学情监测（一）第二十五章 一元二次方程（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）河南专用

**基本信息** 本卷为九年级数学上册第二十五章（一元二次方程）单元复习监测卷，融合中考真题与真实情境，全面考查知识掌握与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|一元二次方程定义、解的应用、增长率问题等|整合新疆、河南等中考真题，强化基础辨析| |填空题|5题|根与系数关系、判别式、几何应用等|融入赵爽几何法解一元二次方程，体现文化传承| |解答题|8题|解方程、实际问题（流感传染、芯片生产）、新定义“三倍根方程”等|分层设计，从基础运算到创新应用，培养模型意识与推理能力|

HN九年级数学（上册）学情监测（一） （监测范围：第二十五章） 一、选择题 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，则m的值是（ ） A. ﹣4 B. ﹣5 C. 5 D. 4 3. 方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( ) A. 2，3，－6 B. 2，－3，18 C. 2，－3，6 D. 2，3，6 4. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. （新疆中考） 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. （河南中考） 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 若，，则以，为根的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 8. 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都要赛一场，赛程共5天，每天3场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A. 5队 B. 6队 C. 8队 D. 9队 （兰州中考） 9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 （泸州中考） 10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则______． 12. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是______． 13. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是______． （山东中考） 14. 如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是______米． 15. 我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是__________． 三、解答题 16. 选择合适的方法解下列方程： （1）． （2）． 17. 已知方程的一个根是，求k的值及这个方程的另一个根． 18. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，．请利用这种方法求方程的解． 19. 已知于的元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，且为整数，求的值． 20. 广东春季是流感的高发时期，某校4月初有1人患了流感，经过两轮传染后，共有25人患流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 21. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 22. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）方程__________（填“是”或“不是”）“三倍根方程”； （2）若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值； （3）如果关于的一元二次方程是“三倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． HN九年级数学（上册）学情监测（一） （监测范围：第二十五章） 一、选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．2x2﹣1＝3x是一元二次方程，故此选项符合题意； C．x2+﹣3＝0是分式方程，故此选项不符合题意； D．2x2﹣y＝1是二元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：由一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】∵x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解， ∴x=﹣1满足一元二次方程x2+mx﹣5=0， ∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，即﹣m﹣4=0，解得，m=﹣4； 故选A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 解：方程2x2=3（x﹣6）， 去括号，得2x2=3x﹣18， 整理，得2x2﹣3x+18=0， 所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18， 故选B． 考点：一元二次方程的一般形式． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可． （新疆中考） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题思路为先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解： 移项得 ∵ 一次项系数为，一半的平方为 ∴ 等式两边同时加配方，得 整理得 ． （河南中考） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先对变形，再由得到，最后结合选项即可得到答案. 【详解】∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的求解. 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出本次比赛总场数，再根据单循环赛制的场数规律列一元二次方程，求解后得到符合题意的球队数量. 【详解】解：∵赛程共天，每天安排场比赛， ∴总比赛场数为 . 设参加比赛的球队共有队， ∵单循环赛制中每两队之间只赛一场， ∴总比赛场数可表示为 . 列方程得 , 整理得 , 因式分解得 , 解得 , , ∵球队数量为正整数， ∴舍去负根, 得, 即参加比赛的球队有队. （兰州中考） 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 视频 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （泸州中考） 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即． 【12题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出a＋b＝−3、a2+3a＝2，将其代入a2＋2a−b中，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2＋3x−2＝0的两根， ∴a＋b＝−3，a2+3a＝2， ∴a2＋2a−b＝a2+3a-（a＋b）=2-（-3）＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系结合一元二次方程的解，找出a＋b＝−3、a2+3a＝2是解题的关键． 【13题答案】 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】∵关于的一元二次方程有实数解， ∴， 解得：且， 故答案为：且 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． （山东中考） 【14题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形，根据铺花砖的面积为160平方米，即可得出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 【15题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，求出大正方形的边长为，则，得，再由小正方形的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ， ， , ， ∵小正方形的边长为，也为， ， 由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ， ． 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 【17题答案】 【答案】，这个方程的另一个根为 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：设这个方程的另一个根为m，由题意得： ，， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【18题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】阅读题干中给出方程的求解方法，我们可以把当作一个整体，设，原式可化简为，即可求得的值，接着就可以求出． 【详解】解：， 设， 方程可以变为， ， 解得：，， 当时，即，解得， 当时，即，解得； ∴原方程的解为：，． 【19题答案】 【答案】（1）a<2；（2）－1，0，1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系，用表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于的不等式，则可求得的取值范围，再求其值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）由根与系数的关系知：， 满足， ， ， 为整数， 的值为． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 【小问2详解】 解：（个） 答：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有个人会患流感． 【21题答案】 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 【22题答案】 【答案】（1）的长为，的长为 （2）不可以，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； 【小问2详解】 解：不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 【23题答案】 【答案】（1）是 （2）． （3），，之间的关系是 【解析】 【分析】（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可； （3）设一元二次方程的两个根为和，原方程可以改写为，展开并对比系数即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，， ∴方程是“三倍根方程”． 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 则，， 即，， ∴． 【小问3详解】 解：由题意，设一元二次方程的两个根为和． ∴原方程可以改写为， ∴， ∴． 解得． ∴，，之间的关系是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $