4.2 认识一次函数（第1课时 认识“均匀”变化）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“均匀”变化这一核心知识点，作为一次函数起始课，通过复习函数概念唤醒旧知，结合“滴水一年漏水量估算”真实情境导入，搭建从函数概念到均匀变化规律的学习支架。 以漏水、燃香实验为探究载体，引导学生经历“数据采集—描点分析—归纳关系式”过程，发展数学眼光中的抽象能力与数学思维中的推理意识，实验教学法具象化“均匀变化”本质，既提升学生数据处理与建模能力，也为教师提供可操作的探究式教学方案。

4.2 认识一次函数（第1课时 认识“均匀”变化） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.知道什么叫“均匀”变化，并会试着写出“均匀”变化现象的关系式。 2.整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。 3.运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值。 教学重点 理解“均匀”变化的含义，能用关系式描述均匀变化现象。 教学难点 从实际问题中分析数据规律，建立变量之间的关系式，并正确确定自变量的取值范围。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第二节《认识一次函数》（第 1 课时 认识 “均匀” 变化），是学生学习函数概念之后，接触的首个具体函数模型，承担着帮助学生感知均匀变化规律、建立一次函数初步认知的作用，对后续一次函数图像与性质的学习有着奠基性的意义。 依照课标要求，教材将内容划分为感受均匀变化、分析变量关系、初步认识一次函数表达式三个模块，从生活实例情境引入，通过弹簧伸长、路程变化等实例，引导学生感受自变量均匀变化时，因变量也随之均匀变化的特点，逐步抽象一次函数的形式。教材遵循八年级学生认知发展逻辑，以 “感知变化规律 — 寻找变量关系 — 归纳函数形式” 的逻辑线推进。本节承接上一节课函数的概念，又为后续学习一次函数图像、应用打下基础，起到承上启下的作用。教材借助真实情境，渗透数学建模思想，落实数学抽象核心素养，让学生体会一次函数是刻画现实世界均匀变化规律的重要模型。 学情分析 学生已学习函数的概念，知道变量与函数、函数值及解析式等基础知识，也具备一元一次方程的运算能力，这为本课从具体情境中列关系式提供了支撑。同时，学生在小学和七年级接触过一些简单数量关系，但“均匀”变化是一个新的描述性概念，需要从数据规律中归纳，学生容易理解但难以完整抽象。具体困难表现为：一是部分学生不能主动观察相邻数据的差值，规律发现较慢；二是从实际问题中提取变量并建模列式有难度，尤其含常数项的式子如 ，学生容易出现自变量取值范围遗漏的问题；三是描点后由“点排成直线”到“关系式”的过渡需要教师引导。因此，本课教学难点确定为：通过数据表格分析规律，建立变量关系式并注意自变量的取值范围。教学中应多让学生动手操作、交流讨论，借助具体数据突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 教师出示填空题，学生口答，教师明确答案。 1.一般地，如果在一个变化过程中有____变量 和 ，并且对于变量 的______，变量 都有_______的值与它对应，那么我们称 是 的______，其中 是______。 2.如果当 时，，那么_____称作当自变量的值为______时的函数值。 3.用关于_________表示______之间的关系，这种关系叫做函数的解析式。 答案：两个；每一个确定的值；唯一确定；函数；自变量；b；a；自变量的式子；变量 【情境导思】 教师呈现：一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗?先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。 补充背景：2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d，农村100 L/d。 学生猜想后讨论，初步形成“测量单位时间漏水量→推算一天、一年漏水量”的实验方案。 通过复习函数概念唤醒旧知，为写关系式作准备；用“滴水一年够不够用”的真实问题激发兴趣，明确本课研究方向——“均匀”变化。 探究点1：漏水实验——认识漏水量随时间“均匀”增加 【问题引入】 将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（t，V）对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？ 【师生活动】 教师演示或组织学生分组实验，每隔1 min记录水量；学生填表、描点、观察数据规律。教师随后出示小明实验数据，组织学生计算、交流。 【新知导出】 由小明实验数据可知：时间 每增加1 min，漏水量 就增加5.5 mL；描点后这些点大致在一条直线上。漏水量的变化是“均匀”增加，关系式为 。 【思考交流】 分享各组的实验结果，并交流下列问题： （1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ （2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？ （3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？ 答案： （1）共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。 不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数不同。 （2）因素：水龙头阀芯磨损、出水口大小、测量的误差。 影响：①表格中相同时间漏水量数值不同； ②图象倾斜程度和与坐标轴交点有别； ③表达式一次项系数和常数项可能改变。 （3）表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。 图象：切斜程度越大。 表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）。 通过真实滴水实验，让学生经历“采集数据—描点—分析差值—列关系式”的过程，感受“均匀增加”，建立一次函数模型的直观经验。 探究点2：燃香实验——认识香的长度随时间“均匀”减少 【问题引入】 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 【师生活动】 学生根据数据描点，观察相邻数据变化；教师引导类比漏水实验，计算相邻时间的长度差，归纳“均匀减少”。 【新知导出】 相邻两个时间的长度都减少0.5 cm，说明香可燃烧部分的长度随时间“均匀”减少。可得关系式：。 【思考交流】 在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。这是因为线香材质均匀，单位时间内燃烧掉的长度相同。 【知识归纳】 “均匀”变化的含义： 一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 通过燃香实验，让学生体会“均匀减少”与“均匀增加”的共同本质，自然抽象出“均匀变化”的概念，发展数据处理和归纳推理能力。 课堂小结 板书设计 4.2.1 认识“均匀”变化 一、什么是“均匀”变化 一个变量增加固定数值时，另一个变量的改变量相同。 二、漏水实验（t与V） 规律：每分钟漏水量相同（+5.5） 关系式： 三、燃香实验（t与l） 规律：每分钟燃烧长度相同（-0.5） 关系式： 四、数学应用 已知均匀变化 → 求关系式 → 预测未知量 五、例题 爬楼梯问题：高度随阶梯数均匀增加 随堂练习 周末，小明出门爬山，发现每一级阶梯的高度相同，随着小明爬阶梯数量的增加，他所在高度也在增. 你认为小明所在高度这样的增加是“均匀”变化的吗？说说你的理由. 解：小明所在高度这样的增加是“均匀”变化的. 理由如下：因为每一级阶梯的高度相同，爬阶梯数量的增加为固定值时，增加的高度=阶梯数量×每一级阶梯的高度，也是固定值，所以小明所在高度这样的增加是“均匀”变化的. 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生能通过数据感知“均匀”变化，并能从实验中提炼关系式，概念理解目标较好完成。漏水实验和燃香实验贴近生活，学生参与度和兴趣较高，在描点、分析数据的过程中逐步掌握了“均匀”变化的本质。 不足之处在于，部分学生在由表格数据归纳关系式时仍需教师引导，尤其是从“差相等”过渡到“系数×自变量”的抽象过程存在一定困难；对“初始量”和“变化量”在表达式中的对应关系理解不够透彻。 改进方向：后续教学中可增加小组合作环节，让学生互相解释自己写出的关系式，促进深度理解；同时设计更多开放性问题，帮助学生建立一次函数模型与实际情境之间的对应关系。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $