4.2 认识一次函数（第2课时 一次函数与正比例函数）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数与正比例函数的概念及关系，课堂导入通过“星体运动”和“弹簧伸长”情境，基于学生已学的变量关系与函数概念，搭建从具体均匀变化到抽象函数模型的学习支架。 这份资料特色在于以汽车耗油、水池进水等实际问题为载体，引导学生经历“填表—列式—观察—归纳”过程，培养抽象能力与模型意识，通过例题辨析强化概念理解，助力学生掌握k、b实际意义，提升数学思维，为教师提供清晰教学逻辑与实用活动设计。

4.2 认识一次函数（第2课时 一次函数与正比例函数） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系。 2.能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。 3.能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题。 教学重点 一次函数与正比例函数的概念、结构特征及二者关系的判断。 教学难点 从实际情境中准确抽象出一次函数模型，理解一次项系数 和常数项 的实际意义。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第二节《认识一次函数》（第 2 课时 一次函数与正比例函数），是在学生认识均匀变化、理解函数概念基础上对一次函数的进一步学习，承担着抽象一次函数、正比例函数概念，辨析二者联系与区别的作用，为本章后续函数图像、性质的学习奠定基础。 依照课标要求，教材将内容划分为实例分析、一次函数概念、正比例函数概念三个模块，从生活情境引入，通过多个实际问题列出函数表达式，引导学生观察表达式共同特征，归纳出一次函数与正比例函数定义，辨析二者从属关系，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “列关系式 — 观察特征 — 归纳定义 — 辨析概念” 的逻辑线推进，明确一次函数y=kx+b（k≠0）及正比例函数y=kx(k≠0)的形式，承接上节课均匀变化的内容，又为后续函数图像与应用做好铺垫。教材借助真实问题，渗透数学建模思想，落实数学抽象核心素养，让学生体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要工具。 学情分析 学生已经学习了变量之间的关系、函数的概念，并具备用一元一次方程表示等量关系以及进行整式运算的基础。因此，从具体实例中归纳一次函数的一般形式相对容易，学生能够借助已有经验完成“特殊到一般”的概括过程。 但学生在学习中仍存在以下困难：一是对一次函数结构特征的把握不够牢固，容易将 这样需化简后判断的函数误判；二是对含参数的一次函数定义理解有难度，如根据 中 、 的取值确定函数类型；三是将实际问题转化为一次函数模型时，容易忽略自变量的取值范围或弄错 、 的实际意义。教学时应通过丰富的实例和针对性辨析帮助学生突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【教师活动】课件出示“星体位置随着时间的变化而变化”的动态情境，提问：星体在运动变化中，能否用一个函数关系式来描述其中的规律？ 【学生活动】观察、举例，感受变量之间相互依存的关系。 【教师活动】呈现“弹簧长度与所挂物体质量”的关系表： 提问： 随着所挂物体质量 的增加，弹簧长度 的增长是“均匀”的吗？ 你能写出 (L) 与 （km） 之间的关系式吗？ 【学生活动】计算发现： 每增加 1 kg， 都增加 0.5 cm，所以增长是均匀的； 写出 。 【教师活动】指出： 中 随 均匀变化，这就是今天要研究的一类函数。 以“星体运动”和“弹簧伸长”两个现实情境激发兴趣，通过“均匀变化”的直观感受，为抽象一次函数概念提供具体模型，明确本课学习方向。 探究点1：一次函数与正比例函数的概念 【问题引入】 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。 （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 耗油量 （L）与汽车行驶路程 （km）之间的关系式为 ，即 。 （3）你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？ 油箱剩余油量 （L）与汽车行驶路程 （km）之间的关系式为 ，即 。 【师生活动 】 教师展示汽车耗油情境，学生独立填表并列出关系式；小组讨论三个关系式有哪些共同特征，教师引导学生从“常数乘自变量”的角度进行观察。 【观察思考】 观察上面得到的关系式： ，，。 师：它们有什么共同特点？ 生：右边都可以写成“常数乘自变量再加一个常数”的形式，即可以统一表示为 的形式，其中 、 为常数。 【归纳概念】 若两个变量 ， 间的对应关系可以表示成 （， 为常数，）的形式，则称 是 的一次函数。 特别地，当 时，称 是 的正比例函数，即 （ 为常数，）。 判定条件： 一次函数：① 是常数，；② 的次数是 1。 正比例函数：① 是常数，；② 的次数是 1；③ 。 关系：正比例函数是一种特殊的一次函数。 【例题巩固】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝；(3)y＝3x2－x(3x－2) ；(4) y=－. 解（1）：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. （2）因为y＝＝+，k＝，b＝，所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. （3）解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. （4）因为 y=－中，－不是整式，所以它不是一次函数 . 通过“填表—列式—观察—归纳”的完整过程，抽象出一次函数与正比例函数的概念，使学生体会从特殊到一般的数学思想；通过辨析题强化对“”“ 的次数为 1”“”等关键条件的理解。 探究点2：根据实际问题列一次函数关系式 【例题引入】 写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断： 是否为 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 （km）与行驶时间 （h）之间的关系； （2）圆的面积 （cm²）与它的半径 （cm）之间的关系； （3）某水池有水 15 m³，现打开进水管进水，进水速度为 5 m³/h， h 后这个水池有水 m³。 【师生活动】 学生先独立列式，再小组交流判断结果；教师引导学生从“速度、速率、初始量”等角度分析 、 的实际意义。 答案：（1），一次函数，正比例函数； （2），不是一次函数； （3），一次函数，不是正比例函数。 【思考交流】 师：在 和 中，一次项系数 和常数项 分别是多少？它们的实际意义是什么？ 生1： 中，，实际意义是汽车速度（每小时行驶 60 km）；，表示行驶 0 小时，路程为 0 km。 生2： 中，，实际意义是进水管进水速度（每小时进水 5 m³）；，表示打开进水管前，水池原有水 15 m³。 师：一般地， 在实际中对应“单位变化量”（如速度、速率）， 对应“初始值”（如原有水量、起始路程），决定函数的起始状态。 【例题巩固】 甲、乙两地相距 500 km。现有一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以 350 km/h 的速度向丙地行驶。设 （h）表示列车行驶的时间，（km）表示列车与甲地的距离。 （1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数； （2）当 时，求 的值。 解：（1）列车从乙地出发，甲、乙两地相距 500 km，列车以 350 km/h 的速度向丙地行驶， h 行驶的路程为 km，所以列车与甲地的距离为 。该式符合 的形式，且 ，所以 是 的一次函数。 （2）当 时，（km）。 通过汽车行驶、圆的面积、水池进水、列车行驶等多个实际情境，训练学生从具体问题中提取数量关系、建立函数解析式，并根据一次函数定义进行判断；通过对 、 实际意义的讨论，深化对一次函数结构特征的理解，为后续学习一次函数的图象与性质打下基础。 课堂小结 板书设计 4.2.2 一次函数与正比例函数 一、一次函数定义 y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0） 二、正比例函数 当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0） 正比例函数是一次函数的特殊情况 三、关系 一次函数包括正比例函数 y = kx ⇦ b = 0 时 四、判定条件 1.一次函数：k ≠ 0，x 的次数为 1 2.正比例函数：还需满足 b = 0 五、实际应用 根据题意找等量关系 → 写出 y = kx + b → 判断是否一次函数/正比例函数 随堂练习 1.下列说法正确的是（ D ） A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数 2.下列函数中，是正比例函数的是( A ) A. y＝－8x B. y＝－ C. y＝5x2＋6 D. y＝－0.5x－1 3.已知函数 （1）当 m,n 取何值时，y是x的一次函数？ （2）当 m,n 取何值时，y是x的正比例函数？ 解：（1）∵ y是x的一次函数 ∴ m+1≠0，且=1 解得 m≠ -1，且 m= ±1 ∴ m=1，n取任意数. （2）∵ y是x的正比例函数 ∴ m+1≠0，且=1，且 n+4=0 解得 m≠ -1，m= ±1,且 n= -4 ∴ m=1，n= -4. 教学反思 本节课教学目标基本达成。通过弹簧、汽车耗油等情境引入，学生能较自然地归纳出一次函数和正比例函数的概念，并通过例题辨析理解了二者的联系与区别。学生对“正比例函数是特殊的一次函数”这一关系掌握较好，但在将实际问题抽象为一次函数模型时，部分学生仍存在困难，尤其对“k、b的实际意义”理解不够深入，列式时易忽略初始值或单位变化量。后续教学中应增加小组合作列式的活动，强化从表格、文字中提取信息的能力，并设计对比练习帮助学生区分一次函数与正比例函数，进一步提升建模与迁移能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $