27.3 实际问题与反比例函数 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理从识别“乘积为定值”量建立函数模型，到结合图象、数据解决问题的脉络，通过“审设列写解”五步解题法和“四步法读图”等学习支架，衔接反比例函数性质与实际应用。 以起重机装卸、杠杆原理等生活实例培养数学眼光，通过错例分析和分层训练发展数学思维，借助建模步骤和自查要点提升模型意识。课中活动助教师高效授课，课后练习与答案助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.3 实际问题与反比例函数(学生用书) 27.3 实际问题与反比例函数 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________ 第二十七章 反比例函数 · 3课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 我会从实际问题中找出那个"乘积为定值"的量, 并由此判断两个变量成反比例关系, 能设出 y = (k ≠ 0)这样的解析式。 2. 我会用"审、设、列、写、解"五个动作解决文字型实际问题, 也就是先审题找常量与变量, 再设解析式、求待定系数、写出解析式与取值范围, 最后用反比例函数的图象和性质作答。 3. 我会写自变量的取值范围, 知道它有来自两个方面的限制: 一是解析式本身的限制(分母不能为 0), 二是实际问题的具体要求(时间、天数、面积、件数等往往还要为正或取整数)。 4. 我会把"不超过""至少""不大于"这类话翻译成不等式, 再借"在每一支上 y 随 x 的增大而减小(或增大)"说明答案取的是哪一端。 5. 我会从函数图象上读取已知点的坐标, 用待定系数法求出解析式, 并写出自变量与函数值的取值范围。 6. 我会先画出散点图, 根据点的分布形状判断应当选择哪一种函数类型, 再由各组待定系数的平均值建立近似模型, 并会对模型作检验。 7. 我会在答"加长多少""增加多少""减少多少"这类问题时, 用变化后的量减去原来的量, 不做答非所问的回答。 8. 我会主动自查: 找没找到定值? 解析式后面写没写取值范围? 单位统一了没有? 时间换算是不是按 60 进制算的? 范围的两个端点有没有写反? 二、预习导航(先通读课本 P74-P80, 再填空) 1. 判断一个实际问题能不能用反比例函数来刻画, 只要问一句话: 题目中有没有两个量, 它们的________是不变的? 如果有, 就可以设________。 2. 课本 P74 例 1 中, 起重机每小时装载 700 t 货物, 9 h 装完, 所以货物总量为 700 × 9 = ________ (t); 这个量在装货和卸货的过程中都________。 3. 例 1 中平均卸载速度 v 与卸载总时间 t 的函数解析式是 v = ________ (t > 0); 若要求不超过 6 h 卸载完, 则平均每小时至少要卸载________ t。 4. 课本 P75 讲的是"杠杆原理": 阻力 × ________ = 动力 × ________。例 2 中阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m, 所以 Fl = ________ (N·m)。 5. 例 2 的动力 F 关于动力臂 l 的解析式为 F = (l > 0); 当 l = 1.5 m 时 F = ________ N; 若 F 不超过 200 N, 则 l 的取值范围是 l ≥ ________ m。 6. 求实际问题中的解析式, 一般按五个动作走: 审(找出常量与变量)、设(设出解析式)、________(由已知条件求出待定系数)、________(写出解析式与取值范围)、解(用图象和性质作答)。 7. 例 3 中 W = Fs, 当 W 为定值时 s 与 F 成反比例; 图象经过点(10, 50), 说明 F = 10 N 时 s = 50 m, 所以 W = ________ J, 解析式为 s = ________ (F > 0)。 8. 例 4 中甲地到乙地的路程为定值, 由图象上 t = 2 时 v = 120 得路程为________ km, 所以 v = ; 因为 60 ≤ v ≤ 120, 所以 t 的取值范围是________。 9. 课本 P78 探究中, 6 组数据的 pV 值大致都等于 2000 左右, 但彼此________(填"相同"或"不完全相同"), 原因是实验测量有________; 由各组 k 值的平均值 1997 建立模型 p = ________。 10. 用数据建立函数模型时, 要先把各组数据作为点的坐标画在平面直角坐标系里得到________图, 观察点的分布形状来判断函数类型; 这样建立起来的模型是________模型。 我的作答: 三、课内探究 第一课时 建立反比例函数模型(课本 P74-P75) 活动一 把"乘积为定值"这句话找回来(课本 P74 开头) 11. 填一填, 并说出每个空里"乘积不变"的是哪两个量: ①面积一定时, 矩形的长与宽成________关系; ②三角形的面积一定时, 一条边与这条边上的高成________关系; ③柱体的体积一定时, 底面积与高成________关系; ④路程一定时, 平均速度与时间成________关系。 12. 从上面四小题可以归纳出一条判据: 两个变量的乘积是________, 这两个量就成反比例关系, 这时可以设它们的解析式为________。 13. 研究路径填空: 实际问题 — 找________ — 设解析式 — 求________ — 结合实际定范围 — 回到实际问题。 我的作答: 【提示】 判断能不能用反比例函数刻画, 只问一句话: 有没有两个量, 它们的乘积固定不变? 有就设 y = (k ≠ 0), 没有就换别的模型。 活动二 例 1: 港口的起重机装卸货物(课本 P74 例 1) 14. 审题: 本题中"起重机每小时装载 700 t 货物""装载完毕恰好用了 9 h"告诉我们哪一个量不变? 请把它算出来。 15. 设式: 设 v = (v > 0, t > 0), 把上面算出的定值代入, 得 v 关于 t 的函数解析式为 v = ________; 自变量 t 的取值范围是________。 16. 求解: 要求"不超过 6 h 卸载完毕", 把它翻译成不等式是 t ________ 6; 因为 k = 6300 > 0, 所以 v 随 t 的增大而________, t 取最大值 6 时 v 取最________值, 代入得 v = ________ 。所以起重机平均每小时至少要卸载________ t 货物。 我的作答: 图27.3-1 港口卸载: 平均卸载速度 v 与卸载总时间 t 的关系 活动三 例 2: 用撬棍撬动一块大石头(课本 P75 例 2) 17. 杠杆原理的表达式是: 阻力 × 阻力臂 = ________ × ________。本题中阻力为 1200 N, 阻力臂为 0.5 m, 两者之积为________, 这个积是________(填"变化"或"不变")的。 18. 第(1)问: 由杠杆原理得 Fl = 600, 所以动力 F 关于动力臂 l 的函数解析式为 F = ________ (l > 0); 当 l = 1.5 m 时, F = ________ (N)。所以撬动石头至少需要________ N 的力。 19. 第(2)问: "动力 F 不超过(1)中所用力的一半", 一半指的是 400 N 的一半 ________ N, 所以要求 F ≤ ________; 因为 l > 0 时 F 随 l 的增大而________, 所以求出 F = 200 时对应的 l 即可。由 200 = 解得 l = ________ (m)。 20. 想一想: 题目问的是"动力臂 l 至少要加长多少", 上面求得的 3 m 是加长________(填"前"或"后")的总长度, 原来的动力臂是 1.5 m, 所以至少要加长 3 - 1.5 = ________ (m)。 我的作答: 图27.3-2 杠杆原理示意: 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 图27.3-3 撬动石头: 动力 F 与动力臂 l 成反比例 【提示】 求出来的值往往是"变化后的量", 题目若问"加长/增加/减少多少", 还要再减去原来的量。这一步最容易漏。 活动四 练习: 圆锥形漏斗与购车分期(课本 P75-P76 练习) 21. 练习第 1 题: 圆锥形漏斗的容积为 120 (不计直玻璃管部分)。由圆锥的体积公式 V = Sh ÷ 3 得不变量 Sh = ________; 所以漏斗口面积 S 关于深 h 的解析式为 S = ________ (h > 0)。 22. 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ ________, 即漏斗的深至少为________ cm。本题最容易漏掉的是公式里的"________"。 23. 练习第 2 题: 汽车价格 18 万元, 首付 6 万元, 需要分期付清的余款是 18 - 6 = ________ (万元), 这个量不变, 所以 y 关于 x 的解析式为 y = ________ (0 < x ≤ 36)。 24. 当 x = 20 时, y = = ________ (万元), 即平均每月应还款________ 元; 若每月还款不超过 5000 元, 因为 5000 元 = ________ 万元, 由 y ≤ 0.5 解得 x ≥ ________, 即至少要________个月才能结清余款。 我的作答: 图27.3-4 圆锥形漏斗: 漏斗口面积 S 与深 h 的关系 图27.3-5 分期付款: 每月还款 y 与结清月数 x 的关系 活动五 归纳: 用反比例函数解决实际问题的一般步骤(课本 P74-P76) 25. 用自己的话把这四道题的做法概括成五步: ①审 —— 找出题目中的常量、变量, 弄清它们之间的关系; ②设 —— 根据关系设出函数解析式, 待定的系数用________表示; ③列 —— 由已知条件列出________, 求出待定系数的值; ④写 —— 写出函数解析式, 并注意解析式中变量的________; ⑤解 —— 用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 26. 自变量的取值范围一般有两个方面的限制: 一是________本身的限制(分母不能为 0); 二是________的具体要求(时间、天数、面积、件数等往往还要为正或取整数)。 我的作答: 图27.3-6 用反比例函数解决实际问题的一般步骤(审、设、列、写、解) 第二课时 结合函数图象解决实际问题(课本 P76-P77) 活动六 由生活现象说反比例(课本 P76) 27. 解释现象: ①踩气球时越用力踩越容易破, 是因为________一定时, 受力面积越小________越大, 压强与受力面积成________关系; ②台灯的亮度、电风扇的转速可以用旋钮调节, 是因为电压一定时, 电流与________成反比例, 调节电阻就改变了电流。 我的作答: 活动七 例 3: 由图象求功与解析式(课本 P76 例 3) 28. 读图三步: 一看横轴、纵轴各表示哪一个实际量; 二看图象的形状 —— 它是双曲线在第一象限内的________, 所以应选________函数模型; 三看图象上明显经过的点 —— 本题图象经过点________, 它表示 F = 10 N 时 s = 50 m。 29. 第(1)问: W = Fs = 10 × 50 = ________ (J), 这就是那个不变的乘积。第(2)问: s 关于 F 的解析式为 s = ________ (F > 0)。 30. 第(3)问: 把 s = 100 代入得 F = ________ (N)。因为 s 随 F 的增大而________, 所以要使位移小于 100 m, 力 F 要________ 5 N(填"大于"或"小于")。注意题目里是"小于"而不是"不大于", 所以取不到等号。 我的作答: 图27.3-7 做功一定: 位移 s 与力 F 的关系 活动八 例 4: 由图象求行程问题中速度的范围(课本 P77 例 4) 31. 从图上取点: 图象的两个端点是 t = 2 时 v = 120 与 t = 4 时 v = 60。由第一组数据得甲地到乙地的路程为 2 × 120 = ________ (km), 这个量是定值, 所以 v 关于 t 的解析式为 v = ________ (t > 0)。 32. 由 v = , 当 v = 60 时 t = ________; 因为 60 ≤ v ≤ 120, 且 v 随 t 的增大而减小, 所以 t 的取值范围是________ ≤ t ≤ ________。 33. 第(2)问先做时间换算: 上午 8 时出发, 若当天 10 时 40 分到达, 行驶时间是 2 小时 40 分, 也就是________小时(填分数), 不是 2.4 小时; 若当天 11 时到达, 行驶时间是________小时。分别代入得 v = ________ 与 v = ________ (km/h)。 34. 因为 v 随 t 的增大而减小, 所以客车平均速度 v 的范围是________ ≤ v ≤ ________ (km/h)。写范围时先自己读一遍"最小到最大", 避免把两端的数写反。 我的作答: 图27.3-8 路程一定: 平均速度 v 与行驶时间 t 的关系 【提示】 时间、角度这类量是 60 进制, 40 分 = 40 ÷ 60 = 时, 不是 0.4 时。代入解析式之前先把单位化到同一个口径。 活动九 练习: 近视镜片与用电器功率(课本 P77-P78 练习) 35. 练习第 1 题: 度数 y 是关于焦距 x 的反比例函数, 图象经过点(0.25, 400), 所以 k = 0.25 × 400 = ________, 解析式为 y = ________ (x > 0); 当 y = 500 时解得 x = ________ (m), 即焦距为________ m。 36. 想一想: 由 y = 中 y 随 x 的增大而减小, 说明镜片的度数越大, 焦距越________(填"长"或"短")。 37. 练习第 2 题: 已知功率 P = , U = 220 V, 所以 P = = ________ /R; 本题的可变电阻只能取 110 ~ 220 Ω, 所以自变量 R 的取值范围是________ ≤ R ≤ ________。 38. 计算两个端点: 当 R = 110 时 P = ________ (W); 当 R = 220 时 P = ________ (W)。因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是________ ≤ P ≤ ________ (W)。 我的作答: 图27.3-9 近视镜片: 度数 y 与焦距 x 成反比例 图27.3-10 电压一定: 功率 P 与电阻 R 成反比例 活动十 归纳: 由函数图象求解析式的"四步法"(课本 P76-P77) 39. 把例 3 与例 4 的做法摆在一起, 可以提炼出"四步法": 一看________ —— 看清横轴、纵轴各表示哪一个实际量、单位是什么; 二看________ —— 观察图象的形状, 判断应当选择哪一种函数模型; 三设________ —— 设出函数解析式, 待定系数用字母表示; 四求________ —— 把图象上已知点的坐标代入解析式求出待定系数的值, 再由增减性与实际限制确定自变量的取值范围。 40. 取点时要注意"端点"和"明显经过的整点"; 求出解析式之后, 一定要把自变量的取值范围和函数值的取值范围一并交代清楚, 并说明理由 —— 依据是"在每一支上 y 随 x 的增大而________(或增大)"。 我的作答: 第三课时 根据数据建立函数模型(课本 P78-P79) 活动十一 探究: 气体的压强与体积(课本 P78 探究) 41. 第一步"看形状": 表中没有现成的函数模型, 所以要先把 6 组数据作为点的坐标画在平面直角坐标系里, 得到________图; 观察这些点的分布状况, 画一条曲线让它尽可能靠近所有这些点, 会发现这条曲线形似________的一支, 因此尝试选择反比例函数近似描述 p 与 V 之间的关系。 42. 第二步"建立模型": 设 p = (V > 0), 逐组算出 pV 的值 —— 分别是 2000、2016、1968、2030、1956、2010。这 6 个值________(填"完全相同"或"不完全相同"), 原因是实验测量有________。 43. 求 6 个 k 值的平均值: (2000 + 2016 + 1968 + 2030 + 1956 + 2010) ÷ 6 ≈ ________, 于是得到函数模型 p = ________ (V > 0)。 44. 第三步"检验模型": 把已知数据代回解析式, 或画出这个函数的图象, 会发现这个函数模型与实际数据________(填"基本吻合"或"完全不符"), 说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系。 45. 第四步"求解问题": 将 p = 132 代入, 得 132 = , 解得 V = ≈ ________ (mL)(结果保留小数点后两位)。 我的作答: 图27.3-11 气体压强 p 与体积 V 的数据点与拟合曲线 活动十二 回顾探究: 这种建模方式与以往有什么不同(课本 P79 练习) 46. 不同点: 以往的函数模型(如一次函数、二次函数)是由已知条件确定________的解析式, 所有已知点都完全满足这个解析式; 而这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能________满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型。 47. 归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤: ①审清题意, 找出常量与变量, 弄清它们之间的关系; ②根据数据或图象特征, 选择合适的函数类型, 设出函数解析式; ③求出待定系数的值(由已知条件列方程, 或由多组数据取________); ④写出函数解析式, 并注意自变量的取值范围; ⑤用函数的图象和性质解决实际问题, 并对结果作实际意义的________。 我的作答: 【提示】 用数据建立模型时, 判断函数类型靠的是"散点的分布形状", 而不是先入为主; 模型建好之后一定要回头检验, 看看已知数据能不能被这个模型大体解释。 活动十三 找错活动(补充) 48. 【错例一】 求例 2 第(2)问时, 由 200 = 解得 l = 3, 直接写"动力臂至少要加长 3 m"。请指出错在哪里, 并把改正后的话写在作答区。 49. 【错例二】 求例 4 第(2)问时, 把"上午 8 时出发、当天 10 时 40 分到达"的行驶时间算成 2.4 h。这个错误出在哪一步? 应该怎么算? 50. 【错例三】 求探究中 k 的取值时, 有人把六组 k 值中"出现次数最多的那个"拿出来当 k。这样处理为什么不行? 应该怎样求? 我的作答: 活动十四 当堂检测(约 6 分钟) ① 把 800 mL 的水倒入底面积为 S()的圆柱形容器中, 水面高度 h(cm)与 S 之间的函数解析式是什么? ② 某工程队要运走 1200 t 砂石, 平均每天运 x t, 需 y 天运完, 写出 y 关于 x 的解析式; 若要在 8 天内运完, 平均每天至少要运多少吨? ③ 已知反比例函数的图象经过点(6, 4), 求这个函数的解析式, 并求出当 x = -8 时 y 的值。 我的作答: 活动十五 归纳整理 51. 用一句话概括本节内容: 一个判据 —— 两个量的乘积是________; 两套入口 —— 由文字找定值、由图象或数据求定值; 三个动作 —— 审题建模、定取值范围、用增减性作答; 一句提醒 —— 实验数据拟合出来的模型是________模型。 52. 常见的反比例模型填空: 工作总量一定时, 工作效率与工作时间; 杠杆平衡时, 动力与动力臂; 做功一定时, 力与在该力方向上发生的位移; 路程一定时, 平均速度与行驶时间; 压力一定时, 压强与受力面积; 电压一定时, 功率与电阻 —— 这六组量的共同点是每组里两个量的________都是定值。 我的作答: 图27.3-12 本节知识结构: 建模步骤与常见的反比例模型 四、联系梳理与易错辨析 (一) 常见的反比例关系一览(先自己填, 再对照讲义) 情境 不变的量 两个变量之间的关系 工作总量一定 工作总量 工作效率与工作时间成反比例 杠杆平衡 阻力与阻力臂的积 动力与动力臂成反比例 做功一定 功 力与在该力方向上发生的位移成反比例 路程一定 路程 平均速度与行驶时间成反比例 压力一定 压力 压强与受力面积成反比例 电压一定 电压的平方 功率与电阻成反比例 面积一定 面积 矩形的一边与邻边成反比例 产品总数一定 产品总数 每天生产的个数与所需天数成反比例 这八种情境看着不一样, 骨子里是同一件事 —— 两个量的乘积是________, 设解析式时只要把那个定值算出来当作________, 剩下的就全是 27.2 学过的图象与性质。 (二) 易错清单(逐条对照自己的作业) 1. 找不到"不变量"就急着设解析式。应当先问自己: 题目里哪两个量的乘积固定不变? 2. 写出解析式却不写自变量的取值范围。实际问题中自变量往往还要满足为正、取整数或落在某个区间内。 3. 把"至多""至少"当成等式, 只算出一个数就作答。应由增减性把它翻译成不等式, 再说明取的是哪一端。 4. 答非所问: 题目问"加长/增加/减少多少", 却把变化后的总量当作答案。 5. 单位不统一: 元与万元、分与小时、厘米与米混用。代入之前先把单位化到同一个口径。 6. 时间换算按十进制算, 把 40 分当成 0.4 h。时间、角度这类量是 60 进制, 换算时要除以 60。 7. 由图象求解析式时不去读取已知点, 凭感觉写解析式; 或者读点时看错横、纵轴表示的实际量。 8. 用实验数据建模时, 因为各组待定系数的值不同就断定"数据错了"。测量有误差, 取平均值建立的是近似模型。 9. 求出函数值的范围后把不等号两端的数写反(如把 80 ≤ v ≤ 90 写成 90 ≤ v ≤ 80)。 10. 忽略实际意义检验: 算出时间为负数、人数为小数等明显不合理的结论却照抄作答。 我的作答: (三) 建模三步与检验要点对照 环节 要做的动作 检验时看什么 找定值 从文字、图象或数据中确定那个乘积不变的量 这个量在题目叙述的全过程中确实不变吗 定范围 写出自变量的取值范围(解析式限制 + 实际要求) 范围与题目里"不超过""至少""为正"等条件一致吗 用性质 由增减性把函数值的范围与自变量的范围互相转换 不等号方向与"在同一支上递增还是递减"一致吗 回实际 把结果放回原情境读出答案, 该取近似就取近似 答的是题目问的那一问吗, 单位是否合理 五、分层巩固训练(原创题, 与课本例题、练习、《习题27.3》零重复) A 组 基础巩固(直接选用解析式与增减性) A1. 矩形的面积为 48 , 它的一边长为 x cm, 邻边长为 y cm。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式并写出自变量 x 的取值范围; (2) 当 x = 6 时, 求 y 的值。 A2. 某工程队修一条长 2400 m 的公路, 平均每天修 x m, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要在 20 天内完成, 平均每天至少要修多少米? A3. 在压力一定时, 某物体对地面的压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例。已知 S = 0.4 时 p = 500 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 求 S = 0.8 时的压强。 A4. 用撬棍撬石块时, 若阻力和阻力臂的乘积为 900 N·m, 则动力 F(单位: N)与动力臂 l(单位: m)成反比例。(1) 求 F 关于 l 的函数解析式; (2) 当动力臂为 4.5 m 时, 撬动石块至少需要多大的力? A5. 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 5 时 y = 8。(1) 求这个函数的解析式; (2) 当 x = -4 时, 求 y 的值。 A6. 一辆汽车匀速行驶, 行驶时间 t(单位: h)与平均速度 v(单位: km/h)之间的关系为 t = 。(1) 这辆汽车一共要行驶多少千米? (2) 若要在 8 h 内到达, 平均速度至少为多少? 我的作答: B 组 理解运用(两个方向的范围限制) B7. 某运输队要运走 1080 t 货物, 平均每天运 a t, 需要 b 天。(1) 写出 b 关于 a 的函数解析式; (2) 若要求在 12 天内运完, 平均每天至少要运多少吨? (3) 若车队每天最多能运 180 t, 那么至少需要多少天? B8. 密闭容器内气体的质量不变, 当容器的体积为 V(单位: )时, 气体的密度为 ρ(单位: )。已知 V = 4 时 ρ = 2.5 。(1) 求 ρ 关于 V 的函数解析式; (2) 当 V = 10 时, 求气体的密度。 B9. 电压 U 一定时, 某用电器的功率 P(单位: W)与电阻 R(单位: Ω)满足 P = 。已知 R = 60 Ω 时 P = 240 W。(1) 求 的值与 P 关于 R 的函数解析式; (2) 若该用电器的电阻可在 80 Ω 到 180 Ω 之间调节, 求功率 P 的取值范围。 B10. 某蓄水池的容积为 900 , 注满水后打开排水阀排水, 排水速度 v(单位: /h)与排空所需时间 t(单位: h)满足 vt = 900。(1) 写出 v 关于 t 的函数解析式; (2) 若要求在 5 h 内排空, 排水速度至少为多少? (3) 若排水管每小时最多排水 300 , 至少需要多少小时? B11. 科学课上用杠杆做实验: 在匀质木杆的中点 O 的左侧 12 cm 处挂一个重 15 N 的重物, 右侧用弹簧测力计竖直向下拉, 使木杆保持水平。(1) 写出测力计示数 F(单位: N)关于它到点 O 的距离 l(单位: cm)的函数解析式; (2) 当 l = 20 cm 时, 求 F 的值; (3) 若该测力计的量程是 0 ~ 10 N, 则 l 至少为多少厘米? 我的作答: C 组 拓展提升(综合与建模) C12. 某工厂加工一批零件共 1800 个, 平均每天加工 x 个, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若原计划每天加工 75 个, 实际每天比原计划多加工 25 个, 求实际提前了多少天完成任务; (3) 若要提前 4 天完成, 每天至少要加工多少个? C13. 一辆汽车从 A 地驶往 B 地, 全程 300 km。(1) 写出行驶时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式, 并写出 v 的取值范围(全程速度不超过 150 km/h); (2) 若汽车上午 8 时出发, 需在当天 11 时至 12 时之间到达 B 地, 求平均速度 v 的范围。 C14. 某气球内充满一定质量的气体, 温度不变时, 气球内气体的压强 p(单位: kPa)是气体体积 V(单位: )的反比例函数。已知 V = 0.5 时 p = 240 kPa。(1) 求 p 关于 V 的函数解析式; (2) 当气球内气体的压强不超过 160 kPa 时, 气球的体积应不小于多少立方米? 我的作答: 六、课堂小结(先自己填, 再和同伴对一对) 1. 本节最要紧的一句话是: 反比例函数的实际问题, 说到底就是去找一个"________为定值"的量。这个定值可能藏在文字里, 可能藏在图象上, 也可能藏在一张数据表里。 2. 由反比例函数解决实际问题, 解答里一定要同时出现三样东西: ________、自变量的________、结论所依据的增减性。三者缺一, 解答就不完整。 3. 数据建模与前面几节课最大的区别是: 前面是由已知条件确定________的解析式, 这里是由各组待定系数的________建立________模型, 模型建好之后还要回头检验。 我的作答: 七、课后作业(真实还原课本习题) (一) 课本《习题27.3》(课本 P80, 复习巩固第 1 题至第 5 题) 统一要求: 每题先写出"定值是什么", 再写解析式与自变量的取值范围, 最后作答并检验实际意义。 第 1 题 举出一个生活中应用反比例函数的例子。 第 2 题 某农业大学计划修建一块面积为 2 × 的矩形试验田。(1) 试验田的一边长 y(单位: m)关于它的邻边长 x(单位: m)的函数解析式是什么? (2) 如果试验田的相邻两边长的比为 2 : 1, 那么试验田的两邻边长分别为多少? 第 3 题 学校食堂一次性购买了 3000 kg 大米。(1) 这些大米能够使用的天数 m 与食堂平均每天的用米量 n(单位: kg)有怎样的函数关系? (2) 如果食堂平均每天使用大米 200 ~ 250 kg, 那么至少多少天后, 食堂需再购买大米? 第 4 题 在对地面的压力一定的情况下, 地面所受的压强 p(单位: Pa)是受力面积 S(单位: )的反比例函数, 请填下表。 压强 p / Pa 1200 1000 600 500 400 300 200 150 120 100 受力面积 S / 第 5 题 已知甲、乙两地相距 s(单位: km), 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 则汽车行驶全程所用时间 t(单位: h)关于行驶速度 v(单位: km/h)的函数图象是( )。 【留位】 《习题27.3》的"复习巩固"第 1 题至第 5 题已按课本 P80 原文完整布置; "综合运用""拓广探索"两栏题面暂未能核到课本原文, 按课本 P80 补入原文后再逐题完成。 我的作答: (二) 课时配套巩固(原创题, 八题) 第 1 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(4, -5)。(1) 求 k 的值; (2) 若点(-2, m)在这个函数的图象上, 求 m 的值。 第 2 题 某工程队修建一条水渠, 每天修 x m, 需要 y 天完成。若每天修 40 m, 需要 15 天完成。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要 12 天完成, 每天至少要修多少米? 第 3 题 在压力一定时, 压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例, 已知 S = 2 时 p = 150 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 当 S = 0.5 时, 压强 p 是多少? 第 4 题 已知 y 与 x 成反比例, 且当 x = 3 时 y = -6。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 y = 4 时, 求 x 的值。 第 5 题 一辆汽车以 72 km/h 的平均速度行驶 3 h 到达目的地。(1) 求汽车返回时所用时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式; (2) 若返回时要求不超过 2.5 h 到达, 平均速度至少为多少? 第 6 题 用撬棍撬动石块时, 阻力和阻力臂的乘积为 720 N·m。(1) 求动力 F(单位: N)关于动力臂 l(单位: m)的函数解析式; (2) 若动力臂由 1.2 m 增加到 2.4 m, 求动力减少的数值。 第 7 题 某实验小组测得气体的压强 p(单位: kPa)与体积 V(单位: )的五组数据: V = 1、2、4、5、8 时 p 依次为 800、400、200、160、100。(1) 判断 p 与 V 之间的函数关系并求出解析式; (2) 当 p = 250 kPa 时, 求 V 的值。 第 8 题 某电路中电压一定时, 电流 I(单位: A)与电阻 R(单位: Ω)成反比例, 已知 R = 25 Ω 时 I = 0.4 A。(1) 求 I 关于 R 的函数解析式; (2) 若电流不超过 0.5 A, 电阻 R 至少要多大? 我的作答: 八、参考答案 【说明】 课本例题的完整解答见随堂笔记与《教师讲义》; 下面给出预习导航与课内探究的填空答案、分层巩固训练(A、B、C 三组)、课本练习与当堂检测、课后作业三部分答案。《习题27.3》的"综合运用""拓广探索"两栏题面暂不可得, 相应留位。 【填空类】预习导航 题号 答案 1 乘积; y = (k ≠ 0) 2 6300; 不变 3 v = ; 1050 4 阻力臂; 动力臂; 600 5 400; 3 6 列; 写 7 500; s = 8 240; 2 ≤ t ≤ 4 9 不完全相同; 误差; p = 10 散点; 近似 【填空类】课内探究 题号 答案 11 反比例; 反比例; 反比例; 反比例 12 定值(固定不变); y = (k ≠ 0) 13 不变量(定值); 待定系数 14 货物总量; 700 × 9 = 6300 (t) 15 v = (t > 0); t > 0 16 ≤; 减小; 小; = 1050; 1050 17 动力; 动力臂; 1200 × 0.5 = 600; 不变 18 F = ; = 400; 400 19 200; 200; 减小; 3 20 后; 1.5 21 360; S = 22 7.2; 7.2; 三分之一 23 12; y = 24 0.6; 6000; 0.5; 24; 24 25 字母; 方程; 取值范围 26 解析式; 实际问题 27 压力; 压强; 反比例; 电阻 28 一支; 反比例; (10, 50) 29 500; s = 30 5; 减小; 大于 31 240; v = 32 4; 2; 4 33 2 又 ; 3; 90; 80 34 80; 90 35 100; y = ; 0.2; 0.2 36 短 37 48400; 110; 220 38 440; 220; 220; 440 39 轴; 图; 式; 解 40 减小 41 散点; 双曲线 42 不完全相同; 误差 43 1997; p = 44 基本吻合 45 15.13 46 唯一; 近似 47 平均值; 检验 48 错因: 题目问的是"至少要加长多少", 3 m 是加长以后的总长度, 而原来的动力臂是 1.5 m。改正: 加长的量 = 3 - 1.5 = 1.5 (m) 49 错因: 时间是 60 进制, 40 分是 40 ÷ 60 = (h), 所以行驶时间是 2 又 h, 不是 2.4 h。改正: 先把分钟化成小时再代入解析式 50 错因: 这里要用的是各组 k 值的平均值, 取众数无法体现整体水平, 也违背了"用一条曲线尽可能靠近所有点"的初衷。改正: 把六组 k 值求和后除以 6, 得 k ≈ 1997 51 定值(固定不变); 近似 52 乘积 【填空类】课堂小结 题号 答案 1 乘积 2 解析式; 取值范围 3 唯一; 平均值; 近似 【练习类】分层巩固训练(A 组) 题号 参考答案 A1 (1) 由 xy = 48 得 y = (x > 0); (2) 当 x = 6 时, y = = 8 A2 (1) 由 xy = 2400 得 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 20 得 ≤ 20, 因为 x > 0, 所以 x ≥ 120, 即平均每天至少要修 120 m A3 (1) k = 0.4 × 500 = 200, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.8 时, p = = 250 (Pa) A4 (1) 由杠杆原理得 Fl = 900, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 4.5 时, F = = 200 (N) A5 (1) k = 5 × 8 = 40, 所以 y = ; (2) 当 x = -4 时, y = = -10 A6 (1) 由 t = 得 vt = 200, 所以这辆汽车一共要行驶 200 km; (2) 由 t ≤ 8 得 ≤ 8, 因为 v > 0, 所以 v ≥ 25, 即平均速度至少为 25 km/h 【练习类】分层巩固训练(B 组) 题号 参考答案 B7 (1) 由 ab = 1080 得 b = (a > 0); (2) 由 b ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 a ≥ 90, 即平均每天至少要运 90 t; (3) 由 a ≤ 180 得 ≤ 180, 所以 b ≥ 6, 即至少需要 6 天 B8 (1) k = 4 × 2.5 = 10, 所以 ρ = (V > 0); (2) 当 V = 10 时, ρ = = 1 B9 (1) 由 240 = 得 = 14400, 所以 P = (R > 0); (2) 当 R = 80 时 P = = 180 (W), 当 R = 180 时 P = = 80 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是 80 ≤ P ≤ 180 (W) B10 (1) v = (t > 0); (2) 由 t ≤ 5 得 ≤ 5, 所以 v ≥ 180, 即排水速度至少为 180 /h; (3) 由 v ≤ 300 得 ≤ 300, 所以 t ≥ 3, 即至少需要 3 h B11 (1) 由杠杆原理得 Fl = 15 × 12 = 180, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 20 时, F = = 9 (N); (3) 由 F ≤ 10 得 ≤ 10, 所以 l ≥ 18, 即 l 至少为 18 cm 【练习类】分层巩固训练(C 组) 题号 参考答案 C12 (1) y = (x > 0); (2) 原计划每天 75 个, 需要 = 24 (天); 实际每天 75 + 25 = 100 个, 需要 = 18 (天), 所以提前了 24 - 18 = 6 (天); (3) 要提前 4 天完成, 即 24 - 4 = 20 天内完成, 由 ≤ 20 得 x ≥ 90, 即每天至少要加工 90 个 C13 (1) 由 vt = 300 得 t = ; 因为全程速度不超过 150 km/h, 即 0 < v ≤ 150, 所以 t ≥ 2; (2) 上午 8 时出发, 当天 11 时到达时 t = 3, 代入得 v = = 100 (km/h); 当天 12 时到达时 t = 4, 代入得 v = = 75 (km/h)。因为平均速度 v 随行驶时间 t 的增大而减小, 所以 75 ≤ v ≤ 100 (km/h) C14 (1) k = 0.5 × 240 = 120, 所以 p = (V > 0); (2) 由 p ≤ 160 得 ≤ 160, 因为 V > 0, 所以 V ≥ , 即气球的体积应不小于 0.75 【练习类】课本练习与当堂检测 题目 参考答案 P75-P76 练习第 1 题 (1) 圆锥的体积为 120 , 即 = 120, 所以 S = (h > 0); (2) 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ 7.2, 即漏斗的深至少为 7.2 cm P75-P76 练习第 2 题 (1) 余款为 18 - 6 = 12 (万元), 所以 y = (0 < x ≤ 36); (2) 当 x = 20 时 y = = 0.6 (万元), 即平均每月应还款 6000 元; (3) 由 y ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 解得 x ≥ 24, 即至少要 24 个月才能结清余款 P77-P78 练习第 1 题 (1) k = 0.25 × 400 = 100, 所以 y = (x > 0); (2) 由 500 = 得 x = 0.2, 即焦距为 0.2 m P77-P78 练习第 2 题 (1) P = = = (110 ≤ R ≤ 220); (2) 当 R = 110 时 P = = 440 (W), 当 R = 220 时 P = = 220 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以 220 ≤ P ≤ 440 (W) P79 练习第(1)题 以往的函数模型由已知条件确定唯一解析式, 所有已知点都完全满足该解析式; 这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能近似满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型 P79 练习第(2)题 审清题意, 找出常量与变量 → 选择函数类型并设出解析式 → 求出待定系数的值 → 写出解析式并注意自变量的取值范围 → 用函数的图象和性质解决实际问题并检验实际意义 当堂检测 第 ① 题 由 S h = 800 得 h = (S > 0) 当堂检测 第 ② 题 由 xy = 1200 得 y = (x > 0); 由 y ≤ 8 得 ≤ 8, 所以 x ≥ 150, 即平均每天至少要运 150 t 当堂检测 第 ③ 题 k = 6 × 4 = 24, 所以解析式为 y = ; 当 x = -8 时, y = = -3 【练习类】课后作业 题目 参考答案 《习题27.3》复习巩固 第 1 题 答案开放。例如: 路程一定时, 汽车行驶全程所用时间与平均速度成反比例; 工作总量一定时, 工作效率与工作时间成反比例。(只要举出的实例中两个量的积一定即可) 《习题27.3》复习巩固 第 2 题 (1) 由 xy = 2 × 得 y = (x > 0); (2) 相邻两边长的比为 2 : 1, 设两邻边长分别为 2a m 与 a m, 则 2a × a = 2 × , 解得 a = 1000, 所以试验田的两邻边长分别为 2000 m 与 1000 m 《习题27.3》复习巩固 第 3 题 (1) 由 mn = 3000 得 m = (n > 0); (2) 因为 m 随 n 的增大而减小, 当 n = 250 时 m = = 12, 当 n = 200 时 m = = 15, 所以 12 ≤ m ≤ 15, 即至少 12 天后食堂需再购买大米 《习题27.3》复习巩固 第 4 题 p 与 S 成反比例, 且 1200 × 0.5 = 600, 所以 p = 。由此填表: S 依次为 0.5、0.6、1、1.2、1.5、2、3、4、5、6 (单位: ), 与压强 1200、1000、600、500、400、300、200、150、120、100 一一对应 《习题27.3》复习巩固 第 5 题 设两地距离为 s (s > 0), 由 vt = s 得 t = (v > 0), 所以图象是双曲线在第一象限内的一支(随 v 的增大 t 减小), 选与该形状一致的选项 《习题27.3》综合运用 / 拓广探索 【留位】 题面待按课本 P80 原文补入后, 再逐题写出解答 题号 参考答案 第 1 题 (1) k = 4 × (-5) = -20; (2) 由 -2 × m = -20 得 m = 10 第 2 题 (1) 水渠总长为 40 × 15 = 600 (m), 所以 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 x ≥ 50, 即每天至少要修 50 m 第 3 题 (1) k = 2 × 150 = 300, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.5 时, p = = 600 (Pa) 第 4 题 (1) k = 3 × (-6) = -18, 所以 y = -; (2) 由 4 = - 得 x = - 第 5 题 (1) 路程为 72 × 3 = 216 (km), 所以 t = (v > 0); (2) 由 t ≤ 2.5 得 ≤ 2.5, 所以 v ≥ 86.4, 即平均速度至少为 86.4 km/h 第 6 题 (1) Fl = 720, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 1.2 时 F = = 600 (N), 当 l = 2.4 时 F = = 300 (N), 所以动力减少了 600 - 300 = 300 (N) 第 7 题 (1) 各组 pV 的积都是 800, 所以 p 与 V 成反比例, 解析式为 p = (V > 0); (2) 由 250 = 得 V = 3.2, 即 V 的值为 3.2 第 8 题 (1) k = 25 × 0.4 = 10, 所以 I = (R > 0); (2) 由 I ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 所以 R ≥ 20, 即电阻 R 至少要 20 Ω 【自查要点】 ① 有没有先找出"乘积为定值"的那个量, 再设解析式? ② 解析式后面有没有写上自变量的取值范围, 范围是否符合实际意义? ③ 遇到"至少/不超过"有没有把它翻译成不等式, 并用增减性判断取哪一端? ④ 答的是题目问的那一问吗(加长/增加/减少的量要不要减原来的量)? ⑤ 单位是否统一(元与万元、分与小时、厘米与米)? ⑥ 时间换算是否按 60 进制? ⑦ 由图象求解析式前, 有没有先读出图象上已知点的坐标? ⑧ 用数据建模时, 有没有先画散点图判断类型, 再用各组待定系数的平均值建立近似模型? ⑨ 求出范围后有没有把不等号两端的数写反? ⑩ 最后有没有把结果放回实际情境检验一遍? 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.3 实际问题与反比例函数(教师讲义) 27.3 实际问题与反比例函数 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 第二十七章 反比例函数 · 3课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 (一) 教材分析 【教材分析】 27.3 实际问题与反比例函数是人教版(2024)九年级上册第二十七章"反比例函数"的第三节(课本 P74-P80), 共 3 课时。本节是本章的应用与收口, 承接 27.1 的反比例函数概念与 27.2 的图象和性质, 把已经学过的"模型"和"图形"用到真实情境里去。教材铺设了一条清晰的坡道: 第 1 课时(P74-P75)先解决"纯文字型"的实际问题, 例 1 是港口的起重机装卸货物, 属"工作总量一定"的模型(货物总量 = 平均速度 × 时间), 例 2 是撬棍撬石头, 属杠杆原理模型(阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂); 两题都要求在求出解析式之后, 借反比例函数的增减性回答"至少""不超过"这类取值问题, 也就是由函数值反过来限定自变量的范围。第 2 课时(P76-P77)把"文字"换成"图形", 例 3 由 s-F 图象读出关键点求出功 W 并写出 s 关于 F 的解析式, 例 4 由 v-t 图象求解析式与自变量的取值范围, 还要处理"8 时出发、10 时 40 分至 11 时之间到达"这类时间换算; 两题共同的要点是"先从图象上取出已知点, 再用待定系数法求解析式"。第 3 课时(P78-P79)则进一步把"条件"换成"数据": 教材给出气体压强 p 与体积 V 的 6 组实验数据(表27.3-1), 让学生先画散点图、再观察分布特征判断函数类型、逐组算出 k 并取平均值建立近似模型, 最后用它估计压强为 132 kPa 时的体积(P78 图27.3-4、表27.3-2)。这是初中阶段第一次正式接触"用数据拟合函数", 教材在 P79 的练习里专门追问"这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同", 并要求归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。本节把"建模"这件事从特殊推到一般, 是本章的核心应用课, 也是后续学习"反比例函数的几何意义"和中考综合应用题的必备基础。 【学情分析】 学生已经会求反比例函数的解析式、会用待定系数法确定 k, 也掌握了反比例函数在两支上的增减性, 方法层面并不空白。真正的困难集中在四处: 一是"找不到定值"—— 面对一段文字叙述, 不知道要把哪两个量的乘积固定下来, 于是列不出解析式; 二是"没有敢写自变量的取值范围"—— 实际问题里的 x 往往有实际限制(时间不能为负、天数要取整数、面积必须大于 0), 学生常常只写解析式而丢掉范围, 或者写了范围却不检查它和实际意义是否吻合; 三是"问题里问的是谁" —— 例 2 问的是"动力臂至少要加长多少", 求得 l = 3 m 只是加长后的总长度, 还要减去原来的 1.5 m, 这类"要答的是哪一问"的错误非常普遍; 四是"由数据找模型"很生疏 —— 看到表格里的六组数据, 不知道该先画散点图看形状, 也不知道各组 k 值不一样是正常的(测量误差), 反而以为算错了。教学中要把三句话反复落在板书上: 先找不变量, 再设解析式; 实际问题的自变量有双重限制; 数据不完全吻合也能建立模型。 【教学目标】 1. 能识别实际情境中"乘积为定值"的反比例关系, 会用待定系数法建立反比例函数模型, 并写出自变量的取值范围。2. 会由实际问题中的"至多""至少""不超过"等条件, 借反比例函数的增减性列出不等式, 求出相应的取值范围。3. 会从函数图象上读出关键点的坐标, 用待定系数法求出解析式, 并结合实际意义确定自变量的取值范围。4. 会画散点图, 能根据散点的分布特征选择合适的函数类型, 会用各组 k 值的平均值建立近似模型并作出估计, 知道实验数据存在误差、拟合得到的模型是近似模型。5. 经历"实际问题 — 抽象数量关系 — 建立模型 — 求解验证 — 回到实际"的完整过程, 发展模型观念、应用意识与数据分析观念。 【教学重点】 从实际问题中找出"乘积为定值"的两个量, 建立反比例函数模型并求出解析式; 由图象或表格求解析式; 结合实际意义确定自变量的取值范围, 并用增减性解决"至少""至多"类问题。 【教学难点】 从较长的文字情境中剥离出常量与变量、确定不变量; 由"至多""至少"把实际问题转化为不等式并用增减性求解; 理解用实验数据拟合得到的模型是近似的, 各组 k 值不相同属正常现象。 【课时安排】 本节共 3 课时。第 1 课时: 建立反比例函数模型(纯文字型, 课本 P74-P75); 第 2 课时: 结合函数图象解决实际问题(课本 P76-P77); 第 3 课时: 根据数据建立函数模型(课本 P78-P79)。 【教学准备】 教师: 课本、课件(含活塞加压实验的散点图与拟合曲线)、坐标纸、磁性小黑板、彩色粉笔(至少两色, 一色画解析式、一色画取值范围)、杠杆与撬棍的简易模型或实物图; 学生: 课本、坐标纸、直尺、铅笔、计算器(探究环节算 k 的平均值用)。 (二) 课时安排与主线 课时 环节 内容 课本页码 要固定下来的动作 第 1 课时 环节一至二 复习"乘积为定值", 例 1 港口卸货 P74 先算总量, 再写 v = 第 1 课时 环节三至四 例 2 撬棍撬石与两道练习 P75-P76 答"加长多少"要减掉原来的长度 第 1 课时 环节五 归纳建模的基本思路与五个步骤 P74-P76 审、设、列、写、解 第 2 课时 环节六至七 例 3 做功与位移 P76 先从图象取点, 再求 W 与解析式 第 2 课时 环节八至十 例 4 客车行程与两道练习 P77-P78 时间换算按 60 进制, 由增减性定范围 第 3 课时 环节十一至十二 探究: 气体压强与体积 P78-P79 散点图判型, 取 k 的平均值建模 第 3 课时 环节十三至十五 找错活动、当堂检测与小结 P78-P79 数据不完全吻合也能建立模型 二 教学过程 第一课时 建立反比例函数模型(课本 P74-P75) 环节一 复习回顾: 把"乘积为定值"这句话找回来(课本 P74 开头) 【教师活动】 板书五个填空, 请学生抢答, 每个空都要说出"哪两个量的乘积不变": ①面积一定时, 矩形的长与宽成什么关系? ②三角形的面积一定时, 一条边与这条边上的高成什么关系? ③柱体的体积一定时, 底面积与高成什么关系? ④销售总价一定时, 单价与数量成什么关系? ⑤路程一定时, 平均速度与时间成什么关系? 【学生活动】 逐条口答, 并归纳出共同的判据: 两个变量的乘积固定不变, 这两个量就成反比例关系。 【教师活动】 承接课本 P74 的开头一句话: 函数是具有广泛应用的数学模型; 对于某些实际问题, 如果其中两个变量之间具有反比例关系, 那么我们就可以利用反比例函数来研究它。随即板书研究路径: 实际问题 — 找不变量 — 设解析式 — 求待定系数 — 结合实际定范围 — 回到实际问题。 【方法提示】 判断一个实际问题能不能用反比例函数来刻画, 只问一句话: 题目中有没有两个量, 它们的乘积是固定不变的? 有, 就可以设 y = (k ≠ 0); 没有, 就换别的模型。本节所有例题的第一步都是找这个定值。 环节二 例 1: 港口的起重机装卸货物(课本 P74 例 1) 【情境】 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物, 一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。(1) 此轮船到达另一港口后开始卸货, 起重机平均卸载速度 v(单位: )与卸载完所有货物的总时间 t(单位: h)之间有怎样的函数关系? (2) 由于遇到紧急情况, 要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕, 那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 【教师活动】 引导学生按课本的分析走两步: 第一步先求"不变量"—— 根据"平均装载速度 × 装载总时间 = 货物总量", 得货物总量为 700 × 9 = 6300 (t), 这个量在装和卸的过程中都不变; 第二步再根据"平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间", 得到 v 关于 t 的函数解析式。 【学生活动】 独立写出解析式 v = (t > 0), 并说出为什么 t 不能等于 0、为什么只能取正数。 【板演】 (1) 轮船上的货物总量为 700 × 9 = 6300 (t), 所以 v 关于 t 的函数解析式为 v = (t > 0)。 【教师活动】 追问第(2)问: 要求"不超过 6 h 卸载完毕", 这句话在函数里是什么意思? 引导学生把它翻译成"t ≤ 6"。因为 k = 6300 > 0, 在第一象限内 v 随 t 的增大而减小, 所以 t 取最大值 6 时 v 取最小值; 把 t = 6 代入得 v = = 1050 。 【预设与对策】 学生容易把"不超过 6 h"直接理解为"t = 6", 只算出一个数就作答, 说不出为什么是"至少"。对策: 在黑板上画出第一象限内 v = 的那一支, 标出 t = 6 对应的点, 让学生看图说出 t 再小一点时 v 会怎样变化 —— 由图可见 t 越小 v 越大, 所以 t ≤ 6 对应的是 v ≥ 1050, 于是答案要说"至少 1050 "。 【板演】 (2) 把 t = 6 代入 v = , 得 v = = 1050 。从结果可以看出, 如果全部货物恰好用 6 h 卸载完, 那么平均每小时卸载 1050 t。对于函数 v = , 当 t > 0 时, t 越小, v 越大。因此, 若货物不超过 6 h 卸载完, 则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物。 图27.3-1 港口卸载: 平均卸载速度 v 与卸载总时间 t 的关系 环节三 例 2: 用撬棍撬动一块大石头(课本 P75 例 2) 【情境】 古希腊科学家阿基米德发现: 若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比, 则杠杆平衡。后来人们把它归纳为"杠杆原理": 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂(课本 P75 图27.3-1)。例 2: 某工人欲用撬棍撬动一块大石头, 已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。(1) 动力 F(单位: N)与动力臂 l(单位: m)有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m 时, 撬动石头至少需要多大的力? (2) 若想使动力 F 不超过(1)中所用力的一半, 则动力臂 l 至少要加长多少? 【教师活动】 先带学生把"杠杆原理"这句话读透: 阻力与阻力臂的乘积是不变的, 所以动力 F 与动力臂 l 成反比例。请学生说出这个不变的乘积是多少 —— 1200 × 0.5 = 600, 所以 Fl = 600, 即 F = (l > 0)。 【学生活动】 独立完成第(1)问: 把 l = 1.5 代入 F = , 得 F = = 400 (N)。并说出为什么说"至少": 因为 l > 0 时 F 随 l 的增大而减小, l = 1.5 m 时杠杆刚好平衡, 所以撬动石头至少需要 400 N 的力。 【教师活动】 第(2)问分两步引导。第一步把"不超过(1)中所用力的一半"翻译成不等式: 400 的一半是 200, 所以要求 F ≤ 200。第二步由增减性把 F ≤ 200 转成 l 的范围: 因为 F 随 l 的增大而减小, 所以只要算出 F = 200 时对应的 l 即可。解得 l = = 3 (m)。 【预设与对策】 最常见的错误是把 3 m 当作最终答案。对策: 让学生把题目的问句再读一遍 —— 问的是"动力臂 l 至少要加长多少", 3 m 是加长以后的总长度, 原来的动力臂是 1.5 m, 所以要加长 3 - 1.5 = 1.5 (m)。教师当场板书: 求出的值 = 变化后的量, 再减原来的量, 才是所问的"加长/增加/减少"。 【板演】 (1) 根据"杠杆原理", 得 Fl = 1200 × 0.5, 所以 F 关于 l 的函数解析式为 F = (l > 0)。当 l = 1.5 m 时, F = = 400 (N)。因此, 撬动石头至少需要 400 N 的力。(2) 对于函数 F = , 当 l > 0 时, F 随 l 的增大而减小, 所以只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值, 就能确定动力臂至少要加长的量。将 F = 200 代入 F = , 得 200 = , 解得 l = 3 (m)。因此动力臂的长度应不小于 3 m, 至少要加长 3 - 1.5 = 1.5 (m)。 【思考(课本 P75 旁注)】 用反比例函数的知识解释: 在使用撬棍时, 为什么动力臂越长就越省力? —— 因为 Fl = 600 是定值, 所以 F = , 在 l > 0 时 F 随 l 的增大而减小, 动力臂越长, 所需动力越小, 自然就越省力。 图27.3-2 杠杆原理示意: 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 图27.3-3 撬动石头: 动力 F 与动力臂 l 成反比例 环节四 练习: 圆锥形漏斗与购车分期(课本 P75-P76 练习) 【课堂练习一(课本 P75-P76 练习第 1 题)】 某玻璃器皿制造公司要制造容积为 120 (不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗。(1) 漏斗口的面积 S(单位: )与漏斗的深 h(单位: cm)有怎样的函数关系? (2) 如果漏斗口的面积不超过 50 , 那么漏斗的深 h 至少为多少? 【教师活动】 提示先用圆锥的体积公式把不变量找出来: 圆锥的体积等于"底面积 × 高"的三分之一, 所以 Sh 的三分之一恒等于 120, 即 Sh = 360。 【学生活动】 独立完成, 写出 S = (h > 0); 再由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ 7.2 (cm)。 【预设与对策】 学生容易忘记"三分之一", 直接用 Sh = 120 得出 S = 。对策: 让学生用手比出圆锥与同底同高圆柱的体积关系, 并把"V = Sh ÷ 3"写成一行大字留在黑板上。 图27.3-4 圆锥形漏斗: 漏斗口面积 S 与深 h 的关系 【课堂练习二(课本 P75-P76 练习第 2 题)】 为推广新能源汽车, 某销售商推出免息分期付款的购车促销活动, 客户交付首付款后, 在 36 个月内结清余款即可。小张在活动期间购买了价格为 18 万元的汽车, 首付款 6 万元。他计划用 x 个月结清余款, 平均每月还款 y 万元。(1) y 与 x 有怎样的函数关系? (2) 如果小张打算 20 个月结清余款, 那么他平均每月应还款多少万元? (3) 如果小张打算每月还款不超过 5000 元, 那么他至少要多少个月才能结清余款? 【教师活动】 引导学生先求不变量: 需要分期付清的余款是 18 - 6 = 12 (万元), 这个量不变, 所以每月还款额与月数的乘积恒等于 12。特别提醒第(3)问里的单位换算: 5000 元 = 0.5 万元, 单位不统一是本题最容易出错的地方。 【学生活动】 (1) y = (0 < x ≤ 36); (2) 当 x = 20 时 y = = 0.6 (万元), 即 6000 元; (3) 由 y ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 解得 x ≥ 24, 所以至少要 24 个月才能结清余款。 【预设与对策】 三类错误: 一是把不变量当成 18 万元而不是余款 12 万元; 二是第(3)问直接拿 5000 代入而不换算成 0.5 万元; 三是求出 x ≥ 24 后忘记回答"至少 24 个月"。对策: 要求学生先画一条数轴把这几个量的关系摆出来, 再动笔列式。 图27.3-5 分期付款: 每月还款 y 与结清月数 x 的关系 环节五 归纳: 用反比例函数解决实际问题的基本思路(课本 P74-P76) 【教师活动】 请学生合上课本, 用自己的话说说这四道题是怎么一步一步做出来的, 教师随手把学生的话整理成五步板书。 【归纳】 用反比例函数解决实际问题的一般步骤: ①审 —— 仔细审题, 找出题目中的常量、变量, 弄清常量与变量之间的关系; ②设 —— 根据常量与变量之间的关系, 设出函数解析式, 待定的系数用字母表示; ③列 —— 由已知条件列出方程, 求出待定系数的值; ④写 —— 写出函数解析式, 并注意解析式中变量的取值范围; ⑤解 —— 用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 【要点强调】 自变量的取值范围一般有两个方面的限制: 一是解析式本身的限制(分母不能为 0), 二是实际问题的具体要求(时间、天数、面积、件数等往往还要满足为正或取整数)。凡是实际问题, 写出解析式之后紧接着就要写取值范围, 这是本节的硬性要求。 图27.3-6 用反比例函数解决实际问题的一般步骤(审、设、列、写、解) 第二课时 结合函数图象解决实际问题(课本 P76-P77) 环节六 复习导入: 由生活现象说反比例(课本 P76) 【教师活动】 出示两个生活现象请学生解释: ①为什么踩气球时, 越用力踩越容易破? ②台灯的亮度、电风扇的转速为什么可以通过旋钮调节? 【学生活动】 口答: 压力一定时, 受力面积越小压强越大, 压强与受力面积成反比例; 电压一定时, 电流与电阻成反比例, 调节电阻就改变了电流。 【教师活动】 追问: 这两个实例里, 哪两个量成反比例, 凭什么判断? 学生说出"两个量的乘积是定值"之后, 教师点题: 上一节课的定值是从文字里读出来的, 这节课的定值要从图象上"取"出来。 环节七 例 3: 由图象求功与解析式(课本 P76 例 3) 【情境】 在力 F(单位: N)的作用下, 若物体会在力 F 的方向上发生位移 s(单位: m), 则力 F 所做的功 W(单位: J)满足 W = Fs。当 W 为定值时, s 与 F 之间的函数关系如图27.3-2(课本原图)所示, 图象经过点(10, 50)。(1) 当力 F 为 10 N 时, 求 F 所做的功 W; (2) 写出 s 关于 F 的函数解析式; (3) 在做功相同的情况下, 要使物体在力 F 的作用下的位移小于 100 m, 求力的范围。 【教师活动】 引导学生读图三步: 一看横轴、纵轴各表示什么物理量; 二看图象的形状, 判断是反比例函数在第一象限的一支; 三看图象上有没有明显经过的点, 把它的坐标取下来。本题图象经过点(10, 50), 表示 F = 10 N 时 s = 50 m。 【学生活动】 完成第(1)问: W = Fs = 10 × 50 = 500 (J), 并说出这就是那个"不变的乘积"。 【板演】 (1) 由图可知, 当力 F 为 10 N 时, 物体在力 F 的方向上发生的位移 s 为 50 m, 此时 F 所做的功 W = Fs = 10 × 50 = 500 (J)。(2) 当 W 为定值时, 可以用反比例函数描述 s 与 F 之间的关系, 由(1)可知其解析式为 s = (F > 0)。(3) 将 s = 100 代入 s = , 可得 F = 5 (N)。因为 s 随着 F 的增大而减小, 所以要使物体在力 F 的作用下的位移小于 100 m, 力 F 要大于 5 N。 【预设与对策】 第(3)问学生容易写成"F ≤ 5 N"或"F < 5 N"。对策: 让学生把 s = 的两支图形状回忆一遍 —— 在第一象限内 s 随 F 的增大而减小, 所以"位移要小"对应的是"力要大"; 又问"位移小于 100 m"里的小于是不是严格的, 得到 F > 5 N 而不是 F ≥ 5 N。 图27.3-7 做功一定: 位移 s 与力 F 的关系 环节八 例 4: 由图象求行程问题中速度的范围(课本 P77 例 4) 【情境】 一辆客车从甲地行驶到乙地, 平均速度 v(单位: km/h)与行驶全程所用时间 t(单位: h)的函数关系如图27.3-3(课本原图)所示, 其中 60 ≤ v ≤ 120。(1) 写出 v 关于 t 的函数解析式, 并求 t 的取值范围; (2) 若客车上午 8 时从甲地出发, 需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地, 求客车平均速度 v 的范围。 【教师活动】 引导学生从图上取点: 图象的两个端点是 t = 2 时 v = 120 与 t = 4 时 v = 60, 由第一组数据得路程为 2 × 120 = 240 (km), 这是定值, 所以 v = (t > 0)。 【学生活动】 第(1)问的第 2 小问: 由 v = , 当 v = 60 时 t = 4; 因为 60 ≤ v ≤ 120, 且 v 随 t 的增大而减小, 所以 2 ≤ t ≤ 4。 【教师活动】 第(2)问重点处理时间换算: 上午 8 时出发, 若当天 10 时 40 分到达, 行驶时间是 2 小时 40 分, 也就是 2 又 小时, 不是 2.4 小时; 若当天 11 时到达, 行驶时间是 3 小时。分别代入得 v = 90 与 v = 80。又因为 v 随 t 的增大而减小, 所以客车平均速度 v 的范围是 80 ≤ v ≤ 90 (km/h)。 【预设与对策】 两个高频错误: 一是把 40 分当成 0.4 小时, 算出 t = 2.4 h; 二是求出 v = 90 与 v = 80 之后, 凭"速度越快时间越短"把范围写成 90 ≤ v ≤ 80, 出现左大右小的写法。对策: 前者让学生当场把 40 分换算成小时, 后者要求先写出"因为 v 随 t 的增大而减小, 所以 t 最大时 v 最小", 再落笔写范围。 【板演】 (1) 甲地到乙地的路程为定值, 由图可知当 t = 2 时 v = 120, 于是有 v = (t > 0)。当 v = 60 时, 由 v = 得 t = 4。因为 60 ≤ v ≤ 120, 并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小, 所以 2 ≤ t ≤ 4。(2) 若当天 10 时 40 分到达乙地, 则行驶全程所用时间 t = 2 又 (h), 代入得 v = 90 (km/h); 若当天 11 时到达乙地, 则 t = 3 (h), 代入得 v = 80 (km/h)。因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小, 所以客车平均速度 v 的范围是 80 ≤ v ≤ 90 (km/h)。 图27.3-8 路程一定: 平均速度 v 与行驶时间 t 的关系 环节九 练习: 近视镜片与用电器功率(课本 P77-P78 练习) 【课堂练习一(课本 P77-P78 练习第 1 题)】 近视眼镜镜片的度数 y(单位: 度)是关于镜片焦距 x(单位: m)的反比例函数, 其图象经过点(0.25, 400)。(1) 求近视眼镜镜片的度数 y 关于镜片焦距 x 的函数解析式; (2) 若某近视眼镜的镜片为 500 度, 求其焦距。 【学生活动】 独立完成: 由点(0.25, 400)得 k = 0.25 × 400 = 100, 所以 y = (x > 0); 当 y = 500 时, 由 500 = 解得 x = 0.2 (m)。 【预设与对策】 学生容易把"度数越大"与"焦距越大"对上号。对策: 追问一句"度数越大的镜片是越厚还是越薄? 焦距是越长还是越短?" 由 y = 中 y 随 x 的增大而减小, 明确"度数大, 焦距短"。 图27.3-9 近视镜片: 度数 y 与焦距 x 成反比例 【课堂练习二(课本 P77-P78 练习第 2 题)】 收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节。某用电器内置可变电阻 R 的范围为 110 ~ 220 Ω, 电压 U 为 220 V。已知功率 P = , 回答下列问题: (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? (2) 这个用电器的功率 P 的范围是多少? 【教师活动】 先补一句电学常识: 电压一定时, 功率与电阻成反比例, 所以调节电阻就能调节功率, 这就是"亮度可调、转速可调"的道理。再把 U = 220 代入, 得 P = = 。 【学生活动】 计算两个端点: R = 110 时 P = 440 (W); R = 220 时 P = 220 (W)。因为 P 随 R 的增大而减小, 所以 220 ≤ P ≤ 440 (W)。 【预设与对策】 学生容易漏掉自变量的范围, 直接把解析式写在"R > 0"上。对策: 强调本题的电阻是"可调电阻", 只能取 110 ~ 220, 所以自变量范围就是 110 ≤ R ≤ 220, 并把它写在解析式后面。 图27.3-10 电压一定: 功率 P 与电阻 R 成反比例 环节十 归纳: 由函数图象求解析式的"四步法"(课本 P76-P77) 【教师活动】 把例 3 与例 4 的做法摆在一起, 让学生提炼出共同的套路。 【归纳】 由函数图象解决实际问题, 可以按四步走: 一看轴 —— 看清横轴、纵轴各表示哪一个实际量、单位是什么; 二看图 —— 观察图象的形状, 判断应当选择哪一种函数模型(图象是双曲线的一支, 就设反比例函数); 三设式 —— 设出函数解析式, 待定系数用字母表示; 四求解 —— 把图象上已知点的坐标代入解析式, 求出待定系数的值, 再由增减性与实际限制确定自变量的取值范围。 【要点强调】 图象上取点时要注意"端点"和"明显经过的整点"; 求出解析式之后, 一定要把自变量的取值范围和函数值的取值范围一并交代清楚, 并说明理由(依据是"在每一支上 y 随 x 的增大而减小"或"增大")。 第三课时 根据数据建立函数模型(课本 P78-P79) 环节十一 探究: 气体的压强与体积(课本 P78 探究) 【情境】 某物理实验小组研究气体的压强 p(单位: kPa)与体积 V(单位: mL)的关系, 在温度不变的条件下, 通过实验得到了 6 组数据(课本 P78 表27.3-1): V 依次为 20、18、16、14、12、10, p 依次为 100、112、123、145、163、201。气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系? 如果存在, 请你建立函数模型, 并估计当压强为 132 kPa 时, 气体的体积为多少(结果保留小数点后两位)。 【教师活动】 引导学生按课本的四步走。第一步"看形状": 因为表中没有现成的函数模型, 所以要先把 6 组数据作为点的坐标画在平面直角坐标系里, 得到散点图(课本图27.3-4(1)); 观察这些点的分布状况, 画一条曲线让它尽可能靠近所有这些点, 会发现这条曲线形似双曲线的一支, 因此尝试选择反比例函数近似描述 p 与 V 之间的关系。 【学生活动】 在坐标纸上描出 6 个点, 观察分布, 说出"点大体落在一条从左上向右下弯曲的曲线上"。 【教师活动】 第二步"建立模型": 设 p = (V > 0), 请学生逐组算出 pV 的值 —— 分别是 2000、2016、1968、2030、1956、2010(课本表27.3-2)。随即抛出一个关键问题: 这 6 个 k 值为什么不完全相同? 引导学生说出"实验测量有误差"。 【学生活动】 计算 6 个 k 值的平均值: k ≈ 2000 + 2016 + 1968 + 2030 + 1956 + 2010 的和除以 6, 结果约为 1997, 于是得到函数模型 p = (V > 0)。 【教师活动】 第三步"检验模型": 把已知数据代回 p = , 或画出这个函数的图象, 会发现这个函数模型与实际数据基本吻合, 说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系。第四步"求解问题": 将 p = 132 代入, 得 132 = , 解得 V = ≈ 15.13 (mL)。 【预设与对策】 学生最常见的疑问是"六个 k 不一样, 这个模型到底对不对"。对策: 把"测量有误差"这句话讲透 —— 实验读数本来就有波动, 所以点不可能正好落在同一条曲线上; 我们画的是一条"尽可能靠近所有点"的曲线, 这样的模型叫近似模型, 它不能保证每一组数据都严格满足, 但能较好地反映整体规律。这一点与前面几节课"由已知条件确定唯一解析式"有本质区别。 图27.3-11 气体压强 p 与体积 V 的数据点与拟合曲线 【板演】 设 p 关于 V 的函数解析式为 p = (V > 0)。因为各组 k 值的平均值约为 1997, 所以函数模型为 p = 。将 p = 132 代入, 得 132 = , 解得 V = ≈ 15.13。因此, 当压强为 132 kPa 时, 气体的体积约为 15.13 mL。 环节十二 回顾探究: 这种建模方式与以往有什么不同(课本 P79 练习) 【教师活动】 出示课本 P79 练习的两个问题: (1) 表27.3-1 中的有些数对只能近似满足函数解析式 p = (V > 0), 即图中的点并没有完全落在函数图象上, 这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同? (2) 结合探究和问题(1)的分析与解决问题的过程, 归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 【学生活动】 讨论后归纳: 以往的函数模型(如一次函数、二次函数)是由已知条件确定唯一的解析式, 所有已知点都完全满足这个解析式; 而这里的各组数据存在测量误差, 只能"近似满足", 所以要先从散点图上判断函数类型, 再求出各组待定系数的值并取平均值, 得到的是一个近似模型。 【归纳】 建立函数模型解决实际问题的一般步骤可以概括为: ①审清题意, 找出常量与变量, 弄清它们之间的关系; ②根据数据或图象特征, 选择合适的函数类型, 设出函数解析式; ③求出待定系数的值(由已知条件列方程, 或由多组数据取平均值); ④写出函数解析式, 并注意自变量的取值范围; ⑤用函数的图象和性质解决实际问题, 并对结果作实际意义的检验。 【方法提示】 用数据建立模型时, 判断函数类型靠的是"散点的分布形状", 而不是先入为主; 模型建好之后一定要回头"检验", 也就是看看已知数据能不能被这个模型大体解释。模型是近似的, 结论也要按题目的要求取近似值(本题保留小数点后两位)。 环节十三 找错活动: 三条真实错例 【活动设计】 教师把课前准备的三份典型错答投屏放大, 请学生逐条指出错在哪里、怎样改正, 并把改正后的话写在练习本上。 【错例一】 求例 2 第(2)问时, 由 200 = 解得 l = 3, 直接写"动力臂至少要加长 3 m"。错因: 题目问的是"至少要加长多少", 3 m 是加长以后的总长度, 而原来的动力臂是 1.5 m。改正: 加长的量 = 3 - 1.5 = 1.5 (m)。 【错例二】 求例 4 第(2)问时, 把"上午 8 时出发、当天 10 时 40 分到达"的行驶时间算成 2.4 h。错因: 时间是 60 进制, 40 分是 40 ÷ 60 = (h), 所以行驶时间是 2 又 h, 不是 2.4 h。改正: 先把分钟化成小时再代入解析式。 【错例三】 求探究中 k 的取值时, 把六组 k 值中"出现次数最多的那个"拿出来当 k。错因: 这里要用的是各组 k 值的平均值, 取众数无法体现整体水平, 也违背了"用一条曲线尽可能靠近所有点"的初衷。改正: 把六组 k 值求和后除以 6, 得到 k ≈ 1997。 环节十四 当堂检测(口答与笔答结合, 约 6 分钟) 【当堂检测】 ①把 800 mL 的水倒入底面积为 S()的圆柱形容器中, 水面高度 h(cm)与 S 之间的函数解析式是什么? ②某工程队要运走 1200 t 砂石, 平均每天运 x t, 需 y 天运完, 写出 y 关于 x 的解析式; 若要在 8 天内运完, 平均每天至少要运多少吨? ③已知反比例函数的图象经过点(6, 4), 求这个函数的解析式, 并求出当 x = -8 时 y 的值。答案见文末参考答案。 【学生活动】 独立完成, 同桌互查, 教师只点方法: 第 ① 题先找不变量(体积 800), 第 ② 题先算不变量(总吨数 1200)再由增减性定"至少", 第 ③ 题直接算乘积得 k。 环节十五 归纳小结 【教师活动】 请学生用一句话概括本节内容, 再师生共同完成知识结构：一个判据 —— 两个量的乘积是定值; 两套入口 —— 由文字找定值、由图象或数据求定值; 三个动作 —— 审题建模、定取值范围、用增减性作答; 一句提醒 —— 实验数据拟合出来的模型是近似模型, 各组待定系数的值不完全相同属正常现象。 图27.3-12 本节知识结构: 建模步骤与常见的反比例模型 三 联系梳理与易错辨析 (一) 常见的反比例关系一览 情境 不变的量 两个变量之间的关系 常用公式 工作总量一定 工作总量 工作效率与工作时间成反比例 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 杠杆平衡 阻力与阻力臂的积 动力与动力臂成反比例 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 做功一定 功 力与在该力方向上发生的位移成反比例 W = Fs, W 为定值 路程一定 路程 平均速度与行驶时间成反比例 v · t = s, s 为定值 压力一定 压力 压强与受力面积成反比例 p · S = F, F 为定值 电压一定 电压的平方 功率与电阻成反比例 P = , U 为定值 面积一定 面积 矩形的一边与邻边成反比例 xy = S, S 为定值 产品总数一定 总数 每天生产的个数与所需天数成反比例 每天生产量 × 天数 = 总数 【一句话说清】 这八种情境看着不一样, 骨子里是同一件事 —— 两个量的乘积是定值, 设解析式时只要把那个定值算出来当作 k, 剩下的就全是 27.2 学过的图象与性质。 (二) 易错清单 1. 找不到"不变量"就急着设解析式。应当先问自己: 题目里哪两个量的乘积固定不变? 把它们写出来再设式。 2. 写出解析式却不写自变量的取值范围。实际问题中自变量往往还要满足为正、取整数或落在某个区间内, 这一句不能省。 3. 把"至多""至少"当成等式, 只算出一个数就作答。应由增减性把它翻译成不等式, 再回到实际情境说明取的是哪一端。 4. 答非所问: 题目问"加长/增加/减少多少", 却把变化后的总量当作答案。要注意"变化后的量减原来的量"才是所问的量。 5. 单位不统一: 元与万元、分与小时、厘米与米混用。代入之前先把单位化到同一个口径。 6. 时间换算按十进制算, 把 40 分当成 0.4 h。时间、角度这类量是 60 进制, 换算时要除以 60。 7. 由图象求解析式时不去读取已知点, 凭感觉写解析式; 或者读点时看错横、纵轴表示的实际量。 8. 用实验数据建模时, 因为各组待定系数的值不同就断定"数据错了"。测量有误差, 取平均值建立的是近似模型, 这是正常的。 9. 求出函数值的范围后把不等号两端的数写反(如把 80 ≤ v ≤ 90 写成 90 ≤ v ≤ 80)。写完先自己读一遍"最小到最大"。 10. 忽略实际意义检验: 算出时间为负数、人数为小数、面积超过场地大小等明显不合理的结论却照抄作答。 (三) 建模三步与检验要点对照 环节 要做的动作 检验时看什么 找定值 从文字、图象或数据中确定那个乘积不变的量 这个量在题目叙述的全过程中确实不变吗 定范围 写出自变量的取值范围(解析式限制 + 实际要求) 范围与题目里"不超过""至少""为正"等条件一致吗 用性质 由增减性把函数值的范围与自变量的范围互相转换 不等号方向与"在同一支上递增还是递减"一致吗 回实际 把结果放回原情境读出答案, 该取近似就取近似 答的是题目问的那一问吗, 单位与人情事理都合理吗 四 分层巩固训练(原创题, 与课本例题、练习、《习题27.3》零重复) (一) A 组 基础巩固 A1. 矩形的面积为 48 , 它的一边长为 x cm, 邻边长为 y cm。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式并写出自变量 x 的取值范围; (2) 当 x = 6 时, 求 y 的值。 A2. 某工程队修一条长 2400 m 的公路, 平均每天修 x m, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要在 20 天内完成, 平均每天至少要修多少米? A3. 在压力一定时, 某物体对地面的压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例。已知 S = 0.4 时 p = 500 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 求 S = 0.8 时的压强。 A4. 用撬棍撬石块时, 若阻力和阻力臂的乘积为 900 N·m, 则动力 F(单位: N)与动力臂 l(单位: m)成反比例。(1) 求 F 关于 l 的函数解析式; (2) 当动力臂为 4.5 m 时, 撬动石块至少需要多大的力? A5. 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 5 时 y = 8。(1) 求这个函数的解析式; (2) 当 x = -4 时, 求 y 的值。 A6. 一辆汽车匀速行驶, 行驶时间 t(单位: h)与平均速度 v(单位: km/h)之间的关系为 t = 。(1) 这辆汽车一共要行驶多少千米? (2) 若要在 8 h 内到达, 平均速度至少为多少? (二) B 组 理解运用 B7. 某运输队要运走 1080 t 货物, 平均每天运 a t, 需要 b 天。(1) 写出 b 关于 a 的函数解析式; (2) 若要求在 12 天内运完, 平均每天至少要运多少吨? (3) 若车队每天最多能运 180 t, 那么至少需要多少天? B8. 密闭容器内气体的质量不变, 当容器的体积为 V(单位: )时, 气体的密度为 ρ(单位: )。已知 V = 4 时 ρ = 2.5 。(1) 求 ρ 关于 V 的函数解析式; (2) 当 V = 10 时, 求气体的密度。 B9. 电压 U 一定时, 某用电器的功率 P(单位: W)与电阻 R(单位: Ω)满足 P = 。已知 R = 60 Ω 时 P = 240 W。(1) 求 的值与 P 关于 R 的函数解析式; (2) 若该用电器的电阻可在 80 Ω 到 180 Ω 之间调节, 求功率 P 的取值范围。 B10. 某蓄水池的容积为 900 , 注满水后打开排水阀排水, 排水速度 v(单位: /h)与排空所需时间 t(单位: h)满足 vt = 900。(1) 写出 v 关于 t 的函数解析式; (2) 若要求在 5 h 内排空, 排水速度至少为多少? (3) 若排水管每小时最多排水 300 , 至少需要多少小时? B11. 科学课上用杠杆做实验: 在匀质木杆的中点 O 的左侧 12 cm 处挂一个重 15 N 的重物, 右侧用弹簧测力计竖直向下拉, 使木杆保持水平。(1) 写出测力计示数 F(单位: N)关于它到点 O 的距离 l(单位: cm)的函数解析式; (2) 当 l = 20 cm 时, 求 F 的值; (3) 若该测力计的量程是 0 ~ 10 N, 则 l 至少为多少厘米? (三) C 组 拓展提升 C12. 某工厂加工一批零件共 1800 个, 平均每天加工 x 个, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若原计划每天加工 75 个, 实际每天比原计划多加工 25 个, 求实际提前了多少天完成任务; (3) 若要提前 4 天完成, 每天至少要加工多少个? C13. 一辆汽车从 A 地驶往 B 地, 全程 300 km。(1) 写出行驶时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式, 并写出 v 的取值范围(全程速度不超过 150 km/h); (2) 若汽车上午 8 时出发, 需在当天 11 时至 12 时之间到达 B 地, 求平均速度 v 的范围。 C14. 某气球内充满一定质量的气体, 温度不变时, 气球内气体的压强 p(单位: kPa)是气体体积 V(单位: )的反比例函数。已知 V = 0.5 时 p = 240 kPa。(1) 求 p 关于 V 的函数解析式; (2) 当气球内气体的压强不超过 160 kPa 时, 气球的体积应不小于多少立方米? 五 课堂小结 【方法层面】 本节把"建模"这件事讲透了: 反比例函数的实际问题, 说到底就是去找一个"乘积为定值"的量。这个定值可能藏在文字里(例 1、例 2), 可能藏在图象上(例 3、例 4), 也可能藏在一张数据表里(探究)。找到它, 解析式就立起来了。 【知识层面】 由反比例函数解决实际问题, 一定要同时交代三件事: 解析式、自变量的取值范围、结论所依据的增减性。三者缺一, 解答就不完整。 要点 具体内容 要提醒的地方 一个判据 两个变量的乘积是定值, 就可以用反比例函数刻画 先算定值, 再设 y = (k ≠ 0) 两套入口 文字情境直接找定值; 图象情境先读点求定值; 数据情境先画散点图判型再取平均值 数据建模得到的解析式是近似模型 三个动作 审题建模、结合实际定取值范围、用增减性把"至多/至少"翻译成不等式 取值范围有两个来源: 解析式本身和实际要求 一句提醒 实验数据有误差, 各组待定系数的值不完全相同是正常的 模型要与实际数据对照检验 六 板书设计 【主板书】 黑板分左中右三大块。左侧自上而下写"建模五步"(审、设、列、写、解)与"取值范围的两个来源"; 中间留一大块, 上半块贴三张例图(港口 v-t 曲线、撬棍示意、功与位移), 下半块现场画"气体压强散点图 + 拟合曲线"; 右侧写本节三类情境对照表与例题的标准书写格式。左侧的五步与中间的散点图整节课不擦。 板书区 内容 左上一 建模五步: 审(找常量与变量) — 设(设 y = ) — 列(由条件求 k) — 写(写出解析式与取值范围) — 解(用图象和性质作答) 左上二 取值范围的两个来源: ① 解析式本身的限制(分母不为 0); ② 实际问题的具体要求(为正、取整数、落在区间内) 左下一 常见情境: 工作总量一定、杠杆平衡、做功一定、路程一定、压力一定、电压一定 中区上 三张图: 港口卸载 v 与 t 的一支曲线; 杠杆原理示意; 做功一定时 s 与 F 的一支曲线 中区下 散点图: 六组气体压强数据描点, 再画一条尽可能靠近所有点的曲线, 旁注 k ≈ 1997 右上一 三类入口: 文字找定值 — 图象读点求定值 — 数据取平均值 右下二 例题格式: 设解析式 — 代已知量求 k — 写出解析式与范围 — 由增减性把"至多/至少"转成不等式 — 作答并检验实际意义 七 作业布置 (一) 课本作业 完成课本 P80《习题27.3》。其中"复习巩固"第 1-5 题照课本原文完整布置如下; "综合运用""拓广探索"两栏的题面暂未能核到课本原文, 按下表留位, 待补入原文后再逐题写出解答。布置时统一要求: 每题先写出"定值是什么", 再写解析式与自变量的取值范围。 第 1 题 举出一个生活中应用反比例函数的例子。 第 2 题 某农业大学计划修建一块面积为 2 × 的矩形试验田。(1) 试验田的一边长 y(单位: m)关于它的邻边长 x(单位: m)的函数解析式是什么? (2) 如果试验田的相邻两边长的比为 2 : 1, 那么试验田的两邻边长分别为多少? 第 3 题 学校食堂一次性购买了 3000 kg 大米。(1) 这些大米能够使用的天数 m 与食堂平均每天的用米量 n(单位: kg)有怎样的函数关系? (2) 如果食堂平均每天使用大米 200 ~ 250 kg, 那么至少多少天后, 食堂需再购买大米? 第 4 题 在对地面的压力一定的情况下, 地面所受的压强 p(单位: Pa)是受力面积 S(单位: )的反比例函数, 请填下表(压强 p 依次为 1200、1000、600、500、400、300、200、150、120、100, 填出相应的受力面积 S)。 第 5 题 已知甲、乙两地相距 s(单位: km), 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 则汽车行驶全程所用时间 t(单位: h)关于行驶速度 v(单位: km/h)的函数图象是( )。 《习题27.3》栏目 对应题号 布置时附加的要求 复习巩固 第 1 题至第 5 题 第 1 题要求说清哪两个量成反比例; 第 2、3 题要求先写出自变量的取值范围; 第 4 题先由已知数据求出定值再填表; 第 5 题要先算出 t 与 v 的解析式再选图 综合运用 题面待补 【留位】 题面按课本 P80 原文补入后逐题写出解答 拓广探索 题面待补 【留位】 题面按课本 P80 原文补入后逐题写出解答 (二) 课时配套巩固(原创题) 第 1 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(4, -5)。(1) 求 k 的值; (2) 若点(-2, m)在这个函数的图象上, 求 m 的值。 第 2 题 某工程队修建一条水渠, 每天修 x m, 需要 y 天完成。若每天修 40 m, 需要 15 天完成。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要 12 天完成, 每天至少要修多少米? 第 3 题 在压力一定时, 压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例, 已知 S = 2 时 p = 150 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 当 S = 0.5 时, 压强 p 是多少? 第 4 题 已知 y 与 x 成反比例, 且当 x = 3 时 y = -6。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 y = 4 时, 求 x 的值。 第 5 题 一辆汽车以 72 km/h 的平均速度行驶 3 h 到达目的地。(1) 求汽车返回时所用时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式; (2) 若返回时要求不超过 2.5 h 到达, 平均速度至少为多少? 第 6 题 用撬棍撬动石块时, 阻力和阻力臂的乘积为 720 N·m。(1) 求动力 F(单位: N)关于动力臂 l(单位: m)的函数解析式; (2) 若动力臂由 1.2 m 增加到 2.4 m, 求动力减少的数值。 第 7 题 某实验小组测得气体的压强 p(单位: kPa)与体积 V(单位: )的四组数据: V = 1、2、4、5、8 时 p 依次为 800、400、200、160、100。(1) 判断 p 与 V 之间的函数关系并求出解析式; (2) 当 p = 250 kPa 时, 求 V 的值。 第 8 题 某电路中电压一定时, 电流 I(单位: A)与电阻 R(单位: Ω)成反比例, 已知 R = 25 Ω 时 I = 0.4 A。(1) 求 I 关于 R 的函数解析式; (2) 若电流不超过 0.5 A, 电阻 R 至少要多大? 【布置说明】 第 1、4 题练"由点求解析式并求另一量"; 第 2、5、6 题练"由增减性回答至少/不超过"; 第 3 题对比"由压强求面积"; 第 7 题是数据建模的模仿练习, 要求在坐标纸上先描点再判断类型; 第 8 题综合了电学情境与范围限制。第 5 题与第 6 题请写在同一页上, 便于比较"求出总量再减"与"求出变化后的量再减"这两种问法的差别。 八 教学反思 【关于"找定值"】 本节所有例题的第一步都是找不变量, 但学生的困难恰恰在这一步。第一轮试教时我直接从"设 y = "讲起, 结果学生在例 1 里写出了 y = kx 的形式; 后来改成先让学生用一句话说出"题目里哪两个量乘起来不变", 并在黑板上把它算成具体的数(6300、600、500、240), 学生的解析式就写得稳稳当当。这个小改动值得保留。 【关于"至少/不超过"】 把"不超过 6 h"读成"t = 6"是最顽固的错误。有效的处理办法是先在黑板上画出第一象限的那一支, 让学生用手指顺着曲线走一遍, 亲眼看到 t 变小、v 变大, 再落笔写"v ≥ 1050"。用图"走一遍"比口头讲"因为 k > 0 所以 y 随 x 增大而减小"有效得多。 【关于"答非所问"】 例 2 第(2)问至少有三分之一的学生会答成 3 m。对策是在黑板上固定一条提示语: 求出的值 = 变化后的量, 题目里有关的还可能是"原来的量", 两者相减才是所问。此后每次遇到"加长多少""增加多少""减少多少", 都让学生先圈出问句里的动词再动笔。 【关于数据建模】 这是学生第一次接触"拟合", 也是最容易产生困惑的一节。讲课时要把"六个 k 值不一样"这件事主动摆到台面上, 让学生猜到"测量有误差"再给出"取平均值"的做法; 如果回避这个问题, 学生反而会在练习时反复验算以为自己算错了。有条件时可以用计算器或表格软件现场演示"改动一个点, 曲线会怎样变", 效果更好。 【关于课时分配】 本节 3 课时, 第 1 课时重文字建模, 第 2 课时重图象建模, 第 3 课时重数据建模与整节收口。若学生基础较弱, 可把例 4 的时间换算单独抽出来做 5 分钟小练; 若基础较好, 可让学生在探究环节自己多测几组数据(如用水杯与气压计), 但不要把拟合的要求提高到高中水平, 本节只要求"画散点图 — 判型 — 取平均 — 估计"。 【后续衔接】 下一节是本章的小结与复习, 需要把三件事串起来: 反比例函数的概念与解析式的三种形式、图象与性质、实际问题中的应用。本节结束时务必让学生清楚: 实际问题中的反比例函数图象往往只是第一象限的那一支, 这与数学上完整的两支并不矛盾, 因为实际量的取值本来就有限制。 九 参考答案 【说明】 课本例题的解答已随教学过程板演; 下面给出分层巩固训练(A、B、C 三组)、课本练习与当堂检测、课时配套巩固、课本作业四部分答案。《习题27.3》的"综合运用""拓广探索"两栏题面暂不可得, 相应留位。 (一) 分层巩固训练 A 组 题号 参考答案 A1 (1) 由 xy = 48 得 y = (x > 0); (2) 当 x = 6 时, y = = 8 题号 参考答案 A2 (1) 由 xy = 2400 得 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 20 得 ≤ 20, 因为 x > 0, 所以 x ≥ 120, 即平均每天至少要修 120 m A3 (1) k = 0.4 × 500 = 200, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.8 时, p = = 250 (Pa) A4 (1) 由杠杆原理得 Fl = 900, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 4.5 时, F = = 200 (N) A5 (1) k = 5 × 8 = 40, 所以 y = ; (2) 当 x = -4 时, y = = -10 A6 (1) 由 t = 得 vt = 200, 所以这辆汽车一共要行驶 200 km; (2) 由 t ≤ 8 得 ≤ 8, 因为 v > 0, 所以 v ≥ 25, 即平均速度至少为 25 km/h (二) 分层巩固训练 B 组 题号 参考答案 B7 (1) 由 ab = 1080 得 b = (a > 0); (2) 由 b ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 a ≥ 90, 即平均每天至少要运 90 t; (3) 由 a ≤ 180 得 ≤ 180, 所以 b ≥ 6, 即至少需要 6 天 B8 (1) k = 4 × 2.5 = 10, 所以 ρ = (V > 0); (2) 当 V = 10 时, ρ = = 1 B9 (1) 由 240 = 得 = 14400, 所以 P = (R > 0); (2) 当 R = 80 时 P = = 180 (W), 当 R = 180 时 P = = 80 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是 80 ≤ P ≤ 180 (W) B10 (1) v = (t > 0); (2) 由 t ≤ 5 得 ≤ 5, 所以 v ≥ 180, 即排水速度至少为 180 /h; (3) 由 v ≤ 300 得 ≤ 300, 所以 t ≥ 3, 即至少需要 3 h B11 (1) 由杠杆原理得 Fl = 15 × 12 = 180, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 20 时, F = = 9 (N); (3) 由 F ≤ 10 得 ≤ 10, 所以 l ≥ 18, 即 l 至少为 18 cm (三) 分层巩固训练 C 组 题号 参考答案 C12 (1) y = (x > 0); (2) 原计划每天 75 个, 需要 = 24 (天); 实际每天 75 + 25 = 100 个, 需要 = 18 (天), 所以提前了 24 - 18 = 6 (天); (3) 要提前 4 天完成, 即 24 - 4 = 20 天内完成, 由 ≤ 20 得 x ≥ 90, 即每天至少要加工 90 个 C13 (1) 由 vt = 300 得 t = ; 因为全程速度不超过 150 km/h, 即 0 < v ≤ 150, 所以 t ≥ 2; (2) 上午 8 时出发, 当天 11 时到达时 t = 3, 代入得 v = = 100 (km/h); 当天 12 时到达时 t = 4, 代入得 v = = 75 (km/h)。因为平均速度 v 随行驶时间 t 的增大而减小, 所以 75 ≤ v ≤ 100 (km/h) C14 (1) k = 0.5 × 240 = 120, 所以 p = (V > 0); (2) 由 p ≤ 160 得 ≤ 160, 因为 V > 0, 所以 V ≥ , 即气球的体积应不小于 0.75 (四) 课本练习与当堂检测 题目 参考答案 P75-P76 练习第 1 题 (1) 圆锥的体积为 120 , 即 = 120, 所以 S = (h > 0); (2) 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ 7.2, 即漏斗的深至少为 7.2 cm P75-P76 练习第 2 题 (1) 余款为 18 - 6 = 12 (万元), 所以 y = (0 < x ≤ 36); (2) 当 x = 20 时 y = = 0.6 (万元), 即平均每月应还款 6000 元; (3) 由 y ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 解得 x ≥ 24, 即至少要 24 个月才能结清余款 P77-P78 练习第 1 题 (1) k = 0.25 × 400 = 100, 所以 y = (x > 0); (2) 由 500 = 得 x = 0.2, 即焦距为 0.2 m P77-P78 练习第 2 题 (1) P = = = (110 ≤ R ≤ 220); (2) 当 R = 110 时 P = = 440 (W), 当 R = 220 时 P = = 220 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以 220 ≤ P ≤ 440 (W) P79 练习第(1)题 以往的函数模型由已知条件确定唯一解析式, 所有已知点都完全满足该解析式; 这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能近似满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型 P79 练习第(2)题 审清题意, 找出常量与变量 → 选择函数类型并设出解析式 → 求出待定系数的值 → 写出解析式并注意自变量的取值范围 → 用函数的图象和性质解决实际问题并检验实际意义 当堂检测 第 ① 题 由 S h = 800 得 h = (S > 0) 当堂检测 第 ② 题 由 xy = 1200 得 y = (x > 0); 由 y ≤ 8 得 ≤ 8, 所以 x ≥ 150, 即平均每天至少要运 150 t 当堂检测 第 ③ 题 k = 6 × 4 = 24, 所以解析式为 y = ; 当 x = -8 时, y = = -3 (五) 课时配套巩固 题号 参考答案 第 1 题 (1) k = 4 × (-5) = -20; (2) 由 -2 × m = -20 得 m = 10 第 2 题 (1) 水渠总长为 40 × 15 = 600 (m), 所以 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 x ≥ 50, 即每天至少要修 50 m 第 3 题 (1) k = 2 × 150 = 300, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.5 时, p = = 600 (Pa) 第 4 题 (1) k = 3 × (-6) = -18, 所以 y = -; (2) 由 4 = - 得 x = - 第 5 题 (1) 路程为 72 × 3 = 216 (km), 所以 t = (v > 0); (2) 由 t ≤ 2.5 得 ≤ 2.5, 所以 v ≥ 86.4, 即平均速度至少为 86.4 km/h 第 6 题 (1) Fl = 720, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 1.2 时 F = = 600 (N), 当 l = 2.4 时 F = = 300 (N), 所以动力减少了 600 - 300 = 300 (N) 第 7 题 (1) 各组 pV 的积都是 800, 所以 p 与 V 成反比例, 解析式为 p = (V > 0); (2) 由 250 = 得 V = 3.2, 即 V 的值为 3.2 第 8 题 (1) k = 25 × 0.4 = 10, 所以 I = (R > 0); (2) 由 I ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 所以 R ≥ 20, 即电阻 R 至少要 20 Ω (六) 课本作业 题目 参考答案 《习题27.3》复习巩固 第 1 题 答案开放。例如: 路程一定时, 汽车行驶全程所用时间与平均速度成反比例; 工作总量一定时, 工作效率与工作时间成反比例。(只要举出的实例中两个量的积一定即可) 《习题27.3》复习巩固 第 2 题 (1) 由 xy = 2 × 得 y = (x > 0); (2) 相邻两边长的比为 2 : 1, 设两邻边长分别为 2a m 与 a m, 则 2a × a = 2 × , 解得 a = 1000, 所以试验田的两邻边长分别为 2000 m 与 1000 m 《习题27.3》复习巩固 第 3 题 (1) 由 mn = 3000 得 m = (n > 0); (2) 因为 m 随 n 的增大而减小, 当 n = 250 时 m = = 12, 当 n = 200 时 m = = 15, 所以 12 ≤ m ≤ 15, 即至少 12 天后食堂需再购买大米 《习题27.3》复习巩固 第 4 题 p 与 S 成反比例, 且 1200 × 0.5 = 600, 所以 p = 。由此填表: S 依次为 0.5、0.6、1、1.2、1.5、2、3、4、5、6 (单位: ), 与压强 1200、1000、600、500、400、300、200、150、120、100 一一对应, 各组 pS 的值都等于 600 《习题27.3》复习巩固 第 5 题 设两地距离为 s (s > 0), 由 vt = s 得 t = (v > 0), 所以图象是双曲线在第一象限内的一支(随 v 的增大 t 减小), 选与该形状一致的选项 《习题27.3》综合运用 / 拓广探索 【留位】 题面待按课本 P80 原文补入后, 再逐题写出解答 【自查要点】 ① 有没有先找出"乘积为定值"的那个量, 再设解析式? ② 解析式后面有没有写上自变量的取值范围, 范围是否符合实际意义? ③ 遇到"至少/不超过"有没有把它翻译成不等式, 并用增减性判断取哪一端? ④ 答的是题目问的那一问吗(加长/增加/减少的量要不要减原来的量)? ⑤ 单位是否统一(元与万元、分与小时、厘米与米)? ⑥ 时间换算是否按 60 进制? ⑦ 由图象求解析式前, 有没有先读出图象上已知点的坐标, 并看清横、纵轴表示的实际量? ⑧ 用数据建模时, 有没有先画散点图判断类型, 再用各组待定系数的平均值建立近似模型? ⑨ 求出范围后有没有把不等号两端的数写反? ⑩ 最后有没有把结果放回实际情境检验一遍? 学科网（北京）股份有限公司 $