4.2 认识一次函数（第3课时 分段计费问题）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数在分段计费问题中的应用，通过复习一次函数定义激活旧知，结合出租车计费、水费等生活实例导入课题，搭建从一次函数概念到实际应用的学习支架。 以租车方案优选、水费分段计费、金属棒热胀冷缩问题构建情境链，引导学生经历“实际问题→分段建模→求解验证”过程，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（分类讨论推理）、数学语言（建立函数模型），提升学生应用意识与建模能力，为教师提供清晰的教学流程与方法指导。

4.2 认识一次函数（第3课时 分段计费问题） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.能从具体问题中辨别一次函数与正比例函数，理解、的实际意义，能用自己的语言描述函数模型在解决实际问题中的作用。 2.能根据文字叙述或表格信息，设出，代入已知条件求出、的值，准确写出函数关系式。 3.能针对分段计费问题，正确判断自变量所在的计费区间，写出该区间内的一次函数解析式；能根据给出费用反推出自变量的值，并合理解释结果的实际意义。 教学重点 1.根据实际问题建立一次函数关系式； 2.利用一次函数解决分段计费及方案优选问题。 教学难点 1.分段计费问题中不同计费区间的函数关系式的建立； 2.根据费用值判断所属计费档位并进行逆向求值。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第二节《认识一次函数》（第 3 课时 分段计费问题），是学生掌握一次函数、正比例函数概念后的一节应用课，承担着引导学生运用一次函数模型解决现实分段变化问题的作用，对培养学生函数应用意识有着重要意义。 依照课标要求，教材将内容划分为分段情境分析、分段函数表达式构建、利用函数解决实际问题三个模块，从生活中的水费、话费等分段计费情境引入，通过实例引导学生分析不同区间内变量的对应关系，分段列出函数关系式，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “读懂情境 — 划分区间 — 建立函数模型 — 求解检验” 的逻辑线推进，明确分段函数在不同自变量取值范围下对应不同表达式。本节承接一次函数概念，也为后续函数综合应用积累经验，起到承上启下的作用。教材借助真实生活问题，渗透数学建模思想，落实数学抽象与数学运算核心素养，让学生体会一次函数在解决分段变化实际问题中的实用价值。 学情分析 学生在本课前已经学习了一元一次方程、整式运算以及变量之间的关系，具备从简单实际问题中寻找等量关系、列出方程并求解的能力。对于“一次函数与正比例函数的概念”的归纳，学生已具备一定抽象概括水平，较容易掌握。但分段计费问题涉及分类讨论，学生需要先判断自变量的取值范围，再依据不同的计费标准列式，这对刚接触函数应用的学生而言有一定困难，容易忽略区间分界点或错误套用其他区间的表达式。因此，教学中应借助租车、水费、出租车费等熟悉的情境，引导学生仔细审题、分步建模，突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 教师提问：什么是一次函数？ 学生回答后，教师板书： 如果两个变量 、 之间的对应关系可以表示成 （ 为常数，）的形式，那么称 是 的一次函数。特别地，当 时，称 是 的正比例函数，即 【教师追问】在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 【学生举例】出租车计费、水费分段收费、电话套餐选择等。 教师顺势引出课题：今天我们就来研究一次函数在分段计费问题中的应用。 通过复习一次函数与正比例函数的定义，激活学生已有知识经验；从生活情境出发，激发学习兴趣，明确本节课的学习方向。 探究点1：一次函数在方案优选问题中的应用 【问题引入】 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1 km按1 km计算）。 （1）假设该单位用车里程为30 km，你建议租用哪家公司的客车？ （2）假设该单位用车里程为52 km，你建议租用哪家公司的客车？ （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 【师生活动】 教师引导学生分别用含行驶里程 的式子表示甲、乙两家公司的收费 、，再代入具体里程计算比较。学生独立完成，小组交流，教师板演。 【详细过程】 （1）当用车里程为30 km时： 甲公司收费： 乙公司收费： 因为 ，所以选择甲公司。 （2）当用车里程为52 km时： 甲公司收费： 乙公司收费： 因为 ，所以选择乙公司。 （3）设大客车行驶 km，则 甲公司收费： 乙公司收费： 当两家公司收费相同时， 解得： 答：用车里程为40 km时，两家出租车公司的收费相同。 同时可知：用车里程小于40 km时选甲公司，大于40 km时选乙公司。 【方法技巧】 紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，再写成一次函数的形式。 通过租车方案选择问题，让学生经历“实际问题→数学表示→比较决策”的过程，感受一次函数在方案优选中的应用。 探究点2：一次函数在分段收费问题中的应用 【问题引入】 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 【新知导出】 分段计费问题中，不同用水量区间对应不同单价。写函数关系式时，应先判断用水量属于哪一档，再分段列出一次函数关系式。 【师生活动】 教师引导学生分析：当用水量在第二档时，水费由“第一档220 m³的费用”和“超过220 m³部分的费用”两部分组成。学生尝试列式，教师总结分段建模的方法。 【详细过程】 解：（1）当 时，用水量属于第二档。 于是 即 （2）当 时， 答：该户这一年的水费为903.9元。 （3）因为第一档最高水费为 第二档最高水费为 且 所以该户年用水量属于第二档。 设该户年用水量为 m³，则 解得： 答：该户去年一年的用水量为270 m³。 【尝试思考】 像本题中这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 答：分段计费的意义在于体现公平、促进资源合理利用、反映成本差异等；设计计费规则时要注意数据的准确性、灵活性与适应性等。生活中出租汽车计价、阶梯电价、停车费、燃气费等也常采用类似的分段计费方法。 【方法技巧】 分段收费问题要依据自变量的取值范围，选择对应的计费标准列出一次函数关系式；已知函数值求自变量时，应先判断属于第几档，再列方程求解。 通过水费分段计费问题，帮助学生建立“分段→列式→求值→验证”的建模过程，理解一次函数在实际生活中的应用价值。 探究点3：利用一次函数的关系式求值 【问题引入】 已知金属棒的长度 （cm）是温度 （℃）的一次函数。现有一根金属棒，在 时的长度是200 cm，温度每升高 ，它就伸长0.002 cm。 （1）求 与 之间的关系式； （2）当温度为 时，求这根金属棒的长度； （3）当这根金属棒加热后长度伸长到201.6 cm时，求金属棒的温度。 【师生活动】 教师引导学生根据“是一次函数”设出一般形式 ，再由已知条件确定 、 的值，最后进行代入求值。 【详细过程】 （1）设 与 之间的关系为 将 ， 代入，得 因为温度每升高 ，金属棒伸长0.002 cm，所以 因此， 与 之间的关系式为 （2）将 代入，得 答：这根金属棒的长度为200.2 cm。 （3）将 代入，得 解得： 答：金属棒的温度为 。 【方法技巧】 紧扣一次函数的定义与结构特征，用待定系数法求出关系式，再将自变量或函数值代入求解。 通过金属棒热胀冷缩问题，让学生经历“设一次函数→确定系数→代入求值”的完整过程，进一步巩固一次函数解析式的求法与应用。 课堂小结 板书设计 4.2.3 分段计费问题 一、一次函数回顾 一般式：y = kx + b（k,b为常数，k≠0） 正比例函数：b=0 时，y = kx（k≠0） 二、分段计费模型 不同用量范围对应不同计费单价 写出各段函数解析式，注意自变量的取值范围 三、典型问题（租车问题） 甲：y₁ = 15x 乙：y₂ = 10x + 200 令 y₁ = y₂，解得 x = 40，比较大小后可选择方案 四、阶梯水费问题 第二档：y = 4.83x - 303.6（220<x≤300） 第三档：y = 5.83x - 603.6（x>300） 五、一次函数求值应用（金属棒长度） ①设：l = kt + b ②根据条件求 k、b ③代入自变量或因变量求值 六、方法总结： 1.明确分段范围 2.列出各段函数关系式 3.根据题意选择合适的一段代入求解 随堂练习 1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费. 如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ C ） A. 10 m3 B. 15 m3 C. 20 m3 D. 25 m3 2.某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为__________，该水池注满水需__________h。 答案：V＝10＋20t；4 3.某市出租车收费标准如下：3 千米以内（含）收费 10 元，超过 3 千米的部分每千米加收 2 元. （1）写出收费 y（单位：元）与行驶路程 x（单位：千米）（x≥3）之间的函数关系式； （2）若某人乘坐出租车付费 22 元，求其行驶的路程. 解：（1）当 x=3 时，y=10，当 x＞3 时， y=10＋2(x－3)=2x＋4， 综上 y=2x＋4 （x≥3） . （2）∵22＞10， ∴2x＋4=22，解得 x=9， 所以行驶的路程为 9 km. 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生能够从具体情境中抽象出一次函数关系，并利用一次函数解决分段计费问题。学生对“先判断所属计费档位，再建立函数式”的方法掌握较好，但在独立分析分段临界点、准确将文字信息转化为函数解析式时仍有困难，部分学生易忽略自变量取值范围。今后应加强列表对比、画函数图象等辅助手段，帮助学生直观理解分段变化。同时可增加小组合作列式、互评方案的活动，让学生充分经历建模过程，提升建模能力和分类讨论意识。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $