∥EF∥GH∥AB，BC＝12，DE＝EG＝GA，则BF＝　8　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵DC∥EF∥GH∥AB，DE＝EG＝GA， ∴， ∵BC＝12， ∴， ∴BF＝FH+HB＝4+4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 35．（2026春•杨浦区校级月考）在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CD与BF交于点E，，CA＝3CF，则　　 ． 【分析】先过点F作FG∥CD，交AB与点G，得出，，再根据CA＝3CF，求出DGAG，设DG＝x，则AG＝2x，再根据，得出BG＝3x，从而求出即可． 【解答】解：过点F作FG∥CD，交AB与点G， 则，， ∵CA＝3CF， ∴2， ∴DGAG， ∴设DG＝x，则AG＝2x， ∵， ∴BD＝2x， ∴BG＝3x， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出平行线，得到成比例的线段，注意要把比例线段对应起来． 36．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　5.4　 ． 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， 解得 CN＝3.6， ∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4 故答案为：5.4． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 37．（2026春•闵行区校级月考）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　18　 ． 【分析】由题意可得DE∥FG∥BC，，，从而得出△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，再由相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵DE∥FG∥BC，，， ∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE， ∴，， ∴DE＝6，BC＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出AB即可． 【解答】解：（1）∵EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8， ∴， ∴， ∴； （2）∵DE∥BC，，AE＝8， ∴， ∵AD＝10， ∴， 解得：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 39．（2025秋•六盘水期中）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果EF：DE＝5：3，AB＝4，求AC的长． （2）如果AB＝6，BC＝8，DF＝12，求EF的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得BC的长，进一步可求得AC的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得EF的长． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，EF：DE＝5：3，AB＝4， ∴， ∴， ∴BC， ∴AC＝AB+BC； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝12， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 40．（2025秋•虹口区期中）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知AB＝5，BC＝3，DF＝12． （1）求DE的长； （2）点O是直线l4与l5的交点，如果BE＝2，DA＝3，求CF的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求得，即可求得DE的长； （2）利用平行线性质得到△OBE∽△OAD，则，可得，可求得OA的长，然后可求得OC的长，再利用即可求得CF的长． 【解答】解：（1）由题意可知，l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝5，BC＝3，DF＝12． ∴AC＝8， ∴， ∴DE． （2）由题意可知，l1∥l2∥l3， ∴∠OBE＝∠OAD，∠OEB＝∠ODA， ∴△OBE∽△OAD， ∴， ∴， ∵BE＝2，DA＝3，AB＝5， ∴， ∴OA＝3， ∴OC＝AC﹣OA＝8﹣3＝5， ∵l1∥l2∥l3， ∴，即， ∴CF＝5，即CF的长为5． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 41．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值； （2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得 【解答】（1）解：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∵点D为BC中点， ∴点E是AB中点，且， ∴； （2）证明：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∴， 又∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•闵行区校级期中）如果x、y都不为零，且3x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【解答】解：由题意得， 故选：B． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例的内项之积等于外项之积是解题的关键． 【练习2】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【分析】根据比例线段的定义，进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为1×4≠2×3， 所以A选项不符合题意； 因为2×5≠3×4， 所以B选项不符合题意； 因为1×5≠2×3， 所以C选项不符合题意； 因为2×6＝3×4， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 【练习3】（2025•徐汇区一模）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC． 【解答】解：如图， 若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例， 即，，， 选项A不能判断DE∥BC， 故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行． 【练习4】（2025秋•青浦区期末）如图，已知AC∥EF∥DB，AF：BF＝2：3，CD＝10，CE＝　4　 ． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵AC∥EF∥DB， ∴， ∴CECD＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【练习5】（2025秋•杨浦区校级期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝　8　 ． 【分析】设S△BDE＝x，则可得出△ABE，△BCE的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将x的值代入，即可得出答案； 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， 设S△BDE＝x， 又∵S△BCE＝24，S△ADE＝4， ∴， ∴解方程并检验得：x1＝8，x2＝﹣12（舍）， ∴S△BDE＝8． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 课后巩固 · 针对性练习 💡 复习建议 熟记比例变形：合比、分比、等比性质，注意条件限制，多做变式训练。 黄金分割计算：牢记黄金比，分清较长段与较短段，注意题目中的近似要求。 平行线成比例：强化基本图形识别，练习添加平行线构造比例关系。 综合应用：将比例与三角形、四边形、面积等结合，提升综合解题能力。 错题整理：重点整理比例对应关系错误、黄金分割计算错误等典型问题。 【作业1】（2026春•浦东新区校级期末）如果a、b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、根据比例的性质可得：4a＝3b，故A不符合题意； B、根据比例的性质可得：4a＝3b，故B不符合题意； C、根据比例的性质可得：ab＝12，故C不符合题意； D、根据比例的性质可得：3a＝4b，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业2】（2026春•普陀区校级期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【分析】根据比例的基本性质解答即可．在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质． 【解答】解：由题意得：3x＝4×12或4x＝3×12或12x＝4×3， 解得x＝16或x＝9或x＝1． 即x的值为16或9或1． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的意义，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 【作业3】（2026春•黄浦区期中）在3、4、5中添加一个数，不能使这四个数成比例的是（　　） A． B． C． D．4 【分析】根据成比例的线段的特点分析即可． 【解答】解：根据成比例的线段的特点可得： A、，这四个数成比例，不符合题意； B、，这四个数成比例，不符合题意； C、，这四个数成比例，不符合题意； D、这四个数的所有组合为3×4≠4×5，4×4≠3×5，不能使这四个数成比例，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查比例线段，正确进行计算是解题关键． 【作业4】（2025秋•浦东新区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中一定能判定DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可 【解答】解：A、由，能得到DE∥BC，符合题意； B、由，不能得到DE∥BC，不符合题意； C、由，不能得到DE∥BC，不符合题意； D、由，不能得到DE∥BC，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【作业5】（2025秋•宝山区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，，则AC等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【解答】解：因为l1∥l2∥l3， 所以． 又因为BC＝3， 则， 所以AB＝6， 所以AC＝AB+BC＝6+3＝9． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 【作业6】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是　10　 ． 【分析】根据三边长度比确定最长边对应的份数，计算总份数后，按比例分配即可求出最长边长度． 【解答】解：由条件可知：总份数为3+4+5＝12，最长边占周长的5 12， ∴最长边长度为． 故答案为：10． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）已知，则　　 ． 【分析】根据比例的性质得到a＝8b，再代入计算． 【解答】解：∵， ∴5（a+b）＝3（2a﹣b）， ∴a＝8b， ∴原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 【作业8】（2025秋•崇明区期末）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　（22）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵线段AB的长为4cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴APAB4＝（22）（cm）， 故答案为：（22）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【作业9】（2026春•闵行区校级月考）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100cm，则其身高是　162　 厘米（结果保留到整数）． 【分析】根据黄金分割的定义，黄金比值约为0.618，设头顶至肚脐的长度为x～cm，利用已知比例关系求出x，再将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加得到身高，即可求解． 【解答】解：设此人头顶至肚脐的长度为x cm，根据题意可得， 解得x≈61.8，则身高为61.8+100＝161.8≈162（cm）． 故答案为：162． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 【作业10】（2026春•虹口区校级期中）已知，求的值． 【分析】根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由，得 y，z＝2x． 3． 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y，z＝2x是解题关键． 【作业11】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若AB：BC＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案； （2）过点A作AH∥DF交BE于点G，交CF于点H，可得四边形ADEG，ADFH均为平行四边形，从而得到EG＝AD＝9，FH＝AD＝9，再由△ABG∽△ACH，可得到BG，即可求解． 【解答】解：（1）∵a∥b∥c， ∴， ∵AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴， ∴； （2）过点A作AH∥DD交CF于点H，交BE于点G， ∵a∥b∥c， ∴四边形ADEG，ADFH均为平行四边形， ∴AD＝EG＝9，FH＝AD＝9， ∵CF＝14， ∴CH＝5， ∵b∥c， ∴△ABG∽△ACH， ∴， ∵AB：BC＝2：5， ∴， 解得BG， ∴BE＝EG+BG． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【作业13】（2025秋•嘉定区校级月考）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长． 【分析】由平行线分线段成比例定理即可求出DE、OF的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF． ∴∵，， 又∵AB＝3，AC＝5，DF＝9， ∴， 解得DE， ∵OB＝1， ∴AO＝AB﹣OB＝3﹣1＝2， ∴OC＝AC﹣AO＝5﹣2＝3， ∴， ∴OF． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【作业14】（2024•虹口区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求： （1）的值； （2）线段GH的长． 【分析】（1）根据EF∥BD，则，再利用平行四边形的性质即可得出的值； （2）利用DF∥AB，则，进而得出，求出GH即可． 【解答】解：（1）∵EF∥BD， ∴， ∵BD＝12，EF＝8， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， ∴； （2）∵DF∥AB， ∴， ∴， ∵EF∥BD， ∴， ∴， ∴GH＝6． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 成比例的线段 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握比例的基本性质及变形（合比、分比、等比）。 · 理解比例线段的概念，能判断线段是否成比例。 · 掌握黄金分割的定义与计算，能解决相关几何问题。 · 熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论。 · 能综合运用比例知识解决几何、实际应用问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1：线段的比 1．线段的比 两条线段的长度的比叫作两条线段的比. 提醒 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位度量. 例1 求线段a与线段b的比，其中a=3m,b=150dm. 解：a:b=3m:150dm=30dm:150dm=1:5. 2．线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 提醒 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值 总是正数. 例2 已知点B在线段AC上，BC=3A.求下列各组线段的比值. (1)AB:BC; (2)AC:AB; (3)BC:AC. 解：如图，设AB=k，则BC=3k，则AC=4k. (1) (2) (3) ☆知识点:2：线段成比例 1．线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d(或表示为，就说a、b、c、d成比例 a、d是比例外项，b、c是比例内项. 提醒 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d是比例线段，a:b=c:d(或表示为，那么a是第一比例项、b是第二比例项、c是第三比例项、d是第四比例项. 例3 下列各组线段中，成比例的是 . ①5cm、6cm、7cm、8dm; ②3cm、6m、2cm、5m; ③2cm、4cm、6cm、8cm; ④12cm、8cm、15cm、10cm. 解析：8dm=80cm,6m=600cm,5m=500cm 序号 排序 方法 结论 ① 5、6、7、80 不成比例 ② 2、3、500、600 不成比例 ③ 2、4、6、8 不成比例 ④ 8、10、12、15 成比例 答案：④ 注意 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大（或按由大到小）的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 2．比例中项 如果三条线段a、b、c满足a:b=b:c，那么线段b叫作线段a、c的比例中项. 提醒 由比例式求线段长、比例中项时，应为正数. ☆知识点3：比例的性质 1．比例的基本性质 如果，那么ad=bc. 提醒 （1）还可以得到：如果，那么，其中abcd≠0. 比例式 等积式 多个 唯一 （2）如果，那么 2．合比性质 如果，那么合比性质证明如下： 证法1 由已知，不妨设比值为k， 证法2 即，可得a=kb,c=kd. 3．分比性质 如果，那么 提醒 可以根据合比性质的证明思路，证明分比性质. 4．等比性质 如果，那么 等比性质证明如下： 证明：由，可得a=kb,c=kd,∴ 由此可得结论： 等比性质也可推广到任意有限多个相等的比的情形.例如：如果，那么 提醒 在实数范围内，要使等比性质仍然成立，要注意式中的分母不能为零，如b+等. 例4 已知，则下列结论错误的是( ). A. B. D 解析：(1）合、分比性质中，分子、分母相加、减后作分子，分母不变；(2）等比性质中，分子、分母同加后分别作分子、分母. ，故A项正确；，故B项正确；，故C 项正确；设x=2k(k≠0)，则y=3k，故，只有当k=1时，，其余情况均不等于，故D项错误. 答案：D 1．黄金分割 如图，点P将线段AB分割成两段，其中较长一段（AP）为较短一段（BP）和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2．黄金数 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为0.618． 黄金数的求解过程： 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，设线段AP的长为x，那么线段PB的长为l-x. 由，得到关于x的方程 即 解得 因为 （舍去）， 所以，线段AP的长是 由，得 例5 已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长线段MP的长是 cm. 解析：答案： 总结 利用黄金分割求线段长的解题技巧 灵活运用黄金分割的定义，根据题目条件和求解线段选择合适的公式求解. 相关公式简记为：长·全 短·长 短＝全-长 ☆知识点4： 平行线分线段成比例定理 1 定理内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例 基本图形 “A”字型 “8”字型 符号表示 定理推导: (1)“A”字型推导思路 如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h, 则 由此得 .① 同理可得 .② 由同底等高的两个三角形面积相等, 得 . ③ 由①②③得 由比例的性质,得 (2)“8”字型推导思路 如图,分别连接 BE、DC. 设点 E 到 AB 的距离为 h, 同上可得 . 提醒 (1) 在该定理中, 成比例的对应线段在同一条直线上. 图1 图2 巧记口诀 A 字型或 8 字型， 一条线上找， .(如图1、2所示) (2)在表述成比例的线段时,根据比例性质,也可写为 例 1 如图, 已知 , 求 CE 的长. 解： (平行线分线段成比例定理1). 由 ，得 . 总结 解此类题需要先弄清平行线分线段成比例定理 1 中“对应线段”“成比例”等有关概念,然后直接运用定理进行计算. ☆知识点5 平行线分线段成比例定理 2 定理内容 两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例 基本图形 符号表示 定理推导： 如图, 过点 D 作 DM // EC 分别交直线 FG、BC 干点 N、M. ∵ DE // FG, DM // EC, ∴ 四边形 DEGN 是平行四边形. 同理 NM = GC. 由 ，得 由比例的性质, 得 另一图情形可类似处理. 提醒 (1) 如果直线 与 平行, 结论仍成立. (2)当直线 过线段 DB 的中点, 即 DF = FB 时, 有 EG = GC. 也就是说:两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 例 2 如图, 已知 , 求 DE、EF 的长. 解：∵ , (平行线分线段成比例定理2). 又∵AB=3,AC=10,DF=15, 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】比例的性质（第1–13题） 方法总结： · 将乘积式转化为比例式，或反之，利用交叉相乘。 · 合比、分比、等比性质常用于代数变形。 · 设参数法（如设比值为 k）解决连比问题。 · 注意分母不为零，以及等比性质中分母和不为零。 1．（2026春•杨浦区校级期中）如果x、y都不为零，且5x＝6y，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•嘉定区校级月考）如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 3．（2026春•青浦区校级月考）已知a：b＝4：9，且a＞3，则下列说法正确的是（　　） A．a＝4，b＝9 B．（a﹣2）：（b﹣3）＝1：3 C．3a：2b＝2：3 D．（a+4）：（b+4）＝4：9 4．（2026春•长宁区校级期中）下列说法中错误的是（　　） A．若A＝2B，则A：B＝6：1 B．若a：b＝19：14，则a＝19，b＝14 C．写成等积式为ad＝bc D．2，4，4，8能组成比例式 5．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 6．（2026春•杨浦区校级期中）9是45与　 　 的比例中项． 7．（2026春•浦东新区校级月考）若，则　 　 ． 8．（2026春•青浦区校级期末）已知，且a﹣3b+2c＝6，那么a＝　 　 ． 9．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，且b+d+f≠0，则 　 　 ． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2　 　 （3b）2． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 12．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 13．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【考点2】比例线段（第14–21题） 方法总结： · 判断成比例线段：验证最大项与最小项的乘积是否等于另外两项的乘积。 · 比例中项问题：直接应用 b² = ac，注意线段长度为正。 · 结合三角形边长、周长、面积等构建比例式。 14．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 15．（2025秋•杨浦区校级期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（　　） A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm 16．（2025秋•松江区校级月考）如果四条线段a、b、c、d满足，则下列等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•浦东新区期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，2cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，2cm，6cm，3cm 18．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是　 　 平方厘米．（π取3.14） 19．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为　 　 ． 20．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 21．（2026春•浦东新区校级月考）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【考点3】黄金分割（第22–28题） 方法总结： · 黄金比 5−12 记牢，常与近似值0.618互换。 · 已知总长求黄金分割点：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 × 0.382。 黄金分割在几何、艺术、建筑中的应用题，注意分清哪一段是较长段。 22．（2026•闵行区校级开学）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 23．（2025秋•闵行区校级月考）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 24．（2024秋•金山区期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为　 　 分米（结果保留根号）． 25．（2025秋•金山区期末）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高AC为468米，其上球体点B位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果．那么上球体到塔底的距离AB为　 　 米．（结果保留根号的形式） 26．（2025秋•嘉定区校级月考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点C为AB的黄金分割点，且，若AB＝2cm，则AC的长为　 　 cm．（结果保留根号） 27．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 28．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【考点4】平行线分线段成比例（第29–41题） 方法总结： · 基本图形：三条平行线截两条直线，对应线段成比例。 · 三角形中平行线截边：得到相似三角形或比例线段。 · 常用辅助线：过点作平行线构造基本图形。 · 注意对应线段的顺序，避免比例写反。 29．（2026春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知DE∥BC，AB＝2AD，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（2025秋•虹口区校级月考）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（　　） A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错 31．（2025秋•黄浦区期末）如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定DE∥BC的是（　　） A．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4 B．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4 C．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4 D．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4 32．（2026春•闵行区校级单元）已知：MN∥PQ，a≠b，c≠x，则满足关系式x的图形是（　　） A． B． C． D． 33．（2025秋•浦东新区月考）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝6，DF＝9，那么下列结论正确的是（　　） A．BC：EF＝1：1 B．BC：AB＝1：2 C．AD：CF＝2：3 D．BE：CF＝2：3 34．（2026春•浦东新区校级月考）如图，DC∥EF∥GH∥AB，BC＝12，DE＝EG＝GA，则BF＝　 　 ． 35．（2026春•杨浦区校级月考）在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CD与BF交于点E，，CA＝3CF，则　 　 ． 36．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　 　 ． 37．（2026春•闵行区校级月考）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝3，则BC的长为　 　 ． 38．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 39．（2025秋•六盘水期中）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果EF：DE＝5：3，AB＝4，求AC的长． （2）如果AB＝6，BC＝8，DF＝12，求EF的长． 40．（2025秋•虹口区期中）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知AB＝5，BC＝3，DF＝12． （1）求DE的长； （2）点O是直线l4与l5的交点，如果BE＝2，DA＝3，求CF的长． 41．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•闵行区校级期中）如果x、y都不为零，且3x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【练习3】（2025•徐汇区一模）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2025秋•青浦区期末）如图，已知AC∥EF∥DB，AF：BF＝2：3，CD＝10，CE＝　 　 ． 【练习5】（2025秋•杨浦区校级期中）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 💡 复习建议 熟记比例变形：合比、分比、等比性质，注意条件限制，多做变式训练。 黄金分割计算：牢记黄金比，分清较长段与较短段，注意题目中的近似要求。 平行线成比例：强化基本图形识别，练习添加平行线构造比例关系。 综合应用：将比例与三角形、四边形、面积等结合，提升综合解题能力。 错题整理：重点整理比例对应关系错误、黄金分割计算错误等典型问题。 【作业1】（2026春•浦东新区校级期末）如果a、b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026春•普陀区校级期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【作业3】（2026春•黄浦区期中）在3、4、5中添加一个数，不能使这四个数成比例的是（　　） A． B． C． D．4 【作业4】（2025秋•浦东新区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中一定能判定DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•宝山区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，，则AC等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【作业6】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是　 　 ． 【作业7】（2025秋•宝山区校级期末）已知，则　 　 ． 【作业8】（2025秋•崇明区期末）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　 　 cm． 【作业9】（2026春•闵行区校级月考）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100cm，则其身高是　 　 厘米（结果保留到整数）． 【作业10】（2026春•虹口区校级期中）已知，求的值． 【作业11】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若AB：BC＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 【作业13】（2025秋•嘉定区校级月考）如图，直线AD、BE、CF分别交直线AC于点A、B、C，交直线DF于点D、E、F，且AD∥BE∥CF．已知AB＝3，AC＝5，OB＝1，DF＝9，求DE、OF的长． 【作业14】（2024•虹口区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求： （1）的值； （2）线段GH的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $